Geometria Analítica

4 Cônicas e quádricas 4 Cônicas e quádricas 4.2 Hipérbole

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4.1 Elipse

Sejam $F_{1}$ , $F_{2}$ pontos de um plano $\pi$ , $c=\frac{1}{2}|F_{1}F_{2}|$ e $a>c$ . Chama-se elipse de focos $F_{1}$ e $F_{2}$ ao conjunto de pontos $P\in\pi$ tais que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}|PF_{1}|+|PF_% {2}|=2a.

(4.5)

Consultemos a Figura 4.1.

Refer to caption — Figura 4.1: Elipse de focos $F_{1}$ e $F_{2}$ .

Dada uma tal elipse, identificamos $2c=|F_{1}F_{2}|$ como a distância focal. Os pontos $A_{1}$ e $A_{2}$ , interseção da elipse com a reta que passa pelos focos, são chamados de vértices da elipse. O segmento $A_{1}A_{2}$ é chamado de eixo maior da elipse. Observamos que

|A_{1}A_{2}|=2a.

(4.6)

O ponto médio do segmento $F_{1}F_{2}$ é chamado de centro da elipse. Sejam $B_{1}$ e $B_{2}$ os pontos de interseção da elipse com a reta que passa pelo centro da elipse e é perpendicular ao segmento $A_{1}A_{2}$ . Assim, o segmento $B_{1}B_{2}$ é chamado de eixo menor da elipse. Vamos denotar

2b=|B_{1}B_{2}|.

(4.7)

Chamamos de excentricidade da elipse o número

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}e=\frac{c}{a}.

(4.8)

Notemos que $0\leq e<1$ . Para $e=0$ , temos $c=0$ e, portanto $F_{1}=F_{2}$ . Neste caso, a elipse é a circunferência de centro em $F_{1}$ (ou $F_{2}$ ) e diâmetro $2a$ . À medida que $e$ tende a $1$ , a elipse tende ao segmento $A_{1}A_{2}$ . Consulte a Figura 4.2.

Por fim, notamos que o triângulo $B_{1}OF_{2}$ é retângulo, $|OF_{2}|=c$ , $|F_{2}B_{1}|=a$ e $|OB_{1}|=b$ . Do teorema de Pitágoras¹¹1Pitágoras de Samos, c.570, c. 495 a.C., matemático grego jônico. Fonte: Wikipédia: Pitágoras. segue

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}b^{2}+c^{2}=a% ^{2}.

(4.9)

4.1.1 Equação reduzida da elipse

Consideremos o sistema de coordenadas cartesianas. Sejam $F_{1}=(-c,0)$ e $F_{2}=(c,0)$ , $c\geq 0$ , os focos de uma dada elipse, conforme a Figura 4.1. Por definição, se $P=(x,y)$ é um ponto da elipse, então

|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a.

(4.10)

Como

	$\displaystyle\|PF_{1}\|=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}},$		(4.11)
	$\displaystyle\|PF_{2}\|=\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}},$		(4.12)

temos

\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a,

(4.13)

ou, equivalentemente,

\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}.

(4.14)

Elevando ao quadrado, obtemos

(x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+(x-c)^{2}+y^{2}.

(4.15)

Por cancelamento e rearranjo dos termos, obtemos

a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=a^{2}-cx.

(4.16)

Elevando novamente ao quadrado, temos

a^{2}(x-c)^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}-2a^{2}cx+c^{2}x^{2},

(4.17)

donde

a^{2}x^{2}-2a^{2}cx+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}-2a^{2}cx+c^{2}x^{2}.

(4.18)

Por cancelamento e rearranjo dos termos, obtemos

x^{2}(a^{2}-c^{2})+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2}).

(4.19)

Como $a>c$ , dividimos por $a^{2}-c^{2}$ e depois por $a^{2}$ para obtermos

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1.

(4.20)

Por fim, da equação (4.9), temos $a^{2}-c^{2}=b^{2}$ , o que nos leva a equação reduzida da elipse

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{x^{2}}% {a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1}.

(4.21)

Exemplo 4.1.1.

A Figura 4.3 é um esboço do gráfico da elipse de equação reduzida

\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1.

(4.22)

4.1.2 Exercícios resolvidos

ER 4.1.1.

Determine a equação reduzida da elipse de focos $F_{1}=(-3,0)$ , $F_{2}=(3,0)$ e vértices $A_{1}=(-5,0)$ e $A_{2}=(5,0)$ .

Resolução.

A equação reduzida tem a forma

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,

(4.23)

onde

b^{2}+c^{2}=a^{2}.

(4.24)

Dos focos temos $c=3$ e dos vértices temos $a=5$ . Logo,

	$\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}$		(4.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=5^{2}-3^{2}$		(4.26)
	$\displaystyle\text{}\quad=25-9$		(4.27)
	$\displaystyle\text{}\quad=16.$		(4.28)

Concluímos que a elipse em questão tem equação

\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1.

(4.29)

ER 4.1.2.

Determine os focos da elipse de equação

\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1.

(4.30)

Resolução.

Começamos lembrando que os focos de uma elipse estão localizados sobre seu eixo maior. No caso deste exercício, temos $a=4$ e $b=5$ , logo o eixo maior é $B_{1}B_{2}$ , na mesma direção do eixo das ordenadas $O y$ . Do triângulo retângulo $OA_{2}F_{1}$ temos

b^{2}=a^{2}+c^{2},

(4.31)

consulte a Figura 4.4.

Daí, temos

	$\displaystyle c^{2}=b^{2}-a^{2}$		(4.32)
	$\displaystyle\text{}\quad=25-16$		(4.33)
	$\displaystyle\text{}\quad=9$		(4.34)
	$\displaystyle c=3.$		(4.35)

Concluímos que os focos são $F_{1}=(0,-3)$ e $F_{2}=(0,3)$ .

4.1.3 Exercícios

E. 4.1.1.

Faça um esboço da elipse de equação reduzida

\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1.

(4.36)

E. 4.1.2.

Faça um esboço da elipse de equação reduzida

\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1.

(4.37)

E. 4.1.3.

Determine os vértices (sobre o eixo maior) das seguintes elipses:

a)

$\displaystyle\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$
b)

$\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{16}=1$

a) $(-3,0)$ , $(3,0)$ ; b) $(0,-4)$ , $(0,4)$

E. 4.1.4.

Determine os focos das seguintes elipses:

a)

$\displaystyle\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$
b)

$\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{16}=1$

a) $(-\sqrt{5},0)$ , $(\sqrt{5},0)$ ; b) $(0,-\sqrt{15})$ , $(0,\sqrt{15})$

E. 4.1.5.

Forneça a equação reduzida da elipse de focos $F_{1}=(-1,0)$ , $F_{2}=(1,0)$ e vértices $A_{1}=(-\sqrt{2},0)$ , $A_{2}=(\sqrt{2},0)$ .

$\displaystyle\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$

E. 4.1.6.

Forneça a equação reduzida da elipse de focos $F_{1}=(0,-2)$ , $F_{2}=(0,2)$ e vértices $B_{1}=(0,-\sqrt{5})$ , $B_{2}=(0,\sqrt{5})$ .

$\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{5}=1$

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4.1 Elipse

4.1.1 Equação reduzida da elipse

Exemplo 4.1.1.

4.1.2 Exercícios resolvidos

ER 4.1.1.

Resolução.

ER 4.1.2.

Resolução.

4.1.3 Exercícios

E. 4.1.1.

E. 4.1.2.

E. 4.1.3.

E. 4.1.4.

E. 4.1.5.

E. 4.1.6.

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