Cálculo I
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3.9 Derivação implícita
Seja definida implicitamente por
A derivada pode ser calculada via regra da cadeia
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(3.536) |
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(3.537) |
Exemplo 3.9.1.
Considere a equação da circunferência unitária
Aqui, vamos calcular de duas maneiras diferentes.
Figura 3.12: Esboço do gráfico da circunferência unitária .
-
a)
Por derivação direta. Isolando em (3.538), temos
o que está bem definido para . Calculando a derivada, obtemos
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(3.540) |
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(3.541) |
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(3.542) |
Ou seja, para , temos e, para , temos . Logo, concluímos que
-
b)
Por derivação implícita. Derivamos ambos os lados da (3.538) em relação a
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(3.544) |
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(3.545) |
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(3.546) |
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(3.547) |
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(3.548) |
Observação 3.9.1.(Derivadas de potências racionais de )
Vamos mostrar que
para qualquer número racional . Denotando , , temos
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(3.550) |
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(3.551) |
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(3.552) |
Da derivação de função potência com exponente inteiro, temos
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(3.553) |
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(3.554) |
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(3.555) |
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(3.556) |
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(3.557) |
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(3.558) |
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(3.559) |
Logo, segue o resultados que queríamos demonstrar.
Exemplo 3.9.2.
Vamos calcular para
Primeiramente, precisamos calcular . Isso foi feito no Exemplo 3.9.1, onde obtivemos
Antes de derivarmos novamente, vamos reescrever essa última expressão da seguinte forma
Derivando
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(3.563) |
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(3.564) |
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(3.565) |
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(3.566) |
3.9.1 Exercícios resolvidos
ER 3.9.1.
Calcule para a lemniscata de Bernoulli1111endnote: 11Jacob Bernoulli, 1655 - 1705, matemático suíço. Fonte: Wikipédia.
Figura 3.13: Esboço da lemniscata de Bernoulli .
Resolução.
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(3.568) |
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(3.569) |
Rearranjando os termos, obtemos
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(3.570) |
ou ainda
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(3.571) |
ER 3.9.2.
Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da circunferência unitária
no ponto .
Resolução.
A equação da reta tangente ao gráfico de uma função no ponto é dada por
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|
|
(3.573) |
onde, nesse caso, ,
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(3.574) |
Calculamos como segue
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(3.575) |
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(3.576) |
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(3.577) |
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(3.578) |
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(3.579) |
Com isso, temos
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(3.580) |
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(3.581) |
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(3.582) |
Concluímos que a equação da reta tangente é
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(3.583) |
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(3.584) |
3.9.2 Exercícios
E. 3.9.1.
Calcule para:
-
a)
-
b)
a) b)
E. 3.9.3.
Encontre o ponto de interseção das retas tangentes ao gráfico de
nos pontos e .
E. 3.9.4.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da circunferência de centro e raio que passa pela origem .
E. 3.9.5.
Seja a circunferência de raio
Mostra que a reta tangente ao gráfico de em qualquer ponto arbitrário é perpendicular a reta , i.e. a reta que passa pela origem e pelo ponto
Envie seu comentário
Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.
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3.9 Derivação implícita
Seja definida implicitamente por
A derivada pode ser calculada via regra da cadeia
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(3.537) |
Exemplo 3.9.1.
Considere a equação da circunferência unitária
Aqui, vamos calcular de duas maneiras diferentes.
Figura 3.12: Esboço do gráfico da circunferência unitária .
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a)
Por derivação direta. Isolando em (3.538), temos
o que está bem definido para . Calculando a derivada, obtemos
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(3.540) |
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(3.541) |
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(3.542) |
Ou seja, para , temos e, para , temos . Logo, concluímos que
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b)
Por derivação implícita. Derivamos ambos os lados da (3.538) em relação a
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Observação 3.9.1.(Derivadas de potências racionais de )
Vamos mostrar que
para qualquer número racional . Denotando , , temos
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(3.550) |
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(3.552) |
Da derivação de função potência com exponente inteiro, temos
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(3.553) |
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(3.554) |
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Logo, segue o resultados que queríamos demonstrar.
Exemplo 3.9.2.
Vamos calcular para
Primeiramente, precisamos calcular . Isso foi feito no Exemplo 3.9.1, onde obtivemos
Antes de derivarmos novamente, vamos reescrever essa última expressão da seguinte forma
Derivando
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(3.564) |
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3.9.1 Exercícios resolvidos
ER 3.9.1.
Calcule para a lemniscata de Bernoulli1111endnote: 11Jacob Bernoulli, 1655 - 1705, matemático suíço. Fonte: Wikipédia.
Figura 3.13: Esboço da lemniscata de Bernoulli .
Resolução.
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Rearranjando os termos, obtemos
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ou ainda
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ER 3.9.2.
Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da circunferência unitária
no ponto .
Resolução.
A equação da reta tangente ao gráfico de uma função no ponto é dada por
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onde, nesse caso, ,
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Calculamos como segue
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Com isso, temos
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Concluímos que a equação da reta tangente é
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3.9.2 Exercícios
E. 3.9.1.
Calcule para:
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a)
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b)
a) b)
E. 3.9.3.
Encontre o ponto de interseção das retas tangentes ao gráfico de
nos pontos e .
E. 3.9.4.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da circunferência de centro e raio que passa pela origem .
E. 3.9.5.
Seja a circunferência de raio
Mostra que a reta tangente ao gráfico de em qualquer ponto arbitrário é perpendicular a reta , i.e. a reta que passa pela origem e pelo ponto
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