Cálculo II

4 Cálculo vetorial 4.4 Integrais de linha 4.6 Teorema de Green

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4.5 Campos conservativos

Na Subseção 4.3.2 definimos que um campo vetorial $\bm{F}$ é conservativo se for o campo gradiente de uma função real $\phi$ , i.e. se existir uma função $\phi$ tal que

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\bm{F}=\nabla\phi

(4.141)

Se $\bm{F}(x,y)=f_{1}(x,y)\bm{i}+f_{2}(x,y)\bm{j}$ , então

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\bm{F}=\frac{\partial\phi}{% \partial x}\bm{i}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\bm{j},

(4.142)

Seja, agora, $C$ uma curva lisa parametrizada⁵⁵5 $C$ deve estar totalmente contida no domínio do campo conservativo. por

\displaystyle\bm{r}(t)=x(t)\bm{i}+y(t)\bm{j},\quad a\leq t\leq b,

(4.143)

de $\bm{r}(a)=(x(a),y(a))=(x_{a},y_{a})$ a $\bm{r}(b)=(x(b),y(b))=(x_{b},y_{b})$ . A integral de linha de $\bm{F}$ ao longo de $C$ é

	$\displaystyle\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\int_{a}^{b}\bm{F}(\bm{r}(t))\cdot\bm% {r}^{\prime}(t)dt$		(4.144)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{a}^{b}\left[\frac{\partial\phi}{\partial x}(x(% t),y(t))x^{\prime}(t)+\frac{\partial\phi}{\partial y}(x(t),y(t))y^{\prime}(t)% \right]dt$		(4.145)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}\phi(x(t),y(t))dt=\phi(x(b),% y(b))-\phi(x(a),y(a)).$		(4.146)

Portanto, a integral de linha de um campo conservativo $\bm{F}=\nabla\phi$ ao longo de uma curva $C$ depende apenas dos pontos inicial $(x_{a},y_{a})$ e final $(x_{b},y_{b})$ da curva $C$ e não do caminho percorrido, sendo que

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}% =\phi(x_{b},y_{b})-\phi(x_{a},y_{a})

(4.147)

ou, equivalentemente,

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int_{C}\nabla\phi\cdot d% \bm{r}=\phi(x_{b},y_{b})-\phi(x_{a},y_{a}).

(4.148)

Exemplo 4.5.1.

Seja $\bm{F}(x,y)=2xy\bm{i}+x^{2}\bm{j}$ . Primeiramente, vamos verificar se $\bm{F}$ é conservativo. Buscamos uma função $\phi(x,y)$ tal que

	$\displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial x}=2xy,$		(4.149)
	$\displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial y}=x^{2}.$		(4.150)

Integrando a primeira equação em relação a $x$ , obtemos

\displaystyle\phi(x,y)=x^{2}y+g(y),

(4.151)

onde $g(y)$ é uma função de $y$ apenas. Derivando em relação a $y$ , temos

\displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial y}=x^{2}+g^{\prime}(y)=x^{2}.

(4.152)

Portanto, $g^{\prime}(y)=0$ , o que implica que $g(y)$ é uma constante. Assim, podemos escolher $g(y)=0$ e temos que

\displaystyle\phi(x,y)=x^{2}y.

(4.153)

Vamos agora calcular a integral de linha de $\bm{F}$ ao longo de curvas diferentes que partem de $(0,0)$ e chegam em $(1,1)$ .

a)

$C_{1}$ : o segmento de reta que parte de $(0,0)$ e chega em $(1,1)$ .

A curva $C_{1}$ pode ser parametrizada por

$\displaystyle\bm{r}(t)=t\bm{i}+t\bm{j},\quad 0\leq t\leq 1.$ (4.154)

Assim, a integral de linha é

$\displaystyle\int_{C_{1}}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\int_{0}^{1}\bm{F}(t,t)\cdot\bm{r% }^{\prime}(t)dt$ (4.155)

$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\left[(2t^{2})\bm{i}+(t^{2})\bm{j}\right% ]\cdot(\bm{i}+\bm{j})dt$ (4.156)

$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}(2t^{2}+t^{2})dt=\int_{0}^{1}3t^{2}dt=1.$ (4.157)
b)

$C_{2}$ : o segmento de reta que parte de $(0,0)$ e chega em $(1,0)$ e depois o segmento de reta que parte de $(1,0)$ e chega em $(1,1)$ .

A curva $C_{2}$ pode ser particionada em duas sub-curvas $C^{\prime}_{1}$ e $C^{\prime}_{2}$ , onde $C^{\prime}_{1}$ é o segmento de reta que parte de $(0,0)$ e chega em $(1,0)$ e $C^{\prime}_{2}$ é o segmento de reta que parte de $(1,0)$ e chega em $(1,1)$ . Assim, temos que

$\displaystyle\int_{C_{2}}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\int_{C^{\prime}_{1}}\bm{F}\cdot d% \bm{r}+\int_{C^{\prime}_{2}}\bm{F}\cdot d\bm{r}.$ (4.158)

A curva $C^{\prime}_{1}$ pode ser parametrizada por

$\displaystyle\bm{r}^{\prime}_{1}(t)=t\bm{i},\quad 0\leq t\leq 1.$ (4.159)

Assim, a integral de linha ao longo de $C^{\prime}_{1}$ é

$\displaystyle\int_{C^{\prime}_{1}}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\int_{0}^{1}\left[(2t(0)% )\bm{i}+(t^{2})\bm{j}\right]\cdot\bm{i}\,dt=\int_{0}^{1}0dt=0.$ (4.160)

A curva $C^{\prime}_{2}$ pode ser parametrizada por

$\displaystyle\bm{r}^{\prime}_{2}(t)=\bm{i}+t\bm{j},\quad 0\leq t\leq 1.$ (4.161)

Assim, a integral de linha ao longo de $C^{\prime}_{2}$ é

$\displaystyle\int_{C^{\prime}_{2}}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\int_{0}^{1}\left[(2(1)(% t))\bm{i}+(1^{2})\bm{j}\right]\cdot\bm{j}\,dt$ (4.162)

$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}1\,dt=1.$ (4.163)

Portanto, temos que

$\displaystyle\int_{C_{2}}\bm{F}\cdot d\bm{r}=0+1=1.$ (4.164)

Os resultados obtidos para as integrais de linha ao longo das curvas $C_{1}$ e $C_{2}$ são iguais, o que era esperado, pois $\bm{F}$ é conservativo. De (4.147), temos que

\displaystyle\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\phi(1,1)-\phi(0,0)=1-0=1.

(4.165)

para qualquer curva lisa $C$ que parta de $(0,0)$ e chegue em $(1,1)$ .

Acima, mostramos que, se $\bm{F}$ é conservativo, então a integral de linha de $\bm{F}$ ao longo de uma curva $C$ depende apenas dos pontos inicial e final da curva. A recíproca também é verdadeira: se a integral de linha de $\bm{F}$ ao longo de qualquer curva $C$ depende apenas dos pontos inicial e final da curva, então $\bm{F}$ é conservativo. De fato, fixemos um ponto $(x_{a},y_{a})$ e definimos a função $\phi(x,y)$ como

\displaystyle\phi(x,y)=\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r},

(4.166)

onde $C$ é qualquer curva lisa que parta de $(x_{a},y_{a})$ e chegue em $(x,y)$ , sempre com $C$ no domínio de $\bm{F}$ . A função $\phi$ é bem definida, pois a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final da curva. Agora, esta integral de linha também é igual a

\displaystyle\phi(x,y)=\int_{C_{1}}\bm{F}\cdot d\bm{r}+\int_{C_{2}}\bm{F}\cdot d% \bm{r},

(4.167)

em que $C_{1}$ é uma curva $t\bm{i}+y_{a}\bm{j}$ , $x_{a}\leq t\leq x$ , e $C_{2}$ é uma curva $x\bm{i}+t\bm{j}$ , $y_{a}\leq t\leq y$ . Assim, temos que

	$\displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\int_{% C}\bm{F}\cdot d\bm{r}$		(4.168)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial}{\partial x}\int_{C_{1}}\bm{F}\cdot d% \bm{r}$		(4.169)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial}{\partial x}\int_{x_{a}}^{x}f_{1}(t,y% _{a})dt=f_{1}(x,y_{a}).$		(4.170)

Como $y_{a}$ é um ponto arbitrário, temos que

\displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial x}=f_{1}(x,y).

(4.171)

De forma, análoga, temos que

\displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial y}=f_{2}(x,y).

(4.172)

Portanto, $\bm{F}=\nabla\phi$ , o que mostra que $\bm{F}$ é conservativo.

Outro resultado importante é que, se $\bm{F}$ é conservativo, então a integral de linha de $\bm{F}$ ao longo de qualquer curva fechada $C$ é nula. De fato, seja $C$ uma curva fechada parametrizada por

\displaystyle\bm{r}(t)=x(t)\bm{i}+y(t)\bm{j},\quad a\leq t\leq b,

(4.173)

com $\bm{r}(a)=\bm{r}(b)$ . Assim, temos que

\displaystyle\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\phi(x(b),y(b))-\phi(x(a),y(a))=0.

(4.174)

Exemplo 4.5.2.

A integral de linha do campo vetorial $\bm{F}(x,y)=2xy\bm{i}+x^{2}\bm{j}$ ao longo da circunferência $C$ do círculo $x^{2}+y^{2}=1$ é nula, pois $\bm{F}$ é conservativo. De fato, a curva $C$ pode ser parametrizada por

\displaystyle\bm{r}(t)=\cos(t)\bm{i}+\operatorname{sen}(t)\bm{j},\quad 0\leq t% \leq 2\pi.

(4.175)

Assim, a integral de linha é

	$\displaystyle\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\int_{0}^{2\pi}\bm{F}(\cos(t),% \operatorname{sen}(t))\cdot\bm{r}^{\prime}(t)dt$		(4.176)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\left[(2\cos(t)\operatorname{sen}(t))% \bm{i}+(\cos^{2}(t))\bm{j}\right]\cdot(-\operatorname{sen}(t)\bm{i}+\cos(t)\bm% {j})dt$		(4.177)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}(-2\cos(t)\operatorname{sen}^{2}(t)+% \cos^{3}(t))dt$		(4.178)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\cos(t)(\cos^{2}(t)-2\operatorname{% sen}^{2}(t))dt$		(4.179)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}\cos(t)(3\cos^{2}(t)-2)dt=0.$		(4.180)

Em resumo, temos que são equivalentes as seguintes afirmações:

a)

$\bm{F}$ é conservativo.
b)

A integral de linha de $\bm{F}$ ao longo de qualquer curva $C$ depende apenas dos pontos inicial e final da curva.
c)

A integral de linha de $\bm{F}$ ao longo de qualquer curva fechada $C$ é nula.

4.5.1 Teste de campo conservativo

Seja um campo vetorial $\bm{F}(x,y)=f_{1}(x,y)\bm{i}+f_{2}(x,y)\bm{j}$ definido em um domínio aberto $D$ simplesmente conexo⁶⁶6De forma coloquial, uma região é dita ser simplesmente conexa quando é conexa e não contém buracos.. Assumimos, ainda, que $f_{1}$ e $f_{2}$ têm derivadas parciais contínuas em $D$ . Então, $\bm{F}$ é conservativo se, e somente se,

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\frac{\partial f_{1}}{% \partial y}=\frac{\partial f_{2}}{\partial x}

(4.181)

para todo $(x,y)\in D$ . De fato, a implicação é direta. Se $\bm{F}$ é conservativo, então $\bm{F}=\nabla\phi$ para alguma função $\phi$ . Assim, temos que

\displaystyle\frac{\partial f_{1}}{\partial y}=\frac{\partial^{2}\phi}{% \partial y\partial x}=\frac{\partial^{2}\phi}{\partial x\partial y}=\frac{% \partial f_{2}}{\partial x}.

(4.182)

A recíproca também é verdadeira, mas a demonstração foge aos objetivos aqui.

Exemplo 4.5.3.

Vamos verificar se o campo vetorial $\bm{F}(x,y)=2xy\bm{i}+x^{2}\bm{j}$ é conservativo. Temos que

	$\displaystyle\frac{\partial f_{1}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy% )=2x,$		(4.183)
	$\displaystyle\frac{\partial f_{2}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{% 2})=2x.$		(4.184)

Portanto, $\frac{\partial f_{1}}{\partial y}=\frac{\partial f_{2}}{\partial x}$ , o que mostra que $\bm{F}$ é conservativo.

4.5.2 Campos vetoriais no espaço

Os resultados apresentados acima podem ser estendidos para campos vetoriais no espaço. Seja um campo vetorial

\displaystyle\bm{F}(x,y,z)=f_{1}(x,y,z)\bm{i}+f_{2}(x,y,z)\bm{j}+f_{3}(x,y,z)% \bm{k}

(4.185)

conservativo com $\bm{F}=\nabla\phi$ . Então, temos que

\displaystyle\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\phi(x_{b},y_{b},z_{b})-\phi(x_{a},y_% {a},z_{a}),

(4.186)

onde $C$ é uma curva lisa qualquer que parte de $(x_{a},y_{a},z_{a})$ e chega em $(x_{b},y_{b},z_{b})$ .

Também, assumindo as suavidades necessárias, temos que $\bm{F}$ é conservativo se, e somente se,

	$\displaystyle\frac{\partial f_{1}}{\partial y}=\frac{\partial f_{2}}{\partial x},$		(4.187)
	$\displaystyle\frac{\partial f_{1}}{\partial z}=\frac{\partial f_{3}}{\partial x},$		(4.188)
	$\displaystyle\frac{\partial f_{2}}{\partial z}=\frac{\partial f_{3}}{\partial y}$		(4.189)

ou, equivalentemente, quando o rotacional de $\bm{F}$ é nulo, i.e.

\displaystyle\nabla\times\bm{F}=\bm{0}.

(4.190)

Exemplo 4.5.4.

O campo vetorial $\bm{F}=yz\bm{i}+xz\bm{j}+xy\bm{k}$ é conservativo. De fato, temos que

	$\displaystyle\nabla\times\bm{F}=\begin{bmatrix}\bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{% \partial z}\\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}$		(4.191)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{bmatrix}\bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{% \partial z}\\ yz&xz&xy\end{bmatrix}$		(4.192)
	$\displaystyle\text{}\quad=0.$		(4.193)

A função potencial $\phi$ , $\bm{F}=\nabla\phi$ , pode ser obtida integrando $f_{1}$ em relação a $x$ , o que nos dá

\displaystyle\phi(x,y,z)=xyz+g(y,z),

(4.194)

onde $g(y,z)$ é uma função de $y$ e $z$ . Derivando em relação a $y$ , temos

\displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial y}=xz+\frac{\partial g}{\partial y}=xz,

(4.195)

o que implica que $\frac{\partial g}{\partial y}=0$ , ou seja, $g(y,z)$ é uma função de $z$ apenas. Derivando em relação a $z$ , temos

\displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial z}=xy+\frac{\partial g}{\partial z}=xy,

(4.196)

o que implica que $\frac{\partial g}{\partial z}=0$ , ou seja, $g(z)$ é uma constante. Assim, podemos escolher $g(z)=0$ e temos que

\displaystyle\phi(x,y,z)=xyz.

(4.197)

Com isso, podemos calcular a integral de linha de $\bm{F}$ ao longo de qualquer curva $C$ que parta de um ponto $(x_{a},y_{a},z_{a})$ e chegue em um ponto $(x_{b},y_{b},z_{b})$ como

\displaystyle\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\phi(x_{b},y_{b},z_{b})-\phi(x_{a},y_% {a},z_{a})=x_{b}y_{b}z_{b}-x_{a}y_{a}z_{a}.

(4.198)

Por exemplo, se $C$ é a curva que parte de $(1,1,1)$ e chega em $(2,2,2)$ , então

\displaystyle\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\phi(2,2,2)-\phi(1,1,1)=8-1=7.

(4.199)

Verifique!

4.5.3 Exercícios

E. 4.5.1.

Determine uma função potencial $\phi$ para o campo vetorial

\displaystyle\bm{F}(x,y)=(3x^{2}+2y)\bm{i}+(2x+4y)\bm{j}.

(4.200)

$\phi(x,y)=x^{3}+2xy+2y^{2}$

E. 4.5.2.

Considere os campos vetoriais

	$\displaystyle\text{a)}\leavevmode\nobreak\ \bm{F}(x,y)=(2x+y)\bm{i}+(x+2y)\bm{% j},$		(4.201)
	$\displaystyle\text{b)}\leavevmode\nobreak\ \bm{G}(x,y)=y\bm{i}+2x\bm{j}.$		(4.202)

Determine qual deles é conservativo. Para o campo conservativo, determine uma função potencial.

a) conservativo, $\phi(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}$ ; b) não é conservativo.

E. 4.5.3.

Seja $\bm{F}(x,y)=(2xy+\cos x)\bm{i}+(x^{2}+2y)\bm{j}$ . Calcule $\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}$ para qualquer curva lisa $C$ que parte de $(0,1)$ e chega a $\left(\frac{\pi}{2},2\right)$ .

$\displaystyle\int_{(0,1)}^{(\frac{\pi}{2},2)}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\frac{\pi^{2}% }{2}+4$

E. 4.5.4.

Considere o campo vetorial $\bm{F}(x,y)=-y\bm{i}+x\bm{j}$ e a circunferência unitária $C$ , percorrida no sentido anti-horário. Calcule $\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}$ e conclua se $\bm{F}$ é conservativo.

$\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}=2\pi$ , $\bm{F}$ não é conservativo.

E. 4.5.5.

Verifique se o campo vetorial

\displaystyle\bm{F}(x,y,z)=(2xz+y)\bm{i}+(x+2y)\bm{j}+(x^{2}+3z^{2})\bm{k}

(4.203)

é conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função potencial e calcule a integral de linha ao longo de qualquer curva lisa que parte de $(0,0,0)$ e chega a $(1,2,1)$ .

Conservativo, com função potencial $\phi(x,y,z)=x^{2}z+xy+y^{2}+z^{3}$ . $\int_{(0,0,0)}^{(1,2,1)}\bm{F}\cdot d\bm{r}=8.$

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