Cálculo I

5 Integração 5.7 Integração por frações parciais 6 Aplicações da integral

Ajude a manter o site livre, gratuito e sem propagandas. Colabore!

5.8 Integrais impróprias

A integral

\int_{a}^{b}f(x)\,dx

(5.643)

é chamada de integral imprópria quando $a,b\to\pm\infty$ ou $f$ tem uma descontinuidade infinita no intervalo $[a,b]$ . Quando a integral existe, dizemos que ela é convergente.

Exemplo 5.8.1.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int_{-2}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx$ É uma integral imprópria, pois o intervalo de integração $[-2,\infty)$ é infinito.
b)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{1}e^{x}\,dx$ É uma integral imprópria, pois o intervalo de integração $(-\infty,1]$ é infinito.
c)

$\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx$ É uma integral imprópria, pois o integrando $1/(x+1)$ tem uma assíntota vertical no extremo esquerdo do intervalo de integração.
d)

$\displaystyle\int_{0}^{2}\frac{x-1}{x^{2}-1}\,dx$ Não é uma integral imprópria, pois o integrando é contínuo por partes no intervalo $[0,2]$ .
e)

$\displaystyle\int_{-2}^{2}\frac{x-1}{x^{2}-1}\,dx$ É uma integral imprópria, pois o integrando tem uma descontinuidade infinita em $x=-1$ .

5.8.1 Limites de integração infinitos

No caso de integrais impróprias da forma

\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx

(5.644)

calculamos

\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(5.645)

Exemplo 5.8.2.

Vamos calcular

\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx

(5.646)

Temos

	$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b% }\frac{1}{x^{2}}\,dx$		(5.647)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}$		(5.648)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\left[-\cancelto{0}{\frac{1}{b}}+% \frac{1}{1}\right]$		(5.649)
	$\displaystyle\text{}\quad=1$		(5.650)

Analogamente, calculamos

\int_{-\infty}^{b}f(x)\,dx=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(5.651)

Exemplo 5.8.3.

Vamos calcular

\int_{-\infty}^{2}e^{x}\,dx.

(5.652)

Temos

	$\displaystyle\int_{-\infty}^{2}e^{x}\,dx=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{2}e^{x}\,dx$		(5.653)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{a\to-\infty}[e^{x}]_{a}^{2}$		(5.654)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{a\to-\infty}e^{2}-\cancelto{0}{e^{a}}$		(5.655)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$		(5.656)

No caso de integrais impróprias da forma

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx

(5.657)

escolhemos um $c$ qualquer e calculamos

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\int_{-\infty}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{\infty}f(% x)\,dx

(5.658)

Dizemos que a integral é divergente no caso de ao menos uma das integrais à direita ser divergente.

Exemplo 5.8.4.

Vamos calcular

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2dx}{1+4x^{2}}

(5.659)

Escolhendo $c=0$ , temos

	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2dx}{1+4x^{2}}=\int_{-\infty}^{0}% \frac{2dx}{1+4x^{2}}+\int_{0}^{\infty}\frac{2dx}{1+4x^{2}}$		(5.660)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\frac{2dx}{1+4x^{2}}+% \lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}\frac{2dx}{1+4x^{2}}$		(5.661)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{a\to-\infty}[\operatorname{arc}\operatorname{% tg}(2x)]_{a}^{0}+\lim_{b\to\infty}[\operatorname{arc}\operatorname{tg}(2x)]_{0% }^{b}$		(5.662)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{a\to-\infty}[\operatorname{arc}\operatorname{% tg}(0)-\cancelto{-\frac{\pi}{4}}{\operatorname{arc}\operatorname{tg}(a)}]_{a}^% {0}$
	$\displaystyle\text{}\quad+\lim_{b\to\infty}[\cancelto{\frac{\pi}{4}}{% \operatorname{arc}\operatorname{tg}(b)}-\operatorname{arc}\operatorname{tg}(0)% ]_{0}^{b}$		(5.663)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$		(5.664)

5.8.2 Integrandos com descontinuidade infinita

No caso de integrais impróprias em que o integrando tem descontinuidade infinita no limite de integração inferior, calculamos

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim_{c\to a^{+}}\int_{c}^{b}f(x),dx.

(5.665)

Se a descontinuidade for no limite superior, então calculamos

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim_{c\to b^{-}}\int_{a}^{c}f(x),dx.

(5.666)

Exemplo 5.8.5.

Vamos calcular

\int_{1}^{2}\frac{2x-2}{(x-1)^{2}}\,dx

(5.667)

Temos

	$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}}\,dx=\lim_{c\to 1^{+}}\int_{c}^{2% }\frac{dx}{(x-1)^{2}}$		(5.668)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{c\to 1^{+}}\int_{x=c}^{2}\frac{du}{u^{2}}$		(5.669)

onde, usamos a substituição $u=x-1$ e $du=dx$ . Segue que,

	$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}}\,dx=\lim_{c\to 1^{+}}[-u^{-1}]_{% x=c}^{2}$		(5.670)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{c\to 1^{+}}\left[-\frac{1}{x-1}\right]_{c}^{2}$		(5.671)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{c\to 1^{+}}\left[-1+\frac{1}{\cancelto{0^{+}}{% c-1}}\right]$		(5.672)
	$\displaystyle\text{}\quad=\infty$		(5.673)

No caso do integrando ter descontinuidade infinita em um ponto interno do limite de integração, calculamos

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx,

(5.674)

onde, $x=c$ é o ponto de descontinuidade de $f$ .

Exemplo 5.8.6.

Vamos calcular

\int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}

(5.675)

Fazemos

	$\displaystyle\int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}=\int_{0}^{2}\frac{dx}{x-2}+\int_{2}^{3% }\frac{dx}{x-2}$		(5.676)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{c\to 2^{-}}\int_{0}^{c}\frac{dx}{x-2}+\lim_{c% \to 2^{+}}\int_{c}^{3}\frac{dx}{x-2}$		(5.677)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{c\to 2^{-}}[\ln\|x-2\|]_{0}^{c}+\lim_{x\to 2^{+}% }[\ln\|x-2\|]_{c}^{3}$		(5.678)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{c\to 2^{-}}[\cancelto{-\infty}{\ln\|c-2\|}+\ln\|-% 2\|]_{0}^{c}+\lim_{x\to 2^{+}}[\ln\|1\|-\cancelto{-\infty}{\ln\|c-2\|}]_{c}^{3}$		(5.679)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\infty+\infty$		(5.680)

no que concluímos que a integral é divergente.

5.8.3 Exercícios resolvidos

ER 5.8.1.

Para quais valores de $p$ a integral

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}

(5.681)

é convergente.

Resolução.

Por definição

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{p}}

(5.682)

Para $p=1$ , temos

	$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{% dx}{x}$		(5.683)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\left[\ln\|x\|\right]_{1}^{b}$		(5.684)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\left[\cancelto{\infty}{\ln\|b\|}-\ln% \|1\|\right]$		(5.685)
	$\displaystyle\text{}\quad=\infty$		(5.686)

Ou seja, para $p=1$ a integral é divergente. Agora, para $p\neq 1$ , temos

	$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}% \frac{dx}{x^{p}}$		(5.687)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1% }^{b}$		(5.688)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\left[\frac{b^{1-p}}{1-p}-\frac{1}{% 1-p}\right]$		(5.689)

Para $p<1$ , temos que $b^{1-p}\to\infty$ quando $b\to\infty$ . Agora, para $p>1$ , temos que $b^{1-p}\to 0$ quando $b\to\infty$ . Logo, concluímos que a integral é convergente para $p>1$ e

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\frac{1}{p-1},\quad p>1.

(5.690)

ER 5.8.2.

Calcule

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{(x-1)^{2}}

(5.691)

Resolução.

Notamos que, além do limite de integração infinito, o integrando tem uma descontinuidade infinita em $x=1$ . Logo, calculamos

	$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x-1}=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}% \frac{dx}{(x-1)^{2}}$		(5.692)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\left[\lim_{a\to 1^{+}}\int_{a}^{b}% \frac{dx}{(x-1)^{2}}\right]$		(5.693)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\left[\lim_{a\to 1^{+}}\left[\frac{% 1}{1-x}\right]_{a}^{b}\right]$		(5.694)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\lim_{a\to 1^{+}}\left(\cancelto{0}% {\frac{1}{1-b}}-\cancelto{-\infty}{\frac{1}{1-a}}\right)$		(5.695)
	$\displaystyle\text{}\quad=+\infty$		(5.696)

5.8.4 Exercícios

E. 5.8.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}$
b)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{-\frac{1}{2}}\frac{dx}{x^{3}}$

a) $\frac{1}{2}$ ; b) $2$

E. 5.8.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{xdx}{\sqrt{x^{2}+1}}$
b)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-x}}{1+e^{-2x}}\,dx$

a) $\infty$ ; b) $-\frac{\pi}{2}$

E. 5.8.3.

Calcule

1.

$\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$
2.

$\displaystyle\int_{-1}^{2}\frac{dx}{x-2}\,dx$

a) $\infty$ ; b) $-\infty$

E. 5.8.4.

Calcule

\int_{-2}^{2}\frac{dx}{x^{2}}

(5.697)

$\infty$

E. 5.8.5.

Calcule

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}

(5.698)

divergente

Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Política de uso de dados

Política de uso de dados

Cálculo I

5.8 Integrais impróprias

Exemplo 5.8.1.

5.8.1 Limites de integração infinitos

Exemplo 5.8.2.

Exemplo 5.8.3.

Exemplo 5.8.4.

5.8.2 Integrandos com descontinuidade infinita

Exemplo 5.8.5.

Exemplo 5.8.6.

5.8.3 Exercícios resolvidos

ER 5.8.1.

Resolução.

ER 5.8.2.

Resolução.

5.8.4 Exercícios

E. 5.8.1.

E. 5.8.2.

E. 5.8.3.

E. 5.8.4.

E. 5.8.5.

Envie seu comentário