Cálculo I

5 Integração 5.7 Integração por frações parciais 6 Aplicações da integral

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5.8 Integrais impróprias

A integral

\int_{a}^{b}f(x)\,dx

(5.660)

é chamada de integral imprópria quando $a,b\to\pm\infty$ ou $f$ tem uma descontinuidade infinita no intervalo $[a,b]$ . Quando a integral existe, dizemos que ela é convergente, noutro caso, dizemos que ela é divergente.

Exemplo 5.8.1.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int_{-2}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx$

É uma integral imprópria, pois o intervalo de integração $[-2,\infty)$ é infinito.
b)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{1}e^{x}\,dx$

É uma integral imprópria, pois o intervalo de integração $(-\infty,1]$ é infinito.
c)

$\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx$

É uma integral imprópria, pois o integrando $1/(x+1)$ tem uma assíntota vertical no extremo esquerdo do intervalo de integração.
d)

$\displaystyle\int_{0}^{2}\frac{x-1}{x^{2}-1}\,dx$

Não é uma integral imprópria, pois o integrando é contínuo por partes no intervalo $[0,2]$ .
e)

$\displaystyle\int_{-2}^{2}\frac{x-1}{x^{2}-1}\,dx$

É uma integral imprópria, pois o integrando tem uma descontinuidade infinita em $x=-1$ .

5.8.1 Limites de integração infinitos

No caso de integrais impróprias da forma

\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx

(5.661)

calculamos

\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(5.662)

Exemplo 5.8.2.

Vamos calcular

\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx

(5.663)

Temos

	$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b% }\frac{1}{x^{2}}\,dx$		(5.664)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}$		(5.665)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\left[-\cancelto{0}{\frac{1}{b}}+% \frac{1}{1}\right]$		(5.666)
	$\displaystyle\text{}\quad=1$		(5.667)

Analogamente, calculamos

\int_{-\infty}^{b}f(x)\,dx=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(5.668)

Exemplo 5.8.3.

Vamos calcular

\int_{-\infty}^{2}e^{x}\,dx.

(5.669)

Temos

	$\displaystyle\int_{-\infty}^{2}e^{x}\,dx=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{2}e^{x}\,dx$		(5.670)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{a\to-\infty}[e^{x}]_{a}^{2}$		(5.671)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{a\to-\infty}e^{2}-\cancelto{0}{e^{a}}$		(5.672)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$		(5.673)

No caso de integrais impróprias da forma

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx

(5.674)

escolhemos um $c$ qualquer e calculamos

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\int_{-\infty}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{\infty}f(% x)\,dx

(5.675)

Dizemos que a integral é divergente no caso de ao menos uma das integrais à direita ser divergente.

Exemplo 5.8.4.

Vamos calcular

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2dx}{1+4x^{2}}

(5.676)

Escolhendo $c=0$ , temos

	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2dx}{1+4x^{2}}=\int_{-\infty}^{0}% \frac{2dx}{1+4x^{2}}+\int_{0}^{\infty}\frac{2dx}{1+4x^{2}}$		(5.677)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\frac{2dx}{1+4x^{2}}+% \lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}\frac{2dx}{1+4x^{2}}$		(5.678)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{a\to-\infty}[\operatorname{arc}\operatorname{% tg}(2x)]_{a}^{0}+\lim_{b\to\infty}[\operatorname{arc}\operatorname{tg}(2x)]_{0% }^{b}$		(5.679)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{a\to-\infty}[\operatorname{arc}\operatorname{% tg}(0)-\cancelto{-\frac{\pi}{2}}{\operatorname{arc}\operatorname{tg}(a)}]_{a}^% {0}$
	$\displaystyle\text{}\quad+\lim_{b\to\infty}[\cancelto{\frac{\pi}{2}}{% \operatorname{arc}\operatorname{tg}(b)}-\operatorname{arc}\operatorname{tg}(0)% ]_{0}^{b}$		(5.680)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi$		(5.681)

5.8.2 Integrandos com descontinuidade infinita

No caso de integrais impróprias em que o integrando tem descontinuidade infinita no limite de integração inferior, calculamos

\int_{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}a}}^{b}f(x)\,% dx=\lim_{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}c\to a^{+}}% \int_{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}c}}^{b}f(x)\,dx.

(5.682)

Se a descontinuidade for no limite superior, então calculamos

\int_{a}^{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}b}}f(x)\,dx=% \lim_{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}c\to b^{-}}% \int_{a}^{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}c}}f(x)\,dx.

(5.683)

Exemplo 5.8.5.

Vamos calcular

\int_{1}^{2}\frac{2x-2}{(x-1)^{2}}\,dx

(5.684)

Temos

	$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{2x-2}{(x-1)^{2}}\,dx=\lim_{c\to 1^{+}}\int_{c}^% {2}\frac{2x-2}{(x-1)^{2}}\,dx$		(5.685)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{c\to 1^{+}}2\int_{x=c}^{2}\frac{dx}{x-1}$		(5.686)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{c\to 1^{+}}2\int_{x=c}^{2}\frac{du}{u}$		(5.687)

onde, usamos a substituição $u=x-1$ e $du=dx$ . Segue que,

	$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{2x-2}{(x-1)^{2}}\,dx=\lim_{c\to 1^{+}}2[\ln\|u\|]% _{x=c}^{2}$		(5.688)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{c\to 1^{+}}2\left[\ln\|x-1\|\right]_{c}^{2}$		(5.689)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{c\to 1^{+}}2\left[0-\cancelto{-\infty}{\ln\|c-1% \|}\right]$		(5.690)
	$\displaystyle\text{}\quad=\infty$		(5.691)

No caso do integrando ter descontinuidade infinita em um ponto interno do intervalo de integração, calculamos

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}% \pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}c}}f(x)\,dx+\int_{{\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{% 1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}c}}^{b}f(x)\,dx,

(5.692)

onde, $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}x=c$ é o ponto de descontinuidade de $f$ .

Exemplo 5.8.6.

Vamos calcular

\int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}

(5.693)

Fazemos

	$\displaystyle\int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}=\int_{0}^{2}\frac{dx}{x-2}+\int_{2}^{3% }\frac{dx}{x-2}$		(5.694)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{c\to 2^{-}}\int_{0}^{c}\frac{dx}{x-2}+\lim_{c% \to 2^{+}}\int_{c}^{3}\frac{dx}{x-2}$		(5.695)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{c\to 2^{-}}[\ln\|x-2\|]_{0}^{c}+\lim_{x\to 2^{+}% }[\ln\|x-2\|]_{c}^{3}$		(5.696)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{c\to 2^{-}}[\cancelto{-\infty}{\ln\|c-2\|}+\ln\|-% 2\|]_{0}^{c}+\lim_{x\to 2^{+}}[\ln\|1\|-\cancelto{-\infty}{\ln\|c-2\|}]_{c}^{3}$		(5.697)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\infty+\infty$		(5.698)

no que concluímos que a integral é divergente.

5.8.3 Teste de comparação

Sejam $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}f$ e $\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}g$ funções contínuas em $[a,\infty)$ com $0\leq{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}f(x)}\leq{% \color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}g(x)}$ para todo $x\geq a$ . Então:

a)

Se $\displaystyle\int_{a}^{\infty}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}% \pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}g(x)}\,dx$ é convergente, então $\displaystyle\int_{a}^{\infty}{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}% \pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}f(x)}\,dx$ também é convergente.
b)

Se $\displaystyle\int_{a}^{\infty}{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}% \pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}f(x)}\,dx$ é divergente, então $\displaystyle\int_{a}^{\infty}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}% \pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}g(x)}\,dx$ também é divergente.

Exemplo 5.8.7.

É convergente a integral

\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx.

(5.699)

De fato, temos que

	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx=\int_{-\infty}^{0}e^{-x^{2}% }\,dx$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx$		(5.700)

Para $x\geq 0$ , temos que $e^{-x^{2}}\leq e^{-x}$ . Logo, como

\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x}\,dx<\infty,

(5.701)

concluímos, pelo teste de comparação, que

\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx<\infty.

(5.702)

Por raciocínio análogo¹³¹³13Consulte o E.5.8.10, o teste de comparação nos permite concluir que

\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{-x^{2}}\,dx<\infty.

(5.703)

O que mostra que a integral $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx$ é convergente.

Exemplo 5.8.8.

É divergente a integral

\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-1}}.

(5.704)

De fato, para $x\geq 1$ , temos que $\sqrt{x^{2}-1}\leq x$ e, por tanto,

\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\geq\frac{1}{x}.

(5.705)

Logo, como

\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}=\infty,

(5.706)

concluímos, pelo teste de comparação, que

\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-1}}

(5.707)

é divergente.

5.8.4 Exercícios resolvidos

ER 5.8.1.

Para quais valores de $p$ a integral

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}

(5.708)

é convergente.

Resolução.

Por definição

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{p}}

(5.709)

Para $p=1$ , temos

	$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{% dx}{x}$		(5.710)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\left[\ln\|x\|\right]_{1}^{b}$		(5.711)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\left[\cancelto{\infty}{\ln\|b\|}-\ln% \|1\|\right]$		(5.712)
	$\displaystyle\text{}\quad=\infty$		(5.713)

Ou seja, para $p=1$ a integral é divergente. Agora, para $p\neq 1$ , temos

	$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}% \frac{dx}{x^{p}}$		(5.714)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1% }^{b}$		(5.715)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\left[\frac{b^{1-p}}{1-p}-\frac{1}{% 1-p}\right]$		(5.716)

Para $p<1$ , temos que $b^{1-p}\to\infty$ quando $b\to\infty$ . Agora, para $p>1$ , temos que $b^{1-p}\to 0$ quando $b\to\infty$ . Logo, concluímos que a integral é convergente para $p>1$ e

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\frac{1}{p-1},\quad p>1.

(5.717)

ER 5.8.2.

Calcule

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{(x-1)^{2}}

(5.718)

Resolução.

Notamos que, além do limite de integração infinito, o integrando tem uma descontinuidade infinita em $x=1$ . Logo, calculamos

	$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{(x-1)^{2}}=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{% b}\frac{dx}{(x-1)^{2}}$		(5.719)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\left[\lim_{a\to 1^{+}}\int_{a}^{b}% \frac{dx}{(x-1)^{2}}\right]$		(5.720)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\left[\lim_{a\to 1^{+}}\left[\frac{% 1}{1-x}\right]_{a}^{b}\right]$		(5.721)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{b\to\infty}\lim_{a\to 1^{+}}\left(\cancelto{0}% {\frac{1}{1-b}}-\cancelto{-\infty}{\frac{1}{1-a}}\right)$		(5.722)
	$\displaystyle\text{}\quad=+\infty$		(5.723)

5.8.5 Exercícios

E. 5.8.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}$
b)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{-\frac{1}{2}}\frac{dx}{x^{3}}$

a) $\frac{1}{2}$ ; b) $-2$

E. 5.8.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{xdx}{\sqrt{x^{2}+1}}$
b)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-x}}{1+e^{-2x}}\,dx$

a) divergente; b) $-\frac{\pi}{2}$

E. 5.8.3.

Calcule

\displaystyle\int_{2}^{\infty}\frac{\ln(x-1)}{x^{2}-2x+1}\,dx

(5.724)

$1$

E. 5.8.4.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$
b)

$\displaystyle\int_{-1}^{2}\frac{dx}{x-2}\,dx$

a) divergente; b) divergente

E. 5.8.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x}}$
b)

$\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x}{\sqrt{1-x}}\,dx$

a) $2$ ; b) $\frac{4}{3}$

E. 5.8.6.

Calcule

\int_{-2}^{2}\frac{dx}{x^{2}}

(5.725)

divergente

E. 5.8.7.

Calcule

\int_{0}^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+1}}\,dx

(5.726)

$6$

E. 5.8.8.

Calcule

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}

(5.727)

divergente

E. 5.8.9.

Em cada item, use o teste de comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.

a)

$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1}$
b)

$\displaystyle\int_{\pi}^{\infty}\frac{\cos^{2}(x)}{x^{2}}\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+\operatorname{sen}^{2}(x)}}$

a) convergente; b) convergente; c) divergente

E. 5.8.10.

Use o teste de comparação para determinar se a integral

\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{-x^{2}}\,dx

(5.728)

é convergente ou divergente.

convergente

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5.8 Integrais impróprias

Exemplo 5.8.1.

5.8.1 Limites de integração infinitos

Exemplo 5.8.2.

Exemplo 5.8.3.

Exemplo 5.8.4.

5.8.2 Integrandos com descontinuidade infinita

Exemplo 5.8.5.

Exemplo 5.8.6.

5.8.3 Teste de comparação

Exemplo 5.8.7.

Exemplo 5.8.8.

5.8.4 Exercícios resolvidos

ER 5.8.1.

Resolução.

ER 5.8.2.

Resolução.

5.8.5 Exercícios

E. 5.8.1.

E. 5.8.2.

E. 5.8.3.

E. 5.8.4.

E. 5.8.5.

E. 5.8.6.

E. 5.8.7.

E. 5.8.8.

E. 5.8.9.

E. 5.8.10.

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