Cálculo II

3 Integrais múltiplas 3 Integrais múltiplas A Tabela de derivadas

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3.1 Integrais duplas

A integral dupla de uma função $f(x,y)$ sobre uma região $R$ do plano é definida como o limite da soma de Riemann¹¹1Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826 - 1866, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Bernhard Riemann. bidimensional, quando a malha que particiona a região $R$ se torna infinitamente fina. Formalmente, a integral dupla é denotada e definida por:

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \iint_{R}f(x,y)\,dA=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*},y_{i}^{*})% \Delta A_{i},

(3.1)

onde $\Delta A_{i}$ é a área de cada sub-região da partição e $(x_{i}^{*},y_{i}^{*})$ é um ponto arbitrário escolhido dentro de cada sub-região.

Se $f$ for contínua e não negativa em $R$ , a integral dupla fornece o volume sob a superfície $z=f(x,y)$ e a região $R$ . Consultemos a Figura 3.1.

Refer to caption — Figura 3.1: A integral dupla de uma função $f(x,y)$ sobre uma região $R$ do plano.

O cálculo de integrais duplas pode ser realizado utilizando a técnica de integração iterada, que envolve a integração em uma variável de cada vez. Para tanto, definimos as integrais definidas parciais

	$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx$		(3.2)
	$\displaystyle\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy$		(3.3)

A primeira, é chamada de integral definida parcial em relação a $x$ . Nela a integração é realizada em relação a $x$ , enquanto $y$ é mantido constante. A segunda, é chamada de integral definida parcial em relação a $y$ . Nela a integração é realizada em relação a $y$ , enquanto $x$ é mantido constante.

Exemplo 3.1.1.

	$\displaystyle\int_{-1}^{2}x^{2}y+x\,dx=\left[\frac{x^{3}y}{3}+\frac{x^{2}}{2}% \right]_{x=-1}^{2}$		(3.4)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{8y}{3}+2-\left(-\frac{y}{3}+\frac{1}{2}\right)$		(3.5)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{8y}{3}+2+\frac{y}{3}-\frac{1}{2}=3y+\frac{3}{2}$		(3.6)

	$\displaystyle\int_{1}^{0}x^{2}y+x\,dy=\left[\frac{x^{2}y^{2}}{2}+xy\right]_{y=% 1}^{0}$		(3.7)
	$\displaystyle\text{}\quad=0-\left(\frac{x^{2}}{2}+x\right)=-\frac{x^{2}}{2}-x$		(3.8)

A técnica de integração iterada pode ser escrita como segue

\displaystyle\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx=\int_{a}^{b}\left(\int_{c}% ^{d}f(x,y)\,dy\right)dx

(3.9)

para a integração em relação a $y$ primeiro, e

\displaystyle\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\,dy=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}% ^{b}f(x,y)\,dx\right)dy

(3.10)

para a integração em relação a $x$ primeiro.

Teorema 3.1.1.(Teorema de Fubini)

Se $f(x,y)$ for contínua em um retângulo $R=[a,b]\times[c,d]$ , então

\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dA=\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx=\int_{% c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\,dy

(3.11)

Demonstração.

A demonstração foge aos objetivos destas notas, mas pode ser encontrada em [2]. ∎

Exemplo 3.1.2.

Vamos calcular a integral dupla da função $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ sobre o retângulo $R=[-1,1]\times[0,2]$ . Consultemos a Figura 3.2.

Pelo teorema de Fubini²²2Guido Fubini, 1879 - 1943, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Guido Fubini., podemos calcular a integral dupla sobre $R$ da seguinte forma:

	$\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dA=\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2}(x^{2}+y^{2})\,dy\,dx$		(3.12)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{-1}^{1}\left[x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=% 0}^{2}dx$		(3.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{-1}^{1}\left(2x^{2}+\frac{8}{3}\right)dx$		(3.14)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{2x^{3}}{3}+\frac{8x}{3}\right]_{-1}^{1}$		(3.15)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\frac{2}{3}+\frac{8}{3}\right)-\left(-\frac{2}% {3}-\frac{8}{3}\right)$		(3.16)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{10}{3}+\frac{10}{3}=\frac{20}{3}$		(3.17)

Ou, equivalentemente, integrando em relação a $x$ primeiro

	$\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1}(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy$		(3.18)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2}\left[\frac{x^{3}}{3}+xy^{2}\right]_{x=-% 1}^{1}dy$		(3.19)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2}\left[\frac{1}{3}+y^{2}-\left(-\frac{1}{% 3}-y^{2}\right)\right]dy$		(3.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2}\left(\frac{2}{3}+2y^{2}\right)dy$		(3.21)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{2y}{3}+\frac{2y^{3}}{3}\right]_{0}^{2}$		(3.22)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\frac{4}{3}+\frac{16}{3}\right)-0=\frac{20}{3}$		(3.23)

Exemplo 3.1.3.(Volume do paralelepípedo)

Seja um paralelepípedo de lados $a$ , $b$ e $c$ . Notemos que a tampa do paralelepípedo é a superfície $z=c$ e a base é a região retangular $R=[0,a]\times[0,b]$ . Logo, seu volume pode ser calculado como a integral dupla da função $f(x,y)=c$ sobre a região $R$ , temos

	$\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dA=\int_{0}^{a}\int_{0}^{b}c\,dy\,dx$		(3.24)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{a}\left[cy\right]_{y=0}^{b}dx$		(3.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{a}cb\,dx$		(3.26)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[cbx\right]_{x=0}^{a}=cba$		(3.27)

Seguem algumas propriedades das integrais duplas:

a)

Multiplicação por escalar:

$\displaystyle\iint_{R}kf(x,y)\,dA=k\iint_{R}f(x,y)\,dA$ (3.28)
b)

Soma/subtração:

$\displaystyle\iint_{R}\left(f(x,y)\pm g(x,y)\right)\,dA=\iint_{R}f(x,y)\,dA\pm% \iint_{R}g(x,y)\,dA$ (3.29)
c)

Partição da região de integração:

Se $R_{1}$ e $R_{2}$ são duas regiões disjuntas e $R=R_{1}\cup R_{2}$ , então

$\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dA=\iint_{R_{1}}f(x,y)\,dA+\iint_{R_{2}}f(x,y)\,dA$ (3.30)

3.1.1 Exercícios

E. 3.1.1.

Calcule a integral dupla

\iint_{R}(x^{2}+xy+2)\,dA,

(3.31)

sobre a região retangular $R=[-1,1]\times[0,2]$ .

$\displaystyle\frac{28}{3}$ .

E. 3.1.2.

Calcule a integral dupla de $f(x,y)=2x+y$ sobre o retângulo $R=[0,1]\times[-1,2]$ usando as duas ordens de integração:

\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{-1}^{2}(2x+y)\,dy\,dx

(3.32)

\displaystyle\int_{-1}^{2}\int_{0}^{1}(2x+y)\,dx\,dy.

(3.33)

$\displaystyle\frac{9}{2}$ .

E. 3.1.3.

Encontre o volume sob a superfície $z=4-x^{2}-y^{2}$ e sobre a região retangular $R=[0,1]\times[0,2]$ .

$\displaystyle\frac{14}{3}$ .

E. 3.1.4.

Seja $R=[-1,1]\times[0,1]$ , particionada nas regiões disjuntas $R_{1}=[-1,0]\times[0,1]$ e $R_{2}=[0,1]\times[0,1]$ . Calcule:

a)

$\iint_{R}x+y\,dA$ .
b)

$\iint_{R_{1}}x+y\,dA+\iint_{R_{2}}x+y\,dA$ .

Os resultados são iguais? Por quê?

a) $1$ ; b) $1$ . Os resultados são iguais, pois $R=R_{1}\cup R_{2}$ e $R_{1}\cap R_{2}=\emptyset$ .

E. 3.1.5.

Verifique a linearidade da integral dupla da função $f(x,y)=3x^{2}-2y+1$ sobre a região retangular $R=[0,2]\times[1,3]$ . I.e., verifique que

	$\displaystyle\iint_{R}3x^{2}-2y+1\,dA=3\iint_{R}x^{2}\,dA$
	$\displaystyle\text{}\qquad-2\iint_{R}y\,dA+\iint_{R}1\,dA$		(3.34)

São iguais e valem $4$ .

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