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Vamos estudar a definição de derivada de uma função em um ponto. Começaremos pelas noções de reta secante e de reta tangente ao gráfico de uma função. Em seguida, estudaremos as noções de taxa de variação média e taxa de variação instantânea. Por fim, definiremos a derivada de uma função em um ponto.
Definimos a reta secante ao gráfico de uma dada função pelos pontos e , , como sendo a reta determinada pela equação
| (3.1) | 
I.e., é a reta que passa pelos pontos e . Consultemos a Figura 3.1. O coeficiente angular da reta secante é
| (3.2) | 
 
A reta tangente ao gráfico de uma função em é a reta que passa pelo ponto e tem coeficiente angular
| (3.3) | 
I.e., a reta de equação
| (3.4) | 
Menos formal, é a reta limite das retas secantes ao gráfico da função pelos pontos e , quando . Consultemos a Figura 3.1.
Fazendo a mudança de variável , temos que (3.3) é equivalente a
| (3.5) | 
De fato, da mudança de variável, temos que e quando , temos que . Ou seja,
| (3.6) | |||
| (3.7) | 
Sejam e . O coeficiente angular da reta secante ao gráfico de pelos pontos e é
| (3.8) | |||
| (3.9) | |||
| (3.10) | 
Logo, a reta secante ao gráfico de pelos pontos e tem equação
| (3.11) | |||
| (3.12) | |||
| (3.13) | 
Na Figura 3.2, temos os gráficos da função e da reta secante.
 
Agora, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de no ponto é
| (3.14) | |||
| (3.15) | |||
| (3.16) | |||
| (3.17) | 
Assim sendo, a reta tangente ao gráfico de no ponto tem coeficiente angular e equação
| (3.18) | 
Na Figura 3.2, temos os gráficos da função e da reta tangente.
hlA taxa de variação média de uma função quando varia de a é definida como
| (3.19) | 
Desta deriva-se a taxa de variação instantânea de no ponto , a qual é definida como
| (3.20) | |||
| (3.21) | 
Em muitas áreas do conhecimento, estas taxas recebem nomes específicos.
Seja a função distância percorrida por um objeto no tempo. A velocidade média (taxa de variação média da distância) do tempo ao tempo é
| (3.22) | 
Por exemplo, se (km), então a velocidade média do objeto entre h e h é
| (3.23) | |||
| (3.24) | |||
| (3.25) | |||
| (3.26) | 
A velocidade (taxa de variação instantânea da distância) no tempo é
| (3.27) | |||
| (3.28) | |||
| (3.29) | |||
| (3.30) | |||
| (3.31) | |||
| (3.32) | 
Seja (milhões de reais) o custo da produção em uma empresa em função do número de unidades produzidas (milhares). O custo médio da produção de a é
| (3.33) | |||
| (3.34) | |||
| (3.35) | |||
| (3.36) | |||
| (3.37) | 
O custo marginal (taxa de variação instantânea do custo) quando a empresa está produzindo milhões de unidades é
| (3.38) | |||
| (3.39) | |||
| (3.40) | |||
| (3.41) | |||
| (3.42) | |||
| (3.43) | 
Analogamente a custo marginal, temos as noções de rendimento marginal e lucro marginal.
A derivada de uma função no ponto é definida por
| (3.44) | 
Estudemos os seguintes casos:
, constante.
| (3.45) | |||
| (3.46) | 
.
| (3.47) | |||
| (3.48) | 
, .
| (3.49) | |||
| (3.50) | |||
| (3.51) | 
Assuma que o rendimento de uma empresa é modelado por (milhões de reais), onde é o número em milhões de unidades vendidas. O rendimento marginal quando é
| (3.52) | |||
| (3.53) | |||
| (3.54) | 
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto . Faça, então, os esboços dos gráficos de e da reta tangente em um mesmo plano cartesiano.
A equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto é
| (3.55) | 
A derivada de no ponto é
| (3.56) | |||
| (3.57) | |||
| (3.58) | |||
| (3.59) | |||
| (3.60) | 
Portanto, a equação da reta tangente é
| (3.61) | |||
| (3.62) | 
Consultemos a Figura 3.3 para os esboços dos gráfico de e da reta tangente.
 
Considere que a produção em uma empresa tem custo
| (3.63) | 
e rendimento
| (3.64) | 
onde é o número de unidades (em milhões) produzidas. Calcule o lucro marginal da empresa quando mi.
O lucro é
| (3.65) | 
Desta forma, o lucro marginal no ponto é
| (3.66) | |||
| (3.67) | |||
| (3.68) | |||
| (3.69) | |||
| (3.70) | |||
| (3.71) | |||
| (3.72) | 
Calcule as derivadas conforme indicado:
, ;
, ;
, ;
a) ; b) ; c)
Calcule as derivadas conforme indicado:
, ;
, ;
, ;
a) ; b) ; c)
Calcule as derivadas conforme indicado:
, ;
, ;
, ;
a) ; b) ; c)
Determine a reta secante ao gráfico de pelos pontos e . Então, determine a reta tangente ao gráfico de no ponto . Por fim, faça os esboços dos gráficos de , da reta secante e da reta tangente em um mesmo plano cartesiano.
reta secante: ; reta tangente: ; dica: verifique seus esboços plotando os gráficos no computador
Assumindo que, em uma empresa, a produção tenha o custo e rendimento , dados em milhões de reais com em milhares de unidades. Calcule:
o custo marginal quando ;
o rendimento marginal quando ;
o lucro marginal quando .
a) ; b) ; c) .
Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

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