Cálculo I

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2.7 Limites e desigualdades

Se $f$ e $g$ são funções tais que $f(x){\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}<}g(x)$ para todo $x$ em um certo intervalo aberto contendo $x_{0}$ , exceto possivelmente em $x=x_{0}$ , e existem os limites de $f$ e $g$ no ponto $x=x_{0}$ , então

\lim_{x\to x_{0}}f(x){\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{0,0,1}\leq}\lim_{x\to x_{0}}g(x).

(2.336)

Observe que a tomada do limite não preserva a desigualdade estrita.

Exemplo 2.7.1.

As funções $f(x)=x^{2}/3$ e $g(x)=x^{2}/2$ são tais que $f(x)<g(x)$ para todo $x\neq 0$ . Ainda, temos

\lim_{x\to 0}f(x)=0\quad\text{e}\quad\lim_{x\to 0}g(x)=0.

(2.337)

Observação 2.7.1.

A preservação da desigualdade também ocorre para limites laterais. Mais precisamente, se $f$ e $g$ são funções tais que $f(x)<g(x)$ para todo $x<x_{0}$ e existem os limites laterais à esquerda de $f$ e $g$ no ponto $x=x_{0}$ , então

\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\leq\lim_{x\to x_{0}^{-}}g(x).

(2.338)

Vale o resultado análogo para limite lateral à direita e limites no infinito.

2.7.1 Limites de funções limitadas

Se $f(x)\leq L$ para todo $x$ em um intervalo aberto contendo $x_{0}$ , exceto possivelmente em $x_{0}$ , então

\lim_{x\to x_{0}}f(x)\leq L.

(2.339)

Resultados análogos valem para limites laterais e limites no infinito.

Exemplo 2.7.2.

Vamos calcular o seguinte limite

\lim_{x\to\infty}e^{-x}\operatorname{sen}x.

(2.340)

Como $|\operatorname{sen}x|\leq 1$ , temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{-x}\operatorname{sen}x\leq\lim_{x\to\infty}e^% {-x}=0,$		(2.341)
	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{-x}\operatorname{sen}x\geq\lim_{x\to\infty}-e% ^{-x}=0.$		(2.342)

Logo, temos

\lim_{x\to\infty}e^{-x}\operatorname{sen}x=0.

(2.343)

2.7.2 Teorema do confronto

Teorema 2.7.1.(Teorema do confronto)

Se $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ para todo $x$ em um intervalo aberto contendo $a$ , exceto possivelmente em $x=a$ (consultemos a Figura 2.31), e

\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L,

(2.344)

então

\lim_{x\to a}f(x)=L.

(2.345)

Demonstração.

Da preservação da desigualdade e da hipótese $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ , temos

\lim_{x\to a}g(x)\leq\lim_{x\to a}f(x)\leq\lim_{x\to a}h(x)

(2.346)

donde

L\leq\lim_{x\to a}f(x)\leq L

(2.347)

e, portanto,

\lim_{x\to a}f(x)=L.

(2.348)

∎

Refer to caption — Figura 2.31: Teorema do confronto.

Exemplo 2.7.3.

Toda função $f$ definida em um intervalo aberto em torno de $x=0$ , exceto talvez em $x=0$ , tal que $-1+x^{2}/2\leq f(x)\leq-1+x^{2}/3$ , tem

\lim_{x\to 0}f(x)=-1.

(2.349)

Observação 2.7.2.(Teorema do confronto para limites laterais)

O Teorema do confronto também se aplica a limites laterais.

Exemplo 2.7.4.( $\operatorname{sen}(x)\to 0$ , $x\to 0$ )

\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}x=0.

(2.350)

De fato, começamos assumindo $0<x<\pi/2$ . Tomando $O=(0,0)$ , $A=(1,0)$ e $P=(\cos x,\operatorname{sen}x)$ (consultemos a Figura 2.32), observamos que

\text{\'{A}rea do tri\^{a}ng.}OAP<\text{\'{A}rea do setor}OAP,

(2.351)

i.e.

\frac{\operatorname{sen}x}{2}<\frac{x}{2}\Rightarrow\operatorname{sen}x<x,

(2.352)

para todo $0<x<\pi/2$ .

É certo que $\operatorname{sen}x<-x$ para $-\pi/2<x<0$ . Com isso e o resultado acima, temos

\operatorname{sen}x\leq|x|,\quad-\pi/2<x<\pi/2.

(2.353)

Lembrando que $\operatorname{sen}x$ é uma função ímpar, temos

-|x|\leq-\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}(-x),\quad-\pi/2<x<\pi/2.

(2.354)

Logo, de (2.353) e (2.354), temos

-|x|\leq\operatorname{sen}x\leq|x|.

(2.355)

Por fim, como

\lim_{x\to 0}-|x|=\lim_{x\to 0}|x|=0,

(2.356)

do teorema do confronto, concluímos

\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}x=0.

(2.357)

Observação 2.7.3.( $\cos(x)\to 1$ , $x\to 0$ )

Do exemplo anterior (Exemplo 2.7.4), podemos mostrar que

\lim_{x\to 0}\cos x=1.

(2.358)

De fato, da identidade trigonométrica de ângulo metade

\operatorname{sen}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1-\cos x}{2}

(2.359)

temos

\cos x=1+2\operatorname{sen}^{2}\left(\frac{x}{2}\right).

(2.360)

Então, aplicando as regras de cálculo de limites, obtemos

	$\displaystyle\lim_{x\to 0}\cos x=\lim_{x\to 0}\left[1+2\operatorname{sen}^{2}% \left(\frac{x}{2}\right)\right]$		(2.361)
	$\displaystyle\text{}\quad=1+2\left[\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}\left(\frac{% x}{2}\right)\right]^{2}.$		(2.362)

Agora, fazemos a mudança de variável $y=x/2$ . Neste caso, temos $y\to 0$ quando $x\to 0$ e, então

\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}\frac{x}{2}=\lim_{y\to 0}\operatorname{sen}y=0.

(2.363)

Então, retornando a equação (2.362), concluímos

\lim_{x\to 0}\cos x=1.

(2.364)

2.7.3 Continuidade de funções trigonométricas

As funções trigonométricas $\operatorname{sen}x$ , $\cos x$ , $\operatorname{tg}x$ , $\cot x$ , $\sec x$ e $\operatorname{cossec}x$ são contínuas em todos os pontos de seus domínios. Em particular, $\operatorname{sen}x$ e $\cos x$ são contínuas em toda parte.

De fato, dos resultados anteriores (Exemplo 2.7.4 e Observação 2.7.3), temos

	$\displaystyle\lim_{x\to a}\operatorname{sen}x=\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}(% x+a)$		(2.365)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}\left(\cancelto{0}{\operatorname{sen}x}% \cos a+\cancelto{1}{\cos x}\operatorname{sen}a\right)$		(2.366)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{sen}a.$		(2.367)

Analogamente, podemos mostrar que $\lim_{x\to a}\cos x=\cos a$ (consulte o E.2.7.7). O que mostra que $\operatorname{sen}x$ e $\cos x$ são contínuas em toda parte.

A continuidade das funções $\operatorname{tg}x$ , $\cot x$ , $\sec x$ e $\operatorname{cossec}x$ decorre, então, da continuidade de $\operatorname{sen}x$ e $\cos x$ e das relações trigonométricas

	$\displaystyle\operatorname{tg}x=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}$		(2.368)
	$\displaystyle\cot x=\frac{\cos x}{\operatorname{sen}x}$		(2.369)
	$\displaystyle\sec x=\frac{1}{\cos x}$		(2.370)
	$\displaystyle\operatorname{cossec}x=\frac{1}{\operatorname{sen}x}.$		(2.371)

2.7.4 Limites envolvendo $(\operatorname{sen}x)/x$

Verificamos o seguinte resultado

\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.

(2.372)

Para verificarmos este resultado, calcularemos os limites laterais à esquerda e à direita. Começamos com o limite lateral à direita e assumimos $0<x<\pi/2$ . Sendo os pontos $O=(0,0)$ , $P=(\cos x,\operatorname{sen}x)$ , $A=(1,0)$ e $T=(1,\operatorname{tg}x)$ (consultemos a Figura 2.33), observamos que

\text{\'{A}rea do tri\^{a}ng. }OAP<\text{\'{A}rea do setor}OAP<\text{\'{A}rea % do tri\^{a}ng. }OAT.

(2.373)

Ou seja, temos

\frac{\operatorname{sen}x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\operatorname{tg}x}{2}.

(2.374)

Multiplicando por $2$ e dividindo por $\operatorname{sen}x$ ⁴⁴4 $\operatorname{sen}x>0$ para todo $0<x<\pi/2$ ., obtemos

1<\frac{x}{\operatorname{sen}x}<\frac{1}{\cos x}.

(2.375)

Tomando os recíprocos, temos

1>\frac{\operatorname{sen}x}{x}>\cos x.

(2.376)

Agora, passando ao limite

1=\lim_{x\to 0^{+}}1\geq\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sen}x}{x}\geq\lim% _{x\to 0^{+}}\cos x=1.

(2.377)

Logo, concluímos que

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.

(2.378)

Agora, usando o fato de que $\operatorname{sen}x/x$ é uma função par, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=\lim_{x\to 0^{-}}% \frac{\operatorname{sen}(-x)}{-x}$		(2.379)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.$		(2.380)

Calculados os limites laterais, concluímos o que queríamos.

Exemplo 2.7.5.

Com o resultado acima e as regras de cálculo de limites, temos

\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}=0.

(2.381)

Consulte o E.2.7.4.

2.7.5 Exercícios resolvidos

ER 2.7.1.

Sabendo que $x^{3}\leq f(x)\leq\sqrt{x}$ para $0<x<1$ , calcule

\lim_{x\to 0^{+}}f(x).

(2.382)

Resolução.

Pelo teorema do Confronto, temos

\lim_{x\to 0^{+}}\cancelto{0}{x^{3}}\leq\lim_{x\to 0^{+}}f(x)\leq\lim_{x\to 0^% {+}}\cancelto{0}{\sqrt{x}}.

(2.383)

Logo,

\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0.

(2.384)

ER 2.7.2.

Calcule

\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}(2x)/x.

(2.385)

Resolução.

Usando as regras de cálculo de limites, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{% \operatorname{sen}(2x)}{x}\cdot\frac{2}{2}$		(2.386)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}=2% \cdot 1=2.$		(2.387)

2.7.6 Exercícios

E. 2.7.1.

Supondo que $1-x^{2}/3\leq u(x)\leq 1-x^{2}/2$ para todo $x\neq 0$ , determine o $\lim_{x\to 0}u(x)$ .

$1$

E. 2.7.2.

Calcule

\lim_{x\to\infty}e^{-x}\cos x.

(2.388)

$0$

E. 2.7.3.

Calcule

\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}3x}{6x}.

(2.389)

$\frac{1}{2}$

E. 2.7.4.

Calcule

\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}.

(2.390)

$0$

E. 2.7.5.

Calcule

\lim_{x\to 0}\frac{\cos(3x)-1}{6x}.

(2.391)

$0$

E. 2.7.6.

Calcule

\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{x}.

(2.392)

$0$

E. 2.7.7.

Use os fatos de que

\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}x=0

(2.393)

\lim_{x\to 0}\cos x=1

(2.394)

para mostrar que

\lim_{x\to a}\cos x=\cos a.

(2.395)

Dica: $\lim_{x\to a}\cos x=\lim_{y\to 0}\cos(a-y)$ , pela mudança de variável $y=a-x$ .

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2.7 Limites e desigualdades

Exemplo 2.7.1.

Observação 2.7.1.

2.7.1 Limites de funções limitadas

Exemplo 2.7.2.

2.7.2 Teorema do confronto

Teorema 2.7.1.(Teorema do confronto)

Demonstração.

Exemplo 2.7.3.

Observação 2.7.2.(Teorema do confronto para limites laterais)

Exemplo 2.7.4.( $\operatorname{sen}(x)\to 0$ , $x\to 0$ )

Observação 2.7.3.( $\cos(x)\to 1$ , $x\to 0$ )

2.7.3 Continuidade de funções trigonométricas

2.7.4 Limites envolvendo $(\operatorname{sen}x)/x$

Exemplo 2.7.5.

2.7.5 Exercícios resolvidos

ER 2.7.1.

Resolução.

ER 2.7.2.

Resolução.

2.7.6 Exercícios

E. 2.7.1.

E. 2.7.2.

E. 2.7.3.

E. 2.7.4.

E. 2.7.5.

E. 2.7.6.

E. 2.7.7.

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2.7.2 Teorema do confronto

Teorema 2.7.1.(Teorema do confronto)

Demonstração.

Exemplo 2.7.3.

Observação 2.7.2.(Teorema do confronto para limites laterais)

Exemplo 2.7.4.(sen⁡(x)→0, x→0)

Observação 2.7.3.(cos⁡(x)→1, x→0)

2.7.3 Continuidade de funções trigonométricas

2.7.4 Limites envolvendo (sen⁡x)/x

Exemplo 2.7.5.

2.7.5 Exercícios resolvidos

ER 2.7.1.

Resolução.

ER 2.7.2.

Resolução.

2.7.6 Exercícios

E. 2.7.1.

E. 2.7.2.

E. 2.7.3.

E. 2.7.4.

E. 2.7.5.

E. 2.7.6.

E. 2.7.7.

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Exemplo 2.7.4.( $\operatorname{sen}(x)\to 0$ , $x\to 0$ )

Observação 2.7.3.( $\cos(x)\to 1$ , $x\to 0$ )

2.7.4 Limites envolvendo $(\operatorname{sen}x)/x$