Geometria Analítica

4 Cônicas e quádricas 4.2 Hipérbole 4.4 Superfícies quádricas

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4.3 Parábola

Em um plano, consideramos uma reta $d$ e um ponto $F$ não pertencente a $d$ . Chamamos de parábola o conjunto de pontos $P$ do plano que são equidistantes de $F$ e de $d$ , i.e.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \operatorname{dist}(P,F)=\operatorname{dist}(P,d)}.

(4.75)

Veja a Figura 4.8.

Refer to caption — Figura 4.8: Ilustração de uma parábola.

O ponto $F$ é chamado de foco da parábola. A reta $d$ é chamada de diretriz da parábola. A reta perpendicular a $d$ e que passa pelo ponto $F$ é chamada de eixo da parábola. O ponto $V$ de interseção entre a parábola e seu eixo é chamado de vértice da parábola.

4.3.1 Equação reduzida de uma parábola

Tomamos o sistema cartesiano de coordenadas com origem no vértice da parábola e com eixo das abscissas paralelo à diretriz. Seja $p$ tal que

F=(0,p/2).

(4.76)

Logo, a diretriz tem equação $y=-p/2$ . Da definição de parábola, $P=(x,y)$ pertence a parábola quando

\operatorname{dist}(P,F)=\operatorname{dist}(P,d).

(4.77)

Segue que

\sqrt{x^{2}+\left(y-\frac{p}{2}\right)^{2}}=y+\frac{p}{2}.

(4.78)

Elevando ao quadrado e expandindo, obtemos

x^{2}+y^{2}-py+\frac{p^{2}}{4}=y^{2}+py+\frac{p^{2}}{4}.

(4.79)

Cancelando e rearranjando termos, obtemos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{2}=2py},

(4.80)

a chamada equação reduzida da parábola.

Exemplo 4.3.1.

A Figura 4.9 é um esboço do gráfico da parábola de equação reduzida

x^{2}=4y.

(4.81)

Observação 4.3.1.

Uma parábola com vértice na origem do sistema cartesiano e foco $F=(p/2,0)$ tem equação reduzida

y^{2}=2px.

(4.82)

4.3.2 Exercícios resolvidos

ER 4.3.1.

Determine a equação reduzida da parábola de diretriz $y=2$ e vértice na origem do sistema cartesiano. Por fim, faça o esboço de seu gráfico.

Resolução.

Uma parábola de equação reduzida

x^{2}=2py

(4.83)

tem diretriz $\displaystyle y=-\frac{p}{2}$ . Logo, sabendo que a diretriz é $y=2$ , temos $p=-4$ . Então, concluímos que a equação reduzida da parábola é

x^{2}=-8y

(4.84)

A Figura 4.10 é o esboço do gráfico desta parábola.

ER 4.3.2.

Determine a equação reduzida da parábola de diretriz $x=2$ e vértice na origem do sistema cartesiano. Por fim, faça o esboço de seu gráfico.

Resolução.

Uma parábola de equação reduzida

y^{2}=2px

(4.85)

tem diretriz $\displaystyle x=-\frac{p}{2}$ . Logo, sabendo que a diretriz é $x=2$ , temos $p=-4$ . Então, concluímos que a equação reduzida da parábola é

y^{2}=-8x

(4.86)

A Figura 4.11 é o esboço do gráfico desta parábola.

4.3.3 Exercícios

E. 4.3.1.

Faça o esboço do gráfico da parábola de equação reduzida

x^{2}=2y.

(4.87)

Identifique no esboço a reta diretriz, o foco e o vértice da parábola.

E. 4.3.2.

Faça o esboço do gráfico da parábola de equação reduzida

x^{2}=-2y.

(4.88)

Identifique no esboço a reta diretriz, o foco e o vértice da parábola.

E. 4.3.3.

Faça o esboço do gráfico da parábola de equação reduzida

y^{2}=2x.

(4.89)

Identifique no esboço a reta diretriz, o foco e o vértice da parábola.

E. 4.3.4.

Faça o esboço do gráfico da parábola de equação reduzida

y^{2}=-2x.

(4.90)

Identifique no esboço a reta diretriz, o foco e o vértice da parábola.

E. 4.3.5.

Determine o foco de cada uma das seguintes parábolas:

a)

$y=2x^{2}$
b)

$y+2x^{2}=0$
c)

$y^{2}+4x=0$
d)

$\frac{1}{4}y^{2}=x$

a) $F=(0,\frac{1}{8})$ ; b) $F=(0,-\frac{1}{8})$ ; c) $F=(-1,0)$ ; d) $F=(1,0)$

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4.3 Parábola

4.3.1 Equação reduzida de uma parábola

Exemplo 4.3.1.

Observação 4.3.1.

4.3.2 Exercícios resolvidos

ER 4.3.1.

Resolução.

ER 4.3.2.

Resolução.

4.3.3 Exercícios

E. 4.3.1.

E. 4.3.2.

E. 4.3.3.

E. 4.3.4.

E. 4.3.5.

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