Cálculo I

3 Derivadas 3.9 Diferenciabilidade da função inversa 4 Aplicações da derivada

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3.10 Derivação implícita

Seja $y=y(x)$ definida implicitamente por

g(y(x))=0.

(3.591)

A derivada $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ pode ser calculada via regra da cadeia

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(y(x))=\frac{\mathrm{d}0}{\mathrm{% d}x}$		(3.592)
	$\displaystyle g^{\prime}(y(x))\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0.$		(3.593)

Exemplo 3.10.1.

Considere a equação da circunferência unitária (Figura 3.13)

x^{2}+y^{2}=1.

(3.594)

Aqui, vamos calcular $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ de duas maneiras diferentes.

Refer to caption — Figura 3.13: Gráfico da circunferência unitária $x^{2}+y^{2}=1$ .

a)

Por derivação direta. Isolando $y$ em (3.594), temos

$y=\pm\sqrt{1-x^{2}}$ (3.595)

o que está bem definido para $-1\leq x\leq 1$ . Calculando a derivada, obtemos

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}% \left(\pm\sqrt{1-x^{2}}\right)$ (3.596)

$\displaystyle\text{}\quad=\pm\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}$ (3.597)

$\displaystyle\text{}\quad=\mp\frac{x}{y}$ (3.598)

Ou seja, para $y<0$ , temos $y^{\prime}=x/y$ e, para $y>0$ , temos $y^{\prime}=-x/y$ . Logo, concluímos que

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}.$ (3.599)

Por derivação implícita. Derivamos ambos os lados da (3.594) em relação a $x$

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{% \mathrm{d}1}{\mathrm{d}x}$		(3.600)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}\right)+\frac{\mathrm{d}% }{\mathrm{d}x}\left(y^{2}(x)\right)=0$		(3.601)
	$\displaystyle 2x+\frac{\mathrm{d}y^{2}}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm% {d}x}=0$		(3.602)
	$\displaystyle 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$		(3.603)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}.$		(3.604)

Observação 3.10.1.(Derivadas de potências racionais de $x$ )

Vamos mostrar que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{% \mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{r}=rx^{r-1}},

(3.605)

para qualquer número racional $r\neq 0$ . Denotando $r=m/n$ , $m,n\in\mathbb{N}$ , temos

	$\displaystyle y=x^{m/n}$		(3.606)
	$\displaystyle\Leftrightarrow$		(3.607)
	$\displaystyle y^{n}=x^{m}$		(3.608)

Da derivação de função potência com exponente inteiro, temos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y^{n}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x% }x^{m}$		(3.609)
	$\displaystyle ny^{n-1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=mx^{m-1}$		(3.610)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1}y^{1-n}$		(3.611)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1}\left(x^{\frac{% m}{n}}\right)^{1-n}$		(3.612)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1}x^{\frac{m}{n}(% 1-n)}$		(3.613)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1+\frac{m}{n}(1-n)}$		(3.614)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}.$		(3.615)

Logo, segue o resultados que queríamos demonstrar.

Exemplo 3.10.2.

Vamos calcular $\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}$ para

x^{2}+y^{2}=1.

(3.616)

Primeiramente, precisamos calcular $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ . Isso foi feito no Exemplo 3.10.1, onde obtivemos

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}.

(3.617)

Antes de derivarmos novamente, vamos reescrever essa última expressão da seguinte forma

y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-x

(3.618)

Derivando

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d% }x}\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[-x\right]$		(3.619)
	$\displaystyle 1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+% \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-1$		(3.620)
	$\displaystyle\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^{2}+\frac{\mathrm{d}% ^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=-1$		(3.621)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=-\frac{x^{2}}{y^{2}}-1.$		(3.622)

3.10.1 Exercícios resolvidos

ER 3.10.1.

Calcule $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ para a lemniscata de Bernoulli¹⁰¹⁰10Jacob Bernoulli, 1655-1705, matemático suíço. Fonte: Wikipédia: Jakob Bernoulli.

(x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}.

(3.623)

Resolução.

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[(x^{2}+y^{2})^{2}\right]=% \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{2}-y^{2}\right]$		(3.624)
	$\displaystyle 2(x^{2}+y^{2})\left(2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=% 2x-2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$		(3.625)

Rearranjando os termos, obtemos

2(y+2x^{2}y+2y^{2})\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x-4xy^{2}-4x^{3}

(3.626)

ou ainda

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x-2x^{3}-2xy^{2}}{y+2x^{2}y+2y^{3}}

(3.627)

ER 3.10.2.

Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da circunferência unitária

x^{2}+y^{2}=1

(3.628)

no ponto $\displaystyle\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Resolução.

A equação da reta tangente ao gráfico de uma função $y=y(x)$ no ponto $(x_{0},y(x_{0}))$ é dada por

y=y^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+y(x_{0})

(3.629)

onde, nesse caso, $\displaystyle x_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\displaystyle y(x_{0})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

y^{\prime}(x_{0})=\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_{0}}.

(3.630)

Calculamos $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ como segue

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{% \mathrm{d}1}{\mathrm{d}x}$		(3.631)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}\right)+\frac{\mathrm{d}% }{\mathrm{d}x}\left(y^{2}(x)\right)=0$		(3.632)
	$\displaystyle 2x+\frac{\mathrm{d}y^{2}}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm% {d}x}=0$		(3.633)
	$\displaystyle 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$		(3.634)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}.$		(3.635)

Com isso, temos

	$\displaystyle y^{\prime}(x_{0})=-\frac{x_{0}}{y(x_{0})}$		(3.636)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$		(3.637)
	$\displaystyle\text{}\quad=-1.$		(3.638)

Concluímos que a equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=-1\cdot\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}$		(3.639)
	$\displaystyle y=-x+\sqrt{2}.$		(3.640)

3.10.2 Exercícios

E. 3.10.1.

Calcule $\mathrm{d}y/\\ dx$ para:

a)

$x+2xy-x^{3}=3$
b)

$x^{2}+y^{2}=xy$

a) $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3x^{2}-2y-1}{2x}$ b) $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y-2x}{2y-x}$

E. 3.10.2.

Calcule $\mathrm{d}^{2}y/\mathrm{d}x^{2}$ para

x^{2}+y^{2}=xy

(3.641)

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{x+y-2}{x^{2}}$

E. 3.10.3.

Encontre o ponto de interseção das retas tangentes ao gráfico de

y^{2}=x-1

(3.642)

nos pontos $(2,-1)$ e $(2,1)$ .

(0, 0)

E. 3.10.4.

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da circunferência de centro $C=(1,1)$ e raio $r=\sqrt{2}$ que passa pela origem $O=(0,0)$ .

$y=-x$

E. 3.10.5.

Seja $c$ a circunferência de raio $r>0$

x^{2}+y^{2}=r^{2}.

(3.643)

Mostra que a reta tangente ao gráfico de $c$ em qualquer ponto arbitrário $P=(x_{0},y_{0})\in c$ é perpendicular a reta $\overline{OP}$ , i.e. a reta que passa pela origem $O=(0,0)$ e pelo ponto $P .$

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3.10 Derivação implícita

Exemplo 3.10.1.

Observação 3.10.1.(Derivadas de potências racionais de $x$ )

Exemplo 3.10.2.

3.10.1 Exercícios resolvidos

ER 3.10.1.

Resolução.

ER 3.10.2.

Resolução.

3.10.2 Exercícios

E. 3.10.1.

E. 3.10.2.

E. 3.10.3.

E. 3.10.4.

E. 3.10.5.

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	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}% \left(\pm\sqrt{1-x^{2}}\right)$		(3.596)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pm\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}$		(3.597)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mp\frac{x}{y}$		(3.598)

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