Cálculo II

3 Integrais múltiplas 3.2 Integrais duplas em regiões gerais 3.4 Integrais triplas

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3.3 Integrais duplas em coordenadas polares

No sistema de coordenadas polares, uma região $R$ é chamada de região polar simples quando ela é limitada por dois raios $\theta=\alpha$ e $\theta=\beta$ e por curvas polares contínuas $r=r_{1}(\theta)$ e $r=r_{2}(\theta)$ que não se interceptam para $\alpha\leq\theta\leq\beta$ . Consultemos a Figura 3.8 para a ilustração de uma região polar simples.

Refer to caption — Figura 3.8: Região polar simples limitada por dois raios $\theta=\alpha$ e $\theta=\beta$ e por curvas polares contínuas $r=r_{1}(\theta)$ e $r=r_{2}(\theta)$ .

Na Figura 3.8, a região polar está particionada em sub-regiões. Assumindo uma partição infinitesimal de largura $d\theta$ e comprimento $d r$ , temos que a área de cada sub-região é dada por

\displaystyle dA=r\,dr\,d\theta.

(3.94)

Com isso, dada uma função $f(r,\theta)$ em coordenadas polares, sua integral dupla sobre a região polar simples $R$ é dada por

\displaystyle\iint_{R}f(r,\theta)\,dA=\int_{\alpha}^{\beta}\int_{r_{1}(\theta)% }^{r_{2}(\theta)}f(r,\theta)\,r\,dr\,d\theta.

(3.95)

Para uma superfície $z=f(r,\theta)$ não negativa, a integral dupla acima corresponde ao volume do sólido limitado pela superfície $z=f(r,\theta)$ e pela região polar simples $R$ .

Exemplo 3.3.1.

Vamos calcular

\displaystyle\iint_{R}\operatorname{sen}(\theta)\,dA,

(3.96)

sobre a região polar $R$ limitada pelos raios $\theta=0$ e $\theta=\frac{\pi}{2}$ e pelas circunferências $r=1$ e $r=2$ . Esta integral corresponde ao volume do sólido limitado pela superfície $z=\operatorname{sen}(\theta)$ e pela região polar $R$ . Consultemos a Figura 3.9 para a ilustração do volume.

A integral dupla sobre a região polar $R$ é dada por

	$\displaystyle\iint_{R}\operatorname{sen}(\theta)\,dA=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}% \int_{1}^{2}\operatorname{sen}(\theta)\,r\,dr\,d\theta$		(3.97)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{r^{2}}{2}% \operatorname{sen}(\theta)\right]_{r=1}^{2}d\theta$		(3.98)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(2\operatorname{sen}(% \theta)-\frac{1}{2}\operatorname{sen}(\theta)\right)d\theta$		(3.99)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{3}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen% }(\theta)\,d\theta$		(3.100)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{3}{2}\left[-\cos(\theta)\right]_{0}^{\frac{\pi% }{2}}$		(3.101)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{3}{2}\left(-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+% \cos(0)\right)$		(3.102)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{3}{2}\left(0+1\right)=\frac{3}{2}$		(3.103)

3.3.1 Cálculo de áreas em coordenadas polares

Notemos que a área de uma região plana $R$ pode ser calculada pela integral dupla

\displaystyle A=\iint_{R}1\,dA.

(3.104)

Logo, se $R$ for uma região polar simples delimitada pelos raios $\theta=\alpha$ , $\theta=\beta$ e pelas curvas polares $r=r_{1}(\theta)$ e $r=r_{2}(\theta)$ , temos que sua área pode ser calculada pela integral dupla

\displaystyle A=\int_{\alpha}^{\beta}\int_{r_{1}(\theta)}^{r_{2}(\theta)}r\,dr% \,d\theta.

(3.105)

Exemplo 3.3.2.

Vamos calcular a área delimitada pela rosácea $r=\operatorname{sen}(2\theta)$ . Consultemos a Figura 3.10 para a ilustração da rosácea.

Notemos que as quatro pétalas da rosácea são simétricas. Logo, podemos calcular a área de uma pétala e multiplicar o resultado por quatro. A integral dupla sobre a região polar $R$ correspondente a uma pétala da rosácea é dada por

	$\displaystyle A=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\operatorname{sen}(2\theta)}% r\,dr\,d\theta$		(3.106)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{r^{2}}{2}\right]% _{r=0}^{\operatorname{sen}(2\theta)}d\theta$		(3.107)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen% }^{2}(2\theta)\,d\theta$		(3.108)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\cos(4% \theta)}{2}\,d\theta$		(3.109)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{4}\left[\theta-\frac{\operatorname{sen}(4% \theta)}{4}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$		(3.110)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{4}\left(\frac{\pi}{2}-0-\left(0-0\right)% \right)=\frac{\pi}{8}$		(3.111)

Como a rosácea possui quatro pétalas, concluímos que a área total delimitada pela rosácea é dada por

\displaystyle A=4\cdot\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}.

(3.112)

3.3.2 Integrais de coordenadas cartesianas para polares

Em alguns casos, é conveniente calcular integrais duplas em coordenadas polares, mesmo que a função $f(x,y)$ esteja expressa em coordenadas cartesianas. Para isso, usamos o fato de que

\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dA=\iint_{R}f(r\cos(\theta),r\operatorname{sen}(% \theta))\,r\,dr\,d\theta.

(3.113)

Exemplo 3.3.3.

Vamos calcular

\displaystyle\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}}(x^{2}+y^{2})\,dy\,dx.

(3.114)

A região de integração consiste na região do primeiro quadrante limitada pela circunferência $x^{2}+y^{2}=4$ e pelos eixos coordenados. Em coordenadas polares, a região de integração é limitada pelos raios $\theta=0$ e $\theta=\frac{\pi}{2}$ e pelas circunferências $r=0$ e $r=2$ . Observamos, ainda, que a função $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ pode ser expressa em coordenadas polares como

\displaystyle f(r\cos(\theta),r\operatorname{sen}(\theta))=r^{2}.

(3.115)

Logo, a integral dupla sobre a região polar $R$ é dada por

	$\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dA=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}r^{2}\,r% \,dr\,d\theta$		(3.116)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}r^{3}\,dr\,d\theta$		(3.117)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{r^{4}}{4}\right]% _{r=0}^{2}d\theta$		(3.118)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}4\,d\theta$		(3.119)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[4\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=4\cdot\frac% {\pi}{2}-0=2\pi$		(3.120)

3.3.3 Exercícios

E. 3.3.1.

Calcule a integral dupla

\iint_{R}(x^{2}+y^{2})\,dA,

(3.121)

onde $R$ é a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência $x^{2}+y^{2}=9$ e pelos eixos coordenados.

$\displaystyle\frac{81\pi}{8}$ .

E. 3.3.2.

Calcule a área da região polar limitada pelos raios $\theta=-\frac{\pi}{6}$ e $\theta=\frac{\pi}{3}$ e pelas curvas polares $r=2$ e $r=2+2\cos(\theta)$ .

$\displaystyle 2+\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}$ .

E. 3.3.3.

Transforme para coordenadas polares e calcule a integral

\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\operatorname{sen}(x^{2}+y^{2})\,dy\,dx.

(3.122)

$\displaystyle\frac{\pi}{4}(1-\cos(1))$ .

E. 3.3.4.

Encontre o volume do sólido limitado abaixo pela região polar $0\leq r\leq 2$ , $0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ e acima pela superfície $z=r\cos(\theta)$ .

$\displaystyle\frac{8}{3}$ .

E. 3.3.5.

Calcule o volume da função gaussiana $z=e^{-(x^{2}+y^{2})}$ sobre a região limitada pela circunferência $x^{2}+y^{2}=1$ .

$\displaystyle\pi(1-e^{-1})$ .

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