Cálculo I

4 Aplicações da derivada 4.5 Concavidade e o teste da segunda derivada 5 Integração

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4.6 Taxas relacionadas

Variáveis relacionadas por equações podem ter suas taxas de variação relacionadas. Por exemplo, se $y=f(x)$ , onde $f$ é diferenciável e $x=x(t)$ , então

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$		(4.188)
	$\displaystyle y^{\prime}(t)=f^{\prime}(x)\cdot x^{\prime}(t),$		(4.189)

que relaciona a taxa de variação de $y$ com a taxa de variação de $x$ , ambas em relação à variável $t$ .

Exemplo 4.6.1.

A área $A$ de um círculo é dada por $A=\pi r^{2}$ , onde $r$ é o raio do círculo. Se o raio está aumentando a uma taxa de $0,1$ cm/s, podemos calcular a taxa de variação da área quando o raio é $10$ cm. De fato, podemos relacionar as taxas de variação da área e do raio em relação ao tempo $t$ . Temos

\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}.

(4.190)

Sabemos que $\displaystyle\frac{dr}{dt}=0,1$ cm/s e que

\frac{dA}{dr}=2\pi r.

(4.191)

Logo, quando $r=10$ cm, temos

\frac{dA}{dt}=2\pi(10)(0,1)=2\pi\leavevmode\nobreak\ \text{cm}^{2}/\text{s}.

(4.192)

4.6.1 Exercícios resolvidos

ER 4.6.1.

A área $A$ de um triângulo de lados $a$ e $b$ formando um ângulo $\theta$ é

A=\frac{1}{2}ab\operatorname{sen}\theta

(4.193)

Sabendo que $a=5$ m e $b=10$ m, qual é a taxa de variação de $A$ no tempo $t$ , sabendo que $\theta$ varia $0.1\pi$ rad/s?

Resolução.

A taxa de variação de $A$ em relação a $t$ é

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}ab\cos(\theta)\frac{\mathrm{d}% \theta}{\mathrm{d}t}.

(4.194)

Logo, substituindo os valor da questão, obtemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 10\cos(% \theta)\cdot 0.1$		(4.195)
	$\displaystyle\quad\text{}=2.5\cos(\theta)\text{m}^{2}/\text{s}.$		(4.196)

ER 4.6.2.

O raio $r$ e a altural $h$ de um cilindro circular reto estão aumentando a uma taxa de $0,2$ cm/s e $0,5$ cm/s, respectivamente. Encontre a taxa de variação do volume do cilindro quando $r=10$ cm e $h=20$ cm.

Resolução.

O volume $V$ de um cilindro circular reto é dado por

V=\pi r^{2}h.

(4.197)

Derivando em relação ao tempo $t$ , temos

	$\displaystyle\frac{dV}{dt}=\frac{d}{dt}\left[\pi r^{2}h\right]$		(4.198)
	$\displaystyle\quad\text{}=\pi\left(2r\frac{dr}{dt}\cdot h+r^{2}\frac{dh}{dt}% \right).$		(4.199)

Logo, quando $r=10$ cm e $h=20$ cm, temos

	$\displaystyle\frac{dV}{dt}=(2\pi(10)(20))(0,2)+(\pi(10)^{2})(0,5)$		(4.200)
	$\displaystyle\text{}\quad=80\pi+50\pi=130\pi\leavevmode\nobreak\ \text{cm}^{3}% /\text{s}.$		(4.201)

4.6.2 Exercícios

E. 4.6.1.

A área da superfície de uma esfera de raio $r$ é

S=4\pi r^{2}.

(4.202)

Sabendo que quando $r=10$ cm o raio varia $0.5cm/s$ , qual é a taxa de variação de $S$ em relação ao tempo?

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=40\pi\text{cm}^{2}/\text{s}$

E. 4.6.2.

A distância de dois pontos $A=(x,b)$ e $B=(a,y)$ é

d(A,B)=\sqrt{(a-x)^{2}+(y-b)^{2}}.

(4.203)

Em cada caso, escreva a relação entre as taxas de variações:

a)

$\mathrm{d}d/\mathrm{d}t$ relacionada a $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$ assumindo constantes $a, b, y$ .
b)

$\mathrm{d}d/\mathrm{d}t$ relacionada a $\mathrm{d}y/\mathrm{d}t$ assumindo constantes $a, b, x$ .
c)

$\mathrm{d}d/\mathrm{d}t$ relacionada a $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$ e $\mathrm{d}y/\mathrm{d}t$ assumindo constantes $a, b$ .

a) $\displaystyle\frac{\mathrm{d}d/\mathrm{d}t}{=}\frac{x-a}{d(A,B)}\frac{\mathrm{% d}x}{\mathrm{d}t}$ ; b) $\displaystyle\frac{\mathrm{d}d/\mathrm{d}t}{=}\frac{y-b}{d(A,B)}\frac{\mathrm{% d}y}{\mathrm{d}t}$ ; c) $\displaystyle\frac{\mathrm{d}d/\mathrm{d}t}{=}\frac{x-a}{d(A,B)}\frac{\mathrm{% d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{y-b}{d(A,B)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$

E. 4.6.3.

O comprimento $a$ de um retângulo aumenta a uma taxa de $2$ m/h, enquanto sua largura $b$ diminui a uma taxa de $0.5$ m/h. No momento em que $a=5$ e $b=10$ , qual é a taxa de variação da área do retângulo em ralação ao tempo?

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=15\text{m}^{2}/\text{h}$

E. 4.6.4.

Qual a taxa de variação $\mathrm{d}V/\mathrm{d}t$ do volume de um paralelepípedo em relação as taxas dos comprimentos de seus lados $x$ , $y$ e $z$ ?

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=yz\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}% +xz\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+xy\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$

E. 4.6.5.

A que taxa o nível de líquido diminui em um tanque cilíndrico vertical se retirarmos o líquido para fora a uma taxa de $2000$ L/s? Assuma que o cilindro tem raio $1$ m. Dica: o volume de um cilindro é $V=\pi r^{2}h$ .

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=-\frac{20}{\pi}\text{dcm}^{3}/% \text{s}$

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4.6 Taxas relacionadas

Exemplo 4.6.1.

4.6.1 Exercícios resolvidos

ER 4.6.1.

Resolução.

ER 4.6.2.

Resolução.

4.6.2 Exercícios

E. 4.6.1.

E. 4.6.2.

E. 4.6.3.

E. 4.6.4.

E. 4.6.5.

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