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Se e são funções tais que para todo em um certo intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em , e existem os limites de e no ponto , então
(2.332) |
Observe que a tomada do limite não preserva a desigualdade estrita.
As funções e são tais que para todo . Ainda, temos
(2.333) |
A preservação da desigualdade também ocorre para limites laterais. Mais precisamente, se e são funções tais que para todo e existem os limites laterais à esquerda de e no ponto , então
(2.334) |
Vale o resultado análogo para limite lateral à direita e limites no infinito.
Se para todo em um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em , então
(2.335) |
Resultados análogos valem para limites laterais e limites no infinito.
Vamos calcular o seguinte limite
(2.336) |
Como , temos
(2.337) | |||
(2.338) |
Logo, temos
(2.339) |
Se para todo em um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em (consulte a Figura 2.31), e
(2.340) |
então
(2.341) |
Da preservação da desigualdade e da hipótese , temos
(2.342) |
donde
(2.343) |
e, portanto,
(2.344) |
∎
Toda função definida em um intervalo aberto em torno de , exceto talvez em , tal que , tem
(2.345) |
O Teorema do confronto também se aplica a limites laterais.
(2.346) |
De fato, começamos assumindo . Tomando , e (consulte a Figura 2.32), observamos que
(2.347) |
i.e.
(2.348) |
para todo .
É certo que para . Com isso e o resultado acima, temos
(2.349) |
Por fim, como
(2.352) |
do Teorema do confronto, concluímos
(2.353) |
Do exemplo anterior (Exemplo 2.7.4), podemos mostrar que
(2.354) |
De fato, da identidade trigonométrica de ângulo metade
(2.355) |
temos
(2.356) |
Então, aplicando as regras de cálculo de limites, obtemos
(2.357) | |||
(2.358) |
Agora, fazemos a mudança de variável . Neste caso, temos quando e, então
(2.359) |
Então, retornando a equação (2.358), concluímos
(2.360) |
As funções trigonométricas , , , , e são contínuas em todos os pontos de seus domínios. Em particular, e são contínuas em toda parte.
De fato, dos resultados anteriores (Exemplo 2.7.4 e Observação 2.7.3), temos
(2.361) | |||
(2.362) | |||
(2.363) |
Analogamente, podemos mostrar que (consulte o E.2.7.7). O que mostra que e são contínuas em toda parte.
A continuidade das funções , , e decorre, então, da continuidade de e e das relações trigonométricas
(2.364) | |||
(2.365) | |||
(2.366) | |||
(2.367) |
Verificamos o seguinte resultado
(2.368) |
Para verificarmos este resultado, calcularemos os limites laterais à esquerda e à direita. Começamos com o limite lateral a direita e assumimos . Sendo os pontos , , e (consulte Figura 2.33), observamos que
(2.369) |
Ou seja, temos
(2.370) |
Multiplicando por e dividindo por 44endnote: 4 para todo ., obtemos
(2.371) |
Tomando os recíprocos, temos
(2.372) |
Agora, passando ao limite
(2.373) |
Logo, concluímos que
(2.374) |
Agora, usando o fato de que é uma função par, temos
(2.375) | |||
(2.376) |
Calculados os limites laterais, concluímos o que queríamos.
Sabendo que para , calcule
(2.378) |
Pelo Teorema do Confronto, temos
(2.379) |
Logo,
(2.380) |
Calcule
(2.381) |
Usando as regras de cálculo de limites, temos
(2.382) | |||
(2.383) |
Supondo que para todo , determine o .
Calcule
(2.384) |
Calcule
(2.385) |
Calcule
(2.386) |
Calcule
(2.387) |
Calcule
(2.388) |
Use os fatos de que
(2.389) |
e
(2.390) |
para mostrar que
(2.391) |
Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!
Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.
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Se e são funções tais que para todo em um certo intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em , e existem os limites de e no ponto , então
(2.332) |
Observe que a tomada do limite não preserva a desigualdade estrita.
As funções e são tais que para todo . Ainda, temos
(2.333) |
A preservação da desigualdade também ocorre para limites laterais. Mais precisamente, se e são funções tais que para todo e existem os limites laterais à esquerda de e no ponto , então
(2.334) |
Vale o resultado análogo para limite lateral à direita e limites no infinito.
Se para todo em um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em , então
(2.335) |
Resultados análogos valem para limites laterais e limites no infinito.
Vamos calcular o seguinte limite
(2.336) |
Como , temos
(2.337) | |||
(2.338) |
Logo, temos
(2.339) |
Se para todo em um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em (consulte a Figura 2.31), e
(2.340) |
então
(2.341) |
Da preservação da desigualdade e da hipótese , temos
(2.342) |
donde
(2.343) |
e, portanto,
(2.344) |
∎
Toda função definida em um intervalo aberto em torno de , exceto talvez em , tal que , tem
(2.345) |
O Teorema do confronto também se aplica a limites laterais.
(2.346) |
De fato, começamos assumindo . Tomando , e (consulte a Figura 2.32), observamos que
(2.347) |
i.e.
(2.348) |
para todo .
É certo que para . Com isso e o resultado acima, temos
(2.349) |
Por fim, como
(2.352) |
do Teorema do confronto, concluímos
(2.353) |
Do exemplo anterior (Exemplo 2.7.4), podemos mostrar que
(2.354) |
De fato, da identidade trigonométrica de ângulo metade
(2.355) |
temos
(2.356) |
Então, aplicando as regras de cálculo de limites, obtemos
(2.357) | |||
(2.358) |
Agora, fazemos a mudança de variável . Neste caso, temos quando e, então
(2.359) |
Então, retornando a equação (2.358), concluímos
(2.360) |
As funções trigonométricas , , , , e são contínuas em todos os pontos de seus domínios. Em particular, e são contínuas em toda parte.
De fato, dos resultados anteriores (Exemplo 2.7.4 e Observação 2.7.3), temos
(2.361) | |||
(2.362) | |||
(2.363) |
Analogamente, podemos mostrar que (consulte o E.2.7.7). O que mostra que e são contínuas em toda parte.
A continuidade das funções , , e decorre, então, da continuidade de e e das relações trigonométricas
(2.364) | |||
(2.365) | |||
(2.366) | |||
(2.367) |
Verificamos o seguinte resultado
(2.368) |
Para verificarmos este resultado, calcularemos os limites laterais à esquerda e à direita. Começamos com o limite lateral a direita e assumimos . Sendo os pontos , , e (consulte Figura 2.33), observamos que
(2.369) |
Ou seja, temos
(2.370) |
Multiplicando por e dividindo por 44endnote: 4 para todo ., obtemos
(2.371) |
Tomando os recíprocos, temos
(2.372) |
Agora, passando ao limite
(2.373) |
Logo, concluímos que
(2.374) |
Agora, usando o fato de que é uma função par, temos
(2.375) | |||
(2.376) |
Calculados os limites laterais, concluímos o que queríamos.
Sabendo que para , calcule
(2.378) |
Pelo Teorema do Confronto, temos
(2.379) |
Logo,
(2.380) |
Calcule
(2.381) |
Usando as regras de cálculo de limites, temos
(2.382) | |||
(2.383) |
Supondo que para todo , determine o .
Calcule
(2.384) |
Calcule
(2.385) |
Calcule
(2.386) |
Calcule
(2.387) |
Calcule
(2.388) |
Use os fatos de que
(2.389) |
e
(2.390) |
para mostrar que
(2.391) |
Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!
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