Geometria analítica

4 Cônicas e quádricas 4.3 Parábola Referências

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4.4 Superfícies quádricas

Superfícies no espaço que podem ser descritas por equações da forma

ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+2dxy+2exz+2fyz+mx+ny+pz+q=0

(4.91)

são chamadas de superfícies quádricas, sendo $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ , $m$ , $n$ , $p$ e $q$ coeficientes dados.

4.4.1 Elipsoides

Um elipsoide centrado na origem é uma superfície quádrica de equação

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.

(4.92)

Exemplo 4.4.1.

A Figura 4.12 é um esboço do gráfico da elipsoide de equação

\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1.

(4.93)

Refer to caption — Figura 4.12: Elipsoide de equação (4.93).

Observamos que a interseção deste elipsoide com o plano $X-Y$ (z=0) é a elipse de equação

\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1.

(4.94)

Ou seja, é a elipse com vértices $A_{1}=(-3,0)$ e $A_{2}=(3,0)$ sobre o eixo maior e com extremos do eixo menor em $B_{1}=(0,-2)$ e $B_{2}=(0,2)$ .

De forma análoga, temos que a interseção do elipsoide (4.93) com o plano $X-Z$ ( $y=0$ ) é a elipse de equação reduzida

\frac{x^{2}}{9}+z^{2}=1.

(4.95)

Também, temos associada a elipse de equação reduzida

\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1

(4.96)

que é obtida da interseção do elipsoide (4.93) com o plano $Y-Z$ ( $x=0$ ).

4.4.2 Hiperboloides

Hiperboloides de uma folha

Um hiperboloide de uma folha centrado na origem é uma superfície quádrica de equação

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

(4.97)

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

(4.98)

-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

(4.99)

Exemplo 4.4.2.

Vamos considerar o hiperboloide de equação

\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}-z^{2}=1.

(4.100)

Sua interseção com o plano $X-Y$ ( $z=0$ ) é a elipse

\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1.

(4.101)

Sua interseção com o plano $X-Z$ (y=0) é a hipérbole de equação reduzida

\frac{x^{2}}{9}-z^{2}=1.

(4.102)

E, a interseção do hiperboloide com o plano $Y-Z$ ( $x=0$ ) é a hipérbole de equação

\frac{y^{2}}{4}-z^{2}=1.

(4.103)

A Figura 4.13 é o esboço do gráfico do hiperboloide de equação (4.100).

Exemplo 4.4.3.

A Figura 4.14 é o esboço do gráfico do hiperboloide de equação

-\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1.

(4.104)

Sua interseção com o plano $X-Y$ ( $z=0$ ) é a hipérbole

-\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1.

(4.105)

Sua interseção com o plano $X-Z$ (y=0) é a hipérbole de equação reduzida

-\frac{x^{2}}{9}+z^{2}=1.

(4.106)

E, a interseção do hiperboloide com o plano $Y-Z$ ( $x=0$ ) é a elipse de equação

\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1.

(4.107)

Hiperboloides de duas folhas

Hiperboloides de duas folhas têm equações

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

(4.108)

-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

(4.109)

-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

(4.110)

Exemplo 4.4.4.

Vamos considerar o hiperboloide de equação

\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}-z^{2}=1.

(4.111)

Sua interseção com o plano $X-Y$ ( $z=0$ ) é a hipérbole

\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1.

(4.112)

Sua interseção com o plano $X-Z$ (y=0) é a hipérbole de equação reduzida

\frac{x^{2}}{9}-z^{2}=1.

(4.113)

E, a interseção do hiperboloide com o plano $Y-Z$ ( $x=0$ ) é vazia, pois não existem $y$ e $z$ que satisfazem a equação

-\frac{y^{2}}{4}-z^{2}=1,

(4.114)

A Figura 4.15 é o esboço do gráfico do hiperboloide de equação (4.111).

4.4.3 Paraboloide elíptico

Um paraboloide elíptico tem equação

\pm z=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}

(4.115)

\pm y=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}

(4.116)

\pm x=\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}

(4.117)

Exemplo 4.4.5.

Vamos considerar o paraboloide elíptico de equação

z=\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}

(4.118)

Não há valor $z<0$ que satisfaça a equação (4.118). Sua interseção com o plano $X-Y$ ( $z=0$ ) é o ponto $(0,0,0)$ . Agora, sua interseção com cada plano paralelo ao plano $X-Y$ e com $z=z_{0}>0$ é a elipse de equação

z_{0}=\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}

(4.119)

ou, equivalentemente,

\frac{x^{2}}{9z_{0}}+\frac{y^{2}}{4z_{0}}=1.

(4.120)

A Figura 4.16 é o esboço do gráfico do paraboloide elíptico de equação (4.118).

Exemplo 4.4.6.

O esboço do gráfico de paraboloide elíptico de equação

-x=\frac{y^{2}}{4}+z^{2}

(4.121)

é dado na Figura 4.17. Verifique!

4.4.4 Paraboloide hiperbólico

Um paraboloide hiperbólico tem equação

\pm z=\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}

(4.122)

\pm y=\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}

(4.123)

\pm x=\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}

(4.124)

Exemplo 4.4.7.

Vamos considerar o paraboloide hiperbólico de equação

z=\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}.

(4.125)

Sua interseção com o plano $X-Y$ ( $z=0$ ) são retas que satisfazem a equação

\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=0.

(4.126)

De fato, isolando $y$ , obtemos as equações destas retas

y=\pm\frac{2}{3}x.

(4.127)

Sua interseção com o plano $X-Z$ (y=0) é a parábola de equação

z=\frac{x^{2}}{9}.

(4.128)

E, a interseção do paraboloide hiperbólico com o plano $Y-Z$ ( $x=0$ ) é a parábola de equação

z=-\frac{y^{2}}{4}.

(4.129)

A Figura 4.18 é o esboço do gráfico do paraboloide hiperbólico de equação (4.125).

4.4.5 Exercícios resolvidos

ER 4.4.1.

Escreva a equação do elipsoide que tem como interseções

a)

com o plano $z=0$ a elipse

$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1$ (4.130)
b)

com o plano $y=0$ a elipse

$\frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{9}=1$ (4.131)

Resolução.

Um elipsoide tem equação

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.

(4.132)

Sua interseção com o plano $X-Y$ ( $z=0$ ) é a elipse de equação

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.

(4.133)

Logo, do item a), temos $a^{2}=4$ e $b^{2}=16$ .

Agora, a interseção com o plano $X-Z$ ( $y=0$ ) é a elipse de equação

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.

(4.134)

Assim, do item b), obtemos $c^{2}=9$ .

Desta forma, concluímos que o elipsoide de equação

\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{9}=1.

(4.135)

ER 4.4.2.

Encontre a equação do paraboloide elíptico que contém a circunferência

x^{2}+z^{2}=1,\quad y=-2.

(4.136)

Resolução.

Para que o paraboloide contenha a circunferência

x^{2}+z^{2}=1,\quad y=-2,

(4.137)

ele precisa abrir-se no sentido negativo na direção $y$ . Logo, tem equação

-y=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}.

(4.138)

Fixando $y=-2$ , a equação se reduz a

2=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}.

(4.139)

Para que essa equação coincida com a circunferência $x^{2}+z^{2}=1$ , devemos escolher $a^{2}=b^{2}=\frac{1}{2}$ . Logo, concluímos que o paraboloide elíptico tem equação

-y=2x^{2}+2z^{2}.

(4.140)

4.4.6 Exercícios

E. 4.4.1.

Classifique cada uma das seguintes superfícies quádricas:

a)

$\displaystyle\frac{x^{2}}{2}-y^{2}+\frac{z^{2}}{4}=1$
b)

$\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{4}=1$
c)

$\displaystyle z=-x^{2}-\frac{y^{2}}{9}$
d)

$\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$

a) hiperboloide de uma folha; b) elipsoide; c) paraboloide elíptico; d) ponto $(0,0,0)$

E. 4.4.2.

Forneça a equação do elipsoide que contem os pontos $P=(0,2,0)$ , $Q=(-1,0,0)$ e $R=(0,0,1)$ .

$\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1$

E. 4.4.3.

Forneça a equação do hiperboloide de duas folhas que tem interseções:

a)

com o eixo $X-Y$ igual a hipérbole

$-\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ (4.141)
b)

com o eixo $Y-Z$ igual a hipérbole

$\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1$ (4.142)

$\displaystyle-\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1$

E. 4.4.4.

Forneça a equação do paraboloide elíptico que contem a elipse

\frac{x^{2}}{2}+z^{2}=1,\quad y=2.

(4.143)

$\displaystyle y=x^{2}+\frac{z^{2}}{\frac{1}{2}}$

E. 4.4.5.

Considere o hiperboloide de uma folha de equação

\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1.

(4.144)

Classifique o lugar geométrico de sua interseção com cada um dos seguintes planos

1.

$X-Y$
2.

$X-Z$
3.

$Y-Z$

a) hipérbole; b) elipse; c) hipérbole

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4.4 Superfícies quádricas

4.4.1 Elipsoides

Exemplo 4.4.1.

4.4.2 Hiperboloides

Hiperboloides de uma folha

Exemplo 4.4.2.

Exemplo 4.4.3.

Hiperboloides de duas folhas

Exemplo 4.4.4.

4.4.3 Paraboloide elíptico

Exemplo 4.4.5.

Exemplo 4.4.6.

4.4.4 Paraboloide hiperbólico

Exemplo 4.4.7.

4.4.5 Exercícios resolvidos

ER 4.4.1.

Resolução.

ER 4.4.2.

Resolução.

4.4.6 Exercícios

E. 4.4.1.

E. 4.4.2.

E. 4.4.3.

E. 4.4.4.

E. 4.4.5.

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