Cálculo II

4 Cálculo vetorial 4.3 Campos vetoriais 4.5 Campos conservativos

Ajude a manter o site livre, gratuito e sem propagandas. Colabore!

4.4 Integrais de linha

A integral de linha de uma função $f(x,y)$ ao longo de uma curva lisa $C$ parametrizada por

\displaystyle\bm{r}(t)=x(t)\bm{i}+y(t)\bm{j},\quad a\leq t\leq b,

(4.88)

é definida como

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int_{C}f(x,y)ds=\int_{a}^{% b}f(x(t),y(t))\|\bm{r}^{\prime}(t)\|dt.

(4.89)

Exemplo 4.4.1.

A integral de linha da função $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ ao longo da curva $C$ parametrizada por

\displaystyle\bm{r}(t)=\cos(t)\bm{i}+\operatorname{sen}(t)\bm{j},\quad 0\leq t% \leq\frac{\pi}{2},

(4.90)

	$\displaystyle\int_{C}f(x,y)ds=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos(t),\operatorname{% sen}(t))\\|\bm{r}^{\prime}(t)\\|dt$		(4.91)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos^{2}(t)+\operatorname{% sen}^{2}(t))\sqrt{(-\operatorname{sen}(t))^{2}+(\cos(t))^{2}}dt$		(4.92)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1\cdot 1dt=\frac{\pi}{2}.$		(4.93)

Para uma função $f(x,y,z)$ e uma curva lisa $C$ parametrizada por

\displaystyle\bm{r}(t)=x(t)\bm{i}+y(t)\bm{j}+z(t)\bm{k},\quad a\leq t\leq b,

(4.94)

a integral de linha é definida como

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int_{C}f(x,y,z)ds=\int_{a}% ^{b}f(x(t),y(t),z(t))\|\bm{r}^{\prime}(t)\|dt.

(4.95)

Exemplo 4.4.2.

A integral de linha da função $f(x,y,z)=xy-z^{2}$ ao longo da curva $C$ parametrizada por

\displaystyle\bm{r}(t)=t\bm{i}+2t\bm{j}-t\bm{k},\quad 0\leq t\leq 1,

(4.96)

	$\displaystyle\int_{C}f(x,y,z)ds=\int_{0}^{1}f(t,2t,-t)\\|\bm{r}^{\prime}(t)\\|dt$		(4.97)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}(t\cdot 2t-(-t)^{2})\sqrt{(1)^{2}+(2)^{2% }+(-1)^{2}}dt$		(4.98)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}(2t^{2}-t^{2})\sqrt{6}dt=\sqrt{6}\int_{0% }^{1}t^{2}dt=\frac{\sqrt{6}}{3}.$		(4.99)

4.4.1 Integrais de linha em relação a $x$ , $y$ e $z$

Definimos a integral de linha em relação a $x$ de uma função $f(x,y)$ ao longo de uma curva lisa $C$ parametrizada por

\displaystyle\bm{r}(t)=x(t)\bm{i}+y(t)\bm{j},\quad a\leq t\leq b,

(4.100)

como

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int_{C}f(x,y)dx=\int_{a}^{% b}f(x(t),y(t))x^{\prime}(t)dt.

(4.101)

Analogamente, definimos a integral de linha em relação a $y$ como

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int_{C}f(x,y)dy=\int_{a}^{% b}f(x(t),y(t))y^{\prime}(t)dt.

(4.102)

Para uma função $f(x,y,z)$ também definimos a integral de linha em relação a $z$ como

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int_{C}f(x,y,z)dz=\int_{a}% ^{b}f(x(t),y(t),z(t))z^{\prime}(t)dt

(4.103)

quando a curva $C$ é parametrizada por

\displaystyle\bm{r}(t)=x(t)\bm{i}+y(t)\bm{j}+z(t)\bm{k},\quad a\leq t\leq b.

(4.104)

Exemplo 4.4.3.

Vamos calcular a integral de linha $\int_{C}2xy\,dx$ para:

1.

A curva $C_{1}$ como o segmento de reta que parte de $(0,0)$ e vai até $(2,1)$ .

A curva $C_{1}$ pode ser parametrizada por

$\displaystyle\bm{r}_{1}(t)=2t\bm{i}+t\bm{j},\quad 0\leq t\leq 1.$ (4.105)

Assim, a integral de linha é

$\displaystyle\int_{C_{1}}2xy\,dx=\int_{0}^{1}2(2t)(t)(2)dt$ (4.106)

$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}8t^{2}dt=\frac{8}{3}.$ (4.107)
2.

A curva $C_{2}$ como o segmento de reta que parte de $(2,1)$ e chega em $(0,0)$ .

A curva $C_{2}$ pode ser parametrizada por

$\displaystyle\bm{r}_{2}(t)=2(1-t)\bm{i}+(1-t)\bm{j},\quad 0\leq t\leq 1.$ (4.108)

Assim, a integral de linha é

$\displaystyle\int_{C_{2}}2xy\,dx=\int_{0}^{1}2(2(1-t))(1-t)(-2)dt$ (4.109)

$\displaystyle\text{}\quad=-\int_{0}^{1}8(1-t)^{2}dt=-\frac{8}{3}.$ (4.110)

Observemos que, no Exemplo 4.4.3, a integral de linha depende da orientação da curva. De fato,

\displaystyle\int_{-C}f(x,y)\,dx=-\int_{C}f(x,y)\,dx.

(4.111)

O mesmo vale para integrais de linha em relação a $y$ e $z$ .

Também podemos expressar combinações de integrais de linha em relação a $x$ , $y$ (e $z$ ). Por exemplo, a integral de linha

	$\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int_{C}f(x,y)dx+g(x,y)dy=% \int_{a}^{b}f(x(t),y(t))x^{\prime}(t)dt+\int_{a}^{b}g(x(t),y(t))y^{\prime}(t)dt$		(4.112)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{a}^{b}\left[f(x(t),y(t))x^{\prime}(t)+g(x(t),y% (t))y^{\prime}(t)\right]dt.$		(4.113)

Exemplo 4.4.4.

Vamos calcular

\displaystyle\int_{C}(x^{2}+y^{2})\,dx+xy\,dy

(4.114)

para a curva $C$ o arco de circunferência do círculo $x^{2}+y^{2}=1$ no primeiro quadrante, orientado no sentido anti-horário.

A curva $C$ pode ser parametrizada por

\displaystyle\bm{r}(t)=\cos(t)\bm{i}+\operatorname{sen}(t)\bm{j},\quad 0\leq t% \leq\frac{\pi}{2}.

(4.115)

Assim, a integral de linha é

	$\displaystyle\int_{C}(x^{2}+y^{2})\,dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos^{2}(t)+% \operatorname{sen}^{2}(t))(-\operatorname{sen}(t))\,dt$		(4.116)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}(t)\,dt=-1,$		(4.117)
	$\displaystyle\int_{C}xy\,dy=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos(t)\operatorname{sen}% (t))(\cos(t))\,dt$		(4.118)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}(t)\operatorname{sen% }(t)\,dt=\frac{1}{3}.$		(4.119)

Portanto, temos que

\displaystyle\int_{C}(x^{2}+y^{2})\,dx+xy\,dy=-1+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}.

(4.120)

4.4.2 Integrais de linha de campos vetoriais

A integral de linha de um campo vetorial $\bm{F}(x,y)=f_{1}(x,y)\bm{i}+f_{2}(x,y)\bm{j}$ ao longo de uma curva lisa $C$ parametrizada por

\displaystyle\bm{r}(t)=x(t)\bm{i}+y(t)\bm{j},\quad a\leq t\leq b,

(4.121)

é definida como

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}% =\int_{C}f_{1}(x,y)\,dx+f_{2}(x,y)\,dy.

(4.122)

Notemos que a diferencial $d\bm{r}$ é interpretada como

\displaystyle d\bm{r}=dx\bm{i}+dy\bm{j}.

(4.123)

De forma análoga, a integral de linha de um campo vetorial $\bm{F}(x,y,z)=f_{1}(x,y,z)\bm{i}+f_{2}(x,y,z)\bm{j}+f_{3}(x,y,z)\bm{k}$ ao longo de uma curva lisa $C$ parametrizada por

\displaystyle\bm{r}(t)=x(t)\bm{i}+y(t)\bm{j}+z(t)\bm{k},\quad a\leq t\leq b,

(4.124)

é definida como

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}% =\int_{C}f_{1}(x,y,z)\,dx+f_{2}(x,y,z)\,dy+f_{3}(x,y,z)\,dz.

(4.125)

Observemos que, em uma notação mais compacta, podemos escrever

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}% =\int_{a}^{b}\bm{F}(\bm{r}(t))\cdot\bm{r}^{\prime}(t)dt.

(4.126)

Exemplo 4.4.5.

Vamos calcular a integral de linha do campo vetorial

\displaystyle\bm{F}(x,y)=(y^{2}+1)\bm{i}+(2xy+1)\bm{j}

(4.127)

ao longo da reta $C$ que parte de $(0,0)$ e chega em $(1,1)$ .

A curva $C$ pode ser parametrizada por

\displaystyle\bm{r}(t)=t\bm{i}+t\bm{j},\quad 0\leq t\leq 1.

(4.128)

Assim, a integral de linha é

	$\displaystyle\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\int_{0}^{1}\bm{F}(t,t)\cdot\bm{r}^{% \prime}(t)dt$		(4.129)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}\left[(t^{2}+1)\bm{i}+(2t^{2}+1)\bm{j}% \right]\cdot(\bm{i}+\bm{j})dt$		(4.130)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}(t^{2}+1+2t^{2}+1)dt=\int_{0}^{1}(3t^{2}% +2)dt=3.$		(4.131)

Para uma curva $C$ particionada em $n$ subcurvas $C_{1},C_{2},\ldots,C_{n}$ , temos que

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}% =\sum_{i=1}^{n}\int_{C_{i}}\bm{F}\cdot d\bm{r}.

(4.132)

Exemplo 4.4.6.

Vamos calcular a integral de linha do campo vetorial

\displaystyle\bm{F}(x,y)=(y^{2}+1)\bm{i}+(2xy+1)\bm{j}

(4.133)

ao longo da curva $C$ formada pelo segmento de reta que parte de $(0,0)$ e chega em $(1,0)$ e pelo segmento de reta que parte de $(1,0)$ e chega em $(1,1)$ .

A curva $C$ pode ser particionada em duas subcurvas $C_{1}$ e $C_{2}$ , onde $C_{1}$ é o segmento de reta que parte de $(0,0)$ e chega em $(1,0)$ e $C_{2}$ é o segmento de reta que parte de $(1,0)$ e chega em $(1,1)$ . Assim, temos que

\displaystyle\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\int_{C_{1}}\bm{F}\cdot d\bm{r}+\int_% {C_{2}}\bm{F}\cdot d\bm{r}.

(4.134)

A curva $C_{1}$ pode ser parametrizada por

\displaystyle\bm{r}_{1}(t)=t\bm{i},\quad 0\leq t\leq 1.

(4.135)

Assim, a integral de linha ao longo de $C_{1}$ é

	$\displaystyle\int_{C_{1}}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\int_{0}^{1}\left[(0^{2}+1)\bm{i}% +(2t(0)+1)\bm{j}\right]\cdot\bm{i}\,dt$		(4.136)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}1dt=1.$		(4.137)

A curva $C_{2}$ pode ser parametrizada por

\displaystyle\bm{r}_{2}(t)=\bm{i}+t\bm{j},\quad 0\leq t\leq 1.

(4.138)

Assim, a integral de linha ao longo de $C_{2}$ é

	$\displaystyle\int_{C_{2}}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\int_{0}^{1}\left[(t^{2}+1)\bm{i}% +(2(1)(t)+1)\bm{j}\right]\cdot\bm{j}\,dt$		(4.139)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}(2t+1)dt=2.$		(4.140)

4.4.3 Exercícios

E. 4.4.1.

Calcule a integral de linha de $f(x,y)=x+2y$ ao longo do segmento de reta orientado de $(0,0)$ a $(1,1)$ .

$\displaystyle\int_{C}f(x,y)\,ds=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

E. 4.4.2.

Calcule a integral de linha de $f(x,y,z)=z$ ao longo da hélice parametrizada por $\bm{r}(t)=\cos(t)\bm{i}+\operatorname{sen}(t)\bm{j}+t\bm{k}$ , $0\leq t\leq 2\pi$ .

$\displaystyle\int_{C}f(x,y,z)\,ds=2\sqrt{2}\pi^{2}$

E. 4.4.3.

Calcule $\int_{C}y\,dx$ ao longo da parábola parametrizada por $\bm{r}(t)=t\bm{i}+t^{2}\bm{j}$ , $0\leq t\leq 1$ . Em seguida, calcule a integral ao longo da mesma curva percorrida no sentido contrário.

$\displaystyle\int_{C}y\,dx=\frac{1}{3}$ , $\displaystyle\int_{-C}y\,dx=-\frac{1}{3}$

E. 4.4.4.

Calcule a integral de linha do campo vetorial $\bm{F}(x,y)=(x-y)\bm{i}+(x+y)\bm{j}$ ao longo do segmento de reta orientado de $(0,0)$ a $(1,2)$ .

$\displaystyle\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\frac{5}{2}$

E. 4.4.5.

Seja $\bm{F}(x,y)=y\bm{i}+x^{2}\bm{j}$ . Calcule $\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}$ :

a)

ao longo do caminho formado pelos segmentos de reta de $(0,0)$ a $(1,0)$ e de $(1,0)$ a $(1,1)$ .
b)

ao longo do segmento de reta de $(0,0)$ a $(1,1)$ .

(a) $\displaystyle\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}=1$ . (b) $\displaystyle\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\frac{5}{6}$ .

Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Política de uso de dados

Política de uso de dados

Cálculo II

4.4 Integrais de linha

Exemplo 4.4.1.

Exemplo 4.4.2.

4.4.1 Integrais de linha em relação a $x$ , $y$ e $z$

Exemplo 4.4.3.

Exemplo 4.4.4.

4.4.2 Integrais de linha de campos vetoriais

Exemplo 4.4.5.

Exemplo 4.4.6.

4.4.3 Exercícios

E. 4.4.1.

E. 4.4.2.

E. 4.4.3.

E. 4.4.4.

E. 4.4.5.

Envie seu comentário

	$\displaystyle\int_{C_{1}}2xy\,dx=\int_{0}^{1}2(2t)(t)(2)dt$		(4.106)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{1}8t^{2}dt=\frac{8}{3}.$		(4.107)

	$\displaystyle\int_{C_{2}}2xy\,dx=\int_{0}^{1}2(2(1-t))(1-t)(-2)dt$		(4.109)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\int_{0}^{1}8(1-t)^{2}dt=-\frac{8}{3}.$		(4.110)

Política de uso de dados

Política de uso de dados

Cálculo II

4.4 Integrais de linha

Exemplo 4.4.1.

Exemplo 4.4.2.

4.4.1 Integrais de linha em relação a x, y e z

Exemplo 4.4.3.

Exemplo 4.4.4.

4.4.2 Integrais de linha de campos vetoriais

Exemplo 4.4.5.

Exemplo 4.4.6.

4.4.3 Exercícios

E. 4.4.1.

E. 4.4.2.

E. 4.4.3.

E. 4.4.4.

E. 4.4.5.

Envie seu comentário

4.4.1 Integrais de linha em relação a $x$ , $y$ e $z$