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Cálculo I

3 Derivadas 3 Derivadas 3.2 Função derivada

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3.1 Derivada no ponto

Vamos estudar a definição de derivada de uma função em um ponto. Começaremos pelas noções de reta secante e de reta tangente ao gráfico de uma função. Em seguida, estudaremos as noções de taxa de variação média e taxa de variação instantânea. Por fim, definiremos a derivada de uma função em um ponto.

3.1.1 Retas secante e tangente

Definimos a reta secante ao gráfico de uma dada função $f$ pelos pontos ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0}}$ e ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{1}}$ , $x_{0}\neq x_{1}$ , como sendo a reta determinada pela equação

y=\underbrace{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}_{m_{\text{sec}}}(x-{\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0}})+f({\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0}}).

(3.1)

I.e., é a reta que passa pelos pontos $(x_{0},f(x_{0}))$ e $(x_{1},f(x_{1}))$ . Consultemos a Figura 3.1. O coeficiente angular da reta secante é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}m_{\text{sec}}=\frac{f(x_% {1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}.

(3.2)

Refer to caption — Figura 3.1: Reta secante (linha traço-ponto) e da reta tangente (linha tracejada) ao gráfico de uma função (linha contínua).

A reta tangente ao gráfico de uma função $f$ em $x={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0}}$ é a reta que passa pelo ponto $\left({\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0}}% ,{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f(x_{0})}\right)$ e tem coeficiente angular

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}m_{\text{tg}}% =\lim_{x_{1}\to x_{0}}\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}.

(3.3)

I.e., a reta de equação

y={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}m_{\text{% tg}}}(x-{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0% }})+{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f(x_{0})}.

(3.4)

Menos formal, é a reta limite das retas secantes ao gráfico da função pelos pontos $x_{0}$ e $x_{1}$ , quando $x_{1}\to x_{0}$ . Consultemos a Figura 3.1.

Fazendo a mudança de variável $h=x_{1}-x_{0}$ , temos que (3.3) é equivalente a

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}m_{\text{tg}}% =\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.

(3.5)

De fato, da mudança de variável, temos que $x_{1}=x_{0}+h$ e quando $x_{1}\to x_{0}$ , temos que $h=x_{1}-x_{0}\to 0$ . Ou seja,

	$\displaystyle m_{\text{tg}}=\lim_{x_{1}\to x_{0}}\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1% }-x_{0}}$		(3.6)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.$		(3.7)

Exemplo 3.1.1.

Sejam $f(x)=x^{2}$ e $x_{0}=1$ . O coeficiente angular da reta secante ao gráfico de $f$ pelos pontos $x_{0}=1$ e $x_{1}=2$ é

	$\displaystyle m_{\text{sec}}=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$		(3.8)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$		(3.9)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4-1}{1}=3.$		(3.10)

Logo, a reta secante ao gráfico de $f$ pelos pontos $x_{0}=1$ e $x_{1}=2$ tem equação

	$\displaystyle y=m_{\text{sec}}(x-x_{0})+f(x_{0})$		(3.11)
	$\displaystyle y=3(x-1)+f(1)$		(3.12)
	$\displaystyle y=3x-2.$		(3.13)

Na Figura 3.2, temos os gráficos da função e da reta secante.

Código 29: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Lambda

2x = Symbol('x')

3x0 = 1

4x1 = 2

5f = Lambda(x, x**2)

6m_sec = (f(x1)-f(x0))/(x1-x0)

7r_sec = Lambda(x, m_sec*(x - x0) + f(x0))

8print(f"Reta secante: y = {r_sec(x)}")

Reta secante: y = 3*x - 2

Agora, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $x_{0}$ é

	$\displaystyle m_{\text{tg}}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$		(3.14)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^{2}-1}{h}$		(3.15)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{1+2h+h^{2}-1}{h}$		(3.16)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{2+h}{1}=2.$		(3.17)

Assim sendo, a reta tangente ao gráfico de $f(x)=x^{2}$ no ponto $x_{0}=1$ tem coeficiente angular $m_{\text{tg}}=2$ e equação

y=2(x-1)+1=2x-1.

(3.18)

Na Figura 3.2, temos os gráficos da função e da reta tangente.

Código 30: Python

⬇

1from sympy import symbols, Lambda, limit

2x, h = symbols('x,h')

3x0 = 1

4x1 = 2

5f = Lambda(x, x**2)

6m_tg = limit((f(x0+h)-f(x0))/h, h, 0)

7r_tg = Lambda(x, m_tg*(x - x0) + f(x0))

8print(f"Reta tangente: y = {r_tg(x)}")

Reta tangente: y = 2*x - 1

3.1.2 Taxa de variação

hlA taxa de variação média de uma função $f$ quando $x$ varia de $x_{0}$ a $x_{1}$ é definida como

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{\Delta y% }{\Delta x}:=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}.

(3.19)

Desta deriva-se a taxa de variação instantânea de $f$ no ponto $x_{0}$ , a qual é definida como

	$\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right\|_{x=x_{0}}:=\lim_{x% \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$		(3.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.$		(3.21)

Em muitas áreas do conhecimento, estas taxas recebem nomes específicos.

Exemplo 3.1.2.(Velocidade)

Seja $s=s(t)$ a função distância percorrida por um objeto no tempo. A velocidade média (taxa de variação média da distância) do tempo $t_{0}$ ao tempo $t_{1}$ é

\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}.

(3.22)

Por exemplo, se $s(t)=15t^{2}+t$ (km), então a velocidade média do objeto entre $t_{0}=1$ h e $t_{1}=3$ h é

	$\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{(15t_{1}^{2}+t_{1})-(15t_{0}^{2}+% t_{0})}{t_{1}-t_{0}}$		(3.23)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{15\cdot 3^{2}+3-(15\cdot 1^{2}+1)}{3-1}$		(3.24)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{135+3-15-1}{2}$		(3.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=61\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{km}}{\text{h}}.$		(3.26)

A velocidade (taxa de variação instantânea da distância) no tempo $t_{0}=1$ é

	$\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right\|_{t=t_{0}}=\lim_{h\to 0% }\frac{s(t_{0}+h)-s(t_{0})}{h}$		(3.27)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{15(t_{0}+h)^{2}+(t_{0}+h)-\left(1% 5t_{0}^{2}+t_{0}\right)}{h}$		(3.28)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{15t_{0}^{2}+30t_{0}h+15h^{2}+t_{0% }+h-15t_{0}^{2}-t_{0}}{h}$		(3.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{30t_{0}h+15h^{2}+h}{h}$		(3.30)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}30t_{0}+15h+1$		(3.31)
	$\displaystyle\text{}\quad=30t_{0}+1=31\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{km}}{% \text{h}}.$		(3.32)

Exemplo 3.1.3.(Custo marginal)

Seja $c(x)=\sqrt{x}$ (milhões de reais) o custo da produção em uma empresa em função do número de unidades produzidas (milhares). O custo médio da produção de $x_{0}=4$ a $x_{1}=9$ é

	$\displaystyle\frac{\Delta c}{\Delta x}=\frac{c(x_{1})-c(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$		(3.33)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{0}}}{x_{1}-x_{0}}$		(3.34)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{4}}{9-4}$		(3.35)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{3-2}{5}$		(3.36)
	$\displaystyle\text{}\quad=0,2\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{R\$}}{\text{un}}.$		(3.37)

O custo marginal (taxa de variação instantânea do custo) quando a empresa está produzindo $x_{0}=4$ milhões de unidades é

	$\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}\right\|_{x=x_{0}=4}=\lim_{h% \to 0}\frac{\sqrt{x_{0}+h}-\sqrt{x_{0}}}{h}$		(3.38)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x_{0}+h}-\sqrt{x_{0}}}{h}% \cdot\frac{\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}}}{\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}}}$		(3.39)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x_{0}+h-x_{0}}{h(\sqrt{x_{0}+h}+% \sqrt{x_{0}})}$		(3.40)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x_{0}+\cancelto{0}{h}}+% \sqrt{x_{0}}}$		(3.41)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}=\frac{\sqrt{x_{0}}}{2x_{0}}$		(3.42)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{4}}{2\cdot 4}=0,25\leavevmode\nobreak\ % \frac{\text{R\$}}{\text{un}}.$		(3.43)

Observação 3.1.1.(Rendimento e lucro marginais)

Analogamente a custo marginal, temos as noções de rendimento marginal e lucro marginal.

3.1.3 Derivada no ponto

A derivada de uma função $f$ no ponto $x=x_{0}$ é definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{\prime}(x_% {0})=\left.\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_{0}}:=\lim_{h\to 0}% \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.

(3.44)

Exemplo 3.1.4.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$f(x)=k$ , $k$ constante.

$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$ (3.45)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{k-k}{h}=0.$ (3.46)
b)

$f(x)=x$ .

$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$ (3.47)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x_{0}+h-x_{0}}{h}=1.$ (3.48)
c)

$f(x)=\sqrt{x}$ , $x_{0}=1$ .

$\displaystyle f^{\prime}(1)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h}$ (3.49)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h}\cdot\frac% {\sqrt{1+h}+\sqrt{1}}{\sqrt{1+h}+\sqrt{1}}$ (3.50)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{1+h-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}=\frac{1}{% 2}.$ (3.51)

Exemplo 3.1.5.(Rendimento marginal)

Assuma que o rendimento de uma empresa é modelado por $r(x)=x^{2}$ (milhões de reais), onde $x$ é o número em milhões de unidades vendidas. O rendimento marginal quando $x=x_{0}=1$ é

	$\displaystyle r^{\prime}(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\frac{(x_{0}+h)^{2}-x_{0}^{2}% }{h}$		(3.52)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to x_{0}}\frac{x_{0}^{2}+2x_{0}h+h^{2}-x_{0}% ^{2}}{h}$		(3.53)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to x_{0}}2x_{0}h+h=2x_{0}=2\leavevmode% \nobreak\ \frac{\text{R\$}}{\text{un}}$		(3.54)

3.1.4 Exercícios resolvidos

ER 3.1.1.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=\sqrt{x}$ no ponto $x_{0}=4$ . Faça, então, os esboços dos gráficos de $f$ e da reta tangente em um mesmo plano cartesiano.

Resolução.

A equação da reta tangente ao gráfico da função $f$ no ponto $x_{0}=4$ é

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).

(3.55)

A derivada de $f$ no ponto $x_{0}$ é

	$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$		(3.56)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{4+h}-\sqrt{4}}{h}$		(3.57)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}\cdot\frac{\sqrt{% 4+h}+2}{\sqrt{4+h}+2}$		(3.58)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 4}\frac{4+h-4}{h(\sqrt{4+h}+2)}$		(3.59)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}.$		(3.60)

Portanto, a equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=\frac{1}{4}(x-4)+\sqrt{4}$		(3.61)
	$\displaystyle y=\frac{1}{4}x+1.$		(3.62)

Consultemos a Figura 3.3 para os esboços dos gráfico de $f$ e da reta tangente.

ER 3.1.2.

Considere que a produção em uma empresa tem custo

c(x)=\sqrt{x}

(3.63)

e rendimento

r(x)=x^{2},

(3.64)

onde $x$ é o número de unidades (em milhões) produzidas. Calcule o lucro marginal da empresa quando $x=1$ mi.

Resolução.

O lucro é

l(x)=r(x)-c(x).

(3.65)

Desta forma, o lucro marginal no ponto $x_{0}=1$ é

	$\displaystyle l^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{l(x_{0}+h)-l(x_{0})}{h}$		(3.66)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{r(x_{0}+h)-c(x_{0}+h)-(r(x_{0})-c% (x_{0}))}{h}$		(3.67)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{r(x_{0}+h)-r(x_{0})-(c(x_{0}+h)-c% (x_{0}))}{h}$		(3.68)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{r(x_{0}+h)-r(x_{0})}{h}-\lim_{h% \to 0}\frac{c(x_{0}+h)-c(x_{0})}{h}$		(3.69)
	$\displaystyle\text{}\quad=r^{\prime}(x_{0})-c^{\prime}(x_{0})$		(3.70)
	$\displaystyle\text{}\quad=2x_{0}-\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}$		(3.71)
	$\displaystyle\text{}\quad=2-\frac{1}{2}=1,5\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{R% \$}}{\text{un}}.$		(3.72)

3.1.5 Exercícios

E. 3.1.1.

Calcule as derivadas conforme indicado:

a)

$f(x)=2$ , $f^{\prime}(-1)$ ;
b)

$g(x)=10^{6}$ , $g^{\prime}(10^{8})$ ;
c)

$h(x)=\ln 2e$ , $h^{\prime}(-\pi)$ ;

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 3.1.2.

Calcule as derivadas conforme indicado:

a)

$f(x)=2+x$ , $f^{\prime}(-1)$ ;
b)

$g(x)=10^{6}-2x$ , $g^{\prime}(-3)$ ;
c)

$h(x)=\ln(2e)+ex$ , $h^{\prime}(10^{6})$ ;

a) $-1$ ; b) $-2$ ; c) $e$

E. 3.1.3.

Calcule as derivadas conforme indicado:

a)

$f(x)=x$ , $f^{\prime}(-1)$ ;
b)

$g(x)=-2x$ , $g^{\prime}(-3)$ ;
c)

$h(x)=ex$ , $h^{\prime}(10^{6})$ ;

a) $-1$ ; b) $-2$ ; c) $e$

E. 3.1.4.

Determine a reta secante ao gráfico de $f(x)=5-x^{2}$ pelos pontos $x_{0}=1$ e $x_{1}=2$ . Então, determine a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $x_{0}=1$ . Por fim, faça os esboços dos gráficos de $f$ , da reta secante e da reta tangente em um mesmo plano cartesiano.

reta secante: $y=-3x+7$ ; reta tangente: $y=-2x+6$ ; dica: verifique seus esboços plotando os gráficos no computador

E. 3.1.5.

Assumindo que, em uma empresa, a produção tenha o custo $c(x)=2\sqrt{x}$ e rendimento $r(x)=\frac{1}{100}x^{3}$ , dados em milhões de reais com $x$ em milhares de unidades. Calcule:

a)

o custo marginal quando $x=1$ ;
b)

o rendimento marginal quando $x=1$ ;
c)

o lucro marginal quando $x=1$ .

a) $1000\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{R}\$}{\text{un}}$ ; b) $30\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{R\$}}{\text{un}}$ ; c) $-970\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{R\$}}{\text{un}}$ .

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3.1 Derivada no ponto

3.1.1 Retas secante e tangente

y=\underbrace{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}_{m_{\text{sec}}}(x-{\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0}})+f({\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0}}).

(3.1)

I.e., é a reta que passa pelos pontos $(x_{0},f(x_{0}))$ e $(x_{1},f(x_{1}))$ . Consultemos a Figura 3.1. O coeficiente angular da reta secante é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}m_{\text{sec}}=\frac{f(x_% {1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}.

(3.2)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}m_{\text{tg}}% =\lim_{x_{1}\to x_{0}}\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}.

(3.3)

I.e., a reta de equação

y={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}m_{\text{% tg}}}(x-{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0% }})+{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f(x_{0})}.

(3.4)

Menos formal, é a reta limite das retas secantes ao gráfico da função pelos pontos $x_{0}$ e $x_{1}$ , quando $x_{1}\to x_{0}$ . Consultemos a Figura 3.1.

Fazendo a mudança de variável $h=x_{1}-x_{0}$ , temos que (3.3) é equivalente a

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}m_{\text{tg}}% =\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.

(3.5)

De fato, da mudança de variável, temos que $x_{1}=x_{0}+h$ e quando $x_{1}\to x_{0}$ , temos que $h=x_{1}-x_{0}\to 0$ . Ou seja,

	$\displaystyle m_{\text{tg}}=\lim_{x_{1}\to x_{0}}\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1% }-x_{0}}$		(3.6)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.$		(3.7)

Exemplo 3.1.1.

Sejam $f(x)=x^{2}$ e $x_{0}=1$ . O coeficiente angular da reta secante ao gráfico de $f$ pelos pontos $x_{0}=1$ e $x_{1}=2$ é

	$\displaystyle m_{\text{sec}}=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$		(3.8)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$		(3.9)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4-1}{1}=3.$		(3.10)

Logo, a reta secante ao gráfico de $f$ pelos pontos $x_{0}=1$ e $x_{1}=2$ tem equação

	$\displaystyle y=m_{\text{sec}}(x-x_{0})+f(x_{0})$		(3.11)
	$\displaystyle y=3(x-1)+f(1)$		(3.12)
	$\displaystyle y=3x-2.$		(3.13)

Na Figura 3.2, temos os gráficos da função e da reta secante.

Código 29: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Lambda

2x = Symbol('x')

3x0 = 1

4x1 = 2

5f = Lambda(x, x**2)

6m_sec = (f(x1)-f(x0))/(x1-x0)

7r_sec = Lambda(x, m_sec*(x - x0) + f(x0))

8print(f"Reta secante: y = {r_sec(x)}")

Reta secante: y = 3*x - 2

Agora, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $x_{0}$ é

	$\displaystyle m_{\text{tg}}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$		(3.14)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^{2}-1}{h}$		(3.15)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{1+2h+h^{2}-1}{h}$		(3.16)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{2+h}{1}=2.$		(3.17)

Assim sendo, a reta tangente ao gráfico de $f(x)=x^{2}$ no ponto $x_{0}=1$ tem coeficiente angular $m_{\text{tg}}=2$ e equação

y=2(x-1)+1=2x-1.

(3.18)

Na Figura 3.2, temos os gráficos da função e da reta tangente.

Código 30: Python

⬇

1from sympy import symbols, Lambda, limit

2x, h = symbols('x,h')

3x0 = 1

4x1 = 2

5f = Lambda(x, x**2)

6m_tg = limit((f(x0+h)-f(x0))/h, h, 0)

7r_tg = Lambda(x, m_tg*(x - x0) + f(x0))

8print(f"Reta tangente: y = {r_tg(x)}")

Reta tangente: y = 2*x - 1

3.1.2 Taxa de variação

hlA taxa de variação média de uma função $f$ quando $x$ varia de $x_{0}$ a $x_{1}$ é definida como

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{\Delta y% }{\Delta x}:=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}.

(3.19)

Desta deriva-se a taxa de variação instantânea de $f$ no ponto $x_{0}$ , a qual é definida como

	$\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right\|_{x=x_{0}}:=\lim_{x% \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$		(3.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.$		(3.21)

Em muitas áreas do conhecimento, estas taxas recebem nomes específicos.

Exemplo 3.1.2.(Velocidade)

Seja $s=s(t)$ a função distância percorrida por um objeto no tempo. A velocidade média (taxa de variação média da distância) do tempo $t_{0}$ ao tempo $t_{1}$ é

\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}.

(3.22)

Por exemplo, se $s(t)=15t^{2}+t$ (km), então a velocidade média do objeto entre $t_{0}=1$ h e $t_{1}=3$ h é

	$\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{(15t_{1}^{2}+t_{1})-(15t_{0}^{2}+% t_{0})}{t_{1}-t_{0}}$		(3.23)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{15\cdot 3^{2}+3-(15\cdot 1^{2}+1)}{3-1}$		(3.24)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{135+3-15-1}{2}$		(3.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=61\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{km}}{\text{h}}.$		(3.26)

A velocidade (taxa de variação instantânea da distância) no tempo $t_{0}=1$ é

	$\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right\|_{t=t_{0}}=\lim_{h\to 0% }\frac{s(t_{0}+h)-s(t_{0})}{h}$		(3.27)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{15(t_{0}+h)^{2}+(t_{0}+h)-\left(1% 5t_{0}^{2}+t_{0}\right)}{h}$		(3.28)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{15t_{0}^{2}+30t_{0}h+15h^{2}+t_{0% }+h-15t_{0}^{2}-t_{0}}{h}$		(3.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{30t_{0}h+15h^{2}+h}{h}$		(3.30)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}30t_{0}+15h+1$		(3.31)
	$\displaystyle\text{}\quad=30t_{0}+1=31\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{km}}{% \text{h}}.$		(3.32)

Exemplo 3.1.3.(Custo marginal)

Seja $c(x)=\sqrt{x}$ (milhões de reais) o custo da produção em uma empresa em função do número de unidades produzidas (milhares). O custo médio da produção de $x_{0}=4$ a $x_{1}=9$ é

	$\displaystyle\frac{\Delta c}{\Delta x}=\frac{c(x_{1})-c(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$		(3.33)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{0}}}{x_{1}-x_{0}}$		(3.34)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{4}}{9-4}$		(3.35)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{3-2}{5}$		(3.36)
	$\displaystyle\text{}\quad=0,2\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{R\$}}{\text{un}}.$		(3.37)

O custo marginal (taxa de variação instantânea do custo) quando a empresa está produzindo $x_{0}=4$ milhões de unidades é

	$\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}\right\|_{x=x_{0}=4}=\lim_{h% \to 0}\frac{\sqrt{x_{0}+h}-\sqrt{x_{0}}}{h}$		(3.38)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x_{0}+h}-\sqrt{x_{0}}}{h}% \cdot\frac{\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}}}{\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}}}$		(3.39)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x_{0}+h-x_{0}}{h(\sqrt{x_{0}+h}+% \sqrt{x_{0}})}$		(3.40)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x_{0}+\cancelto{0}{h}}+% \sqrt{x_{0}}}$		(3.41)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}=\frac{\sqrt{x_{0}}}{2x_{0}}$		(3.42)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{4}}{2\cdot 4}=0,25\leavevmode\nobreak\ % \frac{\text{R\$}}{\text{un}}.$		(3.43)

Observação 3.1.1.(Rendimento e lucro marginais)

Analogamente a custo marginal, temos as noções de rendimento marginal e lucro marginal.

3.1.3 Derivada no ponto

A derivada de uma função $f$ no ponto $x=x_{0}$ é definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{\prime}(x_% {0})=\left.\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_{0}}:=\lim_{h\to 0}% \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.

(3.44)

Exemplo 3.1.4.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$f(x)=k$ , $k$ constante.

$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$ (3.45)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{k-k}{h}=0.$ (3.46)
b)

$f(x)=x$ .

$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$ (3.47)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x_{0}+h-x_{0}}{h}=1.$ (3.48)
c)

$f(x)=\sqrt{x}$ , $x_{0}=1$ .

$\displaystyle f^{\prime}(1)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h}$ (3.49)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h}\cdot\frac% {\sqrt{1+h}+\sqrt{1}}{\sqrt{1+h}+\sqrt{1}}$ (3.50)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{1+h-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}=\frac{1}{% 2}.$ (3.51)

Exemplo 3.1.5.(Rendimento marginal)

Assuma que o rendimento de uma empresa é modelado por $r(x)=x^{2}$ (milhões de reais), onde $x$ é o número em milhões de unidades vendidas. O rendimento marginal quando $x=x_{0}=1$ é

	$\displaystyle r^{\prime}(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\frac{(x_{0}+h)^{2}-x_{0}^{2}% }{h}$		(3.52)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to x_{0}}\frac{x_{0}^{2}+2x_{0}h+h^{2}-x_{0}% ^{2}}{h}$		(3.53)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to x_{0}}2x_{0}h+h=2x_{0}=2\leavevmode% \nobreak\ \frac{\text{R\$}}{\text{un}}$		(3.54)

3.1.4 Exercícios resolvidos

ER 3.1.1.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=\sqrt{x}$ no ponto $x_{0}=4$ . Faça, então, os esboços dos gráficos de $f$ e da reta tangente em um mesmo plano cartesiano.

Resolução.

A equação da reta tangente ao gráfico da função $f$ no ponto $x_{0}=4$ é

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).

(3.55)

A derivada de $f$ no ponto $x_{0}$ é

	$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$		(3.56)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{4+h}-\sqrt{4}}{h}$		(3.57)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}\cdot\frac{\sqrt{% 4+h}+2}{\sqrt{4+h}+2}$		(3.58)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 4}\frac{4+h-4}{h(\sqrt{4+h}+2)}$		(3.59)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}.$		(3.60)

Portanto, a equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=\frac{1}{4}(x-4)+\sqrt{4}$		(3.61)
	$\displaystyle y=\frac{1}{4}x+1.$		(3.62)

Consultemos a Figura 3.3 para os esboços dos gráfico de $f$ e da reta tangente.

ER 3.1.2.

Considere que a produção em uma empresa tem custo

c(x)=\sqrt{x}

(3.63)

e rendimento

r(x)=x^{2},

(3.64)

onde $x$ é o número de unidades (em milhões) produzidas. Calcule o lucro marginal da empresa quando $x=1$ mi.

Resolução.

O lucro é

l(x)=r(x)-c(x).

(3.65)

Desta forma, o lucro marginal no ponto $x_{0}=1$ é

	$\displaystyle l^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{l(x_{0}+h)-l(x_{0})}{h}$		(3.66)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{r(x_{0}+h)-c(x_{0}+h)-(r(x_{0})-c% (x_{0}))}{h}$		(3.67)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{r(x_{0}+h)-r(x_{0})-(c(x_{0}+h)-c% (x_{0}))}{h}$		(3.68)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{r(x_{0}+h)-r(x_{0})}{h}-\lim_{h% \to 0}\frac{c(x_{0}+h)-c(x_{0})}{h}$		(3.69)
	$\displaystyle\text{}\quad=r^{\prime}(x_{0})-c^{\prime}(x_{0})$		(3.70)
	$\displaystyle\text{}\quad=2x_{0}-\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}$		(3.71)
	$\displaystyle\text{}\quad=2-\frac{1}{2}=1,5\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{R% \$}}{\text{un}}.$		(3.72)

3.1.5 Exercícios

E. 3.1.1.

Calcule as derivadas conforme indicado:

a)

$f(x)=2$ , $f^{\prime}(-1)$ ;
b)

$g(x)=10^{6}$ , $g^{\prime}(10^{8})$ ;
c)

$h(x)=\ln 2e$ , $h^{\prime}(-\pi)$ ;

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 3.1.2.

Calcule as derivadas conforme indicado:

a)

$f(x)=2+x$ , $f^{\prime}(-1)$ ;
b)

$g(x)=10^{6}-2x$ , $g^{\prime}(-3)$ ;
c)

$h(x)=\ln(2e)+ex$ , $h^{\prime}(10^{6})$ ;

a) $-1$ ; b) $-2$ ; c) $e$

E. 3.1.3.

Calcule as derivadas conforme indicado:

a)

$f(x)=x$ , $f^{\prime}(-1)$ ;
b)

$g(x)=-2x$ , $g^{\prime}(-3)$ ;
c)

$h(x)=ex$ , $h^{\prime}(10^{6})$ ;

a) $-1$ ; b) $-2$ ; c) $e$

E. 3.1.4.

reta secante: $y=-3x+7$ ; reta tangente: $y=-2x+6$ ; dica: verifique seus esboços plotando os gráficos no computador

E. 3.1.5.

Assumindo que, em uma empresa, a produção tenha o custo $c(x)=2\sqrt{x}$ e rendimento $r(x)=\frac{1}{100}x^{3}$ , dados em milhões de reais com $x$ em milhares de unidades. Calcule:

a)

o custo marginal quando $x=1$ ;
b)

o rendimento marginal quando $x=1$ ;
c)

o lucro marginal quando $x=1$ .

a) $1000\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{R}\$}{\text{un}}$ ; b) $30\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{R\$}}{\text{un}}$ ; c) $-970\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{R\$}}{\text{un}}$ .

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Pedro H A Konzen

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	$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$		(3.45)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{k-k}{h}=0.$		(3.46)

	$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$		(3.47)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x_{0}+h-x_{0}}{h}=1.$		(3.48)

	$\displaystyle f^{\prime}(1)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h}$		(3.49)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h}\cdot\frac% {\sqrt{1+h}+\sqrt{1}}{\sqrt{1+h}+\sqrt{1}}$		(3.50)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{1+h-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}=\frac{1}{% 2}.$		(3.51)