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2 Derivadas 2.2 Função derivada 2.4 Derivada de Funções Exponenciais e Logarítmicas

2.3 Derivada de Funções Constante, Identidade e Potência

Nesta seção, vamos estudar as derivadas de função constante, de função identidade e de função potência.

2.3.1 Derivada de Função Constante

A derivada de função constante $f(x)\equiv k$ , com $k$ constante, é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}(k)^{\prime}=0}

(2.147)

De fato, da definição de derivada temos

$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$	(2.148)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{k-k}{h}$	(2.149)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}0=0.$	(2.150)

Exemplo 2.3.1.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$(2)^{\prime}=0$
b)

$(-3)^{\prime}=0$
c)

$(\pi)^{\prime}=0$
d)

$(a)^{\prime}=0$ para qualquer $a\in\mathbb{R}$

Com Python+SymPy, podemos computar essas derivadas com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : diff(2)

3 Out: 0

5 In : diff(-3)

6 Out: 0

8 In : diff(pi)

9 Out: 0

11 In : x = Symbol('x')

12 In : a = Symbol('a', const=True)

13 In : diff(a, x)

14 Out: 0

2.3.2 Derivada de Função Identidade

A derivada da função identidade $f(x)=x$ é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}(x)^{\prime}=1}

(2.151)

De fato, da definição de derivada temos

$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$	(2.152)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h}$	(2.153)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1.$	(2.154)

Exemplo 2.3.2.

Usando Python+sympy, podemos computar a derivada da função identidade com as seguintes instruções:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : x = Symbol('x')

3 In : diff(x)

4 Out: 1

2.3.3 Derivada de Função Potência

A derivada da função potência $f(x)=x^{n}$ , $n$ número inteiro positivo, é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\left(x^{n}% \right)^{\prime}=nx^{n-1}}

(2.156)

De fato, da definição de derivada, temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(2.157)
		$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}$		(2.158)

Usando binômio de Newton¹⁴¹⁴endnote: ¹⁴Isaac Newton, 1643 - 1727, matemático inglês. Fonte: Wikipédia., temos

\displaystyle(x+h)^{n}

\displaystyle=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}h^{k},

(2.159)

onde os coeficientes binomiais são

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

(2.160)

Assim, segue que

$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{x^{n}+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^{2}+% \cdots+h^{n}-x^{n}}{h}$	(2.161)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}$	(2.162)
	$\displaystyle=nx^{n-1}.$	(2.163)

Exemplo 2.3.3.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$\left(x^{2}\right)^{\prime}=2x^{1-1}=2x$
b)

$\left(x^{5}\right)^{\prime}=5x^{5-1}=5x^{4}$
c)

$\left(x^{2001}\right)^{\prime}=2001x^{2000}$
d)

$\left(x^{m}\right)^{\prime}=mx^{m-1}$ para qualquer $m$ inteiro positivo.

Com Python+SymPy, podemos computar essas derivadas com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : x = Symbol('x')

3 In : diff(x**2)

4 Out: 2*x

6 In : diff(x**5)

7 Out: 5*x**4

9 In : diff(x**2001)

10 Out: 2001*x**2000

12 In : m = Symbol('m', integer=True, positive=True)

13 In : simplify(diff(x**m, x))

14 Out: m*x**(m - 1)

Observação 2.3.1.

Ao longo das notas de Cálculo, vamos estudar que a fórmula de derivação

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}(x^{r})^{% \prime}=rx^{r-1}}

(2.164)

vale para qualquer $r$ número real não nulo, considerando-se o domínio natural das funções potência. Assim sendo, vamos assumir passar a aplicá-la para qualquer função potência a partir de agora.

Exemplo 2.3.4.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\left(x^{-1}\right)^{\prime}=-1x^{-1-1}=-x^{-2}$
b)

$\displaystyle\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1% }=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
c)

$\displaystyle\left(x^{e}\right)^{\prime}=ex^{e-1}$

Com Python+SymPy, podemos computar essas derivadas com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : x = Symbol('x')

3 In : diff(x**(-1))

4 Out: -1/x**2

6 In : diff(x**(S(1)/2))

7 Out: 1/(2*sqrt(x))

9 In : diff(x**E)

10 Out: E*x**E/x

2.3.4 Lista de derivadas

	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(2.165)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(2.166)
	$\displaystyle(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}$		(2.167)

2.3.5 Exercícios Resolvidos

ER 2.3.1.

Calcule o ângulo de declividade da reta tangente ao gráfico de cada uma das seguintes funções em qualquer ponto fixado $x=x_{0}$ .

a)

Função constante $f(x)\equiv k$
b)

Função identidade $f(x)=x$

Solução.

O ângulo $\theta$ de declividade da reta tangente ao gráfico de uma dada função $f$ em um ponto $x=x_{0}$ é

\theta=\operatorname{arctg}(f^{\prime}(x_{0})).

(2.168)

a)

Função constante $f(x)\equiv k$

Nesse caso, $f^{\prime}(x)=0$ para todo $x$ , logo

$\displaystyle\theta$ $\displaystyle=\operatorname{arctg}(0)$

$\displaystyle=0.$
b)

Função identidade $f(x)=x$

Nesse caso, $f^{\prime}(x)=1$ para todo $x$ , logo

$\displaystyle\theta$ $\displaystyle=\operatorname{arctg}(1)$

$\displaystyle=\frac{\pi}{4}$

ER 2.3.2.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função $f(x)=x^{2}$ no ponto $x=1$ .

Solução.

A equação da reta tangente ao gráfico de uma função $f$ em um ponto $x=x_{0}$ é

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})

(2.169)

Nesse caso,

y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)

(2.170)

Temos $f(1)=(1)^{2}=1$ . Agora, pela derivada de função potência, temos

f^{\prime}(x)=(x^{2})^{\prime}=2x

(2.171)

Logo,

f^{\prime}(1)=2\cdot 1=2

(2.172)

Concluímos que equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=2(x-1)+1$		(2.173)
	$\displaystyle y=2x-1$		(2.174)

2.3.6 Exercícios

E. 2.3.1.

Calcule as seguintes derivadas:

a)

$(7)^{\prime}$
b)

$(-1,7)^{\prime}$
c)

$\left(\sqrt{2}\right)^{\prime}$
d)

$\left(\sec(\pi)\right)^{\prime}$

Resposta.

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$ ; d) $0$

E. 2.3.2.

Calcule as seguintes derivadas:

a)

$\left(x\right)^{\prime}$
b)

$\left(x^{3}\right)^{\prime}$
c)

$\left(\sqrt{x}\right)^{\prime}$
d)

$\displaystyle\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}$
e)

$\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\right)^{\prime}$
f)

$\left(x^{\pi}\right)^{\prime}$

Resposta.

a) $1$ ; b) $3x^{2}$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ; d) $\displaystyle-\frac{1}{x^{2}}$ ; e) $\displaystyle-\frac{2}{3\sqrt[3]{x^{5}}}$ ; f) $\pi x^{\pi-1}$

E. 2.3.3.

Calcule as seguintes derivadas de ordem mais alta:

a)

$(2)^{\prime\prime}$
b)

$\left(2^{1001}\right)^{\prime\prime\prime}$
c)

$\left[(-3)^{4}\right]^{(4)}$

Resposta.

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 2.3.4.

Calcule o coeficiente angular da reta tangente $y=mx+b$ ao gráfico da função $f(x)=x^{3}$ no ponto $x=0$ . Faça o esboço do gráfico desta função.

Resposta.

$0$

E. 2.3.5.

Calcule o ponto de interseção das retas tangentes ao gráfico da função $f(x)=x^{2}$ nos pontos $x_{0}=-1$ e $x_{1}=1$ . Faça, em um mesmo esboço, os gráficos de $f$ e das retas tangentes calculadas.

Resposta.

$(0,-1)$

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	$\displaystyle\theta$	$\displaystyle=\operatorname{arctg}(0)$
		$\displaystyle=0.$

	$\displaystyle\theta$	$\displaystyle=\operatorname{arctg}(1)$
		$\displaystyle=\frac{\pi}{4}$