Cálculo II

3 Integrais múltiplas 3.1 Integrais duplas 3.3 Integrais duplas em coordenadas polares

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3.2 Integrais duplas em regiões gerais

3.2.1 Limites de integração não constantes

Antes de calcularmos integrais duplas sobre regiões gerais, não retangulares, observemos que uma integral dupla pode envolver linites de integração não constantes. Por exemplo, podemos ter

\displaystyle\int_{a}^{b}\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}f(x,y)\,dy\,dx=\int_{a}^{b}% \left[\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}f(x,y)\,dy\right]dx

(3.35)

\displaystyle\int_{c}^{d}\int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)}f(x,y)\,dx\,dy=\int_{c}^{d}% \left[\int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)}f(x,y)\,dx\right]dy.

(3.36)

Exemplo 3.2.1.

$\displaystyle a)$	$\displaystyle\int_{-1}^{1}\int_{x}^{-x^{2}}x^{2}y\,dy\,dx=\int_{-1}^{1}\left[% \frac{x^{2}y^{2}}{2}\right]_{y=x}^{-x^{2}}dx$	(3.37)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{-1}^{1}\left(\frac{x^{6}}{2}-\frac{x^{4}}{2}% \right)dx$	(3.38)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{x^{7}}{14}-\frac{x^{5}}{10}\right]_{-1}^% {1}$	(3.39)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{14}-\frac{1}{10}-\left(-\frac{1}{14}+\frac{% 1}{10}\right)=-\frac{2}{35}$	(3.40)

$\displaystyle b)$	$\displaystyle\int_{1}^{0}\int_{\sqrt[3]{y}}^{-y}x^{2}y\,dx\,dy=\int_{1}^{0}% \left[\frac{x^{3}y}{3}\right]_{x=\sqrt[3]{y}}^{-y}dy$	(3.41)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{1}^{0}\left(-\frac{y^{4}}{3}-\frac{y^{2}}{3}% \right)dy$	(3.42)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\int_{1}^{0}\left(y^{4}+y^{2}\right)dy$	(3.43)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\left[\frac{y^{5}}{5}+\frac{y^{3}}{3}% \right]_{1}^{0}$	(3.44)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\left(0-\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)=% \frac{8}{45}$	(3.45)

3.2.2 Integrais em regiões não retangulares

Vamos separar as regiões de integração em dois tipos: regiões do tipo I e regiões do tipo II.

Regiões do tipo I

Uma região $R$ do plano é dita do tipo I se ela for limitada à esquerda e à direita por retas verticais $x=a$ e $x=b$ , e limitada abaixo e acima por curvas $y=g_{1}(x)$ e $y=g_{2}(x)$ , respectivamente. Neste caso, a integral dupla de uma função $f(x,y)$ sobre a região $R$ pode ser expressa como

\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dA=\int_{a}^{b}\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}f(x,y)% \,dy\,dx.

(3.46)

Exemplo 3.2.2.

Vamos calcular a integral dupla da função $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ sobre a região $R$ limitada pelas curvas $x=1$ , $x=2$ , $y=0$ e $y=x^{2}$ . Consultemos a Figura 3.3 para a ilustração da região $R$ .

Refer to caption — Figura 3.3: Região $R$ do tipo I limitada pelas curvas $x=1$ , $x=2$ , $y=0$ e $y=x^{2}$ .

A integral dupla sobre a região $R$ é dada por

	$\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dA=\int_{1}^{2}\int_{0}^{x^{2}}(x^{2}+y^{2})\,dy% \,dx$		(3.47)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{1}^{2}\left[x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=0% }^{x^{2}}dx$		(3.48)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{1}^{2}\left(x^{4}+\frac{x^{6}}{3}\right)dx$		(3.49)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{21}\right]_{1}^{2}$		(3.50)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\frac{32}{5}+\frac{128}{21}\right)-\left(\frac% {1}{5}+\frac{1}{21}\right)=\frac{1286}{105}$		(3.51)

Regiões do tipo II

Uma região $R$ do plano é dita do tipo II se ela for limitada abaixo e acima por retas horizontais $y=c$ e $y=d$ , e limitada à esquerda e à direita por curvas $x=h_{1}(y)$ e $x=h_{2}(y)$ , respectivamente. Neste caso, a integral dupla de uma função $f(x,y)$ sobre a região $R$ pode ser expressa como

\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dA=\int_{c}^{d}\int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)}f(x,y)% \,dx\,dy.

(3.52)

Exemplo 3.2.3.

Vamos calcular a integral dupla da função $f(x,y)=xy^{2}$ sobre a região $R$ limitada pelas curvas $y=1$ , $y=2$ , $x=0$ e $x=\sqrt{y}$ . Consultemos a Figura 3.4 para a ilustração da região $R$ .

A integral dupla sobre a região $R$ é dada por

	$\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dA=\int_{1}^{2}\int_{0}^{\sqrt{y}}xy^{2}\,dx\,dy$		(3.53)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{1}^{2}\left[\frac{x^{2}y^{2}}{2}\right]_{x=0}^% {\sqrt{y}}dy$		(3.54)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{1}^{2}\frac{y^{3}}{2}dy$		(3.55)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{y^{4}}{8}\right]_{1}^{2}=\frac{16}{8}-% \frac{1}{8}=\frac{15}{8}$		(3.56)

3.2.3 Determinando os limites de integração

Em muitos casos, o tipo de região (I ou II) não é imediatamente identificável. Nesses casos, é útil desenhar a região de integração e determinar os limites de integração com base nas curvas que a delimitam.

Exemplo 3.2.4.(Identificando uma região do tipo I)

Vamos calcular a integral dupla da função $f(x,y)=xy$ sobre a região $R$ limitada pelas curvas $y=x^{2}$ e $y=\sqrt{x}$ . Consultemos a Figura 3.5 para a ilustração da região $R$ .

Observemos que a região $R$ é do tipo I, pois é limitada à esquerda e à direita pelas retas verticais $x=0$ e $x=1$ , e limitada acima e abaixo pelas curvas $y=\sqrt{x}$ e $y=x^{2}$ , respectivamente. Logo, a integral dupla sobre a região $R$ é dada por

	$\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dA=\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}xy\,dy\,dx$		(3.57)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\left[\frac{xy^{2}}{2}\right]_{y=x^{2}}^% {\sqrt{x}}dx$		(3.58)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{5}}{2}% \right)dx$		(3.59)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{6}}{12}\right]_{0}^{1% }=\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=\frac{1}{12}$		(3.60)

Exemplo 3.2.5.(Identificando uma região do tipo II)

Vamos calcular a integral dupla da função $f(x,y)=x+2y$ sobre a região $R$ limitada pelas curvas $y=0$ , $y=x+1$ e $y=1-x$ . Consultemos a Figura 3.6 para a ilustração da região $R$ .

Esta região $R$ pode ser identificada como do tipo II, pois é limitada abaixo e acima pelas retas horizontais $y=0$ e $y=1$ , e limitada à esquerda e à direita pelas curvas $x=h_{1}(y)=y-1$ e $x=h_{2}(y)=1-y$ , respectivamente. Logo, a integral dupla sobre a região $R$ é dada por

	$\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dA=\int_{0}^{1}\int_{y-1}^{1-y}(x+2y)\,dx\,dy$		(3.61)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\left[\frac{x^{2}}{2}+2xy\right]_{x=y-1}% ^{1-y}dy$		(3.62)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\left(\frac{(1-y)^{2}}{2}+2(1-y)y-\frac{% (y-1)^{2}}{2}-2(y-1)y\right)dy$		(3.63)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\left(\frac{1-2y+y^{2}}{2}+2y-2y^{2}-% \frac{y^{2}-2y+1}{2}-2y^{2}+2y\right)dy$		(3.64)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\left(4y-4y^{2}\right)dy$		(3.65)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[2y^{2}-\frac{4y^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=2-\frac% {4}{3}=\frac{2}{3}$		(3.66)

Observemos que a região do Exemplo 3.2.5 também poderia ser identificada como a união disjunta de duas regiões do tipo I, $R_{1}$ e $R_{2}$ . Consultemos o seguinte exemplo.

Exemplo 3.2.6.

Vamos voltar ao cálculo da integral dupla da função $f(x,y)=x+2y$ sobre a região $R$ limitada pelas curvas $y=0$ , $y=x+1$ e $y=1-x$ . Esta integral foi calculada considerando a região como do tipo II. Agora, vamos calcular a mesma integral considerando a região $R$ como a união disjunta de duas regiões do tipo I, $R_{1}$ e $R_{2}$ . Ou seja, temos que a integral dupla sobre a região $R$ pode ser expressa como

\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dA=\iint_{R_{1}}f(x,y)\,dA+\iint_{R_{2}}f(x,y)\,dA.

(3.67)

Consultemos a Figura 3.7 para a ilustração da região $R$ particionada em $R_{1}$ e $R_{2}$ .

A região $R_{1}$ é limitada à esquerda e à direita pelas retas verticais $x=-1$ e $x=0$ , e limitada acima e abaixo pelas curvas $y=0$ e $y=x+1$ , respectivamente. Logo, a integral dupla sobre a região $R_{1}$ é dada por

	$\displaystyle\iint_{R_{1}}f(x,y)\,dA=\int_{-1}^{0}\int_{0}^{x+1}(x+2y)\,dy\,dx$		(3.68)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{-1}^{0}\left[xy+y^{2}\right]_{y=0}^{x+1}dx$		(3.69)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{-1}^{0}\left(x(x+1)+(x+1)^{2}\right)dx$		(3.70)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{-1}^{0}\left(x^{2}+x+x^{2}+2x+1\right)dx$		(3.71)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{-1}^{0}\left(2x^{2}+3x+1\right)dx$		(3.72)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{2x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+x\right]_{-1% }^{0}$		(3.73)
	$\displaystyle\text{}\quad=0-\left(-\frac{2}{3}+\frac{3}{2}-1\right)=\frac{1}{6}$		(3.74)

A região $R_{2}$ é limitada à esquerda e à direita pelas retas verticais $x=0$ e $x=1$ , e limitada acima e abaixo pelas curvas $y=0$ e $y=1-x$ , respectivamente. Logo, a integral dupla sobre a região $R_{2}$ é dada por

	$\displaystyle\iint_{R_{2}}f(x,y)\,dA=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(x+2y)\,dy\,dx$		(3.75)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\left[xy+y^{2}\right]_{y=0}^{1-x}dx$		(3.76)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\left(x(1-x)+(1-x)^{2}\right)dx$		(3.77)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\left(x-x^{2}+1-2x+x^{2}\right)dx$		(3.78)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\left(-x+1\right)dx$		(3.79)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[-\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{0}^{1}=-\frac{1}{2}% +1=\frac{1}{2}$		(3.80)

Por tudo isso, concluímos que

\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dA=\iint_{R_{1}}f(x,y)\,dA+\iint_{R_{2}}f(x,y)\,% dA=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}

(3.81)

como esperado, o mesmo resultado obtido no Exemplo 3.2.5.

Exemplo 3.2.7.(Volume de um cilíndro)

O volume de um cilíndro circular reto de raio $r$ e altura $h$ pode ser calculado como a integral dupla da função $f(x,y)=h$ sobre a $R$ do plano $x-y$ limitada pelo círculo $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ .

Neste caso, considerando $R$ como uma região do tipo I, temos que a integral dupla sobre a região $R$ é dada por

	$\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dA=\int_{-r}^{r}\int_{-\sqrt{r^{2}-x^{2}}}^{% \sqrt{r^{2}-x^{2}}}h\,dy\,dx$		(3.82)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{-r}^{r}\left[hy\right]_{y=-\sqrt{r^{2}-x^{2}}}% ^{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}dx$		(3.83)
	$\displaystyle\text{}\quad=2h\int_{-r}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}\,dx$		(3.84)

A integral acima pode ser calculada usando a substituição trigonométrica $x=r\sin(\theta)$ , $dx=r\cos(\theta)\,d\theta$ , com $\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ . Assim, temos

	$\displaystyle 2h\int_{-r}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}\,dx=2h\int_{-\frac{\pi}{2}}^{% \frac{\pi}{2}}\sqrt{r^{2}-r^{2}\sin^{2}(\theta)}r\cos(\theta)\,d\theta$		(3.85)
	$\displaystyle\text{}\quad=2hr\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^{2}% \cos^{2}(\theta)}\cos(\theta)\,d\theta$		(3.86)
	$\displaystyle\text{}\quad=2hr^{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}% (\theta)\,d\theta$		(3.87)
	$\displaystyle\text{}\quad=2hr^{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+% \cos(2\theta)}{2}\,d\theta$		(3.88)
	$\displaystyle\text{}\quad=hr^{2}\left[\theta+\frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{-% \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$		(3.89)
	$\displaystyle\text{}\quad=hr^{2}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\sin(\pi)}{2}-\left(% -\frac{\pi}{2}+\frac{\sin(-\pi)}{2}\right)\right)$		(3.90)
	$\displaystyle\text{}\quad=hr^{2}\left(\frac{\pi}{2}+0+\frac{\pi}{2}-0\right)=h% \pi r^{2}.$		(3.91)

Como esperado, o volume do cilindro é dado por $V=\pi r^{2}h$ . Ainda, poderíamos ter calculado considerando a região $R$ como uma região do tipo II. Verifique!

3.2.4 Exercícios

E. 3.2.1.

Calcule:

	$\displaystyle a)$	$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{x}^{1+x^{2}}(x+2y)\,dy\,dx,$		(3.92)
	$\displaystyle b)$	$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{y^{2}}^{y}(x^{2}+y)\,dx\,dy.$		(3.93)

a) $\frac{39}{20}$ ; b) $\frac{5}{42}$ .

E. 3.2.2.

Calcule a integral dupla da função $f(x,y)=x+y^{2}$ sobre a região limitada pelas curvas $y=x^{2}$ , $y=2x$ e $x=1$ .

$\frac{29}{28}$

E. 3.2.3.

Calcule a integral dupla da função $f(x,y)=x^{2}+y$ sobre a região limitada pelas curvas $y=0$ , $y=\frac{\pi}{2}$ , $x=0$ e $x=\cos(y)$ .

$\frac{\pi}{2}-\frac{7}{9}$

E. 3.2.4.

Considere a integral dupla da função $f(x,y)=x-2y^{2}$ sobre a região limitada pelas curvas $y=x$ , $y=-x$ e $x=1$ . Calcule:

a)

A integral dupla considerando a região como do tipo I.
b)

A integral dupla considerando a região como a união disjunta de duas regiões do tipo II.

Os resultados são iguais? Por quê?

a) $\frac{2}{3}$ ; b) $\frac{2}{3}$ . Os resultados são iguais pela propriedade de partição da região de integração.

E. 3.2.5.

Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=1$ e pelos planos $z=0$ e $z=3-y$ .

$3\pi$ .

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