Cálculo I

6 Aplicações da integral 6.1 Cálculo de áreas A Tabela de derivadas

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6.2 Volumes por fatiamento e rotação

6.2.1 Volumes por fatiamento

Seja um sólido de seção transversal $A(x)$ perpendicular ao eixo $x$ . O volume do sólido pode ser aproximado pela soma de $n$ fatias cilíndricas de espessura $\Delta x_{k}=x_{k+1}-x_{k}$ de seção transversal $A(x_{k}^{*})$ , com $x_{k}^{*}\in[x_{k},x_{k+1}]$ para $k=1,2,\ldots,n$ (consultemos a Figura 6.6). Ou seja,

V\approx\sum_{k=1}^{n}A(x_{k}^{*})\Delta x_{k}.

(6.58)

Se tomarmos o limite quando $n\to\infty$ (com $\Delta x_{k}\to 0$ ), obtemos o volume exato do sólido como uma integral definida

	$\displaystyle V=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}A(x_{k}^{*})\Delta x_{k}$		(6.59)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{a}^{b}A(x)\,dx,$		(6.60)

Exemplo 6.2.1.

Como um teste de verificação, vamos calcular o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões $l$ , $w$ e $h$ usando o método do fatiamento. Sabemos que o volume deste sólido é $V=lwh$ e vamos verificar se o método do fatiamento nos leva ao mesmo resultado.

Este sólido pode ser descrito por seções transversais retangulares de área $A(x)=w\cdot h$ para $x\in[0,l]$ (consultemos a Figura 6.7). Logo, o volume do paralelepípedo é dado por

	$\displaystyle V=\int_{0}^{l}A(x)\,dx$		(6.61)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{l}w\cdot h\,dx$		(6.62)
	$\displaystyle\text{}\quad=w\cdot h\int_{0}^{l}\,dx$		(6.63)
	$\displaystyle\text{}\quad=w\cdot h\left[x\right]_{0}^{l}$		(6.64)
	$\displaystyle\text{}\quad=w\cdot h(l-0)$		(6.65)
	$\displaystyle\text{}\quad=lwh.$		(6.66)

6.2.2 Volumes por rotação

Se uma região plana é girada em torno de um eixo, o sólido gerado pode ter seu volume calculado pelo método do fatiamento. Considere uma região plana limitada pela curva $y=f(x)$ , o eixo $x$ e as retas $x=a$ e $x=b$ . Se esta região for girada em torno do eixo $x$ , o volume do sólido gerado pode ser aproximado por fatias cilíndricas de seção transversal circular de raio $f(x_{k}^{*})$ (consultemos a Figura 6.8). Com isso, a área da seção transversal é dada por

A(x_{k}^{*})=\pi[f(x_{k}^{*})]^{2}.

(6.67)

Logo, o volume do sólido pode ser calculado por

V=\int_{a}^{b}\pi[f(x)]^{2}\,dx.

(6.68)

Exemplo 6.2.2.

Calculemos o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelo gráfico de $f(x)=\sqrt{x}$ , o eixo $x$ e as retas $x=1$ e $x=4$ em torno do eixo $x$ (consultemos a Figura 6.9).

Figura 6.9: Volume gerado pela rotação da região limitada pelo gráfico de $f(x)=\sqrt{x}$ , o eixo $x$ e as retas $x=1$ e $x=4$ em torno do eixo $x$ .

O volume do sólido gerado é dado por

	$\displaystyle V=\int_{1}^{4}\pi[f(x)]^{2}\,dx$		(6.69)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{1}^{4}\pi(\sqrt{x})^{2}\,dx$		(6.70)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi\int_{1}^{4}x\,dx$		(6.71)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{4}$		(6.72)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi\left(\frac{16}{2}-\frac{1}{2}\right)$		(6.73)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{15\pi}{2}.$		(6.74)

6.2.3 Exercícios resolvidos

ER 6.2.1.

Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas $y=x^{2}$ , $y=x$ , $x=1$ e $x=2$ em torno do eixo $x$ .

Resolução.

Figura 6.10: Volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas $y=x^{2}$ , $y=x$ , $x=1$ e $x=2$ em torno do eixo $x$ .

A Figura 6.10 ilustra o sólido gerado. Observamos que sua seção transversal é uma arruela circular de raio externo $R=f(x)$ e raio interno $r=g(x)$ . Logo, a área da seção transversal é dada por

	$\displaystyle A(x)$	$\displaystyle=\pi[R^{2}-r^{2}]$		(6.75)
		$\displaystyle=\pi[f(x)^{2}-g(x)^{2}].$		(6.76)

Com isso, o volume do sólido é dado por

	$\displaystyle V=\int_{1}^{2}A(x)\,dx$		(6.77)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{1}^{2}\pi[f(x)^{2}-g(x)^{2}]\,dx$		(6.78)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{1}^{2}\pi[x^{4}-x^{2}]\,dx$		(6.79)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi\left[\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^% {2}$		(6.80)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi\left(\frac{32}{5}-\frac{8}{3}-\frac{1}{5}+\frac{% 1}{3}\right)$		(6.81)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{58\pi}{15}.$		(6.82)

ER 6.2.2.

Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas $y=x^{2}$ , $x=0$ e $x=1$ em torno do eixo $y$ .

Resolução.

Figura 6.11: Volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas $y=x^{2}$ , x=0 e $x=1$ em torno do eixo $y$ .

A Figura 6.11 ilustra o sólido gerado. Observamos que sua seção transversal é um círculo de raio $R=f(y)$ , onde $f$ é a função inversa de $y=x^{2}$ . Logo, temos que $f(y)=\sqrt{y}$ . Com isso, a área da seção transversal é dada por

	$\displaystyle A(y)=\pi[R^{2}]$		(6.83)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi[f(y)^{2}]$		(6.84)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi[(\sqrt{y})^{2}]$		(6.85)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi y.$		(6.86)

Com isso, o volume do sólido é dado por

$\displaystyle V=$	$\displaystyle\int_{0}^{1}A(y)\,dy$	(6.87)
$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{0}^{1}\pi y\,dy$	(6.88)
$\displaystyle=$	$\displaystyle\pi\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1}$	(6.89)
$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\pi}{2}.$	(6.90)

6.2.4 Exercícios

E. 6.2.1.

Calcule o volume da pirâmide de base quadrada de lado $l$ e altura $l$ , usando o método do fatiamento.

$V=\frac{l^{3}}{3}$

E. 6.2.2.

Faça um esboço e calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas $y=x$ , $y=0$ , $x=0$ e $x=1$ em torno do eixo $x$ .

$V=\frac{\pi}{3}$

E. 6.2.3.

Faça um esboço e calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas $y=x^{2}$ , $y=0$ , $x=-1$ e $x=-2$ em torno do eixo $x$ .

$V=\frac{31\pi}{5}$

E. 6.2.4.

Faça um esboço e calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas $y=x$ , $y=x^{2}$ , $x=0$ e $x=1$ em torno do eixo $x$ .

$V=\frac{2\pi}{15}$

E. 6.2.5.

Faça um esboço e calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas $y=\sqrt{x}$ , $y=0$ , $y=1$ , e $x=0$ em torno do eixo $y$ .

$V=\frac{\pi}{5}$

E. 6.2.6.

Use o método do fatiamento para mostrar que o volume de uma esfera de raio $r$ é dado por $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ .

A esfera é o sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas $y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}$ , $y=0$ , $x=-r$ e $x=r$ . $V=\int_{-r}^{r}\pi(r^{2}-x^{2})\,dx=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ .

E. 6.2.7.

Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da elipse de equação $x^{2}+4y^{2}=4$ em torno do eixo $x$ .

$\displaystyle V=\frac{16\pi}{3}$

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6.2 Volumes por fatiamento e rotação

6.2.1 Volumes por fatiamento

Exemplo 6.2.1.

6.2.2 Volumes por rotação

Exemplo 6.2.2.

6.2.3 Exercícios resolvidos

ER 6.2.1.

Resolução.

ER 6.2.2.

Resolução.

6.2.4 Exercícios

E. 6.2.1.

E. 6.2.2.

E. 6.2.3.

E. 6.2.4.

E. 6.2.5.

E. 6.2.6.

E. 6.2.7.

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