Cálculo I

6 Aplicaciones de la integral 6 Aplicaciones de la integral 6.2 Volúmenes por seccionamiento y rotación

Ayuda a mantener el sitio libre, gratuito y sin publicidad. ¡Colabora!

6.1 Cálculo de áreas

La integral definida $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ está asociada al área entre la gráfica de la función $f$ y el eje de las abscisas en el intervalo $[a,b]$ (véase la Figura6.1).

Figura 6.1: Integral definida y el área con signo.

Sucede que si $f$ es no negativa, entonces

\int_{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0

(6.1)

Si $f$ es negativa, entonces

\int_{a}^{b}f(x)\,dx<0

(6.2)

Por eso decimos que $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ es el área líquida (o con signo) entre la gráfica de $f$ y el eje de las abscisas. En el caso de la Figura6.1, el área líquida viene dada por

A=\int_{a}^{c}f(x)\,dx=A1-A2,

(6.3)

donde $A1$ es el área entre la gráfica de $f$ y el eje de las abscisas en el intervalo $[a,b]$ y $A2$ es el área entre la gráfica de $f$ y el eje de las abscisas en el intervalo $[b,c]$ . El área líquida es la diferencia entre esas áreas.

Teniendo esto en cuenta, el área total de una región delimitada por la gráfica de $f$ y el eje de las abscisas en un intervalo $[a,b]$ puede calcularse por

A=\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx

(6.4)

Para calcular esa área, estudiamos el signo de $f$ en $[a,b]$ y dividimos el intervalo en subintervalos donde $f$ es no negativa o negativa. En el caso de la Figura6.1, tenemos

	$\displaystyle A=\int_{a}^{b}\|f(x)\|\,dx$		(6.5)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{a}^{b}f(x)\,dx-\int_{b}^{c}f(x)\,dx$		(6.6)
	$\displaystyle\text{}\quad=A1+A2$		(6.7)

Ejemplo 6.1.1.

Calculemos el área total entre la gráfica de $f(x)=(x-1)^{3}$ y el eje de las abscisas en el intervalo $[0,2]$ .

Figura 6.2: Área total entre la gráfica de $f(x)=(x-1)^{3}$ y el eje de las abscisas para $x\in[0,2]$ .

Empezamos estudiando el signo de $f$ en el intervalo. Como $x-1\leq 0$ para $x\leq 1$ y $x-1\geq 0$ para $x\geq 1$ , tenemos $f(x)<0$ en $[0,1]$ y $f(x)>0$ en $[1,2]$ . Por tanto, el área total es

A=-\int_{0}^{1}f(x)\,dx+\int_{1}^{2}f(x)\,dx

(6.8)

Usando la sustitución $u=x-1$ (con $du=dx$ ) se obtiene

	$\displaystyle\int f(x)\,dx=\int(x-1)^{3}\,dx$		(6.9)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int u^{3}\,du$		(6.10)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{4}}{4}+C$		(6.11)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(x-1)^{4}}{4}+C$		(6.12)

Por el Teorema Fundamental del Cálculo,

	$\displaystyle A=-\int_{0}^{1}f(x)\,dx+\int_{1}^{2}f(x)\,dx$		(6.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left[\frac{(x-1)^{4}}{4}\right]_{0}^{1}+\left[% \frac{(x-1)^{4}}{4}\right]_{1}^{2}$		(6.14)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left[\frac{(1-1)^{4}}{4}-\frac{(0-1)^{4}}{4}\right% ]+\left[\frac{(2-1)^{4}}{4}-\frac{(1-1)^{4}}{4}\right]$		(6.15)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$		(6.16)

Código 111: Python

⬇

1fromsympy.abcimportx

2fromsympyimportintegrate

3f=lambdax:(x-1)**3

4A1=integrate(f(x),(x,0,1))

5A2=integrate(f(x),(x,1,2))

6A=A2-A1

7print('Áreatotal=',A)

Áreatotal=1/2

6.1.1 Áreas entre curvas

Si $f(x)\geq g(x)$ en $[a,b]$ , entonces

\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx-\int_{a}^{b}g(x)\,dx

(6.17)

corresponde al área entre las curvas $y=f(x)$ y $y=g(x)$ en el intervalo $[a,b]$ . Es decir, definiendo $h(x)=f(x)-g(x)$ ,

\int_{a}^{b}h(x)\,dx

(6.18)

es el área entre dichas curvas en $[a,b]$ . Si $f(x)\leq g(x)$ , el área entre ellas viene dada por

-\int_{a}^{b}h(x)\,dx=\int_{a}^{b}g(x)\,dx-\int_{a}^{b}f(x)\,dx

(6.19)

Ejemplo 6.1.2.

Calculemos el área entre las curvas $y=(x-1)^{3}$ , $y=x-1$ , y las rectas $x=0$ , $x=2$ .

Figura 6.3: Área entre las curvas $y=(x-1)^{3}$ , $y=x-1$ , $x=0$ y $x=2$ .

Sea $h(x)=(x-1)^{3}-(x-1)$ . Para estudiar el signo de $h$ localizamos sus ceros:

	$\displaystyle h(x)=(x-1)^{3}-(x-1)$		(6.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x-1)\left[(x-1)^{2}-1\right]$		(6.21)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x-1)(x^{2}-2x)$		(6.22)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x-1)\cdot x\cdot(x-2)$		(6.23)

Luego las raíces son $x_{1}=0$ , $x_{2}=1$ y $x_{3}=2$ . El estudio de signos da:

	$0<x<1$	$1<x<2$
$(x-1)$	-	+
$x$	+	+
$(x-2)$	-	-
$h(x)$	+	-

Por tanto,

A=\int_{0}^{1}h(x)\,dx-\int_{1}^{2}h(x)\,dx

(6.24)

Calculamos la primitiva de $h$ :

	$\displaystyle\int h(x)\,dx=\int\big{(}(x-1)^{3}-(x-1)\big{)}\,dx$		(6.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int(x-1)^{3}\,dx-\int x\,dx+\int 1\,dx$		(6.26)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(x-1)^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+x+C$		(6.27)

Finalmente, por el Teorema Fundamental del Cálculo,

	$\displaystyle A=\int_{0}^{1}h(x)\,dx-\int_{1}^{2}h(x)\,dx$		(6.28)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{(x-1)^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{% 0}^{1}-\left[\frac{(x-1)^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{1}^{2}$		(6.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}$		(6.30)

Código 112: Python

⬇

1fromsympy.abcimportx

2fromsympyimportintegrate

3f=lambdax:(x-1)**3

4g=lambdax:x-1

5h=lambdax:f(x)-g(x)

6A=integrate(abs(h(x)),(x,0,2))

1/2

Calculando áreas en función de $y$

Ejemplo 6.1.3.

Calcule el área determinada por las curvas $x=y^{2}$ y $y=2-x$ .

Figura 6.4: Área determinada por las curvas $x=y^{2}$ y $y=2-x$ .

Una forma práctica de calcular esta área es integrar respecto a $y$ . Para ello expresamos las curvas como funciones de $y$ . La parábola ya está en la forma $x=y^{2}$ , y la recta $y=2-x$ equivale a $x=2-y$ . Por tanto,

	$\displaystyle\int_{-2}^{1}\left[(2-y)-(y^{2})\right]\,dy=\int_{-2}^{1}2-y-y^{2% }\,dy$		(6.31)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.2y-\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}\right\|_{-2}% ^{1}$		(6.32)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{7}{6}+\frac{10}{3}$		(6.33)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{9}{2}$		(6.34)

Código 113: Python

⬇

1fromsympy.abcimporty

2fromsympyimportintegrate

3f=lambday:2-y-y**2

4A=integrate(f(y),(y,-2,1))

5print('Área=',A)

Área=9/2

6.1.2 Ejercicios resueltos

ER 6.1.1.

Calcule el área entre la recta $y=1$ y la gráfica de $f(x)=x^{2}$ en el intervalo $[0,1]$ .

Resolución.

La medida de esta área corresponde al área del cuadrado $\{0\leq x\leq 1\}\times\{0\leq y\leq 1\}$ menos el área bajo la gráfica de $f(x)=x^{2}$ en $[0,1]$ . Es decir,

	$\displaystyle A=1-\int_{0}^{1}x^{2}\,dx$		(6.35)
	$\displaystyle\text{}\quad=1-\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}$		(6.36)
	$\displaystyle\text{}\quad=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$		(6.37)

ER 6.1.2.

Calcule el área entre las curvas $y=x^{2}$ , $y=x$ , $x=0$ y $x=1$ .

Resolución.

Equivale a calcular el área entre $f(x)=x$ y $g(x)=x^{2}$ en $[0,1]$ . Como $f(x)\geq g(x)$ en ese intervalo:

	$\displaystyle A=\int_{0}^{1}(f(x)-g(x))\,dx$		(6.38)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}(x-x^{2})\,dx$		(6.39)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right\|_{0}^{1}$		(6.40)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{6}$		(6.41)

ER 6.1.3.

Calcule el área entre la gráfica de $f(x)=x^{3}-x$ y el eje de las abscisas en $[-1,1]$ .

Resolución.

Procedemos en dos pasos:

1.
Estudio de signo de $f$ en $[-1,1]$ .
1. a)
  
  Raíces de $f$ en $[-1,1]$ :
  
  $\displaystyle x^{3}-x=0$ (6.42)
  
  $\displaystyle x(x^{2}-1)=0$ (6.43)
  
  $\displaystyle x(x-1)(x+1)=0$ (6.44)
  
  $\displaystyle x=-1\text{ o }x=0\text{ o }x=1$ (6.45)
2. b)
  
  Signos de $f$ :
  
  $\displaystyle-1\leq x\leq 0$ (6.46)
  
  $\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow f(x)\geq 0$ (6.47)
  
  $\displaystyle 0\leq x\leq 1$ (6.48)
  
  $\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow f(x)\leq 0$ (6.49)
2.
Cálculo del área mediante integrales definidas.
1. a)
  
  Primitiva:
  
  $\displaystyle\int f(x)\,dx=\int(x^{3}-x)\,dx$ (6.50)
  
  $\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+C$ (6.51)
2. b)
  
  Área:
  
  $\displaystyle A=\int_{-1}^{0}f(x)\,dx-\int_{0}^{1}f(x)\,dx$ (6.52)
  
  $\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0% }-\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}$ (6.53)
  
  $\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}$ (6.54)

Código 114: Python

⬇

1fromsympy.abcimportx

2fromsympyimportreduce_inequalities

3f=lambdax:x**3-x

4reduce_inequalities(f(x)>=0)

((-1<=x)&(x<=0))|((1<=x)&(x<oo))

⬇

1fromsympyimportintegrate

2A1=integrate(f(x),(x,-1,0))

3A2=integrate(f(x),(x,0,1))

4A=A1-A2

5print('Área=',A)

Área=1/2

6.1.3 Ejercicios

E. 6.1.1.

Calcule el área entre la gráfica de $y=x^{2}-1$ y el eje de las abscisas en $[-1,1]$ .

$4/3$

E. 6.1.2.

Calcule el área entre la gráfica de $y=x^{2}-1$ y el eje de las abscisas en $[-1,2]$ .

$8/3$

E. 6.1.3.

Calcule el área entre la gráfica de $f(x)=x^{3}$ y la recta $y=1$ en $[-1,1]$ .

$2$

E. 6.1.4.

Calcule el área entre las curvas $y=x$ , $y=x^{2}$ , $x=0$ y $x=2$ .

$1$

E. 6.1.5.

Calcule el área determinada por las curvas $x=y^{2}$ y $y=x-2$ .

$9/2$

Envía tu comentario

Aprovecho para agradecer a todas/os que de forma asidua o esporádica contribuyen enviando correcciones, sugerencias y críticas.

Este texto se publica bajo los términos de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional. Los íconos y elementos gráficos pueden estar sujetos a condiciones adicionales.

Política de uso de datos

Política de uso de datos

Cálculo I

6.1 Cálculo de áreas

Ejemplo 6.1.1.

6.1.1 Áreas entre curvas

Ejemplo 6.1.2.

Calculando áreas en función de $y$

Ejemplo 6.1.3.

6.1.2 Ejercicios resueltos

ER 6.1.1.

Resolución.

ER 6.1.2.

Resolución.

ER 6.1.3.

Resolución.

6.1.3 Ejercicios

E. 6.1.1.

E. 6.1.2.

E. 6.1.3.

E. 6.1.4.

E. 6.1.5.

Envía tu comentario

	$\displaystyle x^{3}-x=0$		(6.42)
	$\displaystyle x(x^{2}-1)=0$		(6.43)
	$\displaystyle x(x-1)(x+1)=0$		(6.44)
	$\displaystyle x=-1\text{ o }x=0\text{ o }x=1$		(6.45)

	$\displaystyle-1\leq x\leq 0$		(6.46)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow f(x)\geq 0$		(6.47)
	$\displaystyle 0\leq x\leq 1$		(6.48)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow f(x)\leq 0$		(6.49)

	$\displaystyle\int f(x)\,dx=\int(x^{3}-x)\,dx$		(6.50)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+C$		(6.51)

	$\displaystyle A=\int_{-1}^{0}f(x)\,dx-\int_{0}^{1}f(x)\,dx$		(6.52)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0% }-\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}$		(6.53)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}$		(6.54)

Política de uso de datos

Política de uso de datos

Cálculo I

6.1 Cálculo de áreas

Ejemplo 6.1.1.

6.1.1 Áreas entre curvas

Ejemplo 6.1.2.

Calculando áreas en función de y

Ejemplo 6.1.3.

6.1.2 Ejercicios resueltos

ER 6.1.1.

Resolución.

ER 6.1.2.

Resolución.

ER 6.1.3.

Resolución.

6.1.3 Ejercicios

E. 6.1.1.

E. 6.1.2.

E. 6.1.3.

E. 6.1.4.

E. 6.1.5.

Envía tu comentario

Calculando áreas en función de $y$