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Cálculo I

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2.7 Limites e desigualdades

Se f e g são funções tais que f(x)<g(x) para todo x em um certo intervalo aberto contendo x0, exceto possivelmente em x=x0, e existem os limites de f e g no ponto x=x0, então

limxx0f(x)limxx0g(x). (2.336)

Observe que a tomada do limite não preserva a desigualdade estrita.

Exemplo 2.7.1.

As funções f(x)=x2/3 e g(x)=x2/2 são tais que f(x)<g(x) para todo x0. Ainda, temos

limx0f(x)=0elimx0g(x)=0. (2.337)
Observação 2.7.1.

A preservação da desigualdade também ocorre para limites laterais. Mais precisamente, se f e g são funções tais que f(x)<g(x) para todo x<x0 e existem os limites laterais à esquerda de f e g no ponto x=x0, então

limxx0f(x)limxx0g(x). (2.338)

Vale o resultado análogo para limite lateral à direita e limites no infinito.

2.7.1 Limites de funções limitadas

Se f(x)L para todo x em um intervalo aberto contendo x0, exceto possivelmente em x0, então

limxx0f(x)L. (2.339)

Resultados análogos valem para limites laterais e limites no infinito.

Exemplo 2.7.2.

Vamos calcular o seguinte limite

limxexsenx. (2.340)

Como |senx|1, temos

limxexsenxlimxex=0, (2.341)
limxexsenxlimxex=0. (2.342)

Logo, temos

limxexsenx=0. (2.343)

2.7.2 Teorema do confronto

Teorema 2.7.1.(Teorema do confronto)

Se g(x)f(x)h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em x=a (consultemos a Figura 2.31), e

limxag(x)=limxah(x)=L, (2.344)

então

limxaf(x)=L. (2.345)
Demonstração.

Da preservação da desigualdade e da hipótese g(x)f(x)h(x), temos

limxag(x)limxaf(x)limxah(x) (2.346)

donde

Llimxaf(x)L (2.347)

e, portanto,

limxaf(x)=L. (2.348)

Refer to caption
Figura 2.31: Teorema do confronto.
Exemplo 2.7.3.

Toda função f definida em um intervalo aberto em torno de x=0, exceto talvez em x=0, tal que 1+x2/2f(x)1+x2/3, tem

limx0f(x)=1. (2.349)
Observação 2.7.2.(Teorema do confronto para limites laterais)

O Teorema do confronto também se aplica a limites laterais.

Exemplo 2.7.4.(sen(x)0, x0)
limx0senx=0. (2.350)
Refer to caption
Figura 2.32: Esquema geométrico para o cálculo do limx+sen(x).

De fato, começamos assumindo 0<x<π/2. Tomando O=(0,0), A=(1,0) e P=(cosx,senx) (consultemos a Figura 2.32), observamos que

Área do triâng.OAP<Área do setorOAP, (2.351)

i.e.

senx2<x2senx<x, (2.352)

para todo 0<x<π/2.

É certo que senx<x para π/2<x<0. Com isso e o resultado acima, temos

senx|x|,π/2<x<π/2. (2.353)

Lembrando que senx é uma função ímpar, temos

|x|senx=senx,π/2<x<π/2. (2.354)

Logo, de (2.353) e (2.354), temos

|x|senx|x|. (2.355)

Por fim, como

limx0|x|=limx0|x|=0, (2.356)

do teorema do confronto, concluímos

limx0senx=0. (2.357)
Observação 2.7.3.(cos(x)1, x0)

Do exemplo anterior (Exemplo 2.7.4), podemos mostrar que

limx0cosx=1. (2.358)

De fato, da identidade trigonométrica de ângulo metade

sen2(x2)=1cosx2 (2.359)

temos

cosx=1+2sen2(x2). (2.360)

Então, aplicando as regras de cálculo de limites, obtemos

limx0cosx=limx0[1+2sen2(x2)] (2.361)
=1+2[limx0sen(x2)]2. (2.362)

Agora, fazemos a mudança de variável y=x/2. Neste caso, temos y0 quando x0 e, então

limx0senx2=limy0seny=0. (2.363)

Então, retornando a equação (2.362), concluímos

limx0cosx=1. (2.364)

2.7.3 Continuidade de funções trigonométricas

As funções trigonométricas senx, cosx, tgx, cotx, secx e cossecx são contínuas em todos os pontos de seus domínios. Em particular, senx e cosx são contínuas em toda parte.

De fato, dos resultados anteriores (Exemplo 2.7.4 e Observação 2.7.3), temos

limxasenx=limx0sen(x+a) (2.365)
=limx0(senx0cosa+cosx1sena) (2.366)
=sena. (2.367)

Analogamente, podemos mostrar que limxacosx=cosa (consulte o E.2.7.7). O que mostra que senx e cosx são contínuas em toda parte.

A continuidade das funções tgx, cotx, secx e cossecx decorre, então, da continuidade de senx e cosx e das relações trigonométricas

tgx=senxcosx (2.368)
cotx=cosxsenx (2.369)
secx=1cosx (2.370)
cossecx=1senx. (2.371)

2.7.4 Limites envolvendo (senx)/x

Verificamos o seguinte resultado

limx0senxx=1. (2.372)
Refer to caption
Figura 2.33: Esquema geométrico para o cálculo de limx0+senxx.

Para verificarmos este resultado, calcularemos os limites laterais à esquerda e à direita. Começamos com o limite lateral a direita e assumimos 0<x<π/2. Sendo os pontos O=(0,0), P=(cosx,senx), A=(1,0) e T=(1,tgx) (consultemos a Figura 2.33), observamos que

Área do triâng. OAP<Área do setorOAP<Área do triâng. OAT. (2.373)

Ou seja, temos

senx2<x2<tgx2. (2.374)

Multiplicando por 2 e dividindo por senx44endnote: 4senx>0 para todo 0<x<π/2., obtemos

1<xsenx<1cosx. (2.375)

Tomando os recíprocos, temos

1>senxx>cosx. (2.376)

Agora, passando ao limite

1=limx0+1limx0+senxxlimx0+cosx=1. (2.377)

Logo, concluímos que

limx0+senxx=1. (2.378)

Agora, usando o fato de que senx/x é uma função par, temos

limx0senxx=limx0sen(x)x (2.379)
=limx0+senxx=1. (2.380)

Calculados os limites laterais, concluímos o que queríamos.

Exemplo 2.7.5.

Com o resultado acima e as regras de cálculo de limites, temos

limx0cos(x)1x=0. (2.381)

Consulte o E.2.7.4.

2.7.5 Exercícios resolvidos

ER 2.7.1.

Sabendo que x3f(x)x para 0<x<1, calcule

limx0+f(x). (2.382)
Resolução.

Pelo teorema do Confronto, temos

limx0+x30limx0+f(x)limx0+x0. (2.383)

Logo,

limx0+f(x)=0. (2.384)
ER 2.7.2.

Calcule

limx0sen(2x)/x. (2.385)
Resolução.

Usando as regras de cálculo de limites, temos

limx0sen(2x)x=limx0sen(2x)x22 (2.386)
=2limx0sen(2x)2x=21=2. (2.387)

2.7.6 Exercícios

E. 2.7.1.

Supondo que 1x2/3u(x)1x2/2 para todo x0, determine o limx0u(x).

1

E. 2.7.2.

Calcule

limxexcosx. (2.388)

0

E. 2.7.3.

Calcule

limx0sen3x6x. (2.389)

12

E. 2.7.4.

Calcule

limx0cos(x)1x. (2.390)

0

E. 2.7.5.

Calcule

limx0cos(3x)16x. (2.391)

0

E. 2.7.6.

Calcule

limx0sen2(x)x. (2.392)

0

E. 2.7.7.

Use os fatos de que

limx0senx=0 (2.393)

e

limx0cosx=1 (2.394)

para mostrar que

limxacosx=cosa. (2.395)
limxacosx=limx0cos(xa) (2.396)
=limx0[cosxcosa+senxsena] (2.397)
=cosa. (2.398)

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Pedro H A Konzen
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