Cálculo I

4 Aplicações da derivada 4.5 Concavidade e o teste da segunda derivada 5 Integração

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4.6 Taxas relacionadas

Variáveis relacionadas por equações podem ter suas taxas de variação relacionadas. Por exemplo, se $y=f(x)$ , onde $f$ é diferenciável e $x=x(t)$ , então

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$		(4.188)
	$\displaystyle y^{\prime}(t)=f^{\prime}(x)\cdot x^{\prime}(t),$		(4.189)

que relaciona a taxa de variação de $y$ com a taxa de variação de $x$ , ambas em relação à variável $t$ .

Exemplo 4.6.1.

A área $A$ de um círculo é dada por $A=\pi r^{2}$ , onde $r$ é o raio do círculo. Se o raio está aumentando a uma taxa de $0,1$ cm/s, podemos calcular a taxa de variação da área quando o raio é $10$ cm. De fato, podemos relacionar as taxas de variação da área e do raio em relação ao tempo $t$ . Temos

\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}.

(4.190)

Sabemos que $\displaystyle\frac{dr}{dt}=0,1$ cm/s e que

\frac{dA}{dr}=2\pi r.

(4.191)

Logo, quando $r=10$ cm, temos

\frac{dA}{dt}=2\pi(10)(0,1)=2\pi\leavevmode\nobreak\ \text{cm}^{2}/\text{s}.

(4.192)

4.6.1 Exercícios resolvidos

ER 4.6.1.

A área $A\leavevmode\nobreak\ [\text{m}^{2}]$ de um triângulo de lados $a\leavevmode\nobreak\ [\text{m}]$ e $b\leavevmode\nobreak\ [\text{m}]$ formando um ângulo $\theta\leavevmode\nobreak\ [\text{rad}]$ é

A=\frac{1}{2}ab\operatorname{sen}\theta

(4.193)

Sabendo que $a=5\leavevmode\nobreak\ \text{m}$ e $b=10\leavevmode\nobreak\ \text{m}$ , qual é a taxa de variação de $A$ no tempo $t$ , sabendo que $\theta$ varia $0.1\pi\leavevmode\nobreak\ \text{rad}/\text{s}$ ?

Resolução.

A taxa de variação de $A$ em relação a $t$ é

\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}ab\cos(\theta)\frac{d\theta}{dt}.

(4.194)

Logo, substituindo os valor da questão, obtemos

	$\displaystyle\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 10\cos(\theta)\cdot 0.1$		(4.195)
	$\displaystyle\quad\text{}=2.5\cos(\theta)\leavevmode\nobreak\ \text{m}^{2}/% \text{s}.$		(4.196)

ER 4.6.2.

O raio $r\leavevmode\nobreak\ [\text{cm}]$ e a altura $h\leavevmode\nobreak\ [\text{cm}]$ de um cilindro circular reto estão aumentando a uma taxa de $0.2\leavevmode\nobreak\ \text{cm}/\text{s}$ e $0.5\leavevmode\nobreak\ \text{cm}/\text{s}$ , respectivamente. Encontre a taxa de variação do volume do cilindro quando $r=10\leavevmode\nobreak\ \text{cm}$ e $h=20\leavevmode\nobreak\ \text{cm}$ .

Resolução.

O volume $V\leavevmode\nobreak\ [\text{m}^{3}]$ de um cilindro circular reto é dado por

V=\pi r^{2}h.

(4.197)

Derivando em relação ao tempo $t\leavevmode\nobreak\ [\text{s}]$ , temos

	$\displaystyle\frac{dV}{dt}=\frac{d}{dt}\left[\pi r^{2}h\right]$		(4.198)
	$\displaystyle\quad\text{}=\pi\left(2r\frac{dr}{dt}\cdot h+r^{2}\frac{dh}{dt}% \right).$		(4.199)

Logo, quando $r=10\leavevmode\nobreak\ \text{cm}$ e $h=20\leavevmode\nobreak\ \text{cm}$ , temos

	$\displaystyle\frac{dV}{dt}=(2\pi(10)(20))(0,2)+(\pi(10)^{2})(0,5)$		(4.200)
	$\displaystyle\text{}\quad=80\pi+50\pi=130\pi\leavevmode\nobreak\ \text{cm}^{3}% /\text{s}.$		(4.201)

4.6.2 Exercícios

E. 4.6.1.

A área da superfície de uma esfera de raio $r\leavevmode\nobreak\ [\text{cm}]$ é

S=4\pi r^{2}\leavevmode\nobreak\ \text{cm}^{2}.

(4.202)

Sabendo que quando $r=10\leavevmode\nobreak\ \text{cm}$ o raio varia $0.5\leavevmode\nobreak\ \text{cm}/\text{s}$ , qual é a taxa de variação de $S$ em relação ao tempo?

$\displaystyle\frac{dS}{dt}=40\pi\leavevmode\nobreak\ \text{cm}^{2}/\text{s}$

E. 4.6.2.

A distância de dois pontos $A=(x,b)$ e $B=(a,y)$ é

d(A,B)=\sqrt{(a-x)^{2}+(y-b)^{2}}.

(4.203)

Em cada caso, escreva a relação entre as taxas de variações:

a)

$dd(A,B)/dt$ relacionada a $dx/dt$ assumindo constantes $a, b, y$ .
b)

$dd(A,B)/dt$ relacionada a $dy/dt$ assumindo constantes $a, b, x$ .
c)

$dd(A,B)/dt$ relacionada a $dx/dt$ e $dy/dt$ assumindo constantes $a, b$ .

a) $\displaystyle\frac{dd(A,B)}{dt}=\frac{x-a}{d(A,B)}\frac{dx}{dt}$ ; b) $\displaystyle\frac{dd(A,B)}{dt}=\frac{y-b}{d(A,B)}\frac{dy}{dt}$ ; c) $\displaystyle\frac{dd(A,B)}{dt}=\frac{x-a}{d(A,B)}\frac{dx}{dt}+\frac{y-b}{d(A% ,B)}\frac{dy}{dt}$

E. 4.6.3.

O comprimento $a\leavevmode\nobreak\ [\text{m}]$ de um retângulo aumenta a uma taxa de $2\leavevmode\nobreak\ \text{m}/\text{h}$ , enquanto sua largura $b\leavevmode\nobreak\ [\text{m}]$ diminui a uma taxa de $0.5\leavevmode\nobreak\ \text{m}/\text{h}$ . No momento em que $a=5\leavevmode\nobreak\ \text{m}$ e $b=10\leavevmode\nobreak\ \text{m}$ , qual é a taxa de variação da área do retângulo em ralação ao tempo?

$\displaystyle\frac{dA}{dt}=15\leavevmode\nobreak\ \text{m}^{2}/\text{h}$

E. 4.6.4.

Qual a taxa de variação $dV/dt$ do volume de um paralelepípedo em relação as taxas dos comprimentos de seus lados $x$ , $y$ e $z$ ?

$\displaystyle\frac{dV}{dt}=yz\frac{dx}{dt}+xz\frac{dy}{dt}+xy\frac{dz}{dt}$

E. 4.6.5.

A que taxa o nível de líquido diminui em um tanque cilíndrico vertical se retirarmos o líquido para fora a uma taxa de $2000\leavevmode\nobreak\ \text{L}/\text{s}$ ? Assuma que o cilindro tem raio $1\leavevmode\nobreak\ \text{m}$ . Dica: o volume de um cilindro é $V=\pi r^{2}h$ .

$\displaystyle\frac{dh}{dt}=-\frac{20}{\pi}\leavevmode\nobreak\ \text{dcm}^{3}/% \text{s}$

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4.6 Taxas relacionadas

Exemplo 4.6.1.

4.6.1 Exercícios resolvidos

ER 4.6.1.

Resolução.

ER 4.6.2.

Resolução.

4.6.2 Exercícios

E. 4.6.1.

E. 4.6.2.

E. 4.6.3.

E. 4.6.4.

E. 4.6.5.

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