Cálculo I

6 Aplicaciones de la integral 6.1 Cálculo de áreas A Tabla de derivadas

Ayuda a mantener el sitio libre, gratuito y sin publicidad. ¡Colabora!

6.2 Volúmenes por seccionamiento y rotación

6.2.1 Volúmenes por seccionamiento

Sea un sólido con sección transversal $A(x)$ perpendicular al eje $x$ . El volumen del sólido puede aproximarse por la suma de $n$ rebanadas prismáticas de espesor $\Delta x_{k}=x_{k+1}-x_{k}$ y sección transversal $A(x_{k}^{*})$ , con $x_{k}^{*}\in[x_{k},x_{k+1}]$ para $k=1,2,\ldots,n$ (véase la Figura 6.5). Es decir,

V\approx\sum_{k=1}^{n}A(x_{k}^{*})\,\Delta x_{k}\mathchar 46\relax

(6.55)

Refer to caption — Figura 6.5: Volumen por seccionamiento.

Si tomamos el límite cuando $n\to\infty$ (con $\Delta x_{k}\to 0$ ), obtenemos el volumen exacto del sólido como una integral definida:

	$\displaystyle V=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{n\to\infty}\sum_{k% =1}^{n}A(x_{k}^{*})\,\Delta x_{k}$		(6.56)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{a}^{b}A(x)\,dx,$		(6.57)

Ejemplo 6.2.1.

Como comprobación, calculemos el volumen de un paralelepípedo rectangular de dimensiones $l$ , $w$ y $h$ usando el método de seccionamiento. Sabemos que su volumen es $V=lwh$ y verificaremos que el método da el mismo resultado.

Este sólido se describe por secciones transversales rectangulares de área $A(x)=w\cdot h$ para $x\in[0,l]$ (véase la Figura 6.6). Por tanto, el volumen es

	$\displaystyle V=\int_{0}^{l}A(x)\,dx$		(6.58)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{l}w\cdot h\,dx$		(6.59)
	$\displaystyle\text{}\quad=w\cdot h\int_{0}^{l}\,dx$		(6.60)
	$\displaystyle\text{}\quad=w\cdot h\left[x\right]_{0}^{l}$		(6.61)
	$\displaystyle\text{}\quad=w\cdot h(l-0)$		(6.62)
	$\displaystyle\text{}\quad=lwh\mathchar 46\relax$		(6.63)

6.2.2 Volúmenes por rotación

Si una región plana se hace girar alrededor de un eje, el sólido generado puede calcularse con el método de seccionamiento. Considere la región limitada por la curva $y=f(x)$ , el eje $x$ y las rectas $x=a$ y $x=b$ . Al girar esta región alrededor del eje $x$ , el volumen puede aproximarse por rebanadas cilíndricas cuya sección transversal es un círculo de radio $f(x_{k}^{*})$ (véase la Figura 6.7). Así, el área de la sección transversal es

A(x_{k}^{*})=\pi\,[f(x_{k}^{*})]^{2}\mathchar 46\relax

(6.64)

Por tanto, el volumen se calcula como

V=\int_{a}^{b}\pi\,[f(x)]^{2}\,dx\mathchar 46\relax

(6.65)

Ejemplo 6.2.2.

Calculemos el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por la gráfica $f(x)=\sqrt{x}$ , el eje $x$ y las rectas $x=1$ y $x=4$ alrededor del eje $x$ (véase la Figura 6.8).

El volumen viene dado por

	$\displaystyle V=\int_{1}^{4}\pi\,[f(x)]^{2}\,dx$		(6.66)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{1}^{4}\pi\,(\sqrt{x})^{2}\,dx$		(6.67)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi\int_{1}^{4}x\,dx$		(6.68)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{4}$		(6.69)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi\left(\frac{16}{2}-\frac{1}{2}\right)$		(6.70)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{15\pi}{2}\mathchar 46\relax$		(6.71)

6.2.3 Ejercicios resueltos

ER 6.2.1.

Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas $y=x^{2}$ , $y=x$ , $x=1$ y $x=2$ alrededor del eje $x$ .

Resolución.

La Figura 6.9 ilustra el sólido generado. Observamos que su sección transversal es una arandela circular de radio exterior $R=f(x)$ y radio interior $r=g(x)$ . Por tanto, el área de la sección transversal es

	$\displaystyle A(x)$	$\displaystyle=\pi\,[R^{2}-r^{2}]$		(6.72)
		$\displaystyle=\pi\,[f(x)^{2}-g(x)^{2}]\mathchar 46\relax$		(6.73)

Con ello, el volumen es

	$\displaystyle V=\int_{1}^{2}A(x)\,dx$		(6.74)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{1}^{2}\pi\,[f(x)^{2}-g(x)^{2}]\,dx$		(6.75)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{1}^{2}\pi\,[x^{4}-x^{2}]\,dx$		(6.76)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi\left[\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^% {2}$		(6.77)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi\left(\frac{32}{5}-\frac{8}{3}-\frac{1}{5}+\frac{% 1}{3}\right)$		(6.78)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{58\pi}{15}\mathchar 46\relax$		(6.79)

ER 6.2.2.

Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por $y=x^{2}$ , $x=0$ y $x=1$ alrededor del eje $y$ .

Resolución.

La Figura 6.10 ilustra el sólido generado. Observamos que su sección transversal es un círculo de radio $R=f(y)$ , donde $f$ es la inversa de $y=x^{2}$ . Así, $f(y)=\sqrt{y}$ y el área de la sección transversal es

	$\displaystyle A(y)=\pi\,R^{2}$		(6.80)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi\,f(y)^{2}$		(6.81)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi\,(\sqrt{y})^{2}$		(6.82)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi\,y\mathchar 46\relax$		(6.83)

Por tanto, el volumen es

$\displaystyle V=$	$\displaystyle\int_{0}^{1}A(y)\,dy$	(6.84)
$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{0}^{1}\pi\,y\,dy$	(6.85)
$\displaystyle=$	$\displaystyle\pi\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1}$	(6.86)
$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\pi}{2}\mathchar 46\relax$	(6.87)

6.2.4 Ejercicios

E. 6.2.1.

Calcule el volumen de una pirámide de base cuadrada de lado $l$ y altura $l$ , usando el método de seccionamiento.

$V=\frac{l^{3}}{3}$

E. 6.2.2.

Haga un boceto y calcule el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por $y=x$ , $y=0$ , $x=0$ y $x=1$ alrededor del eje $x$ .

$V=\frac{\pi}{3}$

E. 6.2.3.

Haga un boceto y calcule el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por $y=x^{2}$ , $y=0$ , $x=-1$ y $x=-2$ alrededor del eje $x$ .

$V=\frac{31\pi}{5}$

E. 6.2.4.

Haga un boceto y calcule el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por $y=x$ , $y=x^{2}$ , $x=0$ y $x=1$ alrededor del eje $x$ .

$V=\frac{2\pi}{15}$

E. 6.2.5.

Haga un boceto y calcule el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por $y=\sqrt{x}$ , $y=0$ , $y=1$ y $x=0$ alrededor del eje $y$ .

$V=\frac{\pi}{5}$

E. 6.2.6.

Use el método de seccionamiento para mostrar que el volumen de una esfera de radio $r$ es $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ .

La esfera es el sólido generado por la rotación de la región limitada por $y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}$ , $y=0$ , $x=-r$ y $x=r$ .

Entonces

V=\int_{-r}^{r}\pi\,(r^{2}-x^{2})\,dx=\frac{4}{3}\pi r^{3}\mathchar 46\relax

Envía tu comentario

Aprovecho para agradecer a todas/os que de forma asidua o esporádica contribuyen enviando correcciones, sugerencias y críticas.

Este texto se publica bajo los términos de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional. Los íconos y elementos gráficos pueden estar sujetos a condiciones adicionales.

Política de uso de datos

Política de uso de datos

Cálculo I

6.2 Volúmenes por seccionamiento y rotación

6.2.1 Volúmenes por seccionamiento

Ejemplo 6.2.1.

6.2.2 Volúmenes por rotación

Ejemplo 6.2.2.

6.2.3 Ejercicios resueltos

ER 6.2.1.

Resolución.

ER 6.2.2.

Resolución.

6.2.4 Ejercicios

E. 6.2.1.

E. 6.2.2.

E. 6.2.3.

E. 6.2.4.

E. 6.2.5.

E. 6.2.6.

Envía tu comentario