Cálculo I

6 Aplicaciones de la integral 6 Aplicaciones de la integral 6.2 Volúmenes por seccionamiento y rotación

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6.1 Cálculo de áreas

La integral definida $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ está asociada al área entre la gráfica de la función $f$ y el eje de las abscisas en el intervalo $[a,b]$ (véase la Figura 6.1).

Refer to caption — Figura 6.1: Integral definida y el área con signo.

Sucede que si $f$ es no negativa, entonces

\int_{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0.

(6.1)

Si $f$ es negativa, entonces

\int_{a}^{b}f(x)\,dx<0.

(6.2)

Por eso decimos que $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ es el área líquida (o con signo) entre la gráfica de $f$ y el eje de las abscisas. En el caso de la Figura 6.1, el área líquida viene dada por

A=\int_{a}^{c}f(x)\,dx=A1-A2,

(6.3)

donde $A1$ es el área entre la gráfica de $f$ y el eje de las abscisas en el intervalo $[a,b]$ y $A2$ es el área entre la gráfica de $f$ y el eje de las abscisas en el intervalo $[b,c]$ . El área líquida es la diferencia entre esas áreas.

Teniendo esto en cuenta, el área total de una región delimitada por la gráfica de $f$ y el eje de las abscisas en un intervalo $[a,b]$ puede calcularse por

A=\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx.

(6.4)

Para calcular esa área, estudiamos el signo de $f$ en $[a,b]$ y dividimos el intervalo en subintervalos donde $f$ es no negativa o negativa. En el caso de la Figura 6.1, tenemos

	$\displaystyle A=\int_{a}^{b}\|f(x)\|\,dx$		(6.5)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{a}^{b}f(x)\,dx-\int_{b}^{c}f(x)\,dx$		(6.6)
	$\displaystyle\text{}\quad=A1+A2.$		(6.7)

Ejemplo 6.1.1.

Calculemos el área total entre la gráfica de $f(x)=(x-1)^{3}$ y el eje de las abscisas en el intervalo $[0,2]$ .

Empezamos estudiando el signo de $f$ en el intervalo. Como $x-1\leq 0$ para $x\leq 1$ y $x-1\geq 0$ para $x\geq 1$ , tenemos $f(x)<0$ en $[0,1]$ y $f(x)>0$ en $[1,2]$ . Por tanto, el área total es

A=-\int_{0}^{1}f(x)\,dx+\int_{1}^{2}f(x)\,dx.

(6.8)

Usando la sustitución $u=x-1$ (con $du=dx$ ) se obtiene

	$\displaystyle\int f(x)\,dx=\int(x-1)^{3}\,dx$		(6.9)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int u^{3}\,du$		(6.10)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{4}}{4}+C$		(6.11)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(x-1)^{4}}{4}+C.$		(6.12)

Por el Teorema Fundamental del Cálculo,

	$\displaystyle A=-\int_{0}^{1}f(x)\,dx+\int_{1}^{2}f(x)\,dx$		(6.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left[\frac{(x-1)^{4}}{4}\right]_{0}^{1}+\left[% \frac{(x-1)^{4}}{4}\right]_{1}^{2}$		(6.14)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left[\frac{(1-1)^{4}}{4}-\frac{(0-1)^{4}}{4}\right% ]+\left[\frac{(2-1)^{4}}{4}-\frac{(1-1)^{4}}{4}\right]$		(6.15)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$		(6.16)

Código 111: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import integrate

3f = lambda x: (x-1)**3

4A1 = integrate(f(x), (x,0,1))

5A2 = integrate(f(x), (x,1,2))

6A = A2 - A1

7print('Área total =', A)

Área total = 1/2

6.1.1 Áreas entre curvas

Si $f(x)\geq g(x)$ en $[a,b]$ , entonces

\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx-\int_{a}^{b}g(x)\,dx

(6.17)

corresponde al área entre las curvas $y=f(x)$ y $y=g(x)$ en el intervalo $[a,b]$ . Es decir, definiendo $h(x)=f(x)-g(x)$ ,

\int_{a}^{b}h(x)\,dx

(6.18)

es el área entre dichas curvas en $[a,b]$ . Si $f(x)\leq g(x)$ , el área entre ellas viene dada por

-\int_{a}^{b}h(x)\,dx=\int_{a}^{b}g(x)\,dx-\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(6.19)

Ejemplo 6.1.2.

Calculemos el área entre las curvas $y=(x-1)^{3}$ , $y=x-1$ , y las rectas $x=0$ , $x=2$ .

Sea $h(x)=(x-1)^{3}-(x-1)$ . Para estudiar el signo de $h$ localizamos sus ceros:

	$\displaystyle h(x)=(x-1)^{3}-(x-1)$		(6.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x-1)\left[(x-1)^{2}-1\right]$		(6.21)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x-1)(x^{2}-2x)$		(6.22)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x-1)\cdot x\cdot(x-2).$		(6.23)

Luego las raíces son $x_{1}=0$ , $x_{2}=1$ y $x_{3}=2$ . El estudio de signos da:

	$0<x<1$	$1<x<2$
$(x-1)$	-	+
$x$	+	+
$(x-2)$	-	-
$h(x)$	+	-

Por tanto,

A=\int_{0}^{1}h(x)\,dx-\int_{1}^{2}h(x)\,dx.

(6.24)

Calculamos la primitiva de $h$ :

	$\displaystyle\int h(x)\,dx=\int\big{(}(x-1)^{3}-(x-1)\big{)}\,dx$		(6.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int(x-1)^{3}\,dx-\int x\,dx+\int 1\,dx$		(6.26)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(x-1)^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+x+C.$		(6.27)

Finalmente, por el Teorema Fundamental del Cálculo,

	$\displaystyle A=\int_{0}^{1}h(x)\,dx-\int_{1}^{2}h(x)\,dx$		(6.28)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{(x-1)^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{% 0}^{1}-\left[\frac{(x-1)^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{1}^{2}$		(6.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}.$		(6.30)

Código 112: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import integrate

3f = lambda x: (x-1)**3

4g = lambda x: x-1

5h = lambda x: f(x) - g(x)

6A = integrate(abs(h(x)), (x,0,2))

1/2

Calculando áreas en función de $y$

Ejemplo 6.1.3.

Calcule el área determinada por las curvas $x=y^{2}$ y $y=2-x$ .

Una forma práctica de calcular esta área es integrar respecto a $y$ . Para ello expresamos las curvas como funciones de $y$ . La parábola ya está en la forma $x=y^{2}$ , y la recta $y=2-x$ equivale a $x=2-y$ . Por tanto,

	$\displaystyle\int_{-2}^{1}\left[(2-y)-(y^{2})\right]\,dy=\int_{-2}^{1}2-y-y^{2% }\,dy$		(6.31)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.2y-\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}\right\|_{-2}% ^{1}$		(6.32)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{7}{6}+\frac{10}{3}$		(6.33)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{9}{2}$		(6.34)

Código 113: Python

⬇

1from sympy.abc import y

2from sympy import integrate

3f = lambda y: 2 - y - y**2

4A = integrate(f(y), (y,-2,1))

5print('Área =', A)

Área = 9/2

6.1.2 Ejercicios resueltos

ER 6.1.1.

Calcule el área entre la recta $y=1$ y la gráfica de $f(x)=x^{2}$ en el intervalo $[0,1]$ .

Resolución.

La medida de esta área corresponde al área del cuadrado $\{0\leq x\leq 1\}\times\{0\leq y\leq 1\}$ menos el área bajo la gráfica de $f(x)=x^{2}$ en $[0,1]$ . Es decir,

	$\displaystyle A=1-\int_{0}^{1}x^{2}\,dx$		(6.35)
	$\displaystyle\text{}\quad=1-\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}$		(6.36)
	$\displaystyle\text{}\quad=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$		(6.37)

ER 6.1.2.

Calcule el área entre las curvas $y=x^{2}$ , $y=x$ , $x=0$ y $x=1$ .

Resolución.

Equivale a calcular el área entre $f(x)=x$ y $g(x)=x^{2}$ en $[0,1]$ . Como $f(x)\geq g(x)$ en ese intervalo:

	$\displaystyle A=\int_{0}^{1}(f(x)-g(x))\,dx$		(6.38)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}(x-x^{2})\,dx$		(6.39)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right\|_{0}^{1}$		(6.40)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{6}.$		(6.41)

ER 6.1.3.

Calcule el área entre la gráfica de $f(x)=x^{3}-x$ y el eje de las abscisas en $[-1,1]$ .

Resolución.

Procedemos en dos pasos:

1.
Estudio de signo de $f$ en $[-1,1]$ .
1. a)
  
  Raíces de $f$ en $[-1,1]$ :
  
  $\displaystyle x^{3}-x=0$ (6.42)
  
  $\displaystyle x(x^{2}-1)=0$ (6.43)
  
  $\displaystyle x(x-1)(x+1)=0$ (6.44)
  
  $\displaystyle x=-1\text{ o }x=0\text{ o }x=1.$ (6.45)
2. b)
  
  Signos de $f$ :
  
  $\displaystyle-1\leq x\leq 0$ (6.46)
  
  $\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow f(x)\geq 0$ (6.47)
  
  $\displaystyle 0\leq x\leq 1$ (6.48)
  
  $\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow f(x)\leq 0.$ (6.49)
2.
Cálculo del área mediante integrales definidas.
1. a)
  
  Primitiva:
  
  $\displaystyle\int f(x)\,dx=\int(x^{3}-x)\,dx$ (6.50)
  
  $\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+C.$ (6.51)
2. b)
  
  Área:
  
  $\displaystyle A=\int_{-1}^{0}f(x)\,dx-\int_{0}^{1}f(x)\,dx$ (6.52)
  
  $\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0% }-\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}$ (6.53)
  
  $\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}.$ (6.54)

Código 114: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import reduce_inequalities

3f = lambda x: x**3 - x

4reduce_inequalities(f(x)>=0)

((-1 <= x) & (x <= 0)) | ((1 <= x) & (x < oo))

⬇

1from sympy import integrate

2A1 = integrate(f(x), (x, -1, 0))

3A2 = integrate(f(x), (x, 0, 1))

4A = A1 - A2

5print('Área =', A)

Área = 1/2

6.1.3 Ejercicios

E. 6.1.1.

Calcule el área entre la gráfica de $y=x^{2}-1$ y el eje de las abscisas en $[-1,1]$ .

$4/3$

E. 6.1.2.

Calcule el área entre la gráfica de $y=x^{2}-1$ y el eje de las abscisas en $[-1,2]$ .

$8/3$

E. 6.1.3.

Calcule el área entre la gráfica de $f(x)=x^{3}$ y la recta $y=1$ en $[-1,1]$ .

$2$

E. 6.1.4.

Calcule el área entre las curvas $y=x$ , $y=x^{2}$ , $x=0$ y $x=2$ .

$1$

E. 6.1.5.

Calcule el área determinada por las curvas $x=y^{2}$ y $y=x-2$ .

$9/2$

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6.1 Cálculo de áreas

Ejemplo 6.1.1.

6.1.1 Áreas entre curvas

Ejemplo 6.1.2.

Calculando áreas en función de $y$

Ejemplo 6.1.3.

6.1.2 Ejercicios resueltos

ER 6.1.1.

Resolución.

ER 6.1.2.

Resolución.

ER 6.1.3.

Resolución.

6.1.3 Ejercicios

E. 6.1.1.

E. 6.1.2.

E. 6.1.3.

E. 6.1.4.

E. 6.1.5.

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	$\displaystyle x^{3}-x=0$		(6.42)
	$\displaystyle x(x^{2}-1)=0$		(6.43)
	$\displaystyle x(x-1)(x+1)=0$		(6.44)
	$\displaystyle x=-1\text{ o }x=0\text{ o }x=1.$		(6.45)

	$\displaystyle-1\leq x\leq 0$		(6.46)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow f(x)\geq 0$		(6.47)
	$\displaystyle 0\leq x\leq 1$		(6.48)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow f(x)\leq 0.$		(6.49)

	$\displaystyle\int f(x)\,dx=\int(x^{3}-x)\,dx$		(6.50)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+C.$		(6.51)

	$\displaystyle A=\int_{-1}^{0}f(x)\,dx-\int_{0}^{1}f(x)\,dx$		(6.52)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0% }-\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}$		(6.53)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}.$		(6.54)

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6.1.1 Áreas entre curvas

Ejemplo 6.1.2.

Calculando áreas en función de y

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6.1.2 Ejercicios resueltos

ER 6.1.1.

Resolución.

ER 6.1.2.

Resolución.

ER 6.1.3.

Resolución.

6.1.3 Ejercicios

E. 6.1.1.

E. 6.1.2.

E. 6.1.3.

E. 6.1.4.

E. 6.1.5.

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