Cálculo II

3 Integrais múltiplas 3.4 Integrais triplas A Tabela de derivadas

Ajude a manter o site livre, gratuito e sem propagandas. Colabore!

3.5 Integrais triplas em outras coordenadas

Nesta seção, estudaremos como calcular integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas.

3.5.1 Integrais em coordenadas cilíndricas

A integral tripla de uma função $f(r,\theta,z)$ em coordenadas cilíndricas sobre um sólido $G$ é dada por

\displaystyle\iiint_{G}f(r,\theta,z)\,dV=\int_{\alpha}^{\beta}\int_{r_{1}(% \theta)}^{r_{2}(\theta)}\int_{g_{1}(r,\theta)}^{g_{2}(r,\theta)}f(r,\theta,z)% \,r\,dz\,dr\,d\theta

(3.177)

em que $G$ é limitado pelos planos $\theta=\alpha$ , $\theta=\beta$ , pelas superfícies cilíndricas $r=r_{1}(\theta)$ , $r=r_{2}(\theta)$ e pelas superfícies $z=g_{1}(r,\theta)$ , $z=g_{2}(r,\theta)$ . Observemos que o diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é dado por

\displaystyle dV=r\,dz\,dr\,d\theta,

(3.178)

correspondendo ao volume de um cilindro infinitesimal de altura $d z$ , raio $r$ e espessura $d r$ .

Exemplo 3.5.1.(Volume em coordenadas cilíndricas)

Vamos calcular o volume de um tanque delimitado lateralmente pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=1$ , abaixo pelo plano $z=0$ e acima pela superfície $z=9-x^{2}-y^{2}$ . Consultemos a Figura 3.12 para a ilustração do tanque.

Refer to caption — Figura 3.12: Tanque delimitado lateralmente pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=1$ , abaixo pelo plano $z=0$ e acima pela superfície $z=9-x^{2}-y^{2}$ .

Em coordenadas cilíndricas, a projeção do sólido $G$ no plano $x-y$ é a região polar $R$ limitada pelos raios $\theta=0$ e $\theta=2\pi$ e pelas circunferências $r=0$ e $r=1$ . A superfície superior do sólido $G$ é dada por $z=9-r^{2}$ e a superfície inferior é dada por $z=0$ . Logo, o volume do tanque é dado por

	$\displaystyle V=\iiint_{G}1\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{9-r^{2}}1% \,r\,dz\,dr\,d\theta$		(3.179)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\left[rz\right]_{z=0}^{9-% r^{2}}dr\,d\theta$		(3.180)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r(9-r^{2})dr\,d\theta$		(3.181)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\left[\frac{9r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4% }\right]_{r=0}^{1}d\theta$		(3.182)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{9}{2}-\frac{1}{4}\right)d\theta$		(3.183)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\frac{17}{4}d\theta=\left[\frac{17% \theta}{4}\right]_{0}^{2\pi}=\frac{17\cdot 2\pi}{4}=\frac{17\pi}{2}$		(3.184)

Em vários casos, é conveniente calcular integrais triplas em coordenadas cilíndricas, mesmo que a função $f(x,y,z)$ esteja expressa em coordenadas cartesianas.

Exemplo 3.5.2.(De coordenadas cartesianas para cilíndricas)

Vamos calcular

\displaystyle\iiint_{G}(x^{2}+y^{2})\,dV,

(3.185)

onde $G$ é o sólido delimitado pelo paraboloide $z=x^{2}+y^{2}$ e pelo plano $z=4$ . Consultemos a Figura 3.13 para a ilustração do sólido $G$ .

A projeção do sólido $G$ no plano $x-y$ é a região polar $R$ limitada pela circunferência $x^{2}+y^{2}=4$ . Esta pode ser tratada como uma região do tipo I, limitada pelas retas $x=-2$ e $x=2$ e pelas curvas $y=-\sqrt{4-x^{2}}$ e $y=\sqrt{4-x^{2}}$ . Assim, em coordenadas cartesianas, a integral tripla sobre o sólido $G$ é dada por

\displaystyle\iiint_{G}(x^{2}+y^{2})\,dV=\int_{-2}^{2}\int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{% \sqrt{4-x^{2}}}\int_{x^{2}+y^{2}}^{4}(x^{2}+y^{2})\,dz\,dy\,dx.

(3.186)

Alternativamente, podemos calcular a integral tripla sobre o sólido $G$ em coordenadas cilíndricas. Para isso, observemos que a função $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}$ pode ser expressa em coordenadas cilíndricas como

\displaystyle f(r,\theta,z)=r^{2}.

(3.187)

O sólido $G$ é limitado pelos planos $\theta=0$ e $\theta=2\pi$ , pelas superfícies cilíndricas $r=0$ e $r=2$ e pelas superfícies $z=r^{2}$ e $z=4$ . Logo, a integral tripla sobre o sólido $G$ em coordenadas cilíndricas é dada por

	$\displaystyle\iiint_{G}(x^{2}+y^{2})\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r^{2% }}^{4}r^{2}\,r\,dz\,dr\,d\theta$		(3.188)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\left[r^{3}z\right]_{z=r^% {2}}^{4}dr\,d\theta$		(3.189)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}r^{3}(4-r^{2})dr\,d\theta$		(3.190)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\left[r^{4}-\frac{r^{6}}{6}\right]_{r% =0}^{2}d\theta$		(3.191)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\left(16-\frac{64}{6}\right)d\theta$		(3.192)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\frac{16}{3}d\theta=\left[\frac{16% \theta}{3}\right]_{0}^{2\pi}=\frac{16\cdot 2\pi}{3}=\frac{32\pi}{3}$		(3.193)

3.5.2 Integrais em coordenadas esféricas

A integral tripla de uma função $f(\rho,\theta,\varphi)$ em coordenadas esféricas sobre um sólido $G$ é dada por

\displaystyle\iiint_{G}f(\rho,\theta,\varphi)\,dV=\int_{\alpha}^{\beta}\int_{% \varphi_{1}(\theta)}^{\varphi_{2}(\theta)}\int_{\rho_{1}(\theta,\varphi)}^{% \rho_{2}(\theta,\varphi)}f(\rho,\theta,\varphi)\,\rho^{2}\operatorname{sen}(% \varphi)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

(3.194)

em que $G$ é limitado pelos planos $\theta=\alpha$ , $\theta=\beta$ , pelas superfícies esféricas $\rho=\rho_{1}(\theta,\varphi)$ , $\rho=\rho_{2}(\theta,\varphi)$ e pelas superfícies $\varphi=\varphi_{1}(\theta)$ , $\varphi=\varphi_{2}(\theta)$ . Observemos que o diferencial de volume em coordenadas esféricas é dado por

\displaystyle dV=\rho^{2}\operatorname{sen}(\varphi)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,

(3.195)

correspondendo ao volume de uma casca esférica infinitesimal de raio $\rho$ , ângulo polar $\varphi$ e ângulo azimutal $\theta$ .

Exemplo 3.5.3.(Volume da esfera)

Vamos calcular o volume da esfera de raio $R$ . Em coordenadas esféricas, o volume da esfera é delimitado pelos raios $\rho=0$ e $\rho=R$ com $0\leq\theta\leq 2\pi$ e $0\leq\varphi\leq\pi$ . Logo, o volume da esfera é dado por

	$\displaystyle V=\iiint_{G}1\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}\rho^% {2}\operatorname{sen}(\varphi)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$		(3.196)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\left[\frac{\rho^{3}}{3% }\right]_{\rho=0}^{R}\operatorname{sen}(\varphi)d\varphi d\theta$		(3.197)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{R^{3}}{3}% \operatorname{sen}(\varphi)d\varphi d\theta$		(3.198)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{R^{3}}{3}\int_{0}^{2\pi}[-\cos(\varphi)]_{% \varphi=0}^{\pi}d\theta$		(3.199)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{R^{3}}{3}(2)(2\pi)=\frac{4}{3}\pi R^{3}$		(3.200)

Há várias situações em que é conveniente calcular integrais triplas em coordenadas esféricas, mesmo que a função $f(x,y,z)$ esteja expressa em coordenadas cartesianas.

Exemplo 3.5.4.(De coordenadas cartesianas para esféricas)

Vamos calcular

\displaystyle\iiint_{G}x^{2}\,dV,

(3.201)

onde $G$ é o sólido delimitado acima pela esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ e abaixo pelo plano $z=0$ .

Em coordenadas cartesianas, a integral tripla sobre o sólido $G$ é dada por

\displaystyle\iiint_{G}x^{2}\,dV=\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-% x^{2}}}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}x^{2}\,dz\,dy\,dx.

(3.202)

Verifique!

Em coordenadas esféricas, a função $f(x,y,z)=x^{2}$ pode ser expressa como

\displaystyle f(\rho,\theta,\varphi)=\rho^{2}\operatorname{sen}^{2}(\varphi)% \cos^{2}(\theta).

(3.203)

O sólido $G$ é limitado pelos semiplanos $\theta=0$ e $\theta=2\pi$ , pelas superfícies esféricas $\rho=0$ e $\rho=1$ e pelos planos cones $\varphi=0$ e $\varphi=\frac{\pi}{2}$ . Com isso, a integral tripla sobre o sólido $G$ em coordenadas esféricas é dada por

	$\displaystyle\iiint_{G}x^{2}\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{% 0}^{1}\rho^{2}\operatorname{sen}^{2}(\varphi)\cos^{2}(\theta)\,\rho^{2}% \operatorname{sen}(\varphi)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$		(3.204)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}% \rho^{4}\operatorname{sen}^{3}(\varphi)\cos^{2}(\theta)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$		(3.205)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{% \rho^{5}}{5}\right]_{\rho=0}^{1}\operatorname{sen}^{3}(\varphi)\cos^{2}(\theta% )\,d\varphi\,d\theta$		(3.206)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{5}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}% \operatorname{sen}^{3}(\varphi)\cos^{2}(\theta)\,d\varphi\,d\theta$		(3.207)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{5}\int_{0}^{2\pi}\left[-\cos(\varphi)+\frac% {\cos(\varphi)^{3}}{3}\right]_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}(\theta)\,d\theta$		(3.208)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{5}\int_{0}^{2\pi}\frac{2}{3}\cos^{2}(\theta% )\,d\theta$		(3.209)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{15}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}(\theta)\,d\theta% =\frac{2}{15}\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\operatorname{sen}(2\theta)}{4}% \right]_{0}^{2\pi}=\frac{2\pi}{15}$		(3.210)

3.5.3 Exercícios

E. 3.5.1.

Use integração tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido limitado lateralmente pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=4$ , abaixo pelo plano $z=0$ e acima pela superfície $z=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}$ .

$\displaystyle\frac{2\pi}{3}(27-5\sqrt{5})$ .

E. 3.5.2.

Use integração em coordenadas cilíndricas para calcular

\displaystyle\int_{-}1^{1}\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{0}^{1-x% ^{2}-y^{2}}x^{2}\,dz\,dy\,dx.

(3.211)

$\displaystyle\frac{\pi}{12}$ .

E. 3.5.3.

Use integração tripla em coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido delimitado acima pela esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ e abaixo pelo cone $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ .

$\displaystyle\frac{8\pi}{3}$ .

E. 3.5.4.

Use integração em coordenadas esféricas para calcular

\displaystyle\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{0}^{% \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}z^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dz\,dy\,dx.

(3.212)

$\displaystyle\frac{\pi}{9}$ .

E. 3.5.5.

Calcule o volume do sólido delimitada acima pela esfera $\rho=2$ e abaixo pelo cone $\varphi=\frac{\pi}{3}$ .