Cálculo I

6 Aplicações da integral 6 Aplicações da integral 6.2 Volumes por fatiamento e rotação

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6.1 Cálculo de áreas

A integral definida $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ está associada a área entre o gráfico da função $f$ e o eixo das abscissas no intervalo $[a,b]$ (consultemos a Figura 6.1).

Refer to caption — Figura 6.1: Integral definida e a área com sinal.

Ocorre que se $f$ for não-negativa, então

\int_{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0.

(6.1)

Se $f$ for negativa, então

\int_{a}^{b}f(x)\,dx<0.

(6.2)

Por isso, dizemos que $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ é a área líquida (ou com sinal) entre o gráfico de $f$ e o eixo das abscissas. No caso da Figura 6.1, a área líquida é dada por

A=\int_{a}^{c}f(x)\,dx=A1-A2,

(6.3)

onde $A1$ é a área entre o gráfico de $f$ e o eixo das abscissas no intervalo $[a,b]$ e $A2$ é a área entre o gráfico de $f$ e o eixo das abscissas no intervalo $[b,c]$ . A área líquida é a diferença entre essas áreas.

Com isso em consideração, a área total de uma região delimitada pelo gráfico de $f$ e o eixo das abscissas em um intervalo $[a,b]$ pode ser calculada por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}A=\int_{a}^{b% }|f(x)|\,dx.

(6.4)

Para calcular essa área, fazemos o estudo de sinal de $f$ no intervalo $[a,b]$ e dividimos o intervalo em subintervalos onde $f$ é não-negativa ou negativa. No caso da Figura 6.1, temos que

	$\displaystyle A=\int_{a}^{c}\|f(x)\|\,dx$		(6.5)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{a}^{b}f(x)\,dx-\int_{b}^{c}f(x)\,dx$		(6.6)
	$\displaystyle\text{}\quad=A1+A2.$		(6.7)

Exemplo 6.1.1.

Calculemos a área total entre o gráfico de $f(x)=(x-1)^{3}$ e o eixo das abscissas, restrito ao intervalo $[0,2]$ .

Começamos fazendo o estudo de sinal de $f$ no intervalo. Como $x-1\leq 0$ para $x\leq 1$ e, $x-1\geq 0$ para $x\geq 1$ , temos que $f(x)<0$ em $[0,1]$ e $f(x)>0$ em $[1,2]$ . Logo, a área total é dada por

A=-\int_{0}^{1}f(x)\,dx+\int_{1}^{2}f(x)\,dx.

(6.8)

Agora, usando a substituição $u=x-1$ , temos $du=dx$ e segue que

	$\displaystyle\int f(x)\,dx=\int(x-1)^{3}\,dx$		(6.9)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int u^{3}\,du$		(6.10)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{4}}{4}+C$		(6.11)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(x-1)^{4}}{4}+C.$		(6.12)

Então, do teorema fundamental do cálculo, obtemos

	$\displaystyle A=-\int_{0}^{1}f(x)\,dx+\int_{1}^{2}f(x)\,dx$		(6.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left[\frac{(x-1)^{4}}{4}\right]_{0}^{1}+\left[% \frac{(x-1)^{4}}{4}\right]_{1}^{2}$		(6.14)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left[\frac{(1-1)^{4}}{4}-\frac{(0-1)^{4}}{4}\right% ]+\left[\frac{(2-1)^{4}}{4}-\frac{(1-1)^{4}}{4}\right]$		(6.15)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$		(6.16)

Código 113: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import integrate

3f = lambda x: (x-1)**3

4A1 = integrate(f(x), (x,0,1))

5A2 = -integrate(f(x), (x,1,2))

6A = A2 + A1

7print('Área total =', A)

Área total = 1/2

6.1.1 Áreas entre curvas

Observamos que se $f(x)\geq g(x)$ no intervalo $[a,b]$ , então

\int_{a}^{b}f(x)-g(x)\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx-\int_{a}^{b}g(x)\,dx

(6.17)

corresponde à área entre as curvas $y=f(x)$ e $y=g(x)$ restritas ao intervalo $[a,b]$ . Ou seja, fazendo $h(x)=f(x)-g(x)$ , temos que

\int_{a}^{b}h(x)\,dx

(6.18)

é a área entre essas curvas restritas ao intervalo $[a,b]$ . Ainda, se $f(x)\leq g(x)$ , entre a área entre elas é dada por

-\int_{a}^{b}h(x)\,dx=\int_{a}^{b}g(x)\,dx-\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(6.19)

Exemplo 6.1.2.

Calculemos a área entre as curvas $y=(x-1)^{3}$ , $y=x-1$ , $x=0$ e $x=2$ .

Começamos definindo $h(x)=(x-1)^{3}-(x-1)$ . A fim de fazermos o estudo de sinal de $h$ , identificamos seus zeros.

	$\displaystyle h(x)=(x-1)^{3}-(x-1)$		(6.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x-1)\left[(x-1)^{2}-1\right]$		(6.21)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x-1)(x^{2}-2x)$		(6.22)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x-1)\cdot x\cdot(x-2).$		(6.23)

Ou seja, $x_{1}=0$ , $x_{2}=1$ e $x_{3}=2$ são as raízes de $h$ . Daí, segue seu estudo de sinal:

	$0<x<1$	$1<x<2$
$(x-1)$	-	+
$x$	+	+
$(x-2)$	-	-
$h(x)$	+	-

Assim, temos que a área desejada pode ser calculada como

A=\int_{0}^{1}h(x)\,dx-\int_{1}^{2}h(x)\,dx.

(6.24)

Agora, calculamos a integral de $h$ , i.e.

	$\displaystyle\int h(x)\,dx=\int(x-1)^{3}-(x-1)\,dx$		(6.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int(x-1)^{3}\,dx-\int x\,dx+\int 1\,dx$		(6.26)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(x-1)^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+x+C.$		(6.27)

Por fim, do Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos

	$\displaystyle A=\int_{0}^{1}h(x)\,dx-\int_{1}^{2}h(x)\,dx$		(6.28)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{(x-1)^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{% 0}^{1}-\left[\frac{(x-1)^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{1}^{2}$		(6.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}+1-\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{4}-2+2+% \frac{1}{2}-1\right)$		(6.30)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}.$		(6.31)

Código 114: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import integrate

3f = lambda x: (x-1)**3

4g = lambda x: x-1

5h = lambda x: f(x) - g(x)

6A = integrate(abs(h(x)), (x,0,2))

1/2

Calculando áreas em função de $y$

Exemplo 6.1.3.

Calcule a área determinada pelas curvas $x=y^{2}$ e $y=2-x$ .

Uma das formas mais práticas de calcular esta área é integrando em relação a $y$ . Para isso, precisamos que as curvas sejam descritas por funções de $x$ em $y$ . A parábola $x=y^{2}$ já está escrita como tal, e a reta $y=2-x$ é equivalente a $x=2-y$ . Com isso, temos que a área determinada por estas curvas tem medida

	$\displaystyle\int_{-2}^{1}\left[(2-y)-(y^{2})\right]\,dy=\int_{-2}^{1}2-y-y^{2% }\,dy$		(6.32)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.2y-\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}\right\|_{-2}% ^{1}$		(6.33)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{7}{6}+\frac{10}{3}$		(6.34)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{9}{2}$		(6.35)

Código 115: Python

⬇

1from sympy.abc import y

2from sympy import integrate

3f = lambda y: 2 - y - y**2

4A = integrate(f(y), (y,-2,1))

5print('Área =', A)

Área = 9/2

6.1.2 Exercícios resolvidos

ER 6.1.1.

Calcule a área entre a reta $y=1$ e o gráfico de $f(x)=x^{2}$ restritas ao intervalo $[0,1]$ .

Resolução.

Observamos que a medida desta área corresponde à área do quadrado $\{0\leq x\leq 1\}\times\{0\leq y\leq 1\}$ descontada a área sob o gráfico de $f(x)=x^{2}$ restrita ao intervalo $[0,1]$ . Isto é,

	$\displaystyle A=1-\int_{0}^{1}x^{2}\,dx$		(6.36)
	$\displaystyle\text{}\quad=1-\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}$		(6.37)
	$\displaystyle\text{}\quad=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$		(6.38)

ER 6.1.2.

Calcule a área entre as curvas $y=x^{2}$ , $y=x$ , $x=0$ e $x=1$ .

Resolução.

O problema é equivalente a calcular a área entre os gráficos das funções $f(x)=x$ e $g(x)=x^{2}$ restritas ao intervalo $[0,1]$ . Como $f(x)\geq g(x)$ neste intervalo, temos

	$\displaystyle A=\int_{0}^{1}f(x)-g(x)\,dx$		(6.39)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}x-x^{2}\,dx$		(6.40)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right\|_{0}^{1}$		(6.41)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{6}.$		(6.42)

ER 6.1.3.

Calcule a área entre o gráfico de $f(x)=x^{3}-x$ e o eixo das abscissas no intervalo $[-1,1]$ .

Resolução.

Para calcularmos a área entre o gráfico de $f(x)$ e o eixo das abscissas no intervalo $[-1,1]$ , fazemos:

1.

O estudo de sinal de $f$ no intervalo $[-1,1]$ .
1. (a)
  
  Cálculo das raízes de $f$ no intervalo $[-1,1]$ .
  
  $\displaystyle x^{3}-x=0$ (6.43)
  
  $\displaystyle x(x^{2}-1)=0$ (6.44)
  
  $\displaystyle x(x-1)(x+1)=0$ (6.45)
  
  $\displaystyle x=-1\text{ ou }x=0\text{ ou }x=1.$ (6.46)
2. (b)
  
  Os sinais de $f(x)$ .
  
  $\displaystyle-1\leq x\leq 0$ (6.47)
  
  $\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow f(x)\geq 0$ (6.48)
  
  $\displaystyle 0\leq x\leq 1$ (6.49)
  
  $\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow f(x)\leq 0.$ (6.50)
2.

Cálculo da área usando integrais definidas.
1. (a)
  
  Cálculo da integral indefinida.
  
  $\displaystyle\int f(x)\,dx=\int x^{3}-x\,dx$ (6.51)
  
  $\displaystyle\text{}\quad=\int x^{3}\,dx-\int x\,dx$ (6.52)
  
  $\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+C.$ (6.53)
2. (b)
  
  Cálculo da área.
  
  $\displaystyle A=\int_{-1}^{0}f(x)\,dx-\int_{0}^{1}f(x)\,dx$ (6.54)
  
  $\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0% }-\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}$ (6.55)
  
  $\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}.$ (6.56)

Código 116: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import reduce_inequalities

3f = lambda x: x**3 - x

4reduce_inequalities(f(x)>=0)

((-1 <= x) & (x <= 0)) | ((1 <= x) & (x < oo))

⬇

1from sympy import integrate

2A1 = integrate(f(x), (x, -1, 0))

3A2 = integrate(f(x), (x, 0, 1))

4A = A1 - A2

5print('Área =', A)

Área = 1/2

6.1.3 Exercícios

E. 6.1.1.

Calcule a área entre o gráfico de $y=x^{2}-1$ e o eixo das abscissas, restrita ao intervalo $[-1,1]$ .

$4/3$

E. 6.1.2.

Calcule a área entre o gráfico de $y=x^{2}-1$ e o eixo das abscissas, restrita ao intervalo $[-1,2]$ .

$8/3$

E. 6.1.3.

Calcule a área entre o gráfico de $f(x)=x^{3}$ e a reta $y=1$ restritas ao intervalo $[-1,1]$ .

$2$

E. 6.1.4.

Calcule a área entre as curvas $y=x$ , $y=x^{2}$ , $x=0$ e $x=2$ .

$1$

E. 6.1.5.

Calcule a área delimitada pelas curvas $x=y^{2}$ e $y=x-2$ .

$9/2$

E. 6.1.6.

Calcule a área delimitada pela parábola $y^{2}=4(x-1)$ e a reta $x=0$ .

$\displaystyle\frac{8}{3}$

E. 6.1.7.(Área da elípse)

A figura abaixo mostra o gráfico da elípse de equação

\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,

(6.57)

onde $a$ e $b$ são números reais positivos. Escreva a área da região delimitada por esta elípse como uma integral definida e calcule seu valor.

$\displaystyle A=4\int_{0}^{a}b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}\,dx=\pi ab$

E. 6.1.8.(Região ilimitada)

Calcule a área total da região comprendida entre as curvas $y=\ln(x-1)/(x^{2}-2x+1)$ , $y=0$ e $x=3/2$ .

$-2\ln(1/2)$

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6.1 Cálculo de áreas

Exemplo 6.1.1.

6.1.1 Áreas entre curvas

Exemplo 6.1.2.

Calculando áreas em função de $y$

Exemplo 6.1.3.

6.1.2 Exercícios resolvidos

ER 6.1.1.

Resolução.

ER 6.1.2.

Resolução.

ER 6.1.3.

Resolução.

6.1.3 Exercícios

E. 6.1.1.

E. 6.1.2.

E. 6.1.3.

E. 6.1.4.

E. 6.1.5.

E. 6.1.6.

E. 6.1.7.(Área da elípse)

E. 6.1.8.(Região ilimitada)

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	$\displaystyle x^{3}-x=0$		(6.43)
	$\displaystyle x(x^{2}-1)=0$		(6.44)
	$\displaystyle x(x-1)(x+1)=0$		(6.45)
	$\displaystyle x=-1\text{ ou }x=0\text{ ou }x=1.$		(6.46)

	$\displaystyle-1\leq x\leq 0$		(6.47)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow f(x)\geq 0$		(6.48)
	$\displaystyle 0\leq x\leq 1$		(6.49)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow f(x)\leq 0.$		(6.50)

	$\displaystyle\int f(x)\,dx=\int x^{3}-x\,dx$		(6.51)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int x^{3}\,dx-\int x\,dx$		(6.52)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+C.$		(6.53)

	$\displaystyle A=\int_{-1}^{0}f(x)\,dx-\int_{0}^{1}f(x)\,dx$		(6.54)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0% }-\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}$		(6.55)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}.$		(6.56)

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Exemplo 6.1.1.

6.1.1 Áreas entre curvas

Exemplo 6.1.2.

Calculando áreas em função de y

Exemplo 6.1.3.

6.1.2 Exercícios resolvidos

ER 6.1.1.

Resolução.

ER 6.1.2.

Resolução.

ER 6.1.3.

Resolução.

6.1.3 Exercícios

E. 6.1.1.

E. 6.1.2.

E. 6.1.3.

E. 6.1.4.

E. 6.1.5.

E. 6.1.6.

E. 6.1.7.(Área da elípse)

E. 6.1.8.(Região ilimitada)

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