Geometria analítica

4 Cônicas e quádricas 4.1 Elipse 4.3 Parábola

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4.2 Hipérbole

Sejam $F_{1}$ e $F_{2}$ pontos de um plano $\pi$ . Sejam, também, $c$ tal que $|F_{1}F_{2}|=2c$ e $a<c$ . O lugar geométrico dos pontos $P$ tais que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}||PF_{1}|-|% PF_{2}||=2a},

(4.38)

chama-se hipérbole. Consultemos a Figura 4.5.

Refer to caption — Figura 4.5: Hipérbole de focos $F_{1}$ e $F_{2}$ .

Os pontos $F_{1}$ e $F_{2}$ são chamados de focos da hipérbole e $2c=|F_{1}F_{2}|$ é chamada de distância focal. O ponto médio entre os pontos $F_{1}$ e $F_{2}$ é chamado de centro da hipérbole. São chamados vértices da hipérbole os pontos $A_{1}$ e $A_{2}$ , sendo que o segmento $A_{1}A_{2}$ é chamado de eixo real (ou transverso) da hipérbole. O comprimento deste eixo é $|A_{1}A_{2}|=2a$ .

Sejam $B_{1}$ e $B_{2}$ pontos de modo que $|OB_{1}|=|OB_{2}|=b$ e pertencentes à reta que passa pelo centro da hipérbole e é perpendicular ao seu eixo real. O segmento $B_{1}B_{2}$ é chamado de eixo imaginário (ou conjugado). Denotando $2b=|B_{1}B_{2}|$ , temos do triângulo retângulo $B_{1}OA_{1}$ que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}c^{2}=a^{2}+% b^{2}}.

(4.39)

4.2.1 Equação reduzida da hipérbole

Assumimos um sistema de coordenadas cujo centro coincide com o centro de uma dada hipérbole e cujo eixo das abscissas coincide com o eixo real da hipérbole. Desta forma, temos $F_{1}=(-c,0)$ e $F_{2}=(c,0)$ . Então, $P=(x,y)$ é um ponto da hipérbole quando

||PF_{1}|-|PF_{2}||=2a.

(4.40)

Daí, segue que

	$\displaystyle\|PF_{1}\|-\|PF_{2}\|=\pm 2a$		(4.41)
	$\displaystyle\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=\pm 2a$		(4.42)
	$\displaystyle\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=\pm 2a+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}$		(4.43)

Elevando ao quadrado ambos os lados desta última equação, obtemos

	$\displaystyle(x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}\pm 4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}$		(4.44)
	$\displaystyle\text{}\quad+(x-c)^{2}+y^{2}$		(4.45)

ou, equivalentemente,

	$\displaystyle x^{2}+2cx+c^{2}+y^{2}=4a^{2}\pm 4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}$		(4.46)
	$\displaystyle\text{}\quad+x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}$		(4.47)

Simplificando e rearranjando os termos, temos

cx-a^{2}=\pm a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}.

(4.48)

Elevando novamente ao quadrado, obtemos

c^{2}x^{2}-2a^{2}cx+a^{4}=a^{2}x^{2}-2a^{2}cx+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}.

(4.49)

Simplificando e rearranjando os termos, obtemos

(c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2}).

(4.50)

Lembrando que $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ , temos

b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}.

(4.51)

Dividindo por $a^{2}b^{2}$ , obtemos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{x^{2}}% {a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1},

(4.52)

a qual é chamada de equação reduzida da hipérbole.

Exemplo 4.2.1.

A Figura 4.6 é um esboço do gráfico da hipérbole de equação reduzida

\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1.

(4.53)

4.2.2 Exercícios resolvidos

ER 4.2.1.

Obtenha a equação reduzida da hipérbole centrada na origem e de eixo real $|A_{1}A_{2}|=8$ e eixo imaginário $|B_{1}B_{2}|=4$ .

Resolução.

A equação reduzida de uma hipérbole centrada na origem tem a forma

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,

(4.54)

onde $2a=|A_{1}A_{2}|$ e $2b=|B_{1}B_{2}|$ . No caso deste exercício, temos

2a=8\Rightarrow a=4

(4.55)

2b=4\Rightarrow b=2

(4.56)

Logo, a equação buscada é

\frac{x^{2}}{4^{2}}-\frac{y^{2}}{2^{2}}=1

(4.57)

ou, equivalentemente,

\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1.

(4.58)

ER 4.2.2.

Faça o esboço da hipérbole de equação reduzida

\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{9}=1.

(4.59)

Resolução.

Observe que nesta equação, o termo contendo $x$ tem sinal negativo e o termo contendo $y$ tem sinal positivo (compare com (4.52)). Isto nos indica que o eixo real desta hipérbole está na direção das ordenadas $O y$ e, consequentemente, o eixo imaginário na direção das abscissas $O x$ .

Da equação, temos $a^{2}=9$ e $b^{2}=16$ , donde $a=3$ e $b=4$ . Neste caso, os vértices que definem o eixo real são $A_{1}=(0,-b)=(0,-4)$ e $A_{2}=(0,b)=(0,4)$ . Os focos $F_{1}=(0,-c)$ e $F_{2}=(0,c)$ são tais que

	$\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}$		(4.60)
	$\displaystyle\text{}\quad=9+16$		(4.61)
	$\displaystyle\text{}\quad=25$		(4.62)
	$\displaystyle c=5.$		(4.63)

Com estas informações, traçamos o esboço dado na Figura 4.7.

ER 4.2.3.

Mostre que uma hipérbole de equação reduzida

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

(4.64)

tem assíntotas

y=\pm\frac{b}{a}x.

(4.65)

Resolução.

De fato, ao isolarmos $y$ na equação reduzida, obtemos

y=\pm\sqrt{\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}-b^{2}}

(4.66)

Logo, para $x\to\infty$ , temos

	$\displaystyle y\to\pm\sqrt{\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}}$		(4.67)
	$\displaystyle y\to\pm\sqrt{\frac{b^{2}}{a^{2}}}\sqrt{x^{2}}$		(4.68)
	$\displaystyle y\to\pm\frac{b}{a}x$		(4.69)

De forma análoga, quando $x\to-\infty$ , temos

	$\displaystyle y\to\pm\sqrt{\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}}$		(4.70)
	$\displaystyle y\to\pm\sqrt{\frac{b^{2}}{a^{2}}}\sqrt{x^{2}}$		(4.71)
	$\displaystyle y\to\mp\frac{b}{a}x$		(4.72)

Ambos os resultados mostram que $\displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x$ são assíntotas da hipérbole.

4.2.3 Exercícios

E. 4.2.1.

Faça o esboço da hipérbole de equação reduzida

\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1

(4.73)

E. 4.2.2.

Faça o esboço da hipérbole de equação reduzida

\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1

(4.74)

E. 4.2.3.

Determine os vértices do eixo real das seguintes hipérboles:

a)

$\displaystyle\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$
b)

$\displaystyle y^{2}-\frac{x^{2}}{16}=1$

a) $A_{1}=(-3,0)$ , $A_{2}=(3,0)$ ; b) $B_{1}=(0,-1)$ , $B_{2}=(0,1)$

E. 4.2.4.

Determine os focos das seguintes hipérboles:

a)

$\displaystyle\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$
b)

$\displaystyle y^{2}-\frac{x^{2}}{16}=1$

a) $F_{1}=(-\sqrt{13},0)$ , $F_{2}=(\sqrt{13},0)$ ; b) $F_{1}=(0,-\sqrt{17})$ , $F_{2}=(0,\sqrt{17})$

E. 4.2.5.

Forneça a equação reduzida da hipérbole de focos $F_{1}=(-2,0)$ , $F_{2}=(2,0)$ e de vértices do eixo real $A_{1}=(-1,0)$ e $A_{2}=(1,0)$ .

$\displaystyle x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$

E. 4.2.6.

Forneça a equação reduzida da hipérbole de distância focal $|F_{1}F_{2}|=2\sqrt{6}$ e de vértices do eixo imaginário $A_{1}=(-2,0)$ e $A_{2}=(2,0)$ .

$\displaystyle\frac{y^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{4}=1$

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4.2 Hipérbole

4.2.1 Equação reduzida da hipérbole

Exemplo 4.2.1.

4.2.2 Exercícios resolvidos

ER 4.2.1.

Resolução.

ER 4.2.2.

Resolução.

ER 4.2.3.

Resolução.

4.2.3 Exercícios

E. 4.2.1.

E. 4.2.2.

E. 4.2.3.

E. 4.2.4.

E. 4.2.5.

E. 4.2.6.

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