Método dos Elementos Finitos

2 Problemas bidimensionais 2.1 Malha e espaço 2.3 Malha adaptativa baseada no resíduo

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2.2 Problema modelo

Vamos estudar a aplicação do método de elementos finitos a equação de Poisson⁷⁷7Siméon Denis Poisson, 1781 - 1840, matemático francês. Fonte: Wikipédia:Siméon Denis Poisson. com condições de Dirichlet⁸⁸8Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805 - 1859, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet., que usaremos como um problema modelo. Mais precisamente, definimos o chamdo problema forte: encontrar $u$ tal que

	$\displaystyle-\Delta u=f,\leavevmode\nobreak\ (x,y)\in\Omega:=[0,1]^{2},$		(2.31)
	$\displaystyle u=0,\leavevmode\nobreak\ (x,y)\in\partial\Omega,$		(2.32)

onde $\Delta=\partial^{2}/\partial x^{2}+\partial^{2}/\partial y^{2}$ é o operador de Laplace⁹⁹9Pierre-Simon Laplace, 1749 - 1827, matemático francês. Fonte: Wikipédia: Pierre-Simon Laplace. e $f$ é uma função dada.

2.2.1 Formulação Fraca

A aplicação do método de elementos finitos é construída sobre a formulação fraca do problema (2.31)-(2.32). Para a obtermos, multiplicamos (2.31) por uma função teste $v$ em um espaço adequado $V_{0}$ e integramos no domínio $\Omega$ , obtendo

-\int_{\Omega}\Delta u\,v\,dx=\int_{\Omega}fv\,dx.

(2.33)

Então, no lado esquerdo, aplicamos a fórmula de Green¹⁰¹⁰10George Green, 1793 - 1841, matemático britânico. Fonte: Wikipédia:George Green .

\int_{\Omega}\Delta u\,v\,dx=-\int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla v\,dx+\int_{% \partial\Omega}\left(\boldsymbol{n}\cdot\nabla u\right)v\,ds.

(2.34)

donde temos

\int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla v\,dx-\int_{\partial\Omega}\left(\boldsymbol{% n}\cdot\nabla u\right)v\,ds=\int_{\Omega}fv\,dx.

(2.35)

Então, observando critérios de regularidade e a condição de contorno (2.32), escolhemos o espaço teste

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}V_{0}:=\{v\in H% ^{1}(\Omega):\leavevmode\nobreak\ v|_{\partial\Omega}=0\}.

(2.36)

Lembramos que $H^{1}(\Omega)=\{v:\leavevmode\nobreak\ \|v\|_{L^{2}(\Omega)}+\|\nabla v\|_{L^{% 2}(\Omega)}<\infty\}$ .

Com isso, temos o seguinte problema fraco associado a (2.31)-(2.32): encontrar $u\in V_{0}$ tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}a(u,v)=L(v),% \leavevmode\nobreak\ \forall v\in V_{0},

(2.37)

onde $a(u,v)$ é chamada de forma bilinear e definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}a(u,v):=\int_% {\Omega}\nabla u\cdot\nabla v\,dx

(2.38)

e $L(v)$ é chamada de forma linear e definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}L(v):=\int_{% \Omega}fv\,dx.

(2.39)

2.2.2 Formulação de Elementos Finitos

A formulação de elementos finitos é obtida da formulação fraca (2.37) pela aproximação do espaço teste $V_{0}$ por uma espaço de dimensão finita. Tomando uma triangulação $\mathcal{K}\subset\Omega$ e considerando o espaço contínuo dos polinômios afins por partes

V_{h}:=\{v:\leavevmode\nobreak\ v\in C^{0}(\Omega),v|_{K}\in P_{1}(K)% \leavevmode\nobreak\ \forall K\in\mathcal{K}\},

(2.40)

assumimos o espaço de elementos finitos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}V_{h,0}:=\{v% \in V_{h}:\leavevmode\nobreak\ v|_{\partial\Omega}=0\}.

(2.41)

Com isso, temos o seguinte problema de elementos finitos associado (2.37): encontrar $u_{h}\in V_{h,0}$ tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}a(u_{h},v_{h}% )=L(v_{h}),\leavevmode\nobreak\ \forall v_{h}\in V_{h,0}.

(2.42)

Observemos que (2.42) é equivalente ao problema de encontrar $u_{h}\in V_{h,0}$ tal que

a(u_{h},\varphi_{i})=L(\varphi_{i}),

(2.43)

com $i=0,1,\cdots,n_{\text{in}}-1$ , onde $\{\varphi_{i}\}_{i=0}^{n_{\text{in}}-1}$ é a base nodal de $V_{h,0}$ e $n_{\text{in}}$ é o número de funções bases (igual ao número de nodos internos da triangulação $\mathcal{K}$ ). Ainda, como

u_{h}=\sum_{j=0}^{n_{\text{in}}-1}\xi_{j}\varphi_{j},

(2.44)

temos

	$\displaystyle a(u_{h},\varphi_{i})$	$\displaystyle=a\left(\sum_{j=0}^{n_{\text{in}}-1}\xi_{j}\varphi_{j},\varphi_{i% }\right)$		(2.45)
		$\displaystyle=\sum_{j=0}^{n_{\text{in}}-1}\xi_{j}a(\varphi_{j},\varphi_{i}).$		(2.46)

Com isso, o problema de elementos finitos é equivalente a resolver o seguinte sistema linear

\sum_{j=0}^{n_{i}-1}\xi_{j}a(\varphi_{j},\varphi_{i})=L(\varphi_{i}),% \leavevmode\nobreak\ i=0,1,\cdots,n_{i}-1,

(2.47)

para as incógnitas $\xi_{j}$ , $j=0,1,\cdots,n_{\text{in}}-1$ . Ou, equivalentemente, temos sua forma matricial

A\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{b},

(2.48)

onde $A=[a_{i,j}]_{i,j=0}^{n_{i}-1}$ é chamada de matriz de rigidez com

a_{i,j}=a(\varphi_{j},\varphi_{i})

(2.49)

e $\boldsymbol{b}=(b_{0},b_{1},\cdots,b_{n_{i}-1})$ é o vetor de carga com

b_{i}=L(\varphi_{i}).

(2.50)

Exemplo 2.2.1.

Consideremos o seguinte problema de Poisson

	$\displaystyle-\Delta u=2\pi^{2}\operatorname{sen}(\pi x)\operatorname{sen}(\pi y% ),\leavevmode\nobreak\ x\in\Omega:=(0,1)^{2},$		(2.51)
	$\displaystyle u=0,\leavevmode\nobreak\ x\in\partial\Omega.$		(2.52)

A solução exata deste problema é dada por $u(x,y)=\operatorname{sen}(\pi x)\operatorname{sen}(\pi y)$ . Na Figura 2.4 temos um esboço da aproximação de elementos finitos obtida em uma malha uniforme com $16\times 16$ nodos. As isolinhas correspondem à solução exata $u$ .

Refer to caption — Figura 2.4: Solução de elementos finitos versus solução analítica do problema do Exemplo 2.2.1.

O seguinte Código 16 computa a solução de elementos finitos deste problema. Verifique!

Código 16: mef2d_pm.py

⬇

1from mpi4py import MPI

3# malha

4from dolfinx import mesh

5domain = mesh.create_unit_square(MPI.COMM_WORLD,

6 nx = 16, ny=16)

7# espaço

8from dolfinx import fem

9V = fem.functionspace(domain, ('P', 1))

11# condição de contorno

12import numpy as np

13uD = fem.Function(V)

14uD.interpolate(lambda x: np.full(x.shape[1], 0.))

16tdim = domain.topology.dim

17fdim = tdim - 1

18domain.topology.create_connectivity(fdim, tdim)

19boundary_facets = mesh.exterior_facet_indices(domain.topology)

20boundary_dofs = fem.locate_dofs_topological(V, fdim,

21 boundary_facets)

22bc = fem.dirichletbc(uD, boundary_dofs)

24# problema mef

25import ufl

26from dolfinx import default_scalar_type

27from dolfinx.fem.petsc import LinearProblem

28u = ufl.TrialFunction(V)

29v = ufl.TestFunction(V)

31# termo de fonte

32x = ufl.SpatialCoordinate(domain)

33f = 2 * ufl.pi**2 * ufl.sin(ufl.pi * x[0]) * ufl.sin(ufl.pi * x[1])

35# forma bilinear

36a = ufl.dot(ufl.grad(u), ufl.grad(v)) * ufl.dx

38# forma linear

39L = f * v * ufl.dx

41# problema linear

42problem = LinearProblem(a, L, bcs=[bc],

43 petsc_options_prefix="ex_mef2d_modelo")

44uh = problem.solve()

2.2.3 Análise de elementos finitos

Vamos estudar os fundamentos da análise de elementos finitos para o problema modelo (2.31)-(2.32). Vamos estabelecer a existência e unicidade da solução do problema de elementos finitos (2.42) e, posteriormente, obter uma estimativas a priori e a posteriori do erro $\||u-u_{h}\||_{L^{2}(\Omega)}$ .

Existência e unicidade

Para mostrarmos a existência e unicidade da solução de elementos finitos, precisamos do seguinte resultado sobre a matriz de rigidez.

Lema 2.2.1.(Matriz positiva definida)

A matriz de rigidez é positiva definida.

Demonstração.

A matriz de rigidez $A=[a(\varphi_{j},\varphi_{i})]_{ij=0}^{n_{\text{in}}-1}$ é obviamente simétrica. Além disso, para todo $\boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^{n_{\text{in}}}$ , $\boldsymbol{\xi}\neq 0$ , temos

	$\displaystyle\boldsymbol{\xi}^{T}A\boldsymbol{\xi}=\sum_{i,j=0}^{n_{\text{in}}% -1}\xi_{j}a(\varphi_{j},\varphi_{i})\xi_{i}$		(2.53)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sum_{i,j=0}^{n_{\text{in}}-1}\xi_{j}\int_{\Omega}% \nabla\varphi_{j}\cdot\nabla\varphi_{i}\,dx\,\xi_{i}$		(2.54)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{\Omega}\nabla\left(\sum_{j=0}^{n_{\text{in}}-1% }\xi_{j}\varphi_{j}\right)\cdot\nabla\left(\sum_{i=0}^{n_{\text{in}}-1}\xi_{i}% \varphi_{i}\right)\,dx$		(2.55)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left\\|\nabla\left(\sum_{j=0}^{n_{\text{in}}-1}\xi_{% j}\varphi_{j}\right)\right\\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}.$		(2.56)

Portanto, $\boldsymbol{\xi}^{T}A\boldsymbol{\xi}\geq 0$ e é nulo se, e somente se, $v=\sum_{j=0}^{n_{\text{in}}-1}\xi_{j}\varphi_{j}$ for constante. Como $v\in V_{h,0}$ , temos que $v$ constante implica $v\equiv 0$ , mas então $\boldsymbol{\xi}=0$ , o que é uma contradição. Logo, $\boldsymbol{\xi}^{T}A\boldsymbol{\xi}>0$ para todo $\boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^{n_{\text{in}}}$ , $\boldsymbol{\xi}\neq 0$ . ∎

Teorema 2.2.1.(Existência e unicidade)

O problema de elementos finitos (2.42) tem solução única.

Demonstração.

O problema de elementos finitos (2.42) se resume a resolver o sistema linear $A\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{b}$ . Do Lema 2.2.1, temos que $A$ é uma matriz definida positiva e, portanto, invertível. Daí segue, imediatamente, que o problema (2.42) tem solução única. ∎

Estimativa a priori do erro

Teorema 2.2.2.(Ortogonalidade de Galerkin)

A solução $u_{h}$ do problema de elementos finitos (2.42) satisfaz

a(u-u_{h},v_{h})=0,\leavevmode\nobreak\ \forall v_{h}\in V_{h,0},

(2.57)

onde $u$ é a solução do problema fraco (2.37).

Demonstração.

Segue, imediatamente, do fato de que $V_{h,0}\subset V_{0}$ e, portanto,

a(u,v_{h})=L(v_{h}),\leavevmode\nobreak\ \forall v_{h}\in V_{h,0},

(2.58)

bem como

a(u_{h},v_{h})=L(v_{h}),\leavevmode\nobreak\ \forall v_{h}\in V_{h,0}.

(2.59)

∎

No decorrer do texto, vamos usar a norma da energia, definida por

\|v\|_{E}:=\left(\int_{\Omega}\nabla v\cdot\nabla v\,dx\right)^{1/2}=\|\nabla v% \|_{L^{2}(\Omega)},

(2.60)

para todo $v\in V_{0}$ . Nesta norma, a solução de elementos finitos $u_{h}$ é a melhor aproximação da solução exata $u$ no espaço $V_{h,0}$ , como mostra o seguinte resultado.

Teorema 2.2.3.(Melhor aproximação)

A solução $u_{h}$ do problema de elementos finitos satisfaz

\|u-u_{h}\|_{E}\leq\|u-v_{h}\|_{E},\leavevmode\nobreak\ \forall v_{h}\in V_{h,% 0}.

(2.61)

Demonstração.

Observando que $u-u_{h}=u-v_{h}+v_{h}-u_{h}$ e usando a ortogonalidade de Galerkin (Teorema 2.2.2), temos:

	$\displaystyle\\|u-u_{h}\\|_{E}^{2}=\int_{\Omega}\nabla(u-u_{h})\cdot\nabla(u-u_{% h})\,dx$		(2.62)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{\Omega}\nabla(u-u_{h})\cdot\nabla(u-v_{h})\,dx$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\int_{\Omega}\nabla(u-u_{h})\cdot\nabla(v_{h}-u_{h}% )\,dx$		(2.63)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{\Omega}\nabla(u-u_{h})\cdot\nabla(u-v_{h})\,dx$		(2.64)
	$\displaystyle\text{}\quad=\\|\nabla(u-u_{h})\\|_{L^{2}(\Omega)}\\|\nabla(u-v_{h})% \\|_{L^{2}(\Omega)}$		(2.65)
	$\displaystyle\text{}\quad=\\|u-u_{h}\\|_{E}\\|u-v_{h}\\|_{E}.$		(2.66)

∎

Teorema 2.2.4.(Estimativa a priori)

A solução $u_{h}$ do problema de elementos finitos (2.42) satisfaz

\|u-u_{h}\|_{E}^{2}\leq C\sum_{K\in\mathcal{K}}h_{K}^{2}\|D^{2}u\|_{L^{2}(K)}^% {2}.

(2.67)

Demonstração.

Do resultado da melhor aproximação (Teorema 2.2.3) e da estimativa do erro de interpolação (Proposição 2.1.2), segue que

	$\displaystyle\\|u-u_{h}\\|_{E}^{2}\leq\\|u-\pi u\\|_{E}^{2}$		(2.68)
	$\displaystyle\text{}\quad=\\|D(u-\pi u)\\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}$		(2.69)
	$\displaystyle\text{}\quad\leq C\sum_{K\in\mathcal{K}}h_{K}^{2}\\|D^{2}u\\|_{L^{2% }(K)}^{2}.$		(2.70)

∎

Para obtermos uma estimativa na norma $L^{2}(\Omega)$ , podemos usar a desigualdade de Poincaré.

Teorema 2.2.5.(Desigualdade de Poincaré)

Seja $\Omega\subset\mathbb{R}^{2}$ um domínio limitado. Então, existe uma constante $C=C(\Omega)$ , tal que

\|v\|_{L^{2}(\Omega)}\leq C\|\nabla v\|_{L^{2}(\Omega)},\leavevmode\nobreak\ % \forall v\in V_{0}.

(2.71)

Demonstração.

Se $\Omega$ tem contorno suficientemente suave, então existe $\phi$ tal que $-\Delta\phi=1$ em $\Omega$ com $\sup_{x\in\Omega}|\nabla\phi|<C$ . Com isso, temos

	$\displaystyle\\|v\\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}=\int_{\Omega}v^{2}\,dx$		(2.72)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\int_{\Omega}v^{2}\Delta\phi\,dx.$		(2.73)

Agora, usando o Teorema de Green¹¹¹¹11George Green, 1793 - 1841, matemático britânico. Fonte: Wikipédia:George Green . e a desigualdade de Cauchy¹²¹²12Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857, matemático francês. Fonte: Wikipédia: Augustin-Louis Cauchy.-Schwarz¹³¹³13Karl Hermann Amandus Schwarz, 1843-1921, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Hermann Amandus Schwarz., obtemos

$\displaystyle\\|v\\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}$	$\displaystyle=-\int_{\partial\Omega}v^{2}(\boldsymbol{n}\cdot\nabla\phi)\,ds+% \int_{\Omega}\nabla v^{2}\cdot\nabla\phi\,dx$	(2.74)
	$\displaystyle=\int_{\Omega}2v\nabla v\cdot\nabla\phi\,dx$	(2.75)
	$\displaystyle\leq 2\sup_{x\in\Omega}\|\nabla\phi\|\\|v\\|_{L^{2}(\Omega)}\\|\nabla v% \\|_{L^{2}(\Omega)}.$	(2.76)

∎

Com a desigualdade de Poincaré e da estimativa a priori do erro (Teorema 2.2.4), temos

\|u-u_{h}\|_{L^{2}(\Omega)}\leq Ch\|D^{2}u\|_{L^{2}(\Omega)},

(2.77)

onde $h$ é o tamanho global da malha . Entretanto, esta estimativa pode ser melhorada.

Teorema 2.2.6.(Estimativa ótima a priori do erro)

A solução $u_{h}$ do problema de elementos finitos (2.42) satisfaz

\|u-u_{h}\|_{L^{2}(\Omega)}\leq Ch^{2}\|D^{2}u\|_{L^{2}(\Omega)}.

(2.78)

Demonstração.

Seja $e=u-u_{h}$ o erro e $\phi$ a solução do problema dual (ou problema adjunto)

	$\displaystyle-\Delta\phi=e,\leavevmode\nobreak\ \forall x\in\Omega$		(2.79)
	$\displaystyle\leavevmode\nobreak\ \phi=0,\leavevmode\nobreak\ \forall x\in% \partial\Omega.$		(2.80)

Então, usando a fórmula de Green¹⁴¹⁴14George Green, 1793 - 1841, matemático britânico. Fonte: Wikipédia:George Green ., a ortogonalidade de Galerkin¹⁵¹⁵15Boris Galerkin, 1871 - 1945, engenheiro e matemático soviético. Fonte: Wikipédia. e, então, a desigualdade de Cauchy¹⁶¹⁶16Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857, matemático francês. Fonte: Wikipédia: Augustin-Louis Cauchy.-Schwarz¹⁷¹⁷17Karl Hermann Amandus Schwarz, 1843-1921, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Hermann Amandus Schwarz., temos

	$\displaystyle\\|e^{2}\\|_{L^{2}(\Omega)}=-\int_{\Omega}e\Delta\phi\,dx$		(2.81)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{\Omega}\nabla e\cdot\nabla\phi\,dx-\int_{% \partial\Omega}e\,(\boldsymbol{n}\cdot\nabla\phi)\,ds$		(2.82)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{\Omega}\nabla e\cdot\nabla(\phi-\pi\phi)\,dx$		(2.83)
	$\displaystyle\text{}\quad\leq\\|\nabla e\\|_{L^{2}(\Omega)}\\|\nabla(\phi-\pi\phi% )\\|_{L^{2}(\Omega)}.$		(2.84)

Da estimativa a priori (2.77), temos

\|\nabla e\|_{L^{2}(\Omega)}\leq Ch\|D^{2}u\|_{L^{2}(\Omega)}.

(2.85)

Agora, da regularidade elíptica $\|D^{2}\phi\|_{L^{2}(\Omega)}\leq C\|\Delta\phi\|_{L^{2}(\Omega)}$ [4, Seção 6.3] e da estimativa do erro de interpolação (Proposição 2.1.2), temos

	$\displaystyle\\|\nabla(\phi-\pi\phi)\\|_{L^{2}(\Omega)}\leq Ch\\|D^{2}\phi\\|_{L^{% 2}(\Omega)}$		(2.86)
	$\displaystyle\text{}\quad\leq Ch\\|\Delta\phi\\|_{L^{2}(\Omega)}$		(2.87)
	$\displaystyle\text{}\quad\leq Ch\\|e\\|_{L^{2}(\Omega)}.$		(2.88)

Então, temos

\|e\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}\leq Ch\|D^{2}u\|_{L^{2}(\Omega)}Ch\|e\|_{L^{2}(% \Omega)}.

(2.89)

∎

Exemplo 2.2.2.

A Tabela 2.1 apresenta o estudo de convergência de malha para o problema do Exemplo 2.2.1. Verifique!

Tabela 2.1: Erros de aproximações por elementos finitos referente ao problema dado no Exemplo 2.2.2.

#nodos	$h$	$\\|u-u_{h}\\|_{L^{2}(\Omega)}$	Taxa
$4\times 4$	$3.54\mathrm{e}\!-\!1$	$7.91\mathrm{e}\!-\!2$	–
$8\times 8$	$1.77\mathrm{e}\!-\!1$	$2.11\mathrm{e}\!-\!2$	1.90
$16\times 16$	$8.84\mathrm{e}\!-\!2$	$5.38\mathrm{e}\!-\!3$	1.97
$32\times 32$	$4.42\mathrm{e}\!-\!2$	$1.35\mathrm{e}\!-\!3$	1.99
$64\times 64$	$2.21\mathrm{e}\!-\!2$	$3.38\mathrm{e}\!-\!4$	2.00

2.2.4 Exercícios

E. 2.2.1.

Compute uma aproximação de elementos finitos para a solução do seguinte problema de Poisson com condições de Dirichlet

	$\displaystyle-\Delta u=2\pi^{2}\operatorname{sen}(\pi x)\cos(\pi y),% \leavevmode\nobreak\ x\in\Omega:=(0,1)^{2},$		(2.90)
	$\displaystyle u=0,\leavevmode\nobreak\ (x,y)\in\{0,1\}\times(0,1),$		(2.91)
	$\displaystyle u=\operatorname{sen}(\pi x),\leavevmode\nobreak\ (x,y)\in(0,1)% \times\{0\},$		(2.92)
	$\displaystyle u=-\operatorname{sen}(\pi x),\leavevmode\nobreak\ (x,y)\in(0,1)% \times\{1\}.$		(2.93)

A solução exata deste problema é dada por $u(x,y)=\operatorname{sen}(\pi x)\cos(\pi y)$ . Faça gráfico comparativo entre a solução de elementos finitos e a solução exata, bem como, faça um estudo de convergência de malha.

E. 2.2.2.

Compute uma aproximação de elementos finitos para a solução do seguinte problema de Poisson

	$\displaystyle-\Delta u=\pi^{2}(x^{2}+y^{2})\cos(\pi xy),\leavevmode\nobreak\ x% \in\Omega:=(0,1)^{2},$		(2.94)
	$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=0,\leavevmode\nobreak\ (x,y)\in\{0% \}\times(0,1),$		(2.95)
	$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=-\pi\operatorname{sen}(\pi x),% \leavevmode\nobreak\ (x,y)\in\{1\}\times(0,1),$		(2.96)
	$\displaystyle u=1,\leavevmode\nobreak\ (x,y)\in(0,1)\times\{0\},$		(2.97)
	$\displaystyle u=-\cos(\pi x),\leavevmode\nobreak\ (x,y)\in(0,1)\times\{1\}.$		(2.98)

A solução exata deste problema é dada por $u(x,y)=\cos(\pi xy)$ . Faça gráfico comparativo entre a solução de elementos finitos e a solução exata, bem como, faça um estudo de convergência de malha.

E. 2.2.3.

Compute uma aproximação de elementos finitos para a solução do seguinte problema de Poisson com condições de Robin

	$\displaystyle-\Delta u=2\pi^{2}\operatorname{sen}(\pi x)\operatorname{sen}(\pi y% ),\leavevmode\nobreak\ x\in\Omega:=(0,1)^{2},$		(2.99)
	$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}+u=\operatorname{sen}(\pi x),% \leavevmode\nobreak\ (x,y)\in\{0\}\times(0,1),$		(2.100)
	$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}+u=-\operatorname{sen}(\pi x),% \leavevmode\nobreak\ (x,y)\in\{1\}\times(0,1),$		(2.101)
	$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}+u=\operatorname{sen}(\pi x),% \leavevmode\nobreak\ (x,y)\in(0,1)\times\{0\},$		(2.102)
	$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}+u=-\operatorname{sen}(\pi x),% \leavevmode\nobreak\ (x,y)\in(0,1)\times\{1\}.$		(2.103)

A solução exata deste problema é dada por $u(x,y)=\operatorname{sen}(\pi x)\operatorname{sen}(\pi y)$ . Faça gráfico comparativo entre a solução de elementos finitos e a solução exata, bem como, faça um estudo de convergência de malha.

E. 2.2.4.

Compute uma aproximação de elementos finitos para a solução do seguinte problema do calor

	$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u=2\pi^{2}\left(1-e^{-t}% \right)\operatorname{sen}(\pi x)\operatorname{sen}(\pi y)$
	$\displaystyle\text{}\qquad+e^{-t}\operatorname{sen}(\pi x)\cos(\pi y),% \leavevmode\nobreak\ (x,y)\in\Omega:=(0,1)^{2},\leavevmode\nobreak\ t>0,$		(2.104)
	$\displaystyle u=0,\leavevmode\nobreak\ (x,y)\in\partial\Omega,\leavevmode% \nobreak\ t>0,$		(2.105)
	$\displaystyle u(0,x,y)=0,\leavevmode\nobreak\ (x,y)\in\Omega.$		(2.106)

A solução exata deste problema é dada por $u(x,y,t)=(1-e^{-t})\operatorname{sen}(\pi x)\operatorname{sen}(\pi y)$ . Faça gráfico comparativo entre a solução de elementos finitos e a solução exata, bem como, faça um estudo de convergência de malha e de tempo.

E. 2.2.5.

Compute uma aproximação de elementos finitos para a solução do seguinte problema

	$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}+\boldsymbol{v}\cdot\nabla u=\Delta u% ,\leavevmode\nobreak\ (x,y)\in\Omega:=(-1,1)^{2},\leavevmode\nobreak\ t>0,$		(2.107)
	$\displaystyle u(0,x,y)=\begin{cases}1,\leavevmode\nobreak\ (x,y)\in(-0.1,0.1)^% {2}\\ 0,\leavevmode\nobreak\ \text{caso contr\'{a}rio},\end{cases},\leavevmode% \nobreak\ (x,y)\in\Omega,\leavevmode\nobreak\ t>0,$		(2.108)
	$\displaystyle u(x,y,t)=0,\leavevmode\nobreak\ (x,y)\in\partial\Omega.$		(2.109)

Teste a aproximação de elementos finitos para diferentes campos de velocidade $\boldsymbol{v}$ , como $\boldsymbol{v}=(1,0)$ , $\boldsymbol{v}=(0,1)$ e $\boldsymbol{v}=(1,1)/\sqrt{2}$ .

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Método dos Elementos Finitos

2.2 Problema modelo

2.2.1 Formulação Fraca

2.2.2 Formulação de Elementos Finitos

Exemplo 2.2.1.

2.2.3 Análise de elementos finitos

Existência e unicidade

Lema 2.2.1.(Matriz positiva definida)

Demonstração.

Teorema 2.2.1.(Existência e unicidade)

Demonstração.

Estimativa a priori do erro

Teorema 2.2.2.(Ortogonalidade de Galerkin)

Demonstração.

Teorema 2.2.3.(Melhor aproximação)

Demonstração.

Teorema 2.2.4.(Estimativa a priori)

Demonstração.

Teorema 2.2.5.(Desigualdade de Poincaré)

Demonstração.

Teorema 2.2.6.(Estimativa ótima a priori do erro)

Demonstração.

Exemplo 2.2.2.

2.2.4 Exercícios

E. 2.2.1.

E. 2.2.2.

E. 2.2.3.

E. 2.2.4.

E. 2.2.5.

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