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Cálculo I

2 Limites 2.6 Continuidade 2.8 Exercícios finais

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2.7 Limites e desigualdades

Se $f$ e $g$ são funções tais que $f(x){\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}<}g(x)$ para todo $x$ em um certo intervalo aberto contendo $x_{0}$ , exceto possivelmente em $x=x_{0}$ , e existem os limites de $f$ e $g$ no ponto $x=x_{0}$ , então

\lim_{x\to x_{0}}f(x){\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{0,0,1}\leq}\lim_{x\to x_{0}}g(x).

(2.326)

Observe que a tomada do limite não preserva a desigualdade estrita.

Exemplo 2.7.1.

As funções $f(x)=x^{2}/3$ e $g(x)=x^{2}/2$ são tais que $f(x)<g(x)$ para todo $x\neq 0$ . Ainda, temos

\lim_{x\to 0}f(x)=0\quad\text{e}\quad\lim_{x\to 0}g(x)=0.

(2.327)

Observação 2.7.1.

A preservação da desigualdade também ocorre para limites laterais. Mais precisamente, se $f$ e $g$ são funções tais que $f(x)<g(x)$ para todo $x<x_{0}$ e existem os limites laterais à esquerda de $f$ e $g$ no ponto $x=x_{0}$ , então

\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\leq\lim_{x\to x_{0}^{-}}g(x).

(2.328)

Vale o resultado análogo para limite lateral à direita e limites no infinito.

2.7.1 Limites de funções limitadas

Se $f(x)\leq L$ para todo $x$ em um intervalo aberto contendo $x_{0}$ , exceto possivelmente em $x_{0}$ , então

\lim_{x\to x_{0}}f(x)\leq L.

(2.329)

Resultados análogos valem para limites laterais e limites no infinito.

Exemplo 2.7.2.

Vamos calcular o seguinte limite

\lim_{x\to\infty}e^{-x}\operatorname{sen}x.

(2.330)

Como $|\operatorname{sen}x|\leq 1$ , temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{-x}\operatorname{sen}x\leq\lim_{x\to\infty}e^% {-x}=0,$		(2.331)
	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{-x}\operatorname{sen}x\geq\lim_{x\to\infty}-e% ^{-x}=0.$		(2.332)

Logo, temos

\lim_{x\to\infty}e^{-x}\operatorname{sen}x=0.

(2.333)

2.7.2 Teorema do confronto

Teorema 2.7.1.(Teorema do confronto)

Se $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ para todo $x$ em um intervalo aberto contendo $a$ , exceto possivelmente em $x=a$ (consulte a Figura 2.31), e

\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L,

(2.334)

então

\lim_{x\to a}f(x)=L.

(2.335)

Refer to caption — Figura 2.31: Ilustração sobre o Teorema 2.7.1.

Demonstração.

Da preservação da desigualdade, temos

\lim_{x\to a}g(x)\leq\lim_{x\to a}f(x)\leq\lim_{x\to a}h(x)

(2.336)

donde

L\leq\lim_{x\to a}f(x)\leq L.

(2.337)

∎

Exemplo 2.7.3.

Toda função $f(x)$ tal que $-1+x^{2}/2\leq f(x)\leq-1+x^{2}/3$ , para todo $x\neq 0$ , tem

\lim_{x\to 0}f(x)=-1.

(2.338)

Observação 2.7.2.

O Teorema do confronto também se aplica a limites laterais.

Exemplo 2.7.4.

\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}x=0.

(2.339)

De fato, começamos assumindo $0<x<\pi/2$ . Tomando $O=(0,0)$ , $A=(1,0)$ e $P=(\cos x,\operatorname{sen}x)$ (consulte a Figura 2.32), observamos que

\text{Área do triâng.}OAP<\text{Área do setor}OAP,

(2.340)

i.e.

\frac{\operatorname{sen}x}{2}<\frac{x}{2}\Rightarrow\operatorname{sen}x<x,

(2.341)

para todo $0<x<\pi/2$ .

É certo que $\operatorname{sen}x<-x$ para $-\pi/2<x<0$ . Com isso e o resultado acima, temos

\operatorname{sen}x\leq|x|,\quad-\pi/2<x<\pi/2.

(2.342)

Lembrando que $\operatorname{sen}x$ é uma função ímpar, temos

-|x|\leq-\operatorname{sen}x=\operatorname{sen}-x,\quad-\pi/2<x<\pi/2.

(2.343)

Logo, de (2.342) e (2.343), temos

-|x|\leq\operatorname{sen}x\leq|x|.

(2.344)

Por fim, como

\lim_{x\to 0}-|x|=\lim_{x\to 0}|x|=0,

(2.345)

do Teorema do confronto, concluímos

\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}x=0.

(2.346)

Observação 2.7.3.

Do exemplo anterior (Exemplo 2.7.4), podemos mostrar que

\lim_{x\to 0}\cos x=1.

(2.347)

De fato, da identidade trigonométrica de ângulo metade

\operatorname{sen}^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}

(2.348)

temos

\cos x=1+2\operatorname{sen}^{2}\frac{x}{2}.

(2.349)

Então, aplicando as regras de cálculo de limites, obtemos

	$\displaystyle\lim_{x\to 0}\cos x=\lim_{x\to 0}\left[1+2\operatorname{sen}^{2}% \frac{x}{2}\right]$		(2.350)
	$\displaystyle\text{}\quad=1+2\left(\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}\frac{x}{2}% \right)^{2}.$		(2.351)

Agora, fazemos a mudança de variável $y=x/2$ . Neste caso, temos $y\to 0$ quando $x\to 0$ e, então

\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}\frac{x}{2}=\lim_{y\to 0}\operatorname{sen}y=0.

(2.352)

Então, retornando a equação (2.351), concluímos

\lim_{x\to 0}\cos x=1.

(2.353)

2.7.3 Limites envolvendo $(\operatorname{sen}x)/x$

Verificamos o seguinte resultado

\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.

(2.354)

Para verificarmos este resultado, calcularemos os limites laterais à esquerda e à direita. Começamos com o limite lateral a direita e assumimos $0<x<\pi/2$ . Sendo os pontos $O=(0,0)$ , $P=(\cos x,\operatorname{sen}x)$ , $A=(1,0)$ e $T=(1,\operatorname{tg}x)$ (consulte Figura 2.33), observamos que

\text{Área do triâng. }OAP<\text{Área do setor}OAP<\text{Área do triâng. }OAT.

(2.355)

Ou seja, temos

\frac{\operatorname{sen}x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\operatorname{tg}x}{2}.

(2.356)

Multiplicando por $2$ e dividindo por $\operatorname{sen}x$ ⁴⁴endnote: ⁴ $\operatorname{sen}x>0$ para todo $0<x<\pi/2$ ., obtemos

1<\frac{x}{\operatorname{sen}x}<\frac{1}{\cos x}.

(2.357)

Tomando os recíprocos, temos

1>\frac{\operatorname{sen}x}{x}>\cos x.

(2.358)

Agora, passando ao limite

1=\lim_{x\to 0^{+}}1\geq\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sen}x}{x}\geq\lim% _{x\to 0^{+}}\cos x=1.

(2.359)

Logo, concluímos que

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.

(2.360)

Agora, usando o fato de que $\operatorname{sen}x/x$ é uma função par, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=\lim_{x\to 0^{-}}% \frac{\operatorname{sen}(-x)}{-x}$		(2.361)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.$		(2.362)

Calculados os limites laterais, concluímos o que queríamos.

Exemplo 2.7.5.

Com o resultado acima e as regras de cálculo de limites, temos

\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}=0.

(2.363)

Veja o Exercício 2.7.4.

2.7.4 Exercícios resolvidos

ER 2.7.1.

Sabendo que $x^{3}\leq f(x)\leq\sqrt{x}$ para $0<x<1$ , calcule

\lim_{x\to 0^{+}}f(x).

(2.364)

Solução 0.

Pelo Teorema do Confronto, temos

\lim_{x\to 0^{+}}\cancelto{0}{x^{3}}\leq\lim_{x\to 0^{+}}f(x)\leq\lim_{x\to 0^% {+}}\cancelto{0}{\sqrt{x}}.

(2.365)

Logo,

\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0.

(2.366)

2.7.5 Exercícios

E. 2.7.1.

Supondo que $1-x^{2}/3\leq u(x)\leq 1-x^{2}/2$ para todo $x\neq 0$ , determine o $\lim_{x\to 0}u(x)$ .

$1$

E. 2.7.2.

Calcule

\lim_{x\to\infty}e^{-x}\cos x.

(2.367)

$0$

E. 2.7.3.

Calcule

\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}3x}{6x}.

(2.368)

$\frac{1}{2}$

E. 2.7.4.

Calcule

\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}.

(2.369)

$0$

E. 2.7.5.

Calcule

\lim_{x\to 0}\frac{\cos(3x)-1}{6x}.

(2.370)

$0$

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Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Cálculo I

2 Limites 2.6 Continuidade 2.8 Exercícios finais

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2.7 Limites e desigualdades

\lim_{x\to x_{0}}f(x){\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{0,0,1}\leq}\lim_{x\to x_{0}}g(x).

(2.326)

Observe que a tomada do limite não preserva a desigualdade estrita.

Exemplo 2.7.1.

As funções $f(x)=x^{2}/3$ e $g(x)=x^{2}/2$ são tais que $f(x)<g(x)$ para todo $x\neq 0$ . Ainda, temos

\lim_{x\to 0}f(x)=0\quad\text{e}\quad\lim_{x\to 0}g(x)=0.

(2.327)

Observação 2.7.1.

\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\leq\lim_{x\to x_{0}^{-}}g(x).

(2.328)

Vale o resultado análogo para limite lateral à direita e limites no infinito.

2.7.1 Limites de funções limitadas

Se $f(x)\leq L$ para todo $x$ em um intervalo aberto contendo $x_{0}$ , exceto possivelmente em $x_{0}$ , então

\lim_{x\to x_{0}}f(x)\leq L.

(2.329)

Resultados análogos valem para limites laterais e limites no infinito.

Exemplo 2.7.2.

Vamos calcular o seguinte limite

\lim_{x\to\infty}e^{-x}\operatorname{sen}x.

(2.330)

Como $|\operatorname{sen}x|\leq 1$ , temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{-x}\operatorname{sen}x\leq\lim_{x\to\infty}e^% {-x}=0,$		(2.331)
	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{-x}\operatorname{sen}x\geq\lim_{x\to\infty}-e% ^{-x}=0.$		(2.332)

Logo, temos

\lim_{x\to\infty}e^{-x}\operatorname{sen}x=0.

(2.333)

2.7.2 Teorema do confronto

Teorema 2.7.1.(Teorema do confronto)

Se $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ para todo $x$ em um intervalo aberto contendo $a$ , exceto possivelmente em $x=a$ (consulte a Figura 2.31), e

\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L,

(2.334)

então

\lim_{x\to a}f(x)=L.

(2.335)

Demonstração.

Da preservação da desigualdade, temos

\lim_{x\to a}g(x)\leq\lim_{x\to a}f(x)\leq\lim_{x\to a}h(x)

(2.336)

donde

L\leq\lim_{x\to a}f(x)\leq L.

(2.337)

∎

Exemplo 2.7.3.

Toda função $f(x)$ tal que $-1+x^{2}/2\leq f(x)\leq-1+x^{2}/3$ , para todo $x\neq 0$ , tem

\lim_{x\to 0}f(x)=-1.

(2.338)

Observação 2.7.2.

O Teorema do confronto também se aplica a limites laterais.

Exemplo 2.7.4.

\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}x=0.

(2.339)

De fato, começamos assumindo $0<x<\pi/2$ . Tomando $O=(0,0)$ , $A=(1,0)$ e $P=(\cos x,\operatorname{sen}x)$ (consulte a Figura 2.32), observamos que

\text{Área do triâng.}OAP<\text{Área do setor}OAP,

(2.340)

i.e.

\frac{\operatorname{sen}x}{2}<\frac{x}{2}\Rightarrow\operatorname{sen}x<x,

(2.341)

para todo $0<x<\pi/2$ .

É certo que $\operatorname{sen}x<-x$ para $-\pi/2<x<0$ . Com isso e o resultado acima, temos

\operatorname{sen}x\leq|x|,\quad-\pi/2<x<\pi/2.

(2.342)

Lembrando que $\operatorname{sen}x$ é uma função ímpar, temos

-|x|\leq-\operatorname{sen}x=\operatorname{sen}-x,\quad-\pi/2<x<\pi/2.

(2.343)

Logo, de (2.342) e (2.343), temos

-|x|\leq\operatorname{sen}x\leq|x|.

(2.344)

Por fim, como

\lim_{x\to 0}-|x|=\lim_{x\to 0}|x|=0,

(2.345)

do Teorema do confronto, concluímos

\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}x=0.

(2.346)

Observação 2.7.3.

Do exemplo anterior (Exemplo 2.7.4), podemos mostrar que

\lim_{x\to 0}\cos x=1.

(2.347)

De fato, da identidade trigonométrica de ângulo metade

\operatorname{sen}^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}

(2.348)

temos

\cos x=1+2\operatorname{sen}^{2}\frac{x}{2}.

(2.349)

Então, aplicando as regras de cálculo de limites, obtemos

	$\displaystyle\lim_{x\to 0}\cos x=\lim_{x\to 0}\left[1+2\operatorname{sen}^{2}% \frac{x}{2}\right]$		(2.350)
	$\displaystyle\text{}\quad=1+2\left(\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}\frac{x}{2}% \right)^{2}.$		(2.351)

Agora, fazemos a mudança de variável $y=x/2$ . Neste caso, temos $y\to 0$ quando $x\to 0$ e, então

\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}\frac{x}{2}=\lim_{y\to 0}\operatorname{sen}y=0.

(2.352)

Então, retornando a equação (2.351), concluímos

\lim_{x\to 0}\cos x=1.

(2.353)

2.7.3 Limites envolvendo $(\operatorname{sen}x)/x$

Verificamos o seguinte resultado

\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.

(2.354)

\text{Área do triâng. }OAP<\text{Área do setor}OAP<\text{Área do triâng. }OAT.

(2.355)

Ou seja, temos

\frac{\operatorname{sen}x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\operatorname{tg}x}{2}.

(2.356)

Multiplicando por $2$ e dividindo por $\operatorname{sen}x$ ⁴⁴endnote: ⁴ $\operatorname{sen}x>0$ para todo $0<x<\pi/2$ ., obtemos

1<\frac{x}{\operatorname{sen}x}<\frac{1}{\cos x}.

(2.357)

Tomando os recíprocos, temos

1>\frac{\operatorname{sen}x}{x}>\cos x.

(2.358)

Agora, passando ao limite

1=\lim_{x\to 0^{+}}1\geq\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sen}x}{x}\geq\lim% _{x\to 0^{+}}\cos x=1.

(2.359)

Logo, concluímos que

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.

(2.360)

Agora, usando o fato de que $\operatorname{sen}x/x$ é uma função par, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=\lim_{x\to 0^{-}}% \frac{\operatorname{sen}(-x)}{-x}$		(2.361)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.$		(2.362)

Calculados os limites laterais, concluímos o que queríamos.

Exemplo 2.7.5.

Com o resultado acima e as regras de cálculo de limites, temos

\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}=0.

(2.363)

Veja o Exercício 2.7.4.

2.7.4 Exercícios resolvidos

ER 2.7.1.

Sabendo que $x^{3}\leq f(x)\leq\sqrt{x}$ para $0<x<1$ , calcule

\lim_{x\to 0^{+}}f(x).

(2.364)

Solução 0.

Pelo Teorema do Confronto, temos

\lim_{x\to 0^{+}}\cancelto{0}{x^{3}}\leq\lim_{x\to 0^{+}}f(x)\leq\lim_{x\to 0^% {+}}\cancelto{0}{\sqrt{x}}.

(2.365)

Logo,

\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0.

(2.366)

2.7.5 Exercícios

E. 2.7.1.

Supondo que $1-x^{2}/3\leq u(x)\leq 1-x^{2}/2$ para todo $x\neq 0$ , determine o $\lim_{x\to 0}u(x)$ .

$1$

E. 2.7.2.

Calcule

\lim_{x\to\infty}e^{-x}\cos x.

(2.367)

$0$

E. 2.7.3.

Calcule

\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}3x}{6x}.

(2.368)

$\frac{1}{2}$

E. 2.7.4.

Calcule

\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}.

(2.369)

$0$

E. 2.7.5.

Calcule

\lim_{x\to 0}\frac{\cos(3x)-1}{6x}.

(2.370)

$0$

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Pedro H A Konzen

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2.7 Limites e desigualdades

Exemplo 2.7.1.

Observação 2.7.1.

2.7.1 Limites de funções limitadas

Exemplo 2.7.2.

2.7.2 Teorema do confronto

Teorema 2.7.1.(Teorema do confronto)

Demonstração.

Exemplo 2.7.3.

Observação 2.7.2.

Exemplo 2.7.4.

Observação 2.7.3.

2.7.3 Limites envolvendo (sen⁡x)/x

Exemplo 2.7.5.

2.7.4 Exercícios resolvidos

ER 2.7.1.

Solução 0.

2.7.5 Exercícios

E. 2.7.1.

E. 2.7.2.

E. 2.7.3.

E. 2.7.4.

E. 2.7.5.

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2.7 Limites e desigualdades

Exemplo 2.7.1.

Observação 2.7.1.

2.7.1 Limites de funções limitadas

Exemplo 2.7.2.

2.7.2 Teorema do confronto

Teorema 2.7.1.(Teorema do confronto)

Demonstração.

Exemplo 2.7.3.

Observação 2.7.2.

Exemplo 2.7.4.

Observação 2.7.3.

2.7.3 Limites envolvendo (sen⁡x)/x

Exemplo 2.7.5.

2.7.4 Exercícios resolvidos

ER 2.7.1.

Solução 0.

2.7.5 Exercícios

E. 2.7.1.

E. 2.7.2.

E. 2.7.3.

E. 2.7.4.

E. 2.7.5.

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2.7.3 Limites envolvendo $(\operatorname{sen}x)/x$

2.7.3 Limites envolvendo $(\operatorname{sen}x)/x$