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Cálculo I

3 Derivadas 3.8 Diferenciabilidade da função inversa 4 Aplicações da derivada

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3.9 Derivação implícita

Seja $y=y(x)$ definida implicitamente por

g(y(x))=0.

(3.531)

A derivada $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ pode ser calculada via regra da cadeia

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(y(x))=\frac{\mathrm{d}0}{\mathrm{% d}x}$		(3.532)
	$\displaystyle g^{\prime}(y(x))\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0.$		(3.533)

Exemplo 3.9.1.

Considere a equação da circunferência unitária

x^{2}+y^{2}=1.

(3.534)

Aqui, vamos calcular $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ de duas maneiras diferentes.

Refer to caption — Figura 3.11: Esboço do gráfico da circunferência unitária $x^{2}+y^{2}=1$ .

a)

Por derivação direta. Isolando $y$ em (3.534), temos

$y=\pm\sqrt{1-x^{2}}$ (3.535)

o que está bem definido para $-1\leq x\leq 1$ . Calculando a derivada, obtemos

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}% \left(\pm\sqrt{1-x^{2}}\right)$ (3.536)

$\displaystyle\text{}\quad=\pm\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}$ (3.537)

$\displaystyle\text{}\quad=\mp\frac{x}{y}$ (3.538)

Ou seja, para $y<0$ , temos $y^{\prime}=x/y$ e, para $y>0$ , temos $y^{\prime}=-x/y$ . Logo, concluímos que

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}.$ (3.539)

Por derivação implícita. Derivamos ambos os lados da (3.534) em relação a $x$

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{% \mathrm{d}1}{\mathrm{d}x}$		(3.540)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}\right)+\frac{\mathrm{d}% }{\mathrm{d}x}\left(y^{2}(x)\right)=0$		(3.541)
	$\displaystyle 2x+\frac{\mathrm{d}y^{2}}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm% {d}x}=0$		(3.542)
	$\displaystyle 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$		(3.543)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}.$		(3.544)

Observação 3.9.1.(Derivadas de potências racionais de $x$ )

Vamos mostrar que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{% \mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{r}=rx^{r-1}},

(3.545)

para qualquer número racional $r\neq 0$ . Denotando $r=m/n$ , $m,n\in\mathbb{N}$ , temos

	$\displaystyle y=x^{m/n}$		(3.546)
	$\displaystyle\Leftrightarrow$		(3.547)
	$\displaystyle y^{n}=x^{m}$		(3.548)

Da derivação de função potência com exponente inteiro, temos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y^{n}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x% }x^{m}$		(3.549)
	$\displaystyle ny^{n-1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=mx^{m-1}$		(3.550)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1}y^{1-n}$		(3.551)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1}\left(x^{\frac{% m}{n}}\right)^{1-n}$		(3.552)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1}x^{\frac{m}{n}(% 1-n)}$		(3.553)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1+\frac{m}{n}(1-n)}$		(3.554)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}.$		(3.555)

Logo, segue o resultados que queríamos demonstrar.

Exemplo 3.9.2.

Vamos calcular $\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}$ para

x^{2}+y^{2}=1.

(3.556)

Primeiramente, precisamos calcular $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ . Isso foi feito no Exemplo 3.9.1, onde obtivemos

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}.

(3.557)

Antes de derivarmos novamente, vamos reescrever essa última expressão da seguinte forma

y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-x

(3.558)

Derivando

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d% }x}\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[-x\right]$		(3.559)
	$\displaystyle 1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+% \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-1$		(3.560)
	$\displaystyle\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^{2}+\frac{\mathrm{d}% ^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=-1$		(3.561)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=-\frac{x^{2}}{y^{2}}-1.$		(3.562)

3.9.1 Exercícios resolvidos

ER 3.9.1.

Calcule $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ para a lemniscata de Bernoulli²¹²¹endnote: ²¹Jacob Bernoulli, 1655 - 1705, matemático suíço. Fonte: Wikipédia.

(x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}.

(3.563)

Solução 0.

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[(x^{2}+y^{2})^{2}\right]=% \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{2}-y^{2}\right]$		(3.564)
	$\displaystyle 2(x^{2}+y^{2})\left(2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=% 2x-2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$		(3.565)

Rearranjando os termos, obtemos

2(y+2x^{2}y+2y^{2})\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x-4xy^{2}-4x^{3}

(3.566)

ou ainda

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x-2x^{3}-2xy^{2}}{y+2x^{2}y+2y^{3}}

(3.567)

ER 3.9.2.

Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da circunferência unitária

x^{2}+y^{2}=1

(3.568)

no ponto $\displaystyle\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Solução 0.

A equação da reta tangente ao gráfico de uma função $y=y(x)$ no ponto $(x_{0},y(x_{0}))$ é dada por

y=y^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+y(x_{0})

(3.569)

onde, nesse caso, $\displaystyle x_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\displaystyle y(x_{0})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

y^{\prime}(x_{0})=\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_{0}}.

(3.570)

Calculamos $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ como segue

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{% \mathrm{d}1}{\mathrm{d}x}$		(3.571)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}\right)+\frac{\mathrm{d}% }{\mathrm{d}x}\left(y^{2}(x)\right)=0$		(3.572)
	$\displaystyle 2x+\frac{\mathrm{d}y^{2}}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm% {d}x}=0$		(3.573)
	$\displaystyle 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$		(3.574)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}.$		(3.575)

Com isso, temos

	$\displaystyle y^{\prime}(x_{0})=-\frac{x_{0}}{y(x_{0})}$		(3.576)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$		(3.577)
	$\displaystyle\text{}\quad=-1.$		(3.578)

Concluímos que a equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=-1\cdot\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}$		(3.579)
	$\displaystyle y=-x+\sqrt{2}.$		(3.580)

3.9.2 Exercícios

E. 3.9.1.

Calcule $\mathrm{d}y/\\ dx$ para:

a)

$x+2xy-x^{3}=3$
b)

$x^{2}+y^{2}=xy$

Resposta 0.

a) $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3x^{2}-2y-1}{2x}$ b) $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y-2x}{2y-x}$

E. 3.9.2.

Calcule $\mathrm{d}^{2}y/\mathrm{d}x^{2}$ para

x^{2}+y^{2}=xy

(3.581)

Resposta 0.

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{x+y-2}{x^{2}}$

E. 3.9.3.

Encontre o ponto de interseção das retas tangentes ao gráfico de

y^{2}=x-1

(3.582)

nos pontos $(2,-1)$ e $(2,1)$ .

Resposta 0.

(0, 0)

E. 3.9.4.

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da circunferência de centro $C=(1,1)$ e raio $r=\sqrt{2}$ que passa pela origem $O=(0,0)$ .

Resposta 0.

$y=-x$

E. 3.9.5.

Seja $c$ a circunferência de raio $r>0$

x^{2}+y^{2}=r^{2}.

(3.583)

Mostra que a reta tangente ao gráfico de $c$ em qualquer ponto arbitrário $P=(x_{0},y_{0})\in c$ é perpendicular a reta $\overline{OP}$ , i.e. a reta que passa pela origem $O=(0,0)$ e pelo ponto $P .$

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Cálculo I

3 Derivadas 3.8 Diferenciabilidade da função inversa 4 Aplicações da derivada

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3.9 Derivação implícita

Seja $y=y(x)$ definida implicitamente por

g(y(x))=0.

(3.531)

A derivada $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ pode ser calculada via regra da cadeia

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(y(x))=\frac{\mathrm{d}0}{\mathrm{% d}x}$		(3.532)
	$\displaystyle g^{\prime}(y(x))\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0.$		(3.533)

Exemplo 3.9.1.

Considere a equação da circunferência unitária

x^{2}+y^{2}=1.

(3.534)

Aqui, vamos calcular $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ de duas maneiras diferentes.

a)

Por derivação direta. Isolando $y$ em (3.534), temos

$y=\pm\sqrt{1-x^{2}}$ (3.535)

o que está bem definido para $-1\leq x\leq 1$ . Calculando a derivada, obtemos

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}% \left(\pm\sqrt{1-x^{2}}\right)$ (3.536)

$\displaystyle\text{}\quad=\pm\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}$ (3.537)

$\displaystyle\text{}\quad=\mp\frac{x}{y}$ (3.538)

Ou seja, para $y<0$ , temos $y^{\prime}=x/y$ e, para $y>0$ , temos $y^{\prime}=-x/y$ . Logo, concluímos que

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}.$ (3.539)

Por derivação implícita. Derivamos ambos os lados da (3.534) em relação a $x$

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{% \mathrm{d}1}{\mathrm{d}x}$		(3.540)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}\right)+\frac{\mathrm{d}% }{\mathrm{d}x}\left(y^{2}(x)\right)=0$		(3.541)
	$\displaystyle 2x+\frac{\mathrm{d}y^{2}}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm% {d}x}=0$		(3.542)
	$\displaystyle 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$		(3.543)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}.$		(3.544)

Observação 3.9.1.(Derivadas de potências racionais de $x$ )

Vamos mostrar que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{% \mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{r}=rx^{r-1}},

(3.545)

para qualquer número racional $r\neq 0$ . Denotando $r=m/n$ , $m,n\in\mathbb{N}$ , temos

	$\displaystyle y=x^{m/n}$		(3.546)
	$\displaystyle\Leftrightarrow$		(3.547)
	$\displaystyle y^{n}=x^{m}$		(3.548)

Da derivação de função potência com exponente inteiro, temos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y^{n}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x% }x^{m}$		(3.549)
	$\displaystyle ny^{n-1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=mx^{m-1}$		(3.550)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1}y^{1-n}$		(3.551)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1}\left(x^{\frac{% m}{n}}\right)^{1-n}$		(3.552)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1}x^{\frac{m}{n}(% 1-n)}$		(3.553)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1+\frac{m}{n}(1-n)}$		(3.554)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}.$		(3.555)

Logo, segue o resultados que queríamos demonstrar.

Exemplo 3.9.2.

Vamos calcular $\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}$ para

x^{2}+y^{2}=1.

(3.556)

Primeiramente, precisamos calcular $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ . Isso foi feito no Exemplo 3.9.1, onde obtivemos

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}.

(3.557)

Antes de derivarmos novamente, vamos reescrever essa última expressão da seguinte forma

y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-x

(3.558)

Derivando

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d% }x}\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[-x\right]$		(3.559)
	$\displaystyle 1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+% \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-1$		(3.560)
	$\displaystyle\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^{2}+\frac{\mathrm{d}% ^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=-1$		(3.561)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=-\frac{x^{2}}{y^{2}}-1.$		(3.562)

3.9.1 Exercícios resolvidos

ER 3.9.1.

Calcule $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ para a lemniscata de Bernoulli²¹²¹endnote: ²¹Jacob Bernoulli, 1655 - 1705, matemático suíço. Fonte: Wikipédia.

(x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}.

(3.563)

Solução 0.

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[(x^{2}+y^{2})^{2}\right]=% \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{2}-y^{2}\right]$		(3.564)
	$\displaystyle 2(x^{2}+y^{2})\left(2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=% 2x-2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$		(3.565)

Rearranjando os termos, obtemos

2(y+2x^{2}y+2y^{2})\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x-4xy^{2}-4x^{3}

(3.566)

ou ainda

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x-2x^{3}-2xy^{2}}{y+2x^{2}y+2y^{3}}

(3.567)

ER 3.9.2.

Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da circunferência unitária

x^{2}+y^{2}=1

(3.568)

no ponto $\displaystyle\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Solução 0.

A equação da reta tangente ao gráfico de uma função $y=y(x)$ no ponto $(x_{0},y(x_{0}))$ é dada por

y=y^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+y(x_{0})

(3.569)

onde, nesse caso, $\displaystyle x_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\displaystyle y(x_{0})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

y^{\prime}(x_{0})=\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_{0}}.

(3.570)

Calculamos $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ como segue

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{% \mathrm{d}1}{\mathrm{d}x}$		(3.571)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}\right)+\frac{\mathrm{d}% }{\mathrm{d}x}\left(y^{2}(x)\right)=0$		(3.572)
	$\displaystyle 2x+\frac{\mathrm{d}y^{2}}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm% {d}x}=0$		(3.573)
	$\displaystyle 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$		(3.574)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}.$		(3.575)

Com isso, temos

	$\displaystyle y^{\prime}(x_{0})=-\frac{x_{0}}{y(x_{0})}$		(3.576)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$		(3.577)
	$\displaystyle\text{}\quad=-1.$		(3.578)

Concluímos que a equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=-1\cdot\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}$		(3.579)
	$\displaystyle y=-x+\sqrt{2}.$		(3.580)

3.9.2 Exercícios

E. 3.9.1.

Calcule $\mathrm{d}y/\\ dx$ para:

a)

$x+2xy-x^{3}=3$
b)

$x^{2}+y^{2}=xy$

Resposta 0.

a) $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3x^{2}-2y-1}{2x}$ b) $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y-2x}{2y-x}$

E. 3.9.2.

Calcule $\mathrm{d}^{2}y/\mathrm{d}x^{2}$ para

x^{2}+y^{2}=xy

(3.581)

Resposta 0.

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{x+y-2}{x^{2}}$

E. 3.9.3.

Encontre o ponto de interseção das retas tangentes ao gráfico de

y^{2}=x-1

(3.582)

nos pontos $(2,-1)$ e $(2,1)$ .

Resposta 0.

(0, 0)

E. 3.9.4.

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da circunferência de centro $C=(1,1)$ e raio $r=\sqrt{2}$ que passa pela origem $O=(0,0)$ .

Resposta 0.

$y=-x$

E. 3.9.5.

Seja $c$ a circunferência de raio $r>0$

x^{2}+y^{2}=r^{2}.

(3.583)

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Pedro H A Konzen

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	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}% \left(\pm\sqrt{1-x^{2}}\right)$		(3.536)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pm\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}$		(3.537)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mp\frac{x}{y}$		(3.538)

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Cálculo I

3.9 Derivação implícita

Exemplo 3.9.1.

Observação 3.9.1.(Derivadas de potências racionais de x)

Exemplo 3.9.2.

3.9.1 Exercícios resolvidos

ER 3.9.1.

Solução 0.

ER 3.9.2.

Solução 0.

3.9.2 Exercícios

E. 3.9.1.

Resposta 0.

E. 3.9.2.

Resposta 0.

E. 3.9.3.

Resposta 0.

E. 3.9.4.

Resposta 0.

E. 3.9.5.

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Cálculo I

3.9 Derivação implícita

Exemplo 3.9.1.

Observação 3.9.1.(Derivadas de potências racionais de x)

Exemplo 3.9.2.

3.9.1 Exercícios resolvidos

ER 3.9.1.

Solução 0.

ER 3.9.2.

Solução 0.

3.9.2 Exercícios

E. 3.9.1.

Resposta 0.

E. 3.9.2.

Resposta 0.

E. 3.9.3.

Resposta 0.

E. 3.9.4.

Resposta 0.

E. 3.9.5.

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Observação 3.9.1.(Derivadas de potências racionais de $x$ )

Observação 3.9.1.(Derivadas de potências racionais de $x$ )