Cálculo II

3 Integrais múltiplas 3.3 Integrais duplas em coordenadas polares 3.5 Integrais triplas em outras coordenadas

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3.4 Integrais triplas

Definimos a integral tripla de uma função $f(x,y,z)$ sobre um sólido finito $G$ no espaço tridimensional $x-y-z$ como o limite da soma de Riemann

\displaystyle\iiint_{G}f(x,y,z)\,dV=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x^{*}_{i}% ,y^{*}_{i},z^{*}_{i})\,\Delta V_{i},

(3.123)

onde $\Delta V_{i}$ é o volume de cada sub-sólido $G_{i}$ , $(x_{i},y_{i},z_{i})$ é um ponto arbitrário em $G_{i}$ e $n$ é o número de sub-sólidos da partição de $G$ . Consultemos a Figura 3.11 para a ilustração da partição de um sólido $G$ .

Refer to caption — Figura 3.11: Partição de um sólido $G$ em sub-sólidos $G_{i}$ .

As integrais triplas têm propriedades análogas às integrais duplas.

a)

Multiplicação por uma constante

$\displaystyle\iiint_{G}kf(x,y,z)\,dV=k\iiint_{G}f(x,y,z)\,dV$ (3.124)
b)

Adição/subtração de funções

$\displaystyle\iiint_{G}(f(x,y,z)\pm g(x,y,z))\,dV=\iiint_{G}f(x,y,z)\,dV\pm% \iiint_{G}g(x,y,z)\,dV$ (3.125)
c)

Partição do sólido de integração

$\displaystyle\iiint_{G}f(x,y,z)\,dV=\iiint_{G_{1}}f(x,y,z)\,dV+\iiint_{G_{2}}f% (x,y,z)\,dV$ (3.126)

para $G=G_{1}\cup G_{2}$ e $G_{1}\cap G_{2}=\emptyset$ .

O cálculo de integrais triplas pode ser feito de forma iterada análoga ao cálculo de integrais duplas. Para isso, é necessário determinar os limites de integração para cada variável. A determinação dos limites de integração depende do sólido $G$ e da ordem de integração escolhida.

3.4.1 Integração sobre uma caixa retangular

Seja $G$ uma caixa retangular definida pelas desigualdades

	$\displaystyle a\leq x\leq b,$		(3.127)
	$\displaystyle c\leq y\leq d,$		(3.128)
	$\displaystyle e\leq z\leq f.$		(3.129)

Para uma função contínua $f(x,y,z)$ , a integral tripla sobre a caixa retangular $G$ é dada por

\displaystyle\iiint_{G}f(x,y,z)\,dV=\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}\int_{e}^{f}f(x,y,% z)\,dz\,dy\,dx

(3.130)

ou por qualquer outra ordem de integração.

Exemplo 3.4.1.

Vamos calcular a integral da função $f(x,y,z)=x^{2}yz$ sobre a caixa retangular $G$ definida por $0\leq x\leq 1$ , $-1\leq y\leq 1$ e $-2\leq z\leq-1$ . A integral tripla sobre a caixa retangular $G$ é dada por

	$\displaystyle\iiint_{G}f(x,y,z)\,dV=\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}\int_{-2}^{-1}x^{% 2}yz\,dz\,dy\,dx$		(3.131)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}\left[\frac{x^{2}yz^{2}}{2}% \right]_{z=-2}^{-1}dy\,dx$		(3.132)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}\left(\frac{x^{2}y(-1)^{2}}% {2}-\frac{x^{2}y(-2)^{2}}{2}\right)dy\,dx$		(3.133)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}\left(\frac{x^{2}y}{2}-2x^{% 2}y\right)dy\,dx$		(3.134)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}\left(-\frac{3x^{2}y}{2}% \right)dy\,dx$		(3.135)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\left[-\frac{3x^{2}y^{2}}{4}\right]_{y=-% 1}^{1}dx$		(3.136)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\left(-\frac{3x^{2}(1)^{2}}{4}+\frac{3x^% {2}(-1)^{2}}{4}\right)dx$		(3.137)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}0\,dx=0$		(3.138)

Calcule esta integral considerando outra ordem de integração. Verifique que o resultado é o mesmo!

3.4.2 Integração em regiões mais gerais

Vamos estudar como integrar uma função $f(x,y,z)$ sobre um sólido $G$ limitado por superfícies. Quando $G$ é limitado abaixo pela superfície $z=g_{1}(x,y)$ , limitado acima pela superfície $z=g_{2}(x,y)$ e $R$ é a projeção de $G$ no plano $x-y$ , temos que a integral tripla sobre o sólido $G$ é dada por

\displaystyle\iiint_{G}f(x,y,z)\,dV=\iint_{R}\int_{g_{1}(x,y)}^{g_{2}(x,y)}f(x% ,y,z)\,dz\,dA.

(3.139)

Exemplo 3.4.2.

Vamos calcular a integral tripla

\displaystyle\iiint_{G}z\,dV,

(3.140)

sobre o sólido $G$ limitado pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=1$ e pelos planos $z=1$ e $z=2$ . A projeção do sólido $G$ no plano $x-y$ é a região $R$ limitada pelo círculo $x^{2}+y^{2}=1$ . Logo, a integral tripla sobre o sólido $G$ é dada por

	$\displaystyle\iiint_{G}z\,dV=\iint_{R}\int_{1}^{2}z\,dz\,dA$		(3.141)
	$\displaystyle\text{}\quad=\iint_{R}\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{z=1}^{2}dA$		(3.142)
	$\displaystyle\text{}\quad=\iint_{R}\left(\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\right)dA$		(3.143)
	$\displaystyle\text{}\quad=\iint_{R}\frac{3}{2}dA=\frac{3}{2}\iint_{R}dA$		(3.144)

A integral $\iint_{R}dA$ corresponde à área da região $R$ , que é a área do círculo de raio $1$ . Logo, temos que

\displaystyle\iint_{R}dA=\pi(1)^{2}=\pi

(3.145)

Assim, concluímos que

\displaystyle\iiint_{G}z\,dV=\frac{3}{2}\pi

(3.146)

O volume de um sólido $G$ pode ser calculado como a integral tripla da função $f(x,y,z)=1$ sobre o sólido $G$ . Ou seja, temos que

\displaystyle V=\iiint_{G}1\,dV.

(3.147)

Exemplo 3.4.3.

Vamos calcular o volume do sólido limitado pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=1$ e pelos planos $z=0$ e $z=3-y$ . A projeção do sólido $G$ no plano $x-y$ é a região $R$ limitada pelo círculo $x^{2}+y^{2}=1$ . Logo, o volume do sólido $G$ é dado por

	$\displaystyle V=\iiint_{G}1\,dV=\iint_{R}\int_{0}^{3-y}1\,dz\,dA$		(3.148)
	$\displaystyle\text{}\quad=\iint_{R}\left[z\right]_{z=0}^{3-y}dA$		(3.149)
	$\displaystyle\text{}\quad=\iint_{R}(3-y)dA$		(3.150)

A integral $\iint_{R}(3-y)dA$ pode ser calculada considerando a região $R$ como uma região do tipo II. Logo, temos que

\displaystyle V=\iint_{R}(3-y)dA=\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-% x^{2}}}(3-y)dydx

(3.151)

Calculando a integral acima, obtemos

	$\displaystyle V=\int_{-1}^{1}\left[3y-\frac{y^{2}}{2}\right]_{y=-\sqrt{1-x^{2}% }}^{\sqrt{1-x^{2}}}dx$		(3.152)
	$\displaystyle\text{}\quad=6\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx$		(3.153)

A integral acima pode ser calculada usando a substituição trigonométrica $x=\sin(\theta)$ , $dx=\cos(\theta)d\theta$ , com $\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ . Assim, concluímos que

\displaystyle V=\iiint_{G}\,dV=3\pi.

(3.154)

Pode ocorrer de um sólido $G$ ser limitado por superfícies à esquerda e à direita, ou à frente e atrás. Nestes casos, a integral tripla sobre o sólido $G$ pode ser calculada como

\displaystyle\iiint_{G}f(x,y,z)\,dV=\iint_{R}\int_{g_{1}(y,z)}^{g_{2}(y,z)}f(x% ,y,z)\,dx\,dA,

(3.155)

\displaystyle\iiint_{G}f(x,y,z)\,dV=\iint_{R}\int_{g_{1}(x,z)}^{g_{2}(x,z)}f(x% ,y,z)\,dy\,dA,

(3.156)

onde $R$ é a projeção do sólido $G$ no plano $y-z$ ou no plano $x-z$ , respectivamente.

Exemplo 3.4.4.

Vamos calcular o volume do sólido delimitado pelos paraboloides

	$\displaystyle x=5y^{2}+5z^{2},$		(3.157)
	$\displaystyle x=6-7y^{2}-z^{2}.$		(3.158)

A projeção do sólido $G$ no plano $y-z$ é obtida para $x=0$ , ou seja, temos que

	$\displaystyle 5y^{2}+5z^{2}=6-7y^{2}-z^{2}$		(3.159)
	$\displaystyle 12y^{2}+6z^{2}=6$		(3.160)
	$\displaystyle 2y^{2}+z^{2}=1$		(3.161)

Logo, a projeção do sólido $G$ no plano $y-z$ é a região $R$ delimitada pela elipse $2y^{2}+z^{2}=1$ . A integral tripla sobre o sólido $G$ é dada por

	$\displaystyle V=\iiint_{G}1\,dV=\iint_{R}\int_{5y^{2}+5z^{2}}^{6-7y^{2}-z^{2}}% 1\,dx\,dA$		(3.162)
	$\displaystyle\text{}\quad=\iint_{R}\left[x\right]_{x=5y^{2}+5z^{2}}^{6-7y^{2}-% z^{2}}dA$		(3.163)
	$\displaystyle\text{}\quad=\iint_{R}\left(6-7y^{2}-z^{2}-5y^{2}-5z^{2}\right)dA$		(3.164)
	$\displaystyle\text{}\quad=\iint_{R}\left(6-12y^{2}-6z^{2}\right)dA$		(3.165)

A integral $\iint_{R}\left(6-12y^{2}-6z^{2}\right)dA$ pode ser calculada considerando a região $R$ como uma região do tipo II. Logo, temos que

	$\displaystyle V=\iint_{R}\left(6-12y^{2}-6z^{2}\right)dA$		(3.166)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-2y^{2}}}^{\sqrt{1-2y^{2}% }}\left(6-12y^{2}-6z^{2}\right)dzdy$		(3.167)

Calculando a integral acima, obtemos

	$\displaystyle V=\int_{-1}^{1}\left[6z-12y^{2}z-2z^{3}\right]_{z=-\sqrt{1-2y^{2% }}}^{\sqrt{1-2y^{2}}}dy$		(3.168)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\int_{-1}^{1}\left(6\sqrt{1-2y^{2}}-12y^{2}\sqrt{1-% 2y^{2}}-2(1-2y^{2})^{\frac{3}{2}}\right)dy$		(3.169)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\int_{-1}^{1}\left(4\sqrt{1-2y^{2}}-8y^{2}\sqrt{1-2% y^{2}}\right)dy$		(3.170)
	$\displaystyle\text{}\quad=8\int_{-1}^{1}\left(1-2y^{2}\right)\sqrt{1-2y^{2}}\,dy$		(3.171)

A integral acima pode ser calculada usando a substituição trigonométrica $y=\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{sen}(\theta)$ , $dy=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\theta)d\theta$ , com $\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ . Assim, concluímos que

\displaystyle V=\iiint_{G}1\,dV=\frac{3\pi}{2}\sqrt{2}.

(3.172)

3.4.3 Exercícios

E. 3.4.1.

Calcule a integral tripla

\iiint_{G}x^{2}yz\,dV,

(3.173)

sobre a caixa retangular $G=[0,1]\times[-1,2]\times[1,3]$ .

$\displaystyle 2$ .

E. 3.4.2.

Calcule a integral tripla

\iiint_{G}z\,dV,

(3.174)

onde $G$ é o sólido limitado pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=1$ e pelos planos $z=0$ e $z=2$ .

$\displaystyle 2\pi$ .

E. 3.4.3.

Encontre o volume do sólido $G$ limitado pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=1$ , pelo plano $z=0$ e pela superfície $z=2+x$ .

$\displaystyle 2\pi$ .

E. 3.4.4.

Encontre o volume do sólido limitado pelas superfícies

	$\displaystyle z=x^{2}+y^{2},$		(3.175)
	$\displaystyle z=4-x^{2}-y^{2}.$		(3.176)

$\displaystyle 4\pi$ .

E. 3.4.5.

Seja $G=[0,2]\times[0,1]\times[0,1]$ , particionado nos sólidos disjuntos $G_{1}=[0,1]\times[0,1]\times[0,1]$ e $G_{2}=[1,2]\times[0,1]\times[0,1]$ . Calcule:

a)

$\iiint_{G}(x+y+z)\,dV$ ;
b)

$\iiint_{G_{1}}(x+y+z)\,dV+\iiint_{G_{2}}(x+y+z)\,dV$ .

Os resultados são iguais? Justifique.

a) $4$ ; b) $4$ . Os resultados são iguais pela propriedade de partição do sólido de integração.

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