Método dos Elementos Finitos

1 Problemas unidimensionais 1 Problemas unidimensionais 1.2 Problema modelo

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1.1 Interpolação e projeção

Seja dado um intervalo $I=[x_{0},x_{1}]\subset\mathbb{R}$ , $x_{0}\neq x_{1}$ . O espaço vetorial das funções afins em $I$ é definido por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}P_{1}(I):=\{v% :\leavevmode\nobreak\ v(x)=c_{0}+c_{1}x,\leavevmode\nobreak\ x\in I,% \leavevmode\nobreak\ c_{0},c_{1}\in\mathbb{R}\}.

(1.1)

Observamos que dado $v\in P_{1}(I)$ , temos que $v$ é unicamente determinada pelos valores

		$\displaystyle\alpha_{0}=v(x_{0}),$		(1.2)
		$\displaystyle\alpha_{1}=v(x_{1}).$		(1.2)

Como consequência, existe exatamente uma única função $v\in P_{1}(I)$ para quaisquer dados valores $\alpha_{0}$ e $\alpha_{1}$ . Desta observação, introduzimos a chamada base nodal (base lagrangiana¹¹1Joseph-Louis Lagrange, 1736 - 1813, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Joseph-Louis Lagrange.) $\{\varphi_{0},\varphi_{1}\}$ para $P_{1}(I)$ , definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\varphi_{j}(x% _{i})=\left\{\begin{array}[]{ll}1&,i=j,\\ 0&,i\neq j\end{array}\right.,

(1.3)

com $i,j=0,1$ . Consulte a Figura 1.1.

Refer to caption — Figura 1.1: Base nodal para o espaço $P_{1}([x_{0},x_{1}])$ .

Com esta base, toda função $v\in P_{1}(I)$ pode ser escrita como uma combinação linear das funções $\varphi_{0}$ e $\varphi_{1}$ com coeficientes $\alpha_{0}$ e $\alpha_{1}$ (graus de liberdade), i.e.

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}v(x)=\alpha_{% 0}\varphi_{0}(x)+\alpha_{1}\varphi_{1}(x).

(1.4)

Além disso, observamos que

	$\displaystyle\varphi_{0}(x)=\frac{x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}},$		(1.5)
	$\displaystyle\varphi_{1}(x)=\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}.$		(1.6)

Uma extensão do espaço $P_{1}(I)$ é o espaço das funções afins por partes. Dado $I=[l_{0},l_{1}]$ , $l_{0}\neq l_{1}$ , consideramos uma partição (malha) de $I$ com $n+1$ pontos

\mathcal{I}=\{l_{0}=x_{0},x_{1},\dotsc,x_{n}=l_{1}\}

(1.7)

e, portanto, com $n$ células $I_{i}=[x_{i-1},x_{i}]$ de comprimento (tamanho da malha) $h_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ , $i=1,2,\dotsc,n$ . Na malha $\mathcal{I}$ definimos o seguinte espaço das funções afins por partes

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}V_{h}:=\{v:% \leavevmode\nobreak\ v\in C^{0}(\mathcal{I}),\leavevmode\nobreak\ v|_{I_{i}}% \in P_{1}(I_{i}),\leavevmode\nobreak\ i=1,2,\dotsc,n\}.

(1.8)

Observamos que toda função $v\in V_{h}$ é unicamente determinada por seus valores nodais $\{\alpha_{i}=v(x_{i})\}_{i=0}^{n}$ . Reciprocamente, todo conjunto de valores nodais $\{\alpha_{i}\}_{i=0}^{n}$ determina unicamente uma função $v\in V_{h}$ . Desta observação, temos que os valores nodais determinam os graus de liberdade com a base nodal $\{\varphi_{j}\}_{j=0}^{n}$ para $V_{h}$ definida pelas funções afins por partes tais que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\varphi_{j}(x% _{i})=\left\{\begin{array}[]{ll}1&,i=j,\\ 0&,i\neq j\end{array}\right.,

(1.9)

com $i,j=0,1,\dotsc,n$ . Ou seja, temos que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}v(x)=\sum_{j=% 0}^{n}\alpha_{j}\varphi_{j}(x).

(1.10)

Podemos verificar que

\varphi_{i}(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}(x-x_{i-1})/h_{i}&,x\in I_{i},\\ (x_{i+1}-x)/h_{i+1}&,x\in I_{i+1},\\ 0&,\text{noutros casos}\end{array}\right.

(1.11)

consulte, Figura 1.2. É notável que $\varphi_{i}(x)$ tem suporte compacto $I_{i}\cup I_{i+1}$ .

1.1.1 Interpolação

Interpolação é uma técnica de aproximação de funções. Dada uma função contínua $f$ em $I=[l_{0},l_{1}]$ , definimos o operador de interpolação $\pi:C^{0}(I)\to V_{h}$ por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pi f(x)=\sum% _{j=0}^{n}f(x_{j})\varphi_{j}(x)

(1.12)

Observamos que $\pi f(x)$ é igual a $f(x)$ nos nodos $x_{j}$ , $j=0,1,2,\dotsc,n$ .

Exemplo 1.1.1.

O Código 1 implementa a interpolação da função $f(x)=3\operatorname{sen}(2\pi x)$ no espaço de elementos finitos $V_{h}$ das funções afins por partes com $5$ células sobre o intervalo $I=[1/4,3/4]$ .

Código 1: mef1d_interp_lin.py

⬇

1from mpi4py import MPI

2import ufl

3from dolfinx import mesh, fem, io

5# malha

6l0, l1 = 0.25, 0.75

7domain = mesh.create_interval(MPI.COMM_WORLD, nx=5, points=[l0, l1])

8x = ufl.SpatialCoordinate(domain)

10# espaço (FEniCSx API)

11V = fem.functionspace(domain, ("Lagrange", 1))

13# função exata

14def fun(x, module=ufl):

15 return 3.0 * module.sin(2.0 * module.pi * x)

17# interpolação

18pif = fem.Function(V)

19pts = V.element.interpolation_points

20expr = fem.Expression(fun(x[0]), pts)

21pif.interpolate(expr)

23# store mesh and pif for later visualization in Paraview

24with io.XDMFFile(domain.comm, "mesh.xdmf", "w") as xdmf:

25 xdmf.write_mesh(domain)

26 xdmf.write_function(pif)

A visualização da função $\pi f$ pode ser feita usando o Paraview. Alternativamente, podemos usar o Matplotlib para esboçar os gráficos de $f$ e $\pi f$ em Python. O código para isso é mostrado a seguir e produz o gráfico da Figura 1.3.

⬇

1# gráfico

2import numpy as np

3import matplotlib.pyplot as plt

5# coordenadas e valores locais

6x_dofs_local = V.tabulate_dof_coordinates()[:, 0]

7pif_local = pif.x.array.real

9# junta em rank 0 (MPI-safe)

10comm = domain.comm

11all_x = comm.gather(x_dofs_local, root=0)

12all_y = comm.gather(pif_local, root=0)

13print(f"Rank {comm.rank}: {len(x_dofs_local)} dofs localmente")

15if comm.rank == 0:

16 x_dofs = np.concatenate(all_x)

17 y_dofs = np.concatenate(all_y)

19 # remove duplicatas de nós de fronteira entre partições

20 order = np.argsort(x_dofs)

21 x_dofs = x_dofs[order]

22 y_dofs = y_dofs[order]

23 x_unique, idx = np.unique(x_dofs, return_index=True)

24 y_unique = y_dofs[idx]

26 # gráfico

27 xx = np.linspace(l0, l1, 400)

28 fig, ax = plt.subplots()

29 ax.plot(xx, fun(xx, module=np), color="C0", label="$f$")

30 ax.plot(x_unique, y_unique, ls="-", marker="o", color="C1", label=r"$\pi f$")

32 ax.grid(True)

33 ax.set_xlabel("$x$")

34 ax.set_ylabel("$y$")

35 ax.legend()

37 plt.show()

Agora, vamos buscar medir o erro de interpolação, i.e. $f-\pi f$ . Para tanto, podemos usar a norma $L^{2}$ definida por

\|v\|_{L^{2}(I)}=\left(\int_{I}v^{2}\,dx\right)^{1/2}.

(1.13)

Lembramos que valem a desigualdade triangular

\|v+w\|_{L^{2}(I)}\leq\|v\|_{L^{2}(I)}+\|w\|_{L^{2}(I)}

(1.14)

e a desigualdade de Cauchy-Schwarz²²2Também conhecida como desigualdade de Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz. Augustin-Louis Cauchy, 1789 - 1857, matemático francês. Viktor Yakovlevich Bunyakovsky, 1804 - 1889, matemático Russo. Karl Hermann Amandus Schwarz, 1843 - 1921, matemático alemão.

\int_{I}vw\,dx\leq\|v\|_{L^{2}(I)}\|w\|_{L^{2}(I)},

(1.15)

para qualquer funções $v,w\in L^{2}(I)$ .

Proposição 1.1.1.(Erro de interpolação: $P_{1}(I)$ )

O interpolador $\pi f:C^{0}(I)\to P_{1}(I)$ satisfaz as estimativas

	$\displaystyle\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}$	$\displaystyle\leq Ch^{2}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I)},$		(1.16)
	$\displaystyle\\|(f-\pi f)^{\prime}\\|_{L^{2}(I)}$	$\displaystyle\leq Ch\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I)},$		(1.17)

onde $C$ é uma constante e $h=x_{1}-x_{0}$ .

Demonstração.

Denotemos o erro de interpolação por $e=f-\pi f$ . Do teorema fundamental do cálculo, temos

e(y)=e(x_{0})+\int_{x_{0}}^{y}e^{\prime}(x)\,dx,

(1.18)

onde $e(x_{0})=f(x_{0})-\pi f(x_{0})=0$ . Daí, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz (1.15), temos

$\displaystyle e(y)$	$\displaystyle=\int_{x_{0}}^{y}e^{\prime}\,dx$	(1.19)
	$\displaystyle\leq\int_{x_{0}}^{y}\left\|e^{\prime}\right\|\,dx$	(1.20)
	$\displaystyle\leq\int_{I}1\cdot\left\|e^{\prime}\right\|\,dx$	(1.21)
	$\displaystyle\leq\left(\int_{I}1^{2}\,dx\right)^{1/2}\left(\int_{I}\left(e^{% \prime}\right)^{2}\,dx\right)^{1/2}$	(1.22)
	$\displaystyle=h^{1/2}\left(\int_{I}\left(e^{\prime}\right)^{2}\,dx\right)^{1/2},$	(1.23)

donde

e(y)^{2}\leq h\int_{I}\left(e^{\prime}\right)^{2}\,dx=h\left\|e^{\prime}\right% \|_{L^{2}(I)}^{2}.

(1.24)

Então, integrando em $I$ obtemos

	$\displaystyle\\|e\\|_{L^{2}(I)}^{2}=\int_{I}e^{2}(y)\,dy$
	$\displaystyle\text{}\quad\leq\int_{I}h\left\\|e^{\prime}\right\\|_{L^{2}(I)}^{2}% \,dy=h^{2}\left\\|e^{\prime}\right\\|_{L^{2}(I)}^{2},$

ou seja, temos a seguinte desigualdade

\|e\|_{L^{2}(I)}\leq Ch\left\|e^{\prime}\right\|_{L^{2}(I)},

(1.25)

com $C=1$ .

Agora, observando que $e(x_{0})=e(x_{1})=0$ , o teorema de Rolle³³3Michel Rolle, 1652 - 1719, matemático francês. Fonte: Wikipédia: Michel Rolle. garante a existência de um ponto $\tilde{x}\in I$ tal que $e^{\prime}(\tilde{x})=0$ , donde do teorema fundamental do cálculo e da desigualdade de Cauchy-Schwarz, segue que

$\displaystyle e^{\prime}(y)$	$\displaystyle=e^{\prime}(\tilde{x})+\int_{\tilde{x}}^{y}e^{\prime\prime}\,dx$	(1.26)
	$\displaystyle=\int_{\tilde{x}}^{y}e^{\prime\prime}\,dx$	(1.27)
	$\displaystyle\leq\int_{I}1\cdot\left\|e^{\prime\prime}\right\|\,dx$	(1.28)
	$\displaystyle\leq h^{1/2}\left(\int_{I}\left(e^{\prime\prime}\right)^{2}\right% )^{1/2}.$	(1.29)

Então, elevando ao quadrado e integrando em $I$ , obtemos

\left\|e^{\prime}\right\|_{L^{2}(I)}^{2}\leq Ch^{2}\left\|e^{\prime\prime}% \right\|_{L^{2}(I)}^{2},

(1.30)

a qual, observando que $e^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}$ , equivale a segunda estimativa procurada, i.e.

\|(f-\pi f)^{\prime}\|_{L^{2}(I)}\leq Ch\|f^{\prime\prime}\|_{L^{2}(I)}.

(1.31)

Por fim, de (1.30) e de (1.25), obtemos a primeira estimativa desejada

\|f-\pi f\|_{L^{2}(I)}\leq Ch^{2}\|f^{\prime\prime}\|_{L^{2}(I)}.

(1.32)

∎

Vamos, agora, generalizar o resultado da Proposição 1.1.1 para a interpolação no espaço $V_{h}$ das funções lineares por parte.

O seguinte resultado fornece uma estimativa do erro de interpolação em relação ao tamanho $h_{i}$ de cada elemento da malha.

Proposição 1.1.2.(Erro de interpolação: $V_{h}$ )

O interpolador $\pi f$ satisfaz as estimativas

	$\displaystyle\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle\leq C\sum_{i=1}^{n}h_{i}^{4}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I_{i})}^% {2},$		(1.33)
	$\displaystyle\\|(f-\pi f)^{\prime}\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle\leq C\sum_{i=1}^{n}h_{i}^{2}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I_{i})}^% {2}.$		(1.34)

Demonstração.

Ambas desigualdades seguem da desigualdade triangular e da Proposição 1.1.1. Por exemplo, para a primeira desigualdade, temos

	$\displaystyle\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle\leq\sum_{i=1}^{n}\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I_{i})}^{2}$		(1.36)
		$\displaystyle\leq\sum_{i=1}^{n}Ch_{i}^{4}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I_{i})}^{% 2}.$		(1.37)

∎

Exemplo 1.1.2.(Estimativa da taxa do erro de interpolação)

A Tabela 1.1 apresenta uma análise numérica da convergência de malha na interpolação da função $f(x)=3\operatorname{sen}(2\pi x)$ no espaço $V_{h}$ das funções afins por partes. A estimativa da taxa de convergência $\alpha$ é dada assumindo que

\|f-\pi_{h}f\|_{L^{2}(I)}\approx Ch^{\alpha},

(1.38)

onde $\pi_{h}:C^{0}(I)\to V_{h}$ é o operador de interpolação e $h$ é o tamanho da malha. Assim, a taxa $\alpha$ pode ser estimada por

\alpha\approx\frac{\log(\|f-\pi_{h_{1}}f\|_{L^{2}(I)}/\|f-\pi_{h_{2}}f\|_{L^{2% }(I)})}{\log(h_{1}/h_{2})},

(1.39)

com $h_{1}$ e $h_{2}$ sendo dois tamanhos de malha distintos. Da Proposição 1.1.2, esperamos que $\alpha\approx 2$ .

Tabela 1.1: Análise da convergência de malha na interpolação da função

f(x)=3\operatorname{sen}(2\pi x)

no espaço

V_{h}

das funções afins por partes.

$n$	$h$	$\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}$	$\alpha$
$5$	$1.00\mathrm{e}\!-\!1$	$7.54\mathrm{e}\!-\!1$	—
$10$	$5.00\mathrm{e}\!-\!2$	$1.90\mathrm{e}\!-\!1$	$2.00$
$20$	$2.50\mathrm{e}\!-\!2$	$4.75\mathrm{e}\!-\!2$	$2.00$
$40$	$1.25\mathrm{e}\!-\!2$	$1.19\mathrm{e}\!-\!2$	$2.00$

O cálculo aproximado do erro $\|f-\pi f\|_{L^{2}(I)}$ pode ser feito pelo seguinte código.

Código 2: ex_mef1d_interp_lin_taxa.py

⬇

1from mpi4py import MPI

2import ufl

3import numpy as np

4import dolfinx.cpp as cpp

5from dolfinx import mesh, geometry, fem, io

7# malha

8l0, l1 = 0.25, 0.75

9domain = mesh.create_interval(MPI.COMM_WORLD, nx=5, points=[l0, l1])

10x = ufl.SpatialCoordinate(domain)

12# espaço (FEniCSx API)

13V = fem.functionspace(domain, ("Lagrange", 1))

15# função exata

16def fun(x, module=ufl):

17 return 3.0 * module.sin(2.0 * module.pi * x)

19# interpolação

20pif = fem.Function(V)

21pts = V.element.interpolation_points

22expr = fem.Expression(fun(x[0]), pts)

23pif.interpolate(expr)

25# avalia uma função u em um ponto arbitrário

26def fem_fun_eval(u, point, domain=domain, V=V):

27 point = np.asarray(point)

28 # encontra a célula que contém o ponto

29 bb_tree = geometry.bb_tree(domain, domain.topology.dim)

30 cell_candidates = geometry.compute_collisions_points(bb_tree, point)

31 colliding_cells = geometry.compute_colliding_cells(domain, cell_candidates, point)

33 # avalia a função na célula encontrada (se houver)

34 if len(colliding_cells.links(0)) > 0:

35 cell = colliding_cells.links(0)[0]

36 # Evaluate at point

37 u_val = u.eval(point, [cell])

38 return u_val[0] # retorna o valor escalar

39 else:

40 return None # ponto fora do domínio ou não encontrado na partição local

43# estimativa da taxa de convergência usando os pontos de interpolação

44xx = np.linspace(l0, l1, 100)

45fun_vals = fun(xx, module=np)

47pif_vals = np.empty_like(xx)

48for i, pt in enumerate(xx):

49 val = fem_fun_eval(pif, [[pt,0,0]])

50 pif_vals[i] = val

52l2err = np.linalg.norm(fun_vals - pif_vals)

54# h_max da malha (compatível com versões recentes do dolfinx)

55tdim = domain.topology.dim

56num_cells_local = domain.topology.index_map(tdim).size_local

57cells_local = np.arange(num_cells_local, dtype=np.int32)

59# Compatibilidade entre versões do dolfinx

60if hasattr(mesh, "h"):

61 h_local = mesh.h(domain, tdim, cells_local)

62else:

63 h_local = cpp.mesh.h(domain._cpp_object, tdim, cells_local)

65hmax_local = np.max(h_local) if h_local.size > 0 else 0.0

66hmax = domain.comm.allreduce(hmax_local, op=MPI.MAX)

68print(f"Erro L2 da interpolação: {l2err:.2e}, h = {hmax:.4e}")

1.1.2 Projeção $L^{2}$

Dada uma função $f\in L^{2}(I)$ , definimos o operador de projeção $L^{2}$ $P_{h}:L^{2}(I)\to V_{h}$ por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{I}(f-P_% {h}f)v\,dx=0,\quad\forall v\in V_{h}.

(1.40)

Como $V_{h}=\operatorname{span}\{\varphi_{i}\}_{i=0}^{n}$ é um espaço de dimensão finita ( $\dim\left(V_{h}\right)=n+1$ ), a condição (1.40) é equivalente a

\int_{I}(f-P_{h}f)\varphi_{i}\,dx=0,

(1.41)

para todo $i=0,1,\cdots,n$ . Além disso, como $P_{h}f\in V_{h}$ , temos

P_{h}f=\sum_{j=0}^{n}\xi_{j}\varphi_{j},

(1.42)

onde $\xi_{j}$ , $j=0,1,\dotsc,n$ , são $n+1$ incógnitas a determinar. Logo,

	$\displaystyle\int_{I}(f-P_{h}f)\varphi_{i}\,dx=0$		(1.43)
	$\displaystyle\int_{I}f\varphi_{i}\,dx=\int_{I}P_{h}f\varphi_{i}\,dx$		(1.44)
	$\displaystyle\int_{I}f\varphi_{i}\,dx=\int_{I}\left(\sum_{j=0}^{n}\xi_{j}% \varphi_{j}\right)\varphi_{i}\,dx$		(1.45)
	$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\xi_{j}\int_{I}\varphi_{j}\varphi_{i}\,dx=\int_{I}f% \varphi_{i}\,dx,$		(1.46)

para $i=0,1,\dotsc,n$ .

Observamos que (1.46) consiste em um sistema de $n+1$ equações lineares para as $n+1$ incógnitas $\xi_{j}$ , $j=0,1,\dotsc,n$ . Este, por sua vez, pode ser escrito na seguinte forma matricial

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}M\boldsymbol{% \xi}=\boldsymbol{b},

(1.47)

onde $M=[m_{i,j}]_{i,j=0}^{n+1}$ é chamada de matriz de massa

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}m_{i,j}=\int_% {I}\varphi_{j}\varphi_{i}\,dx,

(1.48)

o vetor das incógnitas é $\boldsymbol{\xi}=(\xi_{0},\xi_{1},\dotsc,\xi_{n})$ e $\boldsymbol{b}=(b_{0},b_{1},\dotsc,b_{n})$ é chamado de vetor de carga

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}b_{i}=\int_{I% }f\varphi_{i}\,dx.

(1.49)

Ou seja, a projeção $L^{2}$ de $f$ no espaço $V_{h}$ é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}P_{h}f=\sum_{% j=0}^{n}\xi_{j}\varphi_{j},

(1.50)

onde $\boldsymbol{\xi}=(\xi_{0},\xi_{1},\dotsc,\xi_{n})$ é solução do sistema (1.47).

Exemplo 1.1.3.

A Figura 1.4 ilustra a projeção $L^{2}$ da função $f(x)=3\operatorname{sen}(2\pi x)$ no espaço $V_{h}$ das funções lineares por partes em uma malha uniforme do intervalo $I=[1/4,3/4]$ com $n=5$ células. A projeção é obtida pela solução do sistema linear (1.47) usando o Código 3.

Código 3: ex_mef1d_proj.py

⬇

1from mpi4py import MPI

2import ufl

3import numpy as np

4from dolfinx import mesh, fem

5from dolfinx.fem.petsc import LinearProblem

7# malha

8l0, l1 = 0.25, 0.75

9domain = mesh.create_interval(MPI.COMM_WORLD, nx=5, points=[l0, l1])

10x = ufl.SpatialCoordinate(domain)

12# espaço (FEniCSx API)

13V = fem.functionspace(domain, ("Lagrange", 1))

15# função exata

16def fun(x, module=ufl):

17 return 3.0 * module.sin(2.0 * module.pi * x)

19# projeção

20u = ufl.TrialFunction(V)

21v = ufl.TestFunction(V)

22a = ufl.dot(u, v) * ufl.dx

23L = ufl.dot(fun(x[0]), v) * ufl.dx

24problem = LinearProblem(a, L, bcs=[],

25 petsc_options_prefix="projecao")

26phf = problem.solve()

O próximo teorema mostra que $P_{h}f$ é a função que melhor aproxima $f$ dentre todas as funções do espaço $V_{h}$ .

Teorema 1.1.1.(A melhor aproximação)

A projeção $L^{2}$ satisfaz

\|f-P_{h}f\|_{L^{2}(I)}\leq\|f-v\|_{L^{2}(I)},\quad\forall v\in V_{h}.

(1.51)

Demonstração.

Dado $v\in V_{h}$ , temos

	$\displaystyle\\|f-P_{h}f\\|_{L^{2}(I)}^{2}=\int_{I}\|f-P_{h}f\|^{2}\,dx$		(1.52)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{I}(f-P_{h}f)(f-v+v-P_{h}f)\,dx$		(1.53)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{I}(f-P_{h}f)(f-v)\,dx+\underbrace{\int_{I}(f-P% _{h}f)(v-P_{h}f)\,dx}_{=0}$		(1.54)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{I}(f-P_{h}f)(f-v)\,dx$		(1.55)
	$\displaystyle\text{}\quad\leq\\|f-P_{h}f\\|_{L^{2}(I)}\\|f-v\\|_{L^{2}(I)},$		(1.56)

donde segue o resultado. ∎

O próximo teorema fornece uma estimativa a-priori do erro $\|f-P_{h}f\|_{L^{2}(I)}$ em relação ao tamanho da malha.

Teorema 1.1.2.(Erro de projeção)

A projeção $L^{2}$ satisfaz

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\|f-P_{h}f\|_% {L^{2}(I)}^{2}\leq C\sum_{i=1}^{n}h_{i}^{4}\|f^{\prime\prime}\|_{L^{2}(I_{i})}% ^{2}.

(1.57)

Demonstração.

Tomando a interpolação $\pi f\in V_{h}$ , temos do Teorema da melhor aproximação (Teorema 1.1.1) e da estimativa do erro de interpolação (Proposição 1.1.2) que

	$\displaystyle\\|f-P_{h}f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle\leq\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$		(1.58)
		$\displaystyle\leq C\sum_{i=1}^{n}h_{i}^{4}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I_{i})}^% {2}.$		(1.59)

∎

Exemplo 1.1.4.(Estimativa da taxa do erro de projeção)

A Tabela 1.2 apresenta uma análise numérica da convergência de malha na projeção $L^{2}$ da função $f(x)=3\operatorname{sen}(2\pi x)$ no espaço $V_{h}$ das funções afins por partes. A estimativa da taxa de convergência $\alpha$ é dada assumindo que

\|f-P_{h}f\|_{L^{2}(I)}\approx Ch^{\alpha}.

(1.60)

Verifique!

Tabela 1.2: Análise da convergência de malha na projeção

L^{2}

da função

f(x)=3\operatorname{sen}(2\pi x)

no espaço

V_{h}

das funções afins por partes.

$n$	$h$	$\\|f-P_{h}f\\|_{L^{2}(I)}$	$\alpha$
$5$	$1.00\mathrm{e}\!-\!1$	$3.42\mathrm{e}\!-\!1$	—
$10$	$5.00\mathrm{e}\!-\!2$	$8.36\mathrm{e}\!-\!2$	$2.03$
$20$	$2.50\mathrm{e}\!-\!2$	$2.15\mathrm{e}\!-\!2$	$1.96$
$40$	$1.25\mathrm{e}\!-\!2$	$5.10\mathrm{e}\!-\!3$	$2.08$

1.1.3 Exercícios

E. 1.1.1.

Faça um código para verificar as estimativas da Proposição 1.1.1 para o caso da interpolação da função $f(x)=3\operatorname{sen}(2\pi x)$ no espaço $P_{1}$ das funções lineares.

E. 1.1.2.

Faça um código para verificar as estimativas da Proposição 1.1.2 no caso da interpolação da função $f(x)=3\operatorname{sen}(2\pi x)$ no espaço $V_{h}$ das funções lineares por partes.

E. 1.1.3.

Faça um código para interpolar a função $f(x)=3\operatorname{sen}(2\pi x)$ no espaço das funções quadráticas

P_{2}(I)=\{v:\leavevmode\nobreak\ v(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2},\leavevmode% \nobreak\ x\in I,\leavevmode\nobreak\ c_{0},c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}\}.

(1.61)

Então, verifique as estimativas de erro de interpolação para este caso.

E. 1.1.4.

Faça um código para interpolar a função $f(x)=3\operatorname{sen}(2\pi x)$ no espaço das funções quadráticas por partes

V_{h,2}=\{v:\leavevmode\nobreak\ v\in C^{0}(\mathcal{I}),\leavevmode\nobreak\ % v|_{I_{i}}\in P_{2}(I_{i}),\leavevmode\nobreak\ i=1,2,\dotsc,n\}.

(1.62)

Então, verifique as estimativas de erro de interpolação para este caso.

E. 1.1.5.

Faça um código para computar a projeção $L^{2}$ $P_{h}f$ da função $f(x)=x-\cos(x)$ no espaço $V_{h}$ das funções lineares por partes em uma malha com $n$ células no intervalo $I=[0,\pi]$ . Para $n=10$ , faça o esboço dos gráficos de $f$ e $P_{h}f$ e compute o erro $\|f-P_{h}f\|_{L^{2}(I)}$ . Estime a taxa de convergência do erro.

E. 1.1.6.

Faça um código para computar a projeção $L^{2}$ $P_{h}f$ da função $f(x)=x-\cos(x)$ no espaço $V_{h,2}$ das funções quadráticas por partes em uma malha com $n$ células no intervalo $I=[0,\pi]$ . Para $n=10$ , faça o esboço dos gráficos de $f$ e $P_{h}f$ e compute o erro $\|f-P_{h}f\|_{L^{2}(I)}$ . Estime a taxa de convergência do erro.

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	$\displaystyle\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}$	$\displaystyle\leq Ch^{2}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I)},$		(1.16)
	$\displaystyle\\|(f-\pi f)^{\prime}\\|_{L^{2}(I)}$	$\displaystyle\leq Ch\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I)},$		(1.17)

	$\displaystyle\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle\leq C\sum_{i=1}^{n}h_{i}^{4}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I_{i})}^% {2},$		(1.33)
	$\displaystyle\\|(f-\pi f)^{\prime}\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle\leq C\sum_{i=1}^{n}h_{i}^{2}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I_{i})}^% {2}.$		(1.34)

	$\displaystyle\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle\leq\sum_{i=1}^{n}\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I_{i})}^{2}$		(1.36)
		$\displaystyle\leq\sum_{i=1}^{n}Ch_{i}^{4}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I_{i})}^{% 2}.$		(1.37)

	$\displaystyle\\|f-P_{h}f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle\leq\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$		(1.58)
		$\displaystyle\leq C\sum_{i=1}^{n}h_{i}^{4}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I_{i})}^% {2}.$		(1.59)

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Método dos Elementos Finitos

1.1 Interpolação e projeção

1.1.1 Interpolação

Exemplo 1.1.1.

Proposição 1.1.1.(Erro de interpolação: $P_{1}(I)$ )

Demonstração.

Proposição 1.1.2.(Erro de interpolação: $V_{h}$ )

Demonstração.

Exemplo 1.1.2.(Estimativa da taxa do erro de interpolação)

1.1.2 Projeção $L^{2}$

Exemplo 1.1.3.

Teorema 1.1.1.(A melhor aproximação)

Demonstração.

Teorema 1.1.2.(Erro de projeção)

Demonstração.

Exemplo 1.1.4.(Estimativa da taxa do erro de projeção)

1.1.3 Exercícios

E. 1.1.1.

E. 1.1.2.

E. 1.1.3.

E. 1.1.4.

E. 1.1.5.

E. 1.1.6.

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1.1 Interpolação e projeção

1.1.1 Interpolação

Exemplo 1.1.1.

Proposição 1.1.1.(Erro de interpolação: P1⁢(I))

Demonstração.

Proposição 1.1.2.(Erro de interpolação: Vh)

Demonstração.

Exemplo 1.1.2.(Estimativa da taxa do erro de interpolação)

1.1.2 Projeção L2

Exemplo 1.1.3.

Teorema 1.1.1.(A melhor aproximação)

Demonstração.

Teorema 1.1.2.(Erro de projeção)

Demonstração.

Exemplo 1.1.4.(Estimativa da taxa do erro de projeção)

1.1.3 Exercícios

E. 1.1.1.

E. 1.1.2.

E. 1.1.3.

E. 1.1.4.

E. 1.1.5.

E. 1.1.6.

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Proposição 1.1.1.(Erro de interpolação: $P_{1}(I)$ )

Proposição 1.1.2.(Erro de interpolação: $V_{h}$ )

1.1.2 Projeção $L^{2}$