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2.7 Limites e desigualdades
Se e são funções tais que para todo em um certo intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em , e existem os limites de e no ponto , então
(2.336)
Observe que a tomada do limite não preserva a desigualdade estrita.
Exemplo 2.7.1.
As funções e são tais que para todo . Ainda, temos
(2.337)
Observação 2.7.1.
A preservação da desigualdade também ocorre para limites laterais. Mais precisamente, se e são funções tais que para todo e existem os limites laterais à esquerda de e no ponto , então
(2.338)
Vale o resultado análogo para limite lateral à direita e limites no infinito.
2.7.1 Limites de funções limitadas
Se para todo em um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em , então
(2.339)
Resultados análogos valem para limites laterais e limites no infinito.
Exemplo 2.7.2.
Vamos calcular o seguinte limite
(2.340)
Como , temos
(2.341)
(2.342)
Logo, temos
(2.343)
2.7.2 Teorema do confronto
Teorema 2.7.1.(Teorema do confronto)
Se para todo em um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em (consultemos a Figura 2.31), e
(2.344)
então
(2.345)
Demonstração.
Da preservação da desigualdade e da hipótese , temos
(2.346)
donde
(2.347)
e, portanto,
(2.348)
∎
Figura 2.31: Teorema do confronto.
Exemplo 2.7.3.
Toda função definida em um intervalo aberto em torno de , exceto talvez em , tal que , tem
(2.349)
Observação 2.7.2.(Teorema do confronto para limites laterais)
O Teorema do confronto também se aplica a limites laterais.
Exemplo 2.7.4.(, )
(2.350)
Figura 2.32: Esquema geométrico para o cálculo do .
De fato, começamos assumindo . Tomando , e (consultemos a Figura 2.32), observamos que
(2.351)
i.e.
(2.352)
para todo .
É certo que para . Com isso e o resultado acima, temos
As funções trigonométricas , , , , e são contínuas em todos os pontos de seus domínios. Em particular, e são contínuas em toda parte.
De fato, dos resultados anteriores (Exemplo 2.7.4 e Observação 2.7.3), temos
(2.365)
(2.366)
(2.367)
Analogamente, podemos mostrar que (consulte o E.2.7.7). O que mostra que e são contínuas em toda parte.
A continuidade das funções , , e decorre, então, da continuidade de e e das relações trigonométricas
(2.368)
(2.369)
(2.370)
(2.371)
2.7.4 Limites envolvendo
Verificamos o seguinte resultado
(2.372)
Figura 2.33: Esquema geométrico para o cálculo de .
Para verificarmos este resultado, calcularemos os limites laterais à esquerda e à direita. Começamos com o limite lateral a direita e assumimos . Sendo os pontos , , e (consultemos a Figura 2.33), observamos que
(2.373)
Ou seja, temos
(2.374)
Multiplicando por e dividindo por 44endnote: 4 para todo ., obtemos
(2.375)
Tomando os recíprocos, temos
(2.376)
Agora, passando ao limite
(2.377)
Logo, concluímos que
(2.378)
Agora, usando o fato de que é uma função par, temos
(2.379)
(2.380)
Calculados os limites laterais, concluímos o que queríamos.
Exemplo 2.7.5.
Com o resultado acima e as regras de cálculo de limites, temos