Cálculo II

4 Cálculo vetorial 4.2 Cálculo de funções vetoriais 4.4 Integrais de linha

Ajude a manter o site livre, gratuito e sem propagandas. Colabore!

4.3 Campos vetoriais

Um campo vetorial é uma função que associa a cada ponto de uma região do espaço um único vetor. Em duas dimensões, temos que campos vetoriais são funções da forma

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\bm{F}(x,y)=f_{1}(x,y)\bm{i% }+f_{2}(x,y)\bm{j},

(4.59)

onde $f_{1}$ e $f_{2}$ são funções reais de duas variáveis. Em três dimensões, temos que campos vetoriais são funções da forma

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\bm{F}(x,y,z)=f_{1}(x,y,z)% \bm{i}+f_{2}(x,y,z)\bm{j}+f_{3}(x,y,z)\bm{k},

(4.60)

onde $f_{1}$ , $f_{2}$ e $f_{3}$ são funções reais de três variáveis.

Exemplo 4.3.1.

a)

$\bm{F}(x,y)=y\bm{i}-x\bm{j}$

Este campo vetorial é definido em todo o plano $x y$ e associa a cada ponto $(x,y)$ o vetor $(y,-x)$ . A Figura 4.5 mostra o gráfico deste campo vetorial.

Figura 4.5: Campo vetorial $\bm{F}(x,y)=y\bm{i}-x\bm{j}$ .
b)

$\bm{F}(x,y,z)=-y\bm{i}+x\bm{j}+z\bm{k}$

Este campo vetorial é definido em todo o espaço e associa a cada ponto $(x,y,z)$ o vetor $(-y,x,z)$ . A Figura 4.6 mostra o gráfico deste campo vetorial.

Figura 4.6: Campo vetorial $\bm{F}(x,y,z)=-y\bm{i}+x\bm{j}+z\bm{k}$ .

4.3.1 Campo gradiente

O campo gradiente de uma função real de duas ou três variáveis é o campo vetorial formado pelas derivadas parciais da função. Em duas dimensões, o campo gradiente de uma função $f(x,y)$ é

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\nabla f(x,y)=\frac{% \partial f}{\partial x}(x,y)\bm{i}+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\bm{j},

(4.61)

enquanto que em três dimensões, o campo gradiente de uma função $f(x,y,z)$ é

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\nabla f(x,y,z)=\frac{% \partial f}{\partial x}(x,y,z)\bm{i}+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)\bm{j% }+\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\bm{k}.

(4.62)

Exemplo 4.3.2.

O campo gradiente da função $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ é

\displaystyle\nabla f(x,y)=2x\bm{i}+2y\bm{j}.

(4.63)

A Figura 4.7 mostra o gráfico do campo gradiente $\nabla f(x,y)=2x\bm{i}+2y\bm{j}$ e as curvas de nível da função $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ . O gradiente é perpendicular à curva de nível nos pontos em que não se anula.

Refer to caption — Figura 4.7: Campo gradiente $\nabla f(x,y)=2x\bm{i}+2y\bm{j}$ e curvas de nível da função $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ .

4.3.2 Campos conservativos

Dizemos que um campo vetorial $\bm{F}$ é conservativo se for o campo gradiente de uma função real $\phi$ , i.e. se existir uma função $\phi$ tal que

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\bm{F}=\nabla\phi.

(4.64)

Quando existe, a função $\phi$ é chamada de função potencial do campo vetorial $\bm{F}$ .

Exemplo 4.3.3.(Campos de quadrado inverso)

Campos de quadrado inverso são campos vetoriais conservativos. Por exemplo, é conservativo o campo vetorial

\displaystyle\bm{F}(\bm{r})=\frac{c}{\|\bm{r}\|^{3}}\bm{r},

(4.65)

onde $c$ é uma constante, $\bm{r}=x\bm{i}+y\bm{j}$ é o vetor posição e $\bm{r}\neq\bm{0}$ . De fato, no domínio $\mathbb{R}^{2}\setminus\{\bm{0}\}$ , podemos escrever $\bm{F}(\bm{r})$ como o gradiente da função potencial

\displaystyle\phi(\bm{r})=-\frac{c}{\|\bm{r}\|}.

(4.66)

Verifique!

4.3.3 Divergente e rotacional

O divergente de um campo vetorial $\bm{F}(x,y,z)=f_{1}(x,y,z)\bm{i}+f_{2}(x,y,z)\bm{j}+f_{3}(x,y,z)\bm{k}$ é a função real definida por²²2O divergente de um campo vetorial $\bm{F}$ também é denotado por $\operatorname{div}\bm{F}$ .

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\nabla\cdot\bm{F}(x,y,z)=% \frac{\partial f_{1}}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial f_{2}}{\partial y}(x,y% ,z)+\frac{\partial f_{3}}{\partial z}(x,y,z).

(4.67)

Notemos que $\nabla$ define o operador diferencial

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\nabla=\frac{\partial}{% \partial x}\bm{i}+\frac{\partial}{\partial y}\bm{j}+\frac{\partial}{\partial z% }\bm{k}.

(4.68)

Com isso, o divergente de um campo vetorial $\bm{F}$ é o produto escalar do operador $\nabla$ com o campo vetorial $\bm{F}$ .

O rotacional de um campo vetorial $\bm{F}(x,y,z)=f_{1}(x,y,z)\bm{i}+f_{2}(x,y,z)\bm{j}+f_{3}(x,y,z)\bm{k}$ é o campo vetorial definido por³³3O rotacional de um campo vetorial $\bm{F}$ também é denotado por $\operatorname{rot}\bm{F}$ .

	$\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\nabla\times\bm{F}=\begin{% bmatrix}\bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{% \partial z}\\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}$		(4.69)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\frac{\partial f_{3}}{\partial y}-\frac{% \partial f_{2}}{\partial z}\right)\bm{i}+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial z% }-\frac{\partial f_{3}}{\partial x}\right)\bm{j}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x}-\frac{% \partial f_{1}}{\partial y}\right)\bm{k}.$		(4.70)

Exemplo 4.3.4.

Vamos calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial

\displaystyle\bm{F}(x,y,z)=xy^{2}\bm{i}+2yz\bm{j}-xz^{2}\bm{k}.

(4.71)

O divergente de $\bm{F}$ é

	$\displaystyle\nabla\cdot\bm{F}=\frac{\partial}{\partial x}(xy^{2})+\frac{% \partial}{\partial y}(2yz)+\frac{\partial}{\partial z}(-xz^{2})$		(4.72)
	$\displaystyle\text{}\quad=y^{2}+2z-2xz.$		(4.73)

O rotacional de $\bm{F}$ é

	$\displaystyle\nabla\times\bm{F}=\begin{bmatrix}\bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{% \partial z}\\ xy^{2}&2yz&-xz^{2}\end{bmatrix}$		(4.74)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\frac{\partial}{\partial y}(-xz^{2})-\frac{% \partial}{\partial z}(2yz)\right)\bm{i}+\left(\frac{\partial}{\partial z}(xy^{% 2})-\frac{\partial}{\partial x}(-xz^{2})\right)\bm{j}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\left(\frac{\partial}{\partial x}(2yz)-\frac{% \partial}{\partial y}(xy^{2})\right)\bm{k}$		(4.75)
	$\displaystyle\text{}\quad=(0-2y)\bm{i}+(0-(-z^{2}))\bm{j}+(0-2xy)\bm{k}$		(4.76)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2y\bm{i}+z^{2}\bm{j}-2xy\bm{k}.$		(4.77)

4.3.4 Laplaciano

O operador laplaciano⁴⁴4Pierre-Simon Laplace, 1749 - 1827, matemático francês. Fonte: Wikipédia: Pierre-Simon Laplace. é definido como o divergente do gradiente de uma função real $f(x,y,z)$ , i.e.

	$\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\nabla^{2}f=\nabla\cdot(% \nabla f)$		(4.78)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^% {2}f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}.$		(4.79)

Exemplo 4.3.5.

Vamos calcular o laplaciano da função $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ . Temos que

	$\displaystyle\nabla f=2x\bm{i}+2y\bm{j}+2z\bm{k},$		(4.80)
	$\displaystyle\nabla^{2}f=\nabla\cdot(\nabla f)$		(4.81)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial}{\partial x}(2x)+\frac{\partial}{% \partial y}(2y)+\frac{\partial}{\partial z}(2z)=6.$		(4.82)

4.3.5 Exercícios

E. 4.3.1.

Determine o campo gradiente da função

\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x.

(4.83)

$\nabla f(x,y,z)=(2xy+z^{2})\bm{i}+(x^{2}+2yz)\bm{j}+(y^{2}+2zx)\bm{k}$

E. 4.3.2.

Mostre que o campo vetorial

\displaystyle\bm{F}(x,y,z)=(2xy+z)\bm{i}+(x^{2}+2y)\bm{j}+x\bm{k}

(4.84)

é conservativo e determine uma função potencial.

O campo é conservativo, pois $\bm{F}=\nabla\phi$ para $\phi(x,y,z)=x^{2}y+xz+y^{2}+C$ , onde $C$ é uma constante.

E. 4.3.3.

Calcule o divergente do campo vetorial

\displaystyle\bm{F}(x,y,z)=x^{2}y\bm{i}+yz^{2}\bm{j}+xz\bm{k}.

(4.85)

$\nabla\cdot\bm{F}=2xy+z^{2}+x$

E. 4.3.4.

Calcule o rotacional do campo vetorial

\displaystyle\bm{F}(x,y,z)=y^{2}z\bm{i}+xz^{2}\bm{j}+x^{2}y\bm{k}.

(4.86)

$\nabla\times\bm{F}=(x^{2}-2xz)\bm{i}+(y^{2}-2xy)\bm{j}+(z^{2}-2yz)\bm{k}$

E. 4.3.5.

Calcule o laplaciano da função

\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x.

(4.87)

$\nabla^{2}f=2y+2z+2x$

Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Política de uso de dados