Cálculo I

4 Aplicações da derivada 4 Aplicações da derivada 4.2 Extremos de funções

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4.1 Regra de L’Hôpital

A regra de L’Hôpital¹¹1Guillaume François Antoine, Marquis de l’Hôpital, 1661 - 1704, matemático francês. Fonte: Wikipédia: Guillaume de l’Hôpital. é uma técnica para o cálculo de limites de indeterminações. Sejam $f$ e $g$ funções deriváveis em um intervalo aberto contendo $x=a$ . Pelas linearizações de $f$ e $g$ em torno de $x=a$ (Seção 3.7), temos

	$\displaystyle f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\varepsilon_{f}(x-a),$		(4.1)
	$\displaystyle g(x)=g(a)+g^{\prime}(a)(x-a)+\varepsilon_{g}(x-a),$		(4.2)

com $\varepsilon_{f},\varepsilon_{g}\to 0$ quando $x\to a$ . Desta forma, podemos inferir que

\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f(a)+f^{\prime}% (a)(x-a)+\varepsilon_{f}(x-a)}{g(a)+g^{\prime}(a)(x-a)+\varepsilon_{g}(x-a)}.

(4.3)

Com isso, se $f(a)=g(a)=0$ e $g^{\prime}(a)\neq 0$ , então

	$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(a)(x% -a)+\varepsilon_{f}(x-a)}{g^{\prime}(a)(x-a)+\varepsilon_{g}(x-a)}$		(4.4)
	$\displaystyle\quad\text{}=\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(a)+\varepsilon_{f}}{g^% {\prime}(a)+\varepsilon_{g}}$		(4.5)
	$\displaystyle\quad\text{}=\frac{f^{\prime}(a)}{g^{\prime}(a)}.$		(4.6)

4.1.1 Indeterminações do tipo $0/0$

Teorema 4.1.1.(Regra de L’Hôpital do tipo $0/0$ )

Suponha que $f$ e $g$ sejam funções deriváveis em um intervalo aberto contendo $x=a$ , exceto possivelmente em $x=a$ , e que

	$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0,$		(4.7)
	$\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0.$		(4.8)

Se, ainda, $\lim_{x\to a}f^{\prime}(x)/g^{\prime}(x)$ existe ou for $\pm\infty$ , então

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to a}% \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}.

(4.9)

Ainda mais, a afirmação também é válida para os casos $x\to a^{-}$ , $x\to a^{+}$ , $x\to\infty$ e $x\to-\infty$ .

Exemplo 4.1.1.

Vamos calcular o limite

\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^{2}-1}=\frac{0}{0}\leavevmode\nobreak\ \text{% indetermina\c{c}\~{a}o}.

(4.10)

a)

Pela regra de L’Hôpital

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^{2}-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)^{\prime% }}{(x^{2}-1)^{\prime}}$ (4.11)

$\displaystyle\quad\text{}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{2x}$ (4.12)

$\displaystyle\quad\text{}=\frac{1}{2}.$ (4.13)
b)

Por eliminação do fator comum

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^{2}-1}=\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(x+% 1)}$ (4.14)

$\displaystyle\quad\text{}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+1}$ (4.15)

$\displaystyle\quad\text{}=\frac{1}{2}.$ (4.16)

Exemplo 4.1.2.

O limite

\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4x+4}{x^{3}-3x^{2}+4}

(4.17)

é uma indeterminação $0/0$ (verifique!). Aplicando a regra de L’Hôpital, obtemos

\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4x+4}{x^{3}-3x^{2}+4}=\lim_{x\to 2}\frac{\cancelto{0}% {2x-4}}{\cancelto{0}{3x^{2}-6x}},

(4.18)

que também é uma indeterminação do tipo $0/0$ . Agora, aplicando a regra de L’Hôpital novamente, obtemos

\lim_{x\to 2}\frac{2x-4}{3x^{2}-6x}=\lim_{x\to 2}\frac{2}{6x-6}=\frac{1}{3}.

(4.19)

Portanto, concluímos que

\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4x+4}{x^{3}-3x^{2}+4}=\frac{1}{3}.

(4.20)

4.1.2 Indeterminações do tipo $\infty/\infty$

A regra de L’Hôpital também pode ser usada para indeterminações do tipo $\infty/\infty$ .

Teorema 4.1.2.(Regra de L’Hôpital do tipo $\infty/\infty$ )

Suponha que $f$ e $g$ sejam funções deriváveis em um intervalo aberto contendo $x=a$ , exceto possivelmente em $x=a$ , e que

	$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty,$		(4.21)
	$\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\infty.$		(4.22)

Se, ainda, $\lim_{x\to a}f^{\prime}(x)/g^{\prime}(x)$ existe ou for $\pm\infty$ , então

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to a}% \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}.

(4.23)

Ainda mais, a afirmação também é válida para os casos $x\to a^{-}$ , $x\to a^{+}$ , $x\to\infty$ e $x\to-\infty$ .

Exemplo 4.1.3.

Vamos calcular

\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x},

(4.24)

que é uma indeterminação do tipo $\infty/\infty$ (verifique!). Então, aplicando a regra de L’Hôpital, temos

\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{1}=\infty.

(4.25)

4.1.3 Crescimento exponencial

O crescimento de funções exponenciais é mais rápido do que o crescimento de funções polinomiais. De fato, da regra de L’Hôpital, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{n}}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}% }{nx^{n-1}}$		(4.26)
	$\displaystyle\quad\text{}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{n(n-1)x^{n-2}}$		(4.27)
	$\displaystyle\quad\text{}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{n(n-1)(n-2)x^{n-3}}$		(4.28)
	$\displaystyle\quad\text{}=\ldots$		(4.29)
	$\displaystyle\quad\text{}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{n!}=\infty,$		(4.30)

para qualquer $n\in\mathbb{N}$ . Ou seja, $e^{x}$ cresce mais rápido do que $x^{n}$ quando $x\to\infty$ .

Exemplo 4.1.4.

Temos que

\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{2}}=\infty.

(4.31)

De fato, aplicando a regra de L’Hôpital duas vezes, obtemos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}% }{2x}$		(4.32)
	$\displaystyle\quad\text{}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{2}=\infty.$		(4.33)

4.1.4 Outras indeterminações

Outras indeterminações podem ser transformadas em indeterminações do tipo $0/0$ ou $\infty/\infty$ .

Exemplo 4.1.5.(Decrescimento exponencial)

Temos que

\lim_{x\to\infty}x^{n}e^{-x}

(4.34)

é uma indeterminação do tipo $0\cdot\infty$ para qualquer $n\in\mathbb{N}$ (verifique!). Podemos reescrevê-la como uma indeterminação do tipo $\infty/\infty$ :

\lim_{x\to\infty}x^{n}e^{-x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}.

(4.35)

Então, aplicando a regra de L’Hôpital $n$ vezes, obtemos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{n}e^{-x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}$		(4.36)
	$\displaystyle\quad\text{}=\lim_{x\to\infty}\frac{nx^{n-1}}{e^{x}}$		(4.37)
	$\displaystyle\quad\text{}=\ldots=\lim_{x\to\infty}\frac{n!}{e^{x}}=0.$		(4.38)

Exemplo 4.1.6.(Indeterminação $\infty-\infty$ )

Vamos calcular

\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}+\ln x\right),

(4.39)

que é uma indeterminação do tipo $\infty-\infty$ (verifique!). Reescrevendo, temos

\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}+\ln x\right)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1+x\ln x% }{x}.

(4.40)

Podemos mostrar que (consultemos o E.4.1.4)

\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0.

(4.41)

Com isso, concluímos que

	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}+\ln x\right)=\lim_{x\to 0^{+}}% \frac{\cancelto{1}{1+x\ln x}}{\cancelto{0}{x}}$		(4.42)
	$\displaystyle\quad\text{}=\infty.$		(4.43)

4.1.5 Exercícios resolvidos

ER 4.1.1.

Calcule

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{e^{x}-1}{x^{2}}.

(4.44)

Resolução.

Observamos tratar-se de uma indeterminação do tipo $0/0$ , i.e.

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\cancelto{0}{e^{x}-1}}{\cancelto{0}{x^{2}}}.

(4.45)

Então, aplicando a regra de L’Hôpital, temos

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{e^{x}-1}{x^{2}}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\cancelto{1}{e^{% x}}}{\cancelto{0^{-}}{2x}}=-\infty.

(4.46)

ER 4.1.2.(Indeterminação do tipo $0\cdot\infty$ )

Calcule

\lim_{x\to\infty}x^{51}e^{-x}.

(4.47)

Resolução.

Observamos que

\lim_{x\to\infty}\cancelto{\infty}{x^{51}}\cancelto{0}{e^{-x}}=\lim_{x\to% \infty}\frac{\cancelto{\infty}{x^{51}}}{\cancelto{\infty}{e^{x}}}.

(4.48)

Então, aplicando a regra de L’Hôpital sucessivamente, obtemos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{51}e^{-x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{51}}{e^{x}}$		(4.49)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{51\cdot x^{50}}{e^{x}}$		(4.50)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{51\cdot 50\cdot x^{49}}{e^{x}}$		(4.51)
	$\displaystyle\text{}\quad\vdots$		(4.52)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{51!}{\cancelto{\infty}{e^{x}}% }=0.$		(4.53)

ER 4.1.3.(Indeterminação do tipo $\infty-\infty$ )

Calcule

\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right).

(4.54)

Resolução.

Trata-se de uma indeterminação do tipo $\infty-\infty$ , pois

\lim_{x\to 0^{+}}\left(\cancelto{\infty}{\frac{1}{x}}-\cancelto{\infty}{\frac{% 1}{e^{x}-1}}\right).

(4.55)

Neste caso, calculando a subtração com denominador comum, obtemos

\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right)=\lim_{x\to 0^{+}}% \frac{e^{x}-1-x}{x(e^{x}-1)},

(4.56)

a qual é uma indeterminação do tipo $0/0$ . Aplicando a regra de L’Hôpital, obtemos

	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1-x}{xe^{x}-x}=\lim_{x\to 0^{+}}% \frac{\cancelto{0}{e^{x}-1}}{\cancelto{0}{(x+1)e^{x}-1}}$		(4.57)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}}{(x+2)e^{x}}$		(4.58)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2}.$		(4.59)

ER 4.1.4.(Indeterminação do tipo $1^{\infty}$ )

Calcule

\lim_{x\to 0^{+}}(1+x)^{1/x}.

(4.60)

Resolução.

Trata-se de uma indeterminação do tipo $1^{\infty}$ . Em tais casos, a seguinte estratégia pode ser útil. Nos pontos de continuidade da função logaritmo natural, temos

	$\displaystyle\ln\left(\lim_{x\to 0^{+}}(1+x)^{1/x}\right)=\lim_{x\to 0^{+}}\ln% \left((1+x)^{1/x}\right)$		(4.61)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\cancelto{0}{\ln(1+x)}}{% \cancelto{0}{x}}$		(4.62)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{1}{x+1}}{1}=1.$		(4.63)

Ou seja,

	$\displaystyle\ln\left(\lim_{x\to 0^{+}}(1+x)^{1/x}\right)=1$		(4.64)
	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}(1+x)^{1/x}=e.$		(4.65)

4.1.6 Exercícios

E. 4.1.1.

Calcule

\lim_{x\to-1}\frac{x+1}{x^{2}+3x+2}.

(4.66)

$1$

E. 4.1.2.

Use a regra de L’Hôpital para calcular

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}3x}{x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to\pi}\frac{1+\cos x}{\operatorname{sen}(x)}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}$

a) $3$ ; b) 0; c) $\frac{1}{2}$

E. 4.1.3.

Calcule

\lim_{x\to\infty}x^{-51}e^{x}.

(4.67)

$\infty$

E. 4.1.4.

Calcule

\lim_{x\to 0^{+}}\left(x\ln x\right).

(4.68)

$0$

E. 4.1.5.

Calcule

\lim_{x\to 0^{+}}\left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{2x}}.

(4.69)

$e$

E. 4.1.6.

Calcule

\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{\operatorname{sen}x}-\frac{1}{x}\right)

(4.70)

$0$

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Cálculo I

4.1 Regra de L’Hôpital

4.1.1 Indeterminações do tipo $0/0$

Teorema 4.1.1.(Regra de L’Hôpital do tipo $0/0$ )

Exemplo 4.1.1.

Exemplo 4.1.2.

4.1.2 Indeterminações do tipo $\infty/\infty$

Teorema 4.1.2.(Regra de L’Hôpital do tipo $\infty/\infty$ )

Exemplo 4.1.3.

4.1.3 Crescimento exponencial

Exemplo 4.1.4.

4.1.4 Outras indeterminações

Exemplo 4.1.5.(Decrescimento exponencial)

Exemplo 4.1.6.(Indeterminação $\infty-\infty$ )

4.1.5 Exercícios resolvidos

ER 4.1.1.

Resolução.

ER 4.1.2.(Indeterminação do tipo $0\cdot\infty$ )

Resolução.

ER 4.1.3.(Indeterminação do tipo $\infty-\infty$ )

Resolução.

ER 4.1.4.(Indeterminação do tipo $1^{\infty}$ )

Resolução.

4.1.6 Exercícios

E. 4.1.1.

E. 4.1.2.

E. 4.1.3.

E. 4.1.4.

E. 4.1.5.

E. 4.1.6.

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	$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^{2}-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)^{\prime% }}{(x^{2}-1)^{\prime}}$		(4.11)
	$\displaystyle\quad\text{}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{2x}$		(4.12)
	$\displaystyle\quad\text{}=\frac{1}{2}.$		(4.13)

	$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^{2}-1}=\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(x+% 1)}$		(4.14)
	$\displaystyle\quad\text{}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+1}$		(4.15)
	$\displaystyle\quad\text{}=\frac{1}{2}.$		(4.16)

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4.1 Regra de L’Hôpital

4.1.1 Indeterminações do tipo 0/0

Teorema 4.1.1.(Regra de L’Hôpital do tipo 0/0)

Exemplo 4.1.1.

Exemplo 4.1.2.

4.1.2 Indeterminações do tipo ∞/∞

Teorema 4.1.2.(Regra de L’Hôpital do tipo ∞/∞)

Exemplo 4.1.3.

4.1.3 Crescimento exponencial

Exemplo 4.1.4.

4.1.4 Outras indeterminações

Exemplo 4.1.5.(Decrescimento exponencial)

Exemplo 4.1.6.(Indeterminação ∞−∞)

4.1.5 Exercícios resolvidos

ER 4.1.1.

Resolução.

ER 4.1.2.(Indeterminação do tipo 0⋅∞)

Resolução.

ER 4.1.3.(Indeterminação do tipo ∞−∞)

Resolução.

ER 4.1.4.(Indeterminação do tipo 1∞)

Resolução.

4.1.6 Exercícios

E. 4.1.1.

E. 4.1.2.

E. 4.1.3.

E. 4.1.4.

E. 4.1.5.

E. 4.1.6.

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4.1.1 Indeterminações do tipo $0/0$

Teorema 4.1.1.(Regra de L’Hôpital do tipo $0/0$ )

4.1.2 Indeterminações do tipo $\infty/\infty$

Teorema 4.1.2.(Regra de L’Hôpital do tipo $\infty/\infty$ )

Exemplo 4.1.6.(Indeterminação $\infty-\infty$ )

ER 4.1.2.(Indeterminação do tipo $0\cdot\infty$ )

ER 4.1.3.(Indeterminação do tipo $\infty-\infty$ )

ER 4.1.4.(Indeterminação do tipo $1^{\infty}$ )