Cálculo I

3 Derivadas 3.7 Linearização e diferenciais 3.9 Diferenciabilidade da função inversa

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3.8 Regra da cadeia

Regra da cadeia é nome dado a técnica de derivação de uma função composta. Sejam $f$ e $g$ , com $g$ derivável em $x$ e $f$ derivável em $g(x)$ , então $(f\circ g)$ é derivável em $x$ e vale a seguinte regra de derivação

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(f\circ g)^{% \prime}(x)=[f(g(x))]^{\prime}=f^{\prime}(g(x))\cdot g^{\prime}(x)},

(3.438)

Antes de mostrarmos a validade desta regra, estudemos um exemplo de sua aplicação.

Exemplo 3.8.1.

A derivada em relação a $x$ de $h(x)=(x+1)^{2}$ pode ser calculada das seguintes formas:

a)

pela regra da cadeia.

A função $h$ é a composição da função $f(x)=x^{2}$ com a função $g(x)=x+1$ , i.e. $h(x)=f(g(x))$ . Temos $f^{\prime}(x)=2x$ e $g^{\prime}(x)=1$ . Então, segue pela regra da cadeia

$\displaystyle h^{\prime}(x)=[f(g(x))]^{\prime}$ (3.439)

$\displaystyle\text{}\quad=f^{\prime}(g(x))\cdot g^{\prime}(x)$ (3.440)

$\displaystyle\text{}\quad=2(x+1)\cdot 1$ (3.441)

$\displaystyle\text{}\quad=2x+2.$ (3.442)
b)

por cálculo direto.

Observando que $h(x)=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ , temos

$\displaystyle h^{\prime}(x)=(x^{2}+2x+1)^{\prime}$ (3.443)

$\displaystyle\text{}\quad=(x^{2})^{\prime}+(2x)^{\prime}+(1)^{\prime}$ (3.444)

$\displaystyle\text{}\quad=2x+2.$ (3.445)

Código 66: Python

⬇

1from sympy import Symbol, diff

2x = Symbol('x')

3h = (x + 1)**2

4print(f'h(x) = {h}')

5print(f'h\’(x) = {diff(h, x)}')

h(x) = (x + 1)**2

h'(x) = 2*x + 2

A validade da regra da cadeia pode ser mostrada como segue. Sejam diferenciáveis as funções $y=f(u)$ , com $u=g(x)$ . Queremos calcular

(f\circ g)^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x},

(3.446)

onde $\Delta y=f(g(x+\Delta x))-f(g(x))$ . Da equação (3.419), temos

\Delta y=f^{\prime}(u)\Delta u+\varepsilon_{f}\Delta u,

(3.447)

em que $\varepsilon_{f}\to 0$ quando $\Delta u\to 0$ . Por outro lado, como $g$ é diferenciável em $x$ , segue que

	$\displaystyle\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)$		(3.448)
	$\displaystyle\text{}\quad=g^{\prime}(x)\Delta x+\varepsilon_{g}\Delta x,$		(3.449)

em que $\varepsilon_{g}\to 0$ quando $\Delta x\to 0$ . Substituindo a segunda equação na primeira, obtemos

	$\displaystyle\Delta y=f^{\prime}(u)(g^{\prime}(x)\Delta x+\varepsilon_{g}% \Delta x)+\varepsilon_{f}(g^{\prime}(x)\Delta x+\varepsilon_{g}\Delta x)$		(3.450)
	$\displaystyle\text{}\quad=f^{\prime}(u)g^{\prime}(x)\Delta x+f^{\prime}(u)% \varepsilon_{g}\Delta x+\varepsilon_{f}g^{\prime}(x)\Delta x+\varepsilon_{f}% \varepsilon_{g}\Delta x$		(3.451)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[f^{\prime}(u)g^{\prime}(x)+f^{\prime}(u)% \varepsilon_{g}+\varepsilon_{f}g^{\prime}(x)+\varepsilon_{f}\varepsilon_{g}% \right]\Delta x.$		(3.452)

Logo, segue que

	$\displaystyle(f\circ g)^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$		(3.453)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{\Delta x\to 0}\left[f^{\prime}(u)g^{\prime}(x)% +f^{\prime}(u)\varepsilon_{g}+\varepsilon_{f}g^{\prime}(x)+\varepsilon_{f}% \varepsilon_{g}\right]$		(3.454)
	$\displaystyle\text{}\quad=f^{\prime}(u)g^{\prime}(x)+f^{\prime}(u)\cdot 0+0% \cdot g^{\prime}(x)+0\cdot 0$		(3.455)
	$\displaystyle\text{}\quad=f^{\prime}(u)g^{\prime}(x).$		(3.456)

Teorema 3.8.1.(Regra da cadeia)

Sejam $f$ e $g$ , com $g$ derivável em $x$ e $f$ derivável em $u=g(x)$ . Então, $(f\circ g)$ é derivável em $x$ e vale a seguinte regra de derivação

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{d}{dx}f% (u)=f^{\prime}(u)\frac{du}{dx}.

(3.457)

Observação 3.8.1.(Derivada de função potência)

Em seções anteriores, já vimos que

\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1},

(3.458)

para qualquer $n$ inteiro⁹⁹9Mais precisamente, para $n\neq 0$ e $n\neq 1$ .. Agora, se $r\neq 0$ e $r\neq 1$ é um número real, temos

	$\displaystyle y=x^{r}$		(3.459)
	$\displaystyle\ln y=\ln x^{r}=r\ln x.$		(3.460)

Daí, derivando ambos os lados desta última equação e observando que $y=y(x)$ , obtemos

	$\displaystyle\frac{d}{dx}\ln y=\frac{d}{dx}r\ln x$		(3.461)
	$\displaystyle\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{r}{x}$		(3.462)
	$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{r}{x}y$		(3.463)
	$\displaystyle\frac{dy}{dx}=rx^{r-1}.$		(3.464)

Ou seja, a regra da potência

\frac{d}{dx}x^{r}=rx^{r-1},

(3.465)

vale para todo $r$ real, com $r\neq 0$ e $r\neq 1$ .

Exemplo 3.8.2.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\prime}$ (3.466)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$ (3.467)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$ (3.468)
b)

$\left(x^{\sqrt{2}}\right)^{\prime}=\sqrt{2}x^{\sqrt{2}-1}.$ (3.469)

Observação 3.8.2.(Regra da cadeia para função potência)

A regra da cadeia aplicada a derivada de função potência é

\frac{d}{dx}u^{r}=ru^{r-1}\frac{du}{dx}.

(3.470)

Exemplo 3.8.3.

Vamos calcular a derivada em relação a $x$ de

f(x)=\sqrt{x^{2}+1}

(3.471)

Vamos usar (3.470), com

u=x^{2}+1

(3.472)

e $r=1/2$ . Segue que

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{dx}$		(3.473)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}\cdot 2x$		(3.474)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}$		(3.475)

Código 67: Python

⬇

1from sympy import sqrt, diff

2from sympy.abc import x

3diff(sqrt(x**2 + 1), x)

x/sqrt(x**2 + 1)

A regra da cadeia pode ser estendida para calcular a derivada de uma composição encadeada de três ou mais funções. Por exemplo,

	$\displaystyle[f(g(h(x)))]^{\prime}=f^{\prime}(g(h(x)))\cdot[g(h(x))]^{\prime}$		(3.476)
	$\displaystyle\text{}\quad=f^{\prime}(g(h(x)))\cdot g^{\prime}(h(x))\cdot h^{% \prime}(x).$		(3.477)

Neste caso, a regra é válida para todo ponto tal que $h$ é derivável em $x$ com $g$ derivável em $h(x)$ e $f$ derivável em $f(g(h(x)))$ .

Exemplo 3.8.4.

Vamos calcular a derivada em relação a $x$ de $f(x)=\operatorname{sen}(\cos(x^{2}))$ . Pela regra da cadeia, temos

	$\displaystyle[\operatorname{sen}(\cos(x^{2}))]=\cos(\cos(x^{2}))\cdot[\cos(x^{% 2})]^{\prime}$		(3.478)
	$\displaystyle\text{}\quad=\cos(\cos(x^{2}))\cdot[-\operatorname{sen}(x^{2})% \cdot(x^{2})^{\prime}]$		(3.479)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(\cos(x^{2}))\cdot\operatorname{sen}(x^{2})% \cdot 2x.$		(3.480)

3.8.1 Lista de derivadas

	$\displaystyle(ku)^{\prime}=ku^{\prime}$		(3.481)
	$\displaystyle(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}$		(3.482)
	$\displaystyle(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$		(3.483)
	$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{% v^{2}}$		(3.484)
	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(3.485)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(3.486)
	$\displaystyle\frac{du^{n}}{dx}=nu^{n-1}\frac{du}{dx}$		(3.487)
	$\displaystyle\frac{da^{u}}{dx}=a^{u}\ln a\frac{du}{dx}$		(3.488)
	$\displaystyle\frac{de^{u}}{dx}=e^{u}\frac{du}{dx}$		(3.489)
	$\displaystyle\frac{d}{dx}\log_{a}u=\frac{1}{u}\frac{du}{dx}$		(3.490)
	$\displaystyle\frac{d}{dx}\operatorname{sen}u=\cos(u)\frac{du}{dx}$		(3.491)
	$\displaystyle\frac{d}{dx}\cos u=-\operatorname{sen}(u)\frac{du}{dx}$		(3.492)
	$\displaystyle\frac{d}{dx}\operatorname{tg}u=\sec^{2}(u)\frac{du}{dx}$		(3.493)
	$\displaystyle\frac{d}{dx}\operatorname{cotg}u=-\operatorname{cossec}^{2}(u)% \frac{du}{dx}$		(3.494)
	$\displaystyle\frac{d}{dx}\sec u=\sec(u)\operatorname{tg}(u)\frac{du}{dx}$		(3.495)
	$\displaystyle\frac{d}{dx}\operatorname{cossec}u=-\operatorname{cossec}(u)% \operatorname{cotg}(u)\frac{du}{dx}$		(3.496)

3.8.2 Exercícios resolvidos

ER 3.8.1.

Calcule a derivada em relação a $x$ de

f(x)=e^{\sqrt{x+1}}.

(3.497)

Resolução.

Da regra da cadeia aplicada à função exponencial, temos

\frac{d}{dx}e^{u}=e^{u}\frac{du}{dx}.

(3.498)

Então, com $u=\sqrt{x+1}$ , segue

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}e^{\sqrt{x+1}}$		(3.499)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{\sqrt{x+1}}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x+1}\right).$		(3.500)

Agora, aplicamos a regra da cadeia para a função raiz quadrada, i.e.

\frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{du}{dx},

(3.501)

com $u=x+1$ . Segue, então

	$\displaystyle\frac{d}{dx}\sqrt{x+1}=\frac{1}{2}(x+1)^{\frac{1}{2}-1}\frac{d}{% dx}(x+1)$		(3.502)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.$		(3.503)

Portanto, concluímos que

f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}e^{\sqrt{x+1}}.

(3.504)

Código 68: Python

⬇

1from sympy import exp, sqrt, diff

2from sympy.abc import x

3diff(exp(sqrt(x + 1)), x)

exp(sqrt(x + 1))/(2*sqrt(x + 1))

ER 3.8.2.(Função logística)

Mostre que a função logística

f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}

(3.505)

satisfaz a equação diferencial

\frac{d}{dx}f(x)=f(x)(1-f(x)).

(3.506)

Resolução.

Vamos calcular a derivada em relação a $x$ da função logística, i.e.

	$\displaystyle\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)$		(3.507)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{d}{dx}\left[\left(1+e^{-x}\right)^{-1}\right]$		(3.508)
	$\displaystyle\text{}\quad=-1\cdot\left(1+e^{-x}\right)^{-2}\cdot\underbrace{% \left(1+e^{-x}\right)^{\prime}}_{=-e^{-x}}$		(3.509)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}.$		(3.510)

Por outro lado, temos

	$\displaystyle f(x)(1-f(x))=\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\left(1-\frac{1}{1+e^{-x}}\right)$		(3.511)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\left(\frac{1+e^{-x}-1}{1+e^{% -x}}\right)$		(3.512)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}.$		(3.513)

Ou seja, de fato temos

\frac{d}{dx}f(x)=f(x)(1-f(x)).

(3.514)

Código 69: Python

⬇

1from sympy import exp, diff, Eq, simplify

2from sympy.abc import x

3f = 1/(1 + exp(-x))

4dfdx = diff(f, x)

5rhs = f * (1 - f)

6eq = Eq(dfdx, rhs)

7simplify(eq)

True

ER 3.8.3.

Assuma que o custo de produção de uma unidade empresarial seja modelada pela função

c(x)=\sqrt{x-1}+e^{x-7},

(3.515)

onde $c$ é o custo em função da produção $x$ . Determine o custo marginal quando $x=3$ .

Resolução.

O custo marginal é a função derivada do custo em relação à produção. Calculando, temos

	$\displaystyle c^{\prime}(x)=\left(\sqrt{x-1}+e^{x-7}\right)$		(3.516)
	$\displaystyle\text{}\quad=\underbrace{\left(\sqrt{x-1}\right)^{\prime}}_{(u^{n% })^{\prime}=nu^{n-1}u^{\prime}}+\underbrace{\left(e^{x-7}\right)^{\prime}}_{(e% ^{u})^{\prime}=e^{u}u^{\prime}}$		(3.517)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}+e^{x-7}.$		(3.518)

Logo, o custo marginal quando $x=3$ é

	$\displaystyle c^{\prime}(3)=\frac{1}{2\sqrt{3-1}}+e^{3-7}$		(3.519)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{2}+e^{-4}.$		(3.520)

Código 70: Python

⬇

1from sympy import sqrt, exp, diff

2from sympy.abc import x

3c = sqrt(x - 1) + exp(x - 7)

4dc_dx = diff(c, x)

5dc_dx_at_3 = dc_dx.subs(x, 3)

6dc_dx_at_3

exp(-4) + sqrt(2)/4

ER 3.8.4.

Mostre que $\ln(1+x)\approx x$ para $x$ próximo de $0$ .

Resolução.

Basta calcular a linearização de $f(x)=\ln(1+x)$ em $x_{0}=0$ , i.e.

\ln(1+x)\approx l(x)=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).

(3.521)

Para calcular a derivada $f^{\prime}(x)$ , usamos a regra da cadeia, i.e.

\frac{d}{dx}\ln u=\frac{1}{u}\frac{du}{dx},

(3.522)

com $u=1+x$ . Segue que

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}\cdot 1$		(3.523)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{1+x}.$		(3.524)

Logo, $f^{\prime}(0)=1$ . Por outro lado, $f(0)=\ln(1)=0$ . Portanto, a linearização de $f$ em $x_{0}=0$ é

l(x)=1\cdot(x-0)+0=x.

(3.525)

Ou seja, $\ln(1+x)\approx x$ para $x$ próximo de $0$ .

3.8.3 Exercícios

E. 3.8.1.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções

a)

$\displaystyle f(x)=(2x-3)^{9}$
b)

$\displaystyle g(x)=\frac{1}{(2x-3)^{51}}$
c)

$\displaystyle h(x)=\sqrt{x^{2}+1}$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=18(2x-3)^{8}$ ; b) $\displaystyle g^{\prime}(x)=-\frac{102}{(2x-3)^{52}}$ ; c) $\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

E. 3.8.2.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções

a)

$\displaystyle f(x)=2^{3x-1}$
b)

$\displaystyle g(x)=e^{-x^{2}}$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=3\cdot 2^{3x-1}\ln 2$ ; b) $\displaystyle g^{\prime}(x)=-2xe^{-x^{2}}$ .

E. 3.8.3.

Calcule as seguintes derivadas

a)

$\displaystyle\left[\ln\left(x^{2}-1\right)\right]^{\prime}$
b)

$\displaystyle\frac{d}{dx}\left[\log_{2}(x-1)+\log_{2}(x+1)\right]$

a) $\displaystyle\frac{2x}{x^{2}-1}$ ; b) $\displaystyle\frac{2x}{(x^{2}-1)\ln 2}$

E. 3.8.4.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções

a)

$\displaystyle f(x)=\operatorname{sen}(\pi x)$
b)

$\displaystyle g(x)=\cos(\sqrt{x})$
c)

$\displaystyle h(x)=\operatorname{tg}(2x)$
d)

$\displaystyle u(x)=\operatorname{cotg}(3-x)$
e)

$\displaystyle v(x)=\sec\left(\frac{1}{x^{2}}\right)$
f)

$\displaystyle z(x)=\operatorname{cossec}\left(5x+x^{2}\right)$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=\pi\cos(\pi x)$ ; b) $\displaystyle g^{\prime}(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\operatorname{sen}(\sqrt{x})$ ; c) $\displaystyle h^{\prime}(x)=2\sec^{2}(2x)$ ; d) $\displaystyle u^{\prime}(x)=\operatorname{cossec}^{2}(3-x)$ ; e) $\displaystyle v^{\prime}(x)=-\frac{2}{x^{2}}\sec\left(\frac{1}{x^{2}}\right)% \operatorname{tg}\left(\frac{1}{x^{2}}\right)$ ;
f) $\displaystyle z^{\prime}(x)=-(5+2x)\operatorname{cossec}\left(5x+x^{2}\right)% \operatorname{cotg}\left(5x+x^{2}\right)$

E. 3.8.5.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções

a)

$\displaystyle f(x)=\operatorname{sen}(\cos(x^{2}))$
b)

$\displaystyle g(x)=e^{-(x-1)^{2}}$
c)

$\displaystyle h(x)=\sqrt{1+e^{2x}}$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=-2x\cos(\cos(x^{2}))\operatorname{sen}(x^{2})$ ; b) $\displaystyle g^{\prime}(x)=-2(x-1)e^{-(x-1)^{2}}$ ; c) $\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}}$ .

E. 3.8.6.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções

a)

$\displaystyle f(x)=\ln(\cos^{2}(\operatorname{tg}(x)))$
b)

$\displaystyle g(x)=\operatorname{sen}(\sqrt{1+e^{2x}})$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=-2\sec^{2}(x)\tan(x)\operatorname{cotg}(% \operatorname{tg}(x))$ ; b) $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}}\cos(\sqrt{1+e^{2x}})$ .

E. 3.8.7.

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função

f(x)=e^{\sqrt{x+1}}

(3.526)

no ponto $x=3$ .

$y=\frac{e^{2}}{4}x+\frac{e^{2}}{4}$

E. 3.8.8.

Calcule a linearização de $f(x)=\sqrt{1+x}$ em $x_{0}=0$ . Então, use-a para aproximar o valor de $\sqrt{1.1}$ .

$l(x)=\frac{x}{2}+1$ , $l(0.1)=1.05$ .

E. 3.8.9.

Use de diferenciais para estimar a variação do valor de $f(x)=\sqrt{1+x^{2}}$ quando $x$ varia de $1$ para $1.1$ .

$0.07$

E. 3.8.10.

Mostre que $(1+x)^{k}\approx 1+kx$ para $x$ próximo de $0$ .

Basta calcular a linearização de $f(x)=(1+x)^{k}$ em $x_{0}=0$ : $l(x)=kx+1$ .

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Cálculo I

3.8 Regra da cadeia

Exemplo 3.8.1.

Teorema 3.8.1.(Regra da cadeia)

Observação 3.8.1.(Derivada de função potência)

Exemplo 3.8.2.

Observação 3.8.2.(Regra da cadeia para função potência)

Exemplo 3.8.3.

Exemplo 3.8.4.

3.8.1 Lista de derivadas

3.8.2 Exercícios resolvidos

ER 3.8.1.

Resolução.

ER 3.8.2.(Função logística)

Resolução.

ER 3.8.3.

Resolução.

ER 3.8.4.

Resolução.

3.8.3 Exercícios

E. 3.8.1.

E. 3.8.2.

E. 3.8.3.

E. 3.8.4.

E. 3.8.5.

E. 3.8.6.

E. 3.8.7.

E. 3.8.8.

E. 3.8.9.

E. 3.8.10.

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	$\displaystyle h^{\prime}(x)=[f(g(x))]^{\prime}$		(3.439)
	$\displaystyle\text{}\quad=f^{\prime}(g(x))\cdot g^{\prime}(x)$		(3.440)
	$\displaystyle\text{}\quad=2(x+1)\cdot 1$		(3.441)
	$\displaystyle\text{}\quad=2x+2.$		(3.442)

	$\displaystyle h^{\prime}(x)=(x^{2}+2x+1)^{\prime}$		(3.443)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x^{2})^{\prime}+(2x)^{\prime}+(1)^{\prime}$		(3.444)
	$\displaystyle\text{}\quad=2x+2.$		(3.445)

	$\displaystyle\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\prime}$		(3.466)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$		(3.467)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$		(3.468)