Cálculo I
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3.10 Derivação implícita
Seja  definida implicitamente por
A derivada  pode ser calculada via regra da cadeia
|  |  |  | (3.593) | 
|  |  |  | (3.594) | 
 
Exemplo 3.10.1.
Considere a equação da circunferência unitária (Figura 3.13)
Aqui, vamos calcular  de duas maneiras diferentes.
 
 Figura 3.13: Gráfico da circunferência unitária .
Figura 3.13: Gráfico da circunferência unitária .
- 
a) 
Por derivação direta. Isolando  em (3.595), temos 
 
o que está bem definido para . Calculando a derivada, obtemos 
|  |  |  | (3.597) |  
|  |  |  | (3.598) |  
|  |  |  | (3.599) |  
 Ou seja, para , temos  e, para , temos . Logo, concluímos que 
 
- 
b) 
Por derivação implícita. Derivamos ambos os lados da (3.595) em relação a  
 
|  |  |  | (3.601) |  
|  |  |  | (3.602) |  
|  |  |  | (3.603) |  
|  |  |  | (3.604) |  
|  |  |  | (3.605) |  
 
 
 
 
Observação 3.10.1.(Derivadas de potências racionais de )
Vamos mostrar que
para qualquer número racional . Denotando , , temos
|  |  |  | (3.607) | 
|  |  |  | (3.608) | 
|  |  |  | (3.609) | 
Da derivação de função potência com exponente inteiro, temos
|  |  |  | (3.610) | 
|  |  |  | (3.611) | 
|  |  |  | (3.612) | 
|  |  |  | (3.613) | 
|  |  |  | (3.614) | 
|  |  |  | (3.615) | 
|  |  |  | (3.616) | 
Logo, segue o resultados que queríamos demonstrar.
 
 
Exemplo 3.10.2.
Vamos calcular  para
Primeiramente, precisamos calcular . Isso foi feito no Exemplo 3.10.1, onde obtivemos
Antes de derivarmos novamente, vamos reescrever essa última expressão da seguinte forma
Derivando
|  |  |  | (3.620) | 
|  |  |  | (3.621) | 
|  |  |  | (3.622) | 
|  |  |  | (3.623) | 
 
 
3.10.1 Exercícios resolvidos
ER 3.10.1.
Calcule  para a lemniscata de Bernoulli1313endnote: 13Jacob Bernoulli, 1655-1705, matemático suíço. Fonte: Wikipédia: Jakob Bernoulli.
 
 Figura 3.14: Gráfico da lemniscata de Bernoulli .
Figura 3.14: Gráfico da lemniscata de Bernoulli .
 
Resolução.
|  |  |  | (3.625) | 
|  |  |  | (3.626) | 
Rearranjando os termos, obtemos
|  |  |  | (3.627) | 
ou ainda
|  |  |  | (3.628) | 
 
 
ER 3.10.2.
Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da circunferência unitária
no ponto .
 
 
Resolução.
A equação da reta tangente ao gráfico de uma função  no ponto  é dada por
|  |  |  | (3.630) | 
onde, nesse caso, , 
|  |  |  | (3.631) | 
Calculamos  como segue
|  |  |  | (3.632) | 
|  |  |  | (3.633) | 
|  |  |  | (3.634) | 
|  |  |  | (3.635) | 
|  |  |  | (3.636) | 
Com isso, temos
|  |  |  | (3.637) | 
|  |  |  | (3.638) | 
|  |  |  | (3.639) | 
Concluímos que a equação da reta tangente é
|  |  |  | (3.640) | 
|  |  |  | (3.641) | 
 
 
3.10.2 Exercícios
E. 3.10.1.
Calcule  para:
- 
a) 
- 
b) 
 
 
a)  b) 
 
 
E. 3.10.3.
Encontre o ponto de interseção das retas tangentes ao gráfico de
nos pontos  e .
 
 
E. 3.10.4.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da circunferência de centro  e raio  que passa pela origem .
 
 
E. 3.10.5.
Seja  a circunferência de raio 
Mostra que a reta tangente ao gráfico de  em qualquer ponto arbitrário  é perpendicular a reta , i.e. a reta que passa pela origem  e pelo ponto 
 
 
 
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