| | | |

Equações diferenciais ordinárias

4 Sistemas lineares de ordem 1

Ajude a manter o site livre, gratuito e sem propagandas. Colabore!

4.2 Sistemas de equações não homogêneas

Nesta seção, discutiremos sobre a aplicação do método dos coeficientes a determinar na resolução de sistemas de EDOs lineares de primeira ordem e não homogêneas. Mais especificamente, vamos considerar sistema da forma

𝒚′⁢(t)=A⁢𝒚⁢(t)+𝒈⁢(t), (4.162)

onde 𝒚=(y1,…,yn), yj:t↦yj⁢(t), A=[ai⁢j]i,j=1n,n e 𝒈=(g1,…,gn), gj:t↦gj⁢(t), j=1,…,n>1.

A solução geral de um tal sistema tem a forma

𝒚⁢(t)=c1⁢𝒚1⁢(t)+⋯+cn⁢𝒚n⁢(t)+𝒘⁢(t), (4.163)

onde 𝒚1,…,𝒚n é um conjunto fundamental de soluções do sistema de equações homogêneo associado e 𝒘 é uma solução particular para a sistema de equações não homogêneo.

O método dos coeficientes a determinar consiste em buscar por 𝒘 como sendo uma combinação linear de funções adequadas. Tais funções podem ser escolhidas conforme indicado na Observação 3.3.2.

Exemplo 4.2.1.

Vamos calcular uma solução geral para o sistema

𝒚′=[−22−23]⁢𝒚+[−t2⁢et] (4.164)

O primeiro passo consiste em calcularmos o conjunto fundamental de soluções para o sistema de equações homogêneas associado. Isto foi feito no Exemplo 4.1.1, do qual temos as soluções

𝒚1⁢(t)=[21]⁢e−t, (4.165)
𝒚2⁢(t)=[12]⁢e2⁢t (4.166)

Agora, com base no termo fonte 𝒈 e nas soluções fundamentais333Veja a Observação 3.3.2.. Observamos que o termo fonte é

𝒈⁢(t)=[−t2⁢et] (4.167)
=[−10]t+[02]et (4.168)

Assim sendo, buscamos por uma solução particular do sistema (4.164) da forma

𝒚p⁢(t)=𝒘1+𝒘2⁢t+𝒘3⁢et (4.169)
=[w11w21]+[w12w22]t+[w13w23]et (4.170)

Substituindo 𝒚p no sistema (4.164), obtemos

𝒚p′=[−22−23]⏟A⁢𝒚p+[−10]⁢t+[02]⁢et (4.171)
𝒘2+𝒘3⁢et=A⁢𝒘1+A⁢𝒘2⁢t+A⁢𝒘3⁢et
+[−10]⁢t+[02]⁢et (4.172)

Logo, por associação, temos

A⁢𝒘2+[−10]=[00] (4.173)
𝒘2=[−32−1] (4.174)
A⁢𝒘1=𝒘2 (4.175)
𝒘1=[5412] (4.176)
𝒘3=A⁢𝒘3+[02] (4.177)
(A−I)⁢𝒘3=[0−2] (4.178)
𝒘3=[−2−3] (4.179)

Do calculado, temos a solução particular

𝒚p⁢(t)=[5412]+[−32−1]⁢t+[−2−3]⁢et. (4.180)

Por fim, a solução geral é

𝒚⁢(t)=c1⁢𝒚1⁢(t)+c2⁢𝒚2⁢(t)+𝒚p⁢(t) (4.181)

i.e.,

𝒚⁢(t)=c1⁢[21]⁢e−t+c2⁢[12]⁢e2⁢t
+[5412]+[−32−1]⁢t
+[−2−3]⁢et (4.182)

4.2.1 Exercícios resolvidos

ER 4.2.1.

Calcule uma solução particular de

𝒚′=[−110−1]⁢𝒚+[e−t−e−t] (4.183)
Resolução.

Primeiramente, calculamos a forma das soluções fundamentais do sistema de equações homogêneas associado. A matriz444Os autovalores de uma matriz triangular são iguais aos elementos de sua diagonal. dos coeficientes do sistema tem r1,2=−1 como autovalor duplo. Do que vimos na Subseção 4.1.2, temos que

𝒚1⁢(t)=𝒗1⁢e−t (4.184)
𝒚2⁢(t)=𝒗1⁢t⁢e−t+𝒗2⁢e−t (4.185)

formam um sistema fundamental de soluções, onde 𝒗1 e 𝒗2 são vetores adequados.

Do método dos coeficientes a determinar, do formato das soluções fundamentais e do termo não homogêneo555Veja a Observação 3.3.2., buscamos por uma solução particular da forma

𝒚p⁢(t)=(𝒘1⁢t+𝒘2⁢t2)⁢e−t. (4.186)

Denotando a matriz de coeficientes do sistema por A, o termo não homogêneo por 𝒈 e substituindo 𝒚p no sistema, temos

𝒚p′=A⁢𝒚p+𝒈⁢(t) (4.187)
[𝒘1+(2⁢𝒘2−𝒘1)⁢t−𝒘2⁢t2]⁢e−t=(A⁢𝒘1⁢t+A⁢𝒘2⁢t2)⁢e−t+[1−1]⁢e−t (4.188)

Daí, segue que

𝒘1=[1−1]. (4.189)

Do termo t2⁢e−t, temos

A⁢𝒘2=−𝒘2. (4.190)

Disso e do termo t⁢e−t, obtemos

A⁢𝒘1=(2⁢w2−w1) (4.191)
[−21]=[2⁢w12−12⁢w22+1] (4.192)
𝒘2=[−120] (4.193)

Concluímos que

𝒚p⁢(t)=([1−1]⁢t+[−120]⁢t2)⁢e−t (4.194)

é solução particular do sistema.

ER 4.2.2.

Calcule a solução do PVI

𝒚′=[−110−1]⁢𝒚+[e−t−e−t] (4.195)
𝒚⁢(0)=[1−1] (4.196)
Resolução.

Primeiramente, calculamos a solução geral da forma

𝒚⁢(t)=c1⁢𝒚1⁢(t)+c2⁢𝒚2⁢(t)+𝒚p⁢(t), (4.197)

onde {𝒚1, 𝒚2} é um conjunto fundamental de soluções do sistema de equações homogêneas associado e 𝒚p é uma solução do sistema de equações não homogêneas.

Notamos que r1,2=−1 é autovalor duplo da matriz de coeficientes do sistema. Com isso, temos as soluções fundamentais da forma

𝒚1⁢(t)=𝒗1⁢e−t, (4.198)
𝒚2⁢(t)=𝒗1⁢t⁢e−t+𝒗2⁢e−t. (4.199)

O vetor 𝒗1 é autovalor associado a r1,2=−1, i.e.

(A−r1,2⁢I)⁢𝒗1=0¯ (4.200)
[01|000|0] (4.201)
𝒗1=[10] (4.202)

Por outro lado, 𝒗2 é tal que

(A−r1,2⁢I)⁢𝒗2=𝒗1 (4.203)
[01|100|0] (4.204)
𝒗2=[11] (4.205)

Com isso, temos obtidas

𝒚1⁢(t)=[10]⁢e−t, (4.206)
𝒚2⁢(t)=[10]⁢t⁢e−t+[11]⁢e−t. (4.207)

No ER.4.2.1, calculamos a solução particular

𝒚p⁢(t)=([1−1]⁢t+[−120]⁢t2)⁢e−t. (4.208)

Até aqui, temos calculado a solução geral

𝒚⁢(t)=c1⁢[10]⁢e−t
+c2⁢[10]⁢t⁢e−t+c2⁢[11]⁢e−t
+([1−1]⁢t+[−120]⁢t2)⁢e−t. (4.209)

Por fim, aplicamos a condição inicial

𝒚⁢(0)=[1−1] (4.210)
c1⁢[10]+c2⁢[11]=[1−1] (4.211)

Ou seja, c2=−1 e c1=2.

Concluímos que a solução do PVI é

𝒚⁢(t)=2⁢[10]⁢e−t
−[10]⁢t⁢e−t−[11]⁢e−t
+([1−1]⁢t+[−120]⁢t2)⁢e−t. (4.212)

4.2.2 Exercícios

E. 4.2.1.

Calcule uma solução particular de

𝒚′=[−22−23]⁢𝒚+[et−et]. (4.213)

yp⁢1⁢(t)=2⁢et, yp⁢2⁢(t)=52⁢et

E. 4.2.2.

Calcule uma solução particular de

y1′⁢(t)=−y1⁢(t)+2⁢y2⁢(t)−e3⁢t (4.214)
y2′⁢(t)=4⁢y1⁢(t)+y2⁢(t)+e−t (4.215)

yp⁢1⁢(t)=136⁢e−t⁢(−4⁢e4⁢t⁢(3⁢t+1)−9), yp⁢2⁢(t)=19⁢e3⁢t⁢(1−6⁢t)

E. 4.2.3.

Encontre a solução geral de

y1′=2⁢y1−y2+sen⁡(t) (4.216)
y2′=5⁢y1−2⁢y2−1 (4.217)

y1⁢(t)=−c2⁢sen⁡(t)+c1⁢(2⁢sen⁡(t)+c⁢o⁢s⁢(t))+12⁢(t⁢sen⁡(t)−(2⁢t+1)⁢cos⁡(t)+2), y2⁢(t)=5⁢c1⁢sen⁡(t)+c2⁢(cos⁡(t)−2⁢sen⁡(t))−52⁢t⁢cos⁡(t)+2

E. 4.2.4.

Calcule a solução de

𝒚′=[−22−23]⁢𝒚+[et−et], (4.218)
𝒚⁢(0)=[10] (4.219)

y1⁢(t)=13⁢e−t−43⁢e2⁢t+2⁢et, y2⁢(t)=16⁢e−t−83⁢e2⁢t+52⁢et

Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Opcional. Preencha seu nome para que eu possa lhe contatar.
Opcional. Preencha seu e-mail para que eu possa lhe contatar.
As informações preenchidas são enviadas por e-mail para o desenvolvedor do site e tratadas de forma privada. Consulte a política de uso de dados para mais informações.

Licença Creative Commons
Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Pedro H A Konzen
| | | |