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2 Derivadas 2.3 Derivada de Funções Constante, Identidade e Potência 2.5 Regas Básicas de Derivação

2.4 Derivada de Funções Exponenciais e Logarítmicas

Nesta seção vamos estudar a derivada de funções exponenciais e logarítmicas. Começamos com a definição no número de Euler¹⁵¹⁵endnote: ¹⁵Leonhard Paul Euler, 1707 - 1783, matemático suíço. Fonte: Wikipédia. por limites.

2.4.1 Número de Euler

O número de Euler $e\approx 2,7183...$ pode ser definido pelo seguinte limite

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}e=\lim_{h\to 0% }(1+h)^{\frac{1}{h}}}

(2.175)

Exemplo 2.4.1.

Consideremos os seguintes limites.

a)

$\displaystyle\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{2}{h}}$

$\displaystyle\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{2}{h}}$ $\displaystyle=\lim_{h\to 0}\left[(1+h)^{\frac{1}{h}}\right]^{2}$ (2.176)

$\displaystyle=\left[\lim_{h\to 0}\cancelto{e}{(1+h)^{\frac{1}{h}}}\quad\right]% ^{2}$ (2.177)

$\displaystyle=e^{2}$ (2.178)

Com o Python+SymPy, podemos computar este limite com os seguintes comandos:

⬇

1      In : from sympy import *

2      ...: h = Symbol('h')

3      ...: limit((1+h)**(2/h), h, 0)

4      Out: exp(2)
b)

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\left(1+2h\right)^{\frac{1}{h}}$

Para calcular este limite, podemos fazer a seguinte mudança de variável

$u=2h$ (2.179)

donde, temos que $u\to 0$ quando $h\to 0$ . Então, segue que

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\left(1+2h\right)^{\frac{1}{h}}$ $\displaystyle=\lim_{u\to 0}\left(1+u\right)^{\frac{2}{u}}$ (2.180)

$\displaystyle=e^{2}$ (2.181)

Com o Python+SymPy, podemos computar este limite com os seguintes comandos:

⬇

1      In : from sympy import *

2      ...: h = Symbol('h')

3      ...: limit((1+2*h)**(1/h), h, 0)

4      Out: exp(2)

2.4.2 Derivada de Funções Exponenciais

Vamos calcular a derivada da função exponencial

f(x)=a^{x}

(2.182)

com $a>0$ . Partindo da definição de definição de derivada, temos

$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$	(2.183)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^{x}}{h}$	(2.184)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}\left(a^{h}-1\right)}{h}$	(2.185)
	$\displaystyle=a^{x}\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h}$	(2.186)

Agora, fazemos a seguinte mudança de variável

u=a^{h}-1

(2.187)

donde, $u\to 0$ quando $h\to 0$ e

h=\log_{a}(1+u).

(2.188)

Com isso, voltando a (2.186) segue que

$\displaystyle\left(a^{x}\right)$	$\displaystyle=a^{x}\lim_{u\to 0}\frac{u}{\log_{a}(1+u)}$	(2.189)
	$\displaystyle=a^{x}\lim_{u\to 0}\frac{1}{\frac{1}{u}\log_{a}(1+u)}$	(2.190)
	$\displaystyle=a^{x}\lim_{u\to 0}\frac{1}{\log_{a}\cancelto{e}{(1+u)^{\frac{1}{% u}}}}$	(2.191)
	$\displaystyle=a^{x}\frac{1}{\log_{a}e}$	(2.192)

Lembrando que

\log_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}

(2.193)

concluímos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\left(a^{x}% \right)^{\prime}=a^{x}\ln a}

(2.194)

No caso particular da função exponencial natural, temos

\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\ln e

(2.195)

ou seja,

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\left(e^{x}% \right)^{\prime}=e^{x}}

(2.196)

Exemplo 2.4.2.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\left(2^{x}\right)^{\prime}=2^{x}\ln 2$ (2.197)
b)

$\displaystyle\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{x}\right]^{\prime}=\left(\frac{3}% {2}\right)^{x}\ln\frac{3}{2}$ (2.198)
c)

$\displaystyle\displaystyle\left(e^{\frac{1}{2}x}\right)^{\prime}$ $\displaystyle=\left[(\sqrt{e})^{x}\right]^{\prime}$ (2.199)

$\displaystyle=(\sqrt{e})^{x}\ln\sqrt{e}$ (2.200)

$\displaystyle=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}$ (2.201)

Com o Python+SymPy, podemos computar essas derivadas como segue:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : x = Symbol('x')

3 In : diff(2**x)

4 Out: 2**x*log(2)

6 In : diff((S(3)/2)**x)

7 Out: (3/2)**x*log(3/2)

9 In : diff(exp(x/2))

10 Out: exp(x/2)/2

2.4.3 Derivada de Funções Logarítmicas

Vamos calcular a derivada da função logarítmica

f(x)=\log_{a}x

(2.202)

com $a>0$ e $a\neq 1$ . Partimos da definição de derivada

$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$	(2.203)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x)}{h}$	(2.204)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\log_{a}\frac{x+h}{x}$	(2.205)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)$	(2.206)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}$	(2.207)

Tendo em vista que¹⁶¹⁶endnote: ¹⁶Consulte o Exercício 2.4.6

e^{\frac{1}{x}}=\lim_{h\to 0}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}

(2.208)

obtemos

$\displaystyle(\log_{a}x)^{\prime}$	$\displaystyle=\log_{a}e^{\frac{1}{x}}$	(2.209)
	$\displaystyle=\frac{1}{x}\log_{a}e$	(2.210)
	$\displaystyle=\frac{1}{x}\frac{\ln e}{\ln a}$	(2.211)

e concluímos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}(\log_{a}x)^{% \prime}=\frac{1}{x\ln a}}

(2.212)

Observamos que no caso particular da função logaritmo natural, segue que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}(\ln x)^{% \prime}=\frac{1}{x}}

(2.213)

Exemplo 2.4.3.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$(\log_{2}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln 2}$ (2.214)
b)

$\left(\log_{\frac{3}{2}}x\right)^{\prime}=\frac{1}{x\ln\frac{3}{2}}$ (2.215)
c)

$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$ (2.216)

2.4.4 Lista de derivadas

	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(2.217)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(2.218)
	$\displaystyle(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}$		(2.219)
	$\displaystyle(a^{x})^{\prime}=a^{x}\ln a$		(2.220)
	$\displaystyle(e^{x})^{\prime}=e^{x}$		(2.221)
	$\displaystyle(\log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}$		(2.222)
	$\displaystyle(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$		(2.223)

2.4.5 Exercícios Resolvidos

ER 2.4.1.

Mostre que

e=\lim_{h\to\infty}\left(1+\frac{1}{h}\right)^{h}

(2.224)

Solução.

Tendo em mente a definição dada na Equação 2.175, fazemos a seguinte mudança de variável

u=\frac{1}{h}

(2.225)

donde, $u\to 0$ quando $h\to\infty$ . Logo, temos

	$\displaystyle\lim_{h\to\infty}\left(1+\frac{1}{h}\right)^{h}$	$\displaystyle=\lim_{u\to 0}\left(1+u\right)^{\frac{1}{u}}$		(2.226)
		$\displaystyle=e.$		(2.227)

ER 2.4.2.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $y=\ln x$ no ponto $x=1$ .

Solução.

A equação da reta tangente ao gráfico de uma função $y=f(x)$ no ponto $x=x_{0}$ é

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).

(2.228)

Neste exercício, temos $x_{0}=1$ e $f(x)=\ln x$ . Então, calculamos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=(\ln x)^{\prime}$		(2.229)
		$\displaystyle=\frac{1}{x}$		(2.230)

No ponto $x_{0}=1$ , temos $f^{\prime}(x_{0})=1/x_{0}=1$ . Logo, a equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=1\cdot(x-1)+f(1)y=x-1+0$		(2.231)
	$\displaystyle y=x-1$		(2.232)

2.4.6 Exercícios

E. 2.4.1.

Calcule:

a)

$\displaystyle\left(3^{x}\right)^{\prime}$
b)

$\displaystyle\left[\left(\frac{2}{5}\right)^{x}\right]^{\prime}$

Resposta.

a) $3^{x}\ln 3$ ; b) $\left(\frac{2}{5}\right)^{x}=\left(\frac{2}{5}\right)^{x}\ln\frac{2}{5}$

E. 2.4.2.

Calcule:

a)

$\displaystyle\left(\frac{2^{x}}{5^{x}}\right)^{\prime}$
b)

$\displaystyle\left(e^{2x}\right)^{\prime}$

Resposta.

a) $\left(\frac{2}{5}\right)^{x}=\left(\frac{2}{5}\right)^{x}\ln\frac{2}{5}$ ; b) $2e^{2x}$

E. 2.4.3.

Calcule:

1.

$\displaystyle\left(\log_{3}x\right)^{\prime}$
2.

$\displaystyle\left(\log_{\frac{2}{5}}x\right)^{\prime}$
3.

$\displaystyle(\ln x)^{\prime}$

Resposta.

a) $\displaystyle\frac{1}{x\ln 3}$ b) $\displaystyle\frac{1}{x\ln\frac{2}{5}}$ ; c) $\frac{1}{x}$

E. 2.4.4.

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=\ln x$ no ponto $x=1$ .

Resposta.

$y=x-1$

E. 2.4.5.

Mostre que

e^{x}=\lim_{h\to 0}\left(1+xh\right)^{\frac{1}{h}}

(2.233)

Resposta.

Dica! Consulte o Exemplo LABEL:ex:nume_b

E. 2.4.6.

Mostre que

e^{\frac{1}{x}}=\lim_{h\to 0}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}

(2.234)

Resposta.

Dica! Consulte o Exercício 2.4.5

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$\displaystyle\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{2}{h}}$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\left[(1+h)^{\frac{1}{h}}\right]^{2}$	(2.176)
	$\displaystyle=\left[\lim_{h\to 0}\cancelto{e}{(1+h)^{\frac{1}{h}}}\quad\right]% ^{2}$	(2.177)
	$\displaystyle=e^{2}$	(2.178)

	$\displaystyle\lim_{h\to 0}\left(1+2h\right)^{\frac{1}{h}}$	$\displaystyle=\lim_{u\to 0}\left(1+u\right)^{\frac{2}{u}}$		(2.180)
		$\displaystyle=e^{2}$		(2.181)

$\displaystyle\displaystyle\left(e^{\frac{1}{2}x}\right)^{\prime}$	$\displaystyle=\left[(\sqrt{e})^{x}\right]^{\prime}$	(2.199)
	$\displaystyle=(\sqrt{e})^{x}\ln\sqrt{e}$	(2.200)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}$	(2.201)