Cálculo II

4 Cálculo vetorial 4.5 Campos conservativos A Tabela de derivadas

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4.6 Teorema de Green

O teorema de Green⁷⁷7George Green, 1793 - 1841, matemático britânico. Fonte: Wikipédia: George Green. relaciona a integral de linha de um campo vetorial $\bm{F}$ ao longo de uma curva fechada $C$ com a integral dupla envolvendo as derivadas parciais de $\bm{F}$ sobre a região $R$ delimitada por $C$ . Mais especificamente, temos

\displaystyle\ointctrclockwise_{C}f_{1}(x,y)\,dx+f_{2}(x,y)\,dy=\iint_{R}\left% (\frac{\partial f_{2}}{\partial x}-\frac{\partial f_{1}}{\partial y}\right)dA.

(4.204)

Aqui, a notação $\ointctrclockwise_{C}$ indica que a integral de linha é calculada ao longo da curva $C$ , fechada e orientada positivamente (no sentido anti-horário). Na sequência, enunciamos o teorema e apresentamos uma ideia de demonstração.

Teorema 4.6.1.(Teorema de Green)

Seja $R$ uma região do plano simplesmente conexa com fronteira $C$ lisa por partes, fechada, simples e orientada positivamente. Se $\bm{F}(x,y)=f_{1}(x,y)\bm{i}+f_{2}(x,y)\bm{j}$ é um campo vetorial com derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém $R$ , então

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\ointctrclockwise_{C}\bm{F}% \cdot d\bm{r}=\iint_{R}\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x}-\frac{\partial f% _{1}}{\partial y}\right)dA.

(4.205)

Demonstração.

Vamos apresentar uma ideia de demonstração do teorema de Green. Assumimos, adicionalmente, que a região $R$ é do tipo I, sendo $C_{1}$ e $C_{2}$ as curvas que formam a fronteira de $R$ , com $C_{1}$ sendo a curva inferior e $C_{2}$ a curva superior. Também, vamos assumir que $C_{1}$ e $C_{2}$ podem ser parametrizadas como

	$\displaystyle C_{1}:\bm{r}_{1}(t)=t\bm{i}+g_{1}(t)\bm{j},\quad a\leq t\leq b,$		(4.206)
	$\displaystyle-C_{2}:\bm{r}_{2}(t)=t\bm{i}+g_{2}(t)\bm{j},\quad a\leq t\leq b.$		(4.207)

Lembrando que

\displaystyle\ointctrclockwise_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\ointctrclockwise_{C}f_{% 1}(x,y)\,dx+f_{2}(x,y)\,dy,

(4.208)

vamos começar calculando a integral de linha em relação a $x$ :

	$\displaystyle\ointctrclockwise_{C}f_{1}(x,y)\,dx=\int_{C_{1}}f_{1}(x,y)\,dx+% \int_{C_{2}}f_{1}(x,y)\,dx$		(4.209)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{a}^{b}f_{1}(t,g_{1}(t))\,dt-\int_{a}^{b}f_{1}(% t,g_{2}(t))\,dt$		(4.210)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{a}^{b}\left[f_{1}(t,g_{1}(t))-f_{1}(t,g_{2}(t)% )\right]dt$		(4.211)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\int_{a}^{b}\int_{g_{1}(t)}^{g_{2}(t)}\frac{% \partial f_{1}}{\partial y}(t,y)\,dy\,dt$		(4.212)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\iint_{R}\frac{\partial f_{1}}{\partial y}(x,y)\,dA.$		(4.213)

A demonstração da integral de linha em relação a $y$ é análoga. Verifique! ∎

Exemplo 4.6.1.

Vamos usar o teorema de Green para calcular

\displaystyle\ointctrclockwise_{C}xy^{2}\,dx+y\,dy,

(4.214)

onde $C$ é a fronteira do triângulo com vértices $(0,0)$ , $(0,1)$ e $(1,0)$ .

Denotando $f_{1}(x,y)=xy^{2}$ e $f_{2}(x,y)=y$ , temos do teorema de Green que

	$\displaystyle\ointctrclockwise_{C}xy^{2}\,dx+y\,dy=\iint_{R}\left(\frac{% \partial f_{2}}{\partial x}-\frac{\partial f_{1}}{\partial y}\right)dA$		(4.215)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\iint_{R}2xy\,dA.$		(4.216)

A região $R$ pode ser descrita como uma região do tipo I, com $0\leq x\leq 1$ e $0\leq y\leq 1-x$ . Assim, temos que

	$\displaystyle\ointctrclockwise_{C}xy^{2}\,dx+y\,dy=-\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}% 2xy\,dy\,dx$		(4.217)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\int_{0}^{1}x(1-x)^{2}\,dx=-\int_{0}^{1}(x-2x^{2}+x% ^{3})\,dx$		(4.218)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}% {4}\right]_{0}^{1}$		(4.219)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{12}.$		(4.220)

4.6.1 Área de uma região plana

Do teorema de Green, temos as seguintes fórmulas para a área de uma região plana $R$ com fronteira $C$ :

	$\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}A=\iint_{R}dA=% \ointctrclockwise_{C}x\,dy=-\ointctrclockwise_{C}y\,dx$		(4.221)
	$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}=\frac{% 1}{2}\ointctrclockwise_{C}-y\,dx+x\,dy.$		(4.222)

Exemplo 4.6.2.

Vamos calcular a área da região $R$ delimitada pela elipse $C:x^{2}+4y^{2}=4$ .

Esta elipse pode ser parametrizada, no sentido anti-horário, por

\displaystyle\bm{r}(t)=2\cos(t)\bm{i}+\operatorname{sen}(t)\bm{j},

(4.223)

com $0\leq t\leq 2\pi$ . Assim, temos que

	$\displaystyle A=\ointctrclockwise_{C}x\,dy=\int_{0}^{2\pi}2\cos(t)\,d(% \operatorname{sen}(t))$		(4.224)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}2\cos^{2}(t)\,dt$		(4.225)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}(1+\cos(2t))\,dt=2\pi.$		(4.226)

4.6.2 Regiões multiplamente conexas

Uma região $R$ é dita ser multiplamente conexa se não for simplesmente conexa, i.e. se $R$ contiver buracos. O teorema de Green também é válido para regiões multiplamente conexas, mas a integral de linha deve ser calculada ao longo da fronteira de $R$ , que consiste em várias curvas fechadas. Mais especificamente, temos o seguinte resultado:

	$\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\iint_{R}\left(\frac{% \partial f_{2}}{\partial x}-\frac{\partial f_{1}}{\partial y}\right)dA=% \ointctrclockwise_{C_{1}}f_{1}(x,y)\,dx+f_{2}(x,y)\,dy$		(4.227)
	$\displaystyle\text{}\qquad\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}+% \ointclockwise_{C_{2}}f_{1}(x,y)\,dx+f_{2}(x,y)\,dy,$		(4.228)

onde, aqui, $R$ tem apenas um buraco, $C_{1}$ é a fronteira externa de $R$ e $C_{2}$ é a fronteira do buraco. Note que a integral de linha ao longo de $C_{2}$ é calculada no sentido horário.

Exemplo 4.6.3.

Vamos usar o teorema de Green para calcular a área da região $R$ delimitada pela elipse $C_{1}:9x^{2}+4y^{2}=36$ e pelo círculo $C_{2}:x^{2}+y^{2}=1$ .

A elipse $C_{1}$ pode ser parametrizada, no sentido anti-horário, por

\displaystyle\bm{r}_{1}(t)=2\cos(t)\bm{i}+3\operatorname{sen}(t)\bm{j},

(4.229)

com $0\leq t\leq 2\pi$ . O círculo $C_{2}$ pode ser parametrizado, no sentido horário, por

\displaystyle\bm{r}_{2}(t)=\cos(t)\bm{i}-\operatorname{sen}(t)\bm{j},

(4.230)

com $0\leq t\leq 2\pi$ . Assim, temos que

	$\displaystyle A=\ointctrclockwise_{C_{1}}x\,dy+\ointclockwise_{C_{2}}x\,dy$		(4.231)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{2\pi}2\cos(t)\,d(3\operatorname{sen}(t))+% \int_{0}^{2\pi}\cos(t)\,d(-\operatorname{sen}(t))$		(4.232)
	$\displaystyle\text{}\quad=6\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}(t)\,dt-\int_{0}^{2\pi}\cos^% {2}(t)\,dt$		(4.233)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{5}{2}\int_{0}^{2\pi}(1+\cos(2t))\,dt=5\pi.$		(4.234)

4.6.3 Exercícios

E. 4.6.1.

Use o teorema de Green para calcular

\displaystyle\ointctrclockwise_{C}(x^{2}-y)\,dx+(x+y^{2})\,dy,

onde $C$ é a fronteira do triângulo com vértices $(0,0)$ , $(2,0)$ e $(0,1)$ , percorrida nessa ordem.

$2$

E. 4.6.2.

Use o teorema de Green para calcular

\displaystyle\ointctrclockwise_{C}xy\,dx+(x^{2}+y)\,dy,

onde $C$ é a fronteira do retângulo $R=[0,2]\times[0,1]$ , orientada no sentido anti-horário.

$2$

E. 4.6.3.

Use uma das fórmulas (4.227)-(4.228) de área decorrente do teorema de Green para calcular a área da região delimitada pela elipse $4x^{2}+y^{2}=4$ .

$2\pi$

E. 4.6.4.

Seja $R$ a região anular $1\leq x^{2}+y^{2}\leq 4$ . Use o teorema de Green para calcular

\displaystyle\ointctrclockwise_{C_{1}}x\,dy+\ointclockwise_{C_{2}}x\,dy,

onde $C_{1}$ e $C_{2}$ são, respectivamente, as circunferências externa e interna de $R$ .

$3\pi$

E. 4.6.5.

Use o teorema de Green para calcular

\displaystyle\ointctrclockwise_{C}-y^{3}\,dx+x^{3}\,dy,

onde $C$ é a circunferência $x^{2}+y^{2}=4$ , orientada no sentido anti-horário.

$24\pi$

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Cálculo II

4.6 Teorema de Green

Teorema 4.6.1.(Teorema de Green)

Demonstração.

Exemplo 4.6.1.

4.6.1 Área de uma região plana

Exemplo 4.6.2.

4.6.2 Regiões multiplamente conexas

Exemplo 4.6.3.

4.6.3 Exercícios

E. 4.6.1.

E. 4.6.2.

E. 4.6.3.

E. 4.6.4.

E. 4.6.5.

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