Método dos Elementos Finitos

2 Problemas bidimensionais 2 Problemas bidimensionais 2.2 Projeção

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2.1 Malha e espaço

Vamos introduzir a malha do domínio computacional 2D a partir de uma triangularização. O espaço de elementos finitos é tomado como o espaço de polinômios afins por partes construído sobre esta malha. Estudos de interpolação e projeção de funções neste espaço são, então, realizados.

2.1.1 Malha

Seja $\Omega\subset\mathbb{R}^{2}$ um domínio limitado com fronteira $\partial\Omega$ suave e poligonal¹¹1 $\Omega$ é, também, chamado de domínio computacional. Uma malha (ou triangularização) $\mathcal{K}$ de $\Omega$ é um conjunto de $\{K\}$ células (ou elementos) $K$ , em que $\Omega=\cup_{K\in\mathcal{K}}K$ e tal que a interseção de duas células é ou um lado, um canto ou vazia.

Uma escolha clássica é tomar as células $K$ como triângulos. O comprimento do maior lado da célula $K$ define o chamado tamanho local da malha $h_{K}$ . O tamanho global da malha é definido por $h=\max_{K\in\mathcal{K}}h_{K}$ .

Uma malha é dita regular quando existe uma constante $c_{0}>0$ tal que $c_{K}>c_{0}$ para todo $K\in\mathcal{K}$ , sendo $c_{K}:=d_{K}/h_{K}$ e $d_{K}$ o diâmetro do circulo inscrito em $K$ . Esta condição significa que os triângulos $K$ da malha não podem ter ângulos muito grandes nem muito pequenos. Ao longo do texto, a menos que especificado o contrário, assumiremos trabalhar com malhas regulares.

Exemplo 2.1.1.

O seguinte Código 13, gera uma malha uniforme no domínio $\Omega=[0,1]^{2}$ .

Refer to caption — Figura 2.1: Malha triangular no domínio computacional $\Omega=[0,1]^{2}$ .

Código 13: ex_malha2D.py

⬇

1from mpi4py import MPI

2from dolfinx import mesh

4# malha triangular

5domain = mesh.create_unit_square(MPI.COMM_WORLD,

6 nx = 5, ny = 5)

8# gráfico da malha

9import pyvista

10pyvista.set_jupyter_backend("static")

12from dolfinx import plot

13tdim = domain.topology.dim

14domain.topology.create_connectivity(tdim, tdim)

15topology, cell_types, geometry = plot.vtk_mesh(domain, tdim)

16grid = pyvista.UnstructuredGrid(topology, cell_types, geometry)

18plotter = pyvista.Plotter()

19plotter.add_mesh(grid, show_edges=True, line_width=2)

20plotter.add_axes(interactive=True, line_width=2, color='black', x_color='red', y_color='green', z_color='blue')

21plotter.view_xy()

22plotter.show()

23figure = plotter.screenshot("fig.png", )

2.1.2 Espaço dos polinômios afins

Seja $K\in\mathbb{R}^{2}$ um triângulo e seja $P_{1}(K)$ o espaço dos polinômios afins em $K$ , i.e.

		$\displaystyle P_{1}(K)=\{v;\leavevmode\nobreak\ v=c_{0}+c_{1}x+c_{2}y,$		(2.1)
		$\displaystyle\text{}\quad(x,y)\in K,\leavevmode\nobreak\ c_{0},c_{1},c_{2}\in% \mathbb{R}\}.$		(2.1)

Observamos que toda função $v\in P_{1}(K)$ é unicamente determinada por seus valores nodais

\alpha_{i}=v(N_{i}),i=0,1,2,

(2.2)

onde $N_{i}=(x_{i},y_{i})$ é o $i$ -ésimo nodo (ou vértice) do triângulo $K$ . Isto segue do fato de que o sistema (2.2) tem forma matricial

\begin{bmatrix}1&x_{0}&y_{0}\\ 1&x_{1}&y_{1}\\ 1&x_{2}&y_{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_{0}\\ c_{1}\\ c_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha_{0}\\ \alpha_{1}\\ \alpha_{2}\end{bmatrix}

(2.3)

Ainda, o valor absoluto do determinante da matriz de coeficientes é $2|K|$ , onde $|K|$ denota a área de $K$ , a qual é não nula²²2Consulte o E.LABEL:exer:detK.

Afim de usarmos os valores nodais como graus de liberdade (incógnitas), nós introduzimos a seguinte base nodal $\{\lambda_{0},\lambda_{1},\lambda_{2}\}$ com

\lambda_{j}(N_{i})=\left\{\begin{array}[]{ll}1&,i=j,\\ 0&,i\neq j\end{array}\right.,\leavevmode\nobreak\ i,j=0,1,2.

(2.4)

Com esta base, toda função $v\in P_{1}(K)$ pode ser escrita como

v=\alpha_{0}\lambda_{0}+\alpha_{1}\lambda_{1}+\alpha_{2}\lambda_{2},

(2.5)

onde $\alpha_{i}=v(N_{i})$ .

Interpolação

Dada uma função contínua $f$ em um triângulo $K$ com nodos $N_{i}$ , $i=0,1,2$ , sua interpolação linear $\pi f\in P_{1}(K)$ é definida por

\pi f=\sum_{i=0}^{2}f(N_{i})\lambda_{i}.

(2.6)

Logo, temos $\pi f(N_{i})=f(N_{i})$ para todo $i=0,1,2$ .

Afim de determinar estimativas para o erro de interpolação, precisamos da chamada derivada total de primeira ordem

Df=\left(\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|^{2}+\left|\frac{\partial f% }{\partial y}\right|^{2}\right)^{1/2}

(2.7)

e da derivada total de segunda ordem

D^{2}f=\left(\left|\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\right|^{2}+\left|\frac% {\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\right|^{2}+\left|\frac{\partial^{2}f}{% \partial y^{2}}\right|^{2}\right)^{1/2}.

(2.8)

Proposição 2.1.1.(Erro da interpolação no espaço $P_{1}$ )

A interpolação $\pi f$ satisfaz as seguintes estimativas

	$\displaystyle\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(K)}$	$\displaystyle\leq Ch_{K}^{2}\\|D^{2}f\\|_{L^{2}(K)},$		(2.9)
	$\displaystyle\\|D(f-\pi f)\\|_{L^{2}(K)}$	$\displaystyle\leq Ch_{K}\\|D^{2}f\\|_{L^{2}(K)}.$		(2.10)

Demonstração.

Consulte [2]. ∎

Observação 2.1.1.(Malha regular)

A constante $C$ na Proposição 2.1.1 depende do inverso de $\operatorname{sen}(\theta_{K})$ onde $\theta_{K}$ é o menor angulo de $K$ . Desta forma, para um triângulo com $\theta_{K}$ muito pequeno, as estimativas (2.9) e (2.10) perdem sentido. Este fato indica a necessidade de se trabalhar com malhas regulares.

2.1.3 Espaço contínuo dos polinômios afins por partes

O espaço contínuo dos polinômios afins por partes na malha $\mathcal{K}$ é definido por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}V_{h}=\{v;% \leavevmode\nobreak\ v\in C^{0}(\Omega),\leavevmode\nobreak\ v|_{K}\in P_{1}(K% ),\leavevmode\nobreak\ \forall K\in\mathcal{K}\}.

(2.11)

Observamos que toda função $v\in V_{h}$ é unicamente determinada por seus valores nodais $\{v(N_{j})\}_{j=0}^{n_{p}-1}$ , onde $n_{p}$ é número de nodos da malha $\mathcal{K}$ .

De fato, os valores nodais determinam uma única função em $P_{1}(K)$ para cada $K\in\mathcal{K}$ e, portanto, uma função em $V_{h}$ é unicamente determinada por seus valores nos nodos. Agora, consideremos dois triângulos $K_{1}$ e $K_{2}$ compartilhando um lado $E=K_{1}\cap K_{2}$ . Sejam $v_{1}$ e $v_{2}$ os dois únicos polinômios em $v_{1}\in P_{1}(K_{1})$ e $v_{2}\in P_{1}(K_{2})$ , respectivamente determinados pelos valores nodais em $K_{1}$ e $K_{2}$ . Como $v_{1}$ e $v_{2}$ também são polinômios lineares em $E$ e seus valores coincidem nos nodos de $E$ , temos $v_{1}=v_{2}$ em $E$ . Portanto, concluímos que toda função $v\in V_{h}$ é unicamente determinada por seus valores nodais.

Afim de termos os valores nodais como graus de liberdade (incógnitas), definimos a base nodal $\{\varphi_{j}\}_{j=1}^{n_{p}}\subset V_{h}$ tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\varphi_{j}(N% _{i})=\left\{\begin{array}[]{ll}1&,i=j\\ 0&,i\neq j\end{array}\right.,\leavevmode\nobreak\ i,j=0,1,\dotsc,n_{p}-1.

(2.12)

Notamos que cada função base $\varphi_{j}$ é contínua, polinômio linear por partes e com suporte somente em um pequeno conjunto de triângulos que compartilham o nodo $N_{j}$ . Além disso, toda a função $v\in V_{h}$ pode, então, ser escrita como

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}v=\sum_{i=0}^% {n_{p}-1}\alpha_{i}\varphi_{i},

(2.13)

onde $\alpha_{i}=v(N_{i})$ , $i=0,1,\ldots,n_{p}$ , são os valores nodais de $v$ .

Interpolação

A interpolação no espaço $V_{h}$ de uma dada função $f$ no domínio $\Omega$ é denotada por $\pi f\in V_{h}$ e definida por

\pi f=\sum_{i=0}^{n_{p}-1}f(N_{i})\varphi_{i}.

(2.14)

Proposição 2.1.2.(Erro de interpolação em $V_{h}$ )

O interpolador $\pi f\in V_{h}$ satisfaz as seguintes estimativas

	$\displaystyle\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}\leq C\sum_{K\in\mathcal{K}}h_{K}^% {4}\\|D^{2}f\\|_{L^{2}(K)}^{2},$		(2.15)
	$\displaystyle\\|D(f-\pi f)\\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}\leq C\sum_{K\in\mathcal{K}}h_{% K}^{2}\\|D^{2}f\\|_{L^{2}(K)}^{2},.$		(2.16)

Demonstração.

Consulte o E.2.1.3. ∎

Exemplo 2.1.2.

No seguinte código, alocamos um espaço de elementos finitos $V_{h}$ sobre uma malha regular no domínio $\Omega=[0,1]^{2}$ . Ainda, uma função $u_{h}\in V_{h}$ é alocada com valores nodais

u(x,y)=\operatorname{sen}(\pi x)\operatorname{sen}(\pi y).

(2.17)

Código 14: ex_mef2d_interp.py

⬇

1from mpi4py import MPI

2from dolfinx import mesh

4# malha

5domain = mesh.create_unit_square(MPI.COMM_WORLD, 16, 16)

7from dolfinx import fem

9# espaço de elementos finitos

10V = fem.functionspace(domain, ("P",1))

12# função do espaço V

13import numpy as np

14uh = fem.Function(V)

15uh.interpolate(lambda x: np.sin(np.pi*x[0])*np.sin(np.pi*x[1]))

17# gráfico da função

18import pyvista

19from dolfinx import plot

21topology, cell_types, geometry = plot.vtk_mesh(V)

22grid = pyvista.UnstructuredGrid(topology, cell_types, geometry)

23grid.point_data["uh"] = uh.x.array.real

24grid.set_active_scalars("uh")

26plotter = pyvista.Plotter()

27plotter.add_mesh(grid, show_edges=True)

28plotter.add_axes()

29plotter.view_xy()

30plotter.show()

31figure = plotter.screenshot("fig.png")

2.1.4 Exercícios

E. 2.1.1.

Mostre que o determinante da matriz de coeficientes do sistema (2.2) é $2|K|$ , onde $|K|$ é a área do triângulo $K$ .

E. 2.1.2.

Mostre que, para $K$ triângulo de vértices $N_{0}=(0,0)$ , $N_{1}=(1,0)$ e $N_{2}=(1,1)$ , a base nodal $P_{1}(K)=\operatorname{span}\{\lambda_{0},\lambda_{1},\lambda_{2}\}$ é dada por

	$\displaystyle\lambda_{0}(x,y)=1-x,$		(2.18)
	$\displaystyle\lambda_{1}(x,y)=x-y,$		(2.19)
	$\displaystyle\lambda_{2}(x,y)=y.$		(2.20)

Então, escreva a base nodal para um triângulo genérico $K$ , usando uma matriz de transformação afim.

E. 2.1.3.

Prove a Proposição 2.1.2. Dica: demonstração análoga a Proposição 1.1.2.

E. 2.1.4.

Considere a função $u(x,y)=\operatorname{sen}(\pi x)\cos(\pi y)$ definida no domínio $D=[0,1]^{2}$ . Calcule os erros de interpolação $\|u-\pi u\|_{L^{2}(\Omega)}$ e $\|D(u-\pi u)\|_{L^{2}(\Omega)}$ para diferentes refinamentos de malha. Estime a taxa de convergência do erro de interpolação.

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	$\displaystyle\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(K)}$	$\displaystyle\leq Ch_{K}^{2}\\|D^{2}f\\|_{L^{2}(K)},$		(2.9)
	$\displaystyle\\|D(f-\pi f)\\|_{L^{2}(K)}$	$\displaystyle\leq Ch_{K}\\|D^{2}f\\|_{L^{2}(K)}.$		(2.10)

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2.1 Malha e espaço

2.1.1 Malha

Exemplo 2.1.1.

2.1.2 Espaço dos polinômios afins

Interpolação

Proposição 2.1.1.(Erro da interpolação no espaço $P_{1}$ )

Demonstração.

Observação 2.1.1.(Malha regular)

2.1.3 Espaço contínuo dos polinômios afins por partes

Interpolação

Proposição 2.1.2.(Erro de interpolação em $V_{h}$ )

Demonstração.

Exemplo 2.1.2.

2.1.4 Exercícios

E. 2.1.1.

E. 2.1.2.

E. 2.1.3.

E. 2.1.4.

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2.1 Malha e espaço

2.1.1 Malha

Exemplo 2.1.1.

2.1.2 Espaço dos polinômios afins

Interpolação

Proposição 2.1.1.(Erro da interpolação no espaço P1)

Demonstração.

Observação 2.1.1.(Malha regular)

2.1.3 Espaço contínuo dos polinômios afins por partes

Interpolação

Proposição 2.1.2.(Erro de interpolação em Vh)

Demonstração.

Exemplo 2.1.2.

2.1.4 Exercícios

E. 2.1.1.

E. 2.1.2.

E. 2.1.3.

E. 2.1.4.

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Proposição 2.1.1.(Erro da interpolação no espaço $P_{1}$ )

Proposição 2.1.2.(Erro de interpolação em $V_{h}$ )