Cálculo I

3 Derivadas 3.4 Derivada de função exponencial e logarítmica 3.6 Derivadas de funções trigonométricas

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3.5 Regras básicas de derivação

3.5.1 Regras da multiplicação por constante e da soma

Sejam $k$ um número real, $u=u(x)$ e $v=v(x)$ funções deriváveis. Temos as seguintes regras básicas de derivação:

•

$\boldsymbol{(k\cdot u)^{\prime}=k\cdot u^{\prime}}$ .

De fato, pela definição da derivada temos

$\displaystyle(k\cdot u)^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{k\cdot u(x+h)-k\cdot u(% x)}{h}$ (3.243)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}k\cdot\left(\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\right)$ (3.244)

$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot\lim_{h\to 0}\cancelto{u^{\prime}}{\frac{u(x+h% )-u(x)}{h}}$ (3.245)

$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot u^{\prime}.$ (3.246)

Código 48: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Function, diff

2k = Symbol('k', real=True)

3u = Function('u', real=True)

4diff(k*u(x),x)

⬇

k*Derivative(u(x), x)

•

$\boldsymbol{(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}}$ .

De fato, temos

	$\displaystyle(u+v)^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(u+v)(x+h)-(u+v)(x)}{h}$		(3.247)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)+v(x+h)-[u(x)+v(x)]}{h}$		(3.248)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\left[\cancelto{u^{\prime}}{\frac{u(x+h% )-u(x)}{h}}\right.$		(3.249)
	$\displaystyle\text{}\qquad+\left.\cancelto{v^{\prime}}{\frac{v(x+h)-v(x)}{h}}\right]$		(3.250)
	$\displaystyle\text{}\quad=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x).$		(3.251)

Também, como $(-v)^{\prime}=(-1\cdot v)^{\prime}=-1\cdot v^{\prime}=-v^{\prime}$ , temos

	$\displaystyle(u-v)^{\prime}=[u+(-v)]^{\prime}$		(3.252)
	$\displaystyle\text{}\quad=u^{\prime}+(-v)^{\prime}$		(3.253)
	$\displaystyle\text{}\quad=u^{\prime}-v^{\prime}.$		(3.254)

Código 49: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Function, diff

2x = Symbol('x', real=True)

3u = Function('u', real=True)

4v = Function('v', real=True)

5diff(u(x)+v(x),x)

Derivative(u(x), x) + Derivative(v(x), x)

Exemplo 3.5.1.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$f(x)=2x$ .

Para calcularmos $f^{\prime}$ , podemos identificar $f=k\cdot u$ , com $k=2$ e $u(x)=x$ . Então, usando a regra da multiplicação por constante $(ku)^{\prime}=ku^{\prime}$ , temos

$f^{\prime}(x)=(2x)^{\prime}=2(x^{\prime})=2\cdot 1=2.$ (3.255)

Código 50: Python

⬇

1from sympy import diff

2from sympy.abc import x

3diff(2*x)

⬇

2
b)

$f(x)=2x+3$ .

Observamos que $f=u+v$ , com $u(x)=2x$ e $v(x)\equiv 3$ . Então, da regra da soma $(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}$ , temos

$f^{\prime}(x)=(2x+3)^{\prime}=(2x)^{\prime}+(3)^{\prime}=2+0=2.$ (3.256)
c)

$f(x)=e^{x}-x^{2}$ .

Observamos que $f=u-v$ , com $u(x)=e^{x}$ e $v(x)=x^{2}$ . Usando a regra da subtração $(u-v)^{\prime}=u^{\prime}-v^{\prime}$ temos

$f^{\prime}(x)=(e^{x}-x^{2})^{\prime}=(e^{x})^{\prime}-(x^{2})^{\prime}=e^{x}-2x.$ (3.257)

Código 51: Python

⬇

1from sympy import diff, exp

2from sympy.abc import x

3diff(exp(x)-x**2)

⬇

- 2*x + exp(x)

3.5.2 Regras do produto e do quociente

Sejam $y=u(x)$ e $y=v(x)$ funções deriváveis. Então:

•

$\boldsymbol{(u\cdot v)^{\prime}=u^{\prime}\cdot v+u\cdot v^{\prime}}$ .

De fato, da definição da derivada temos

	$\displaystyle(uv)^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(uv)(x+h)-(uv)(x)}{h}$		(3.258)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}$		(3.259)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\left[\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x+h)}{h}\right.$		(3.260)
	$\displaystyle\text{}\qquad+\left.\frac{u(x)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}\right]$		(3.261)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}v(v+h)$		(3.262)
	$\displaystyle\text{}\qquad+\lim_{h\to 0}u(x)\frac{v(x+h)-v(x)}{h}$		(3.263)
	$\displaystyle\text{}\quad=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x).$		(3.264)

Código 52: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Function, diff

2x = Symbol('x', real=True)

3u = Function('u', real=True)

4v = Function('v', real=True)

5diff(u(x)*v(x), x)

Derivative(u(x), x)*v(x) + u(x)*Derivative(v(x), x)

•

$\displaystyle\boldsymbol{\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-% uv^{\prime}}{v^{2}}}$ , no caso de $v(x)\neq 0$ .

De fato, da definição de derivada temos

	$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\left(% \frac{u}{v}\right)(x+h)-\left(\frac{u}{v}\right)(x)}{h}$		(3.265)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{v(x+% h)v(x)}}{h}$		(3.266)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\left[\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}\right.$		(3.267)
	$\displaystyle\text{}\qquad-\left.\frac{u(x)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}\right]\frac{1}{% v(x)v(x+h)}$		(3.268)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\lim_{h\to 0}\cancelto{u^{\prime}(x)v(x)}{% \frac{u(x+h)-u(x)}{h}v(x)}\right.$		(3.269)
	$\displaystyle\text{}\qquad\left.-\lim_{h\to 0}\cancelto{u(x)v^{\prime}(x)}{u(x% )\frac{v(x+h)-v(x)}{h}}\right]\lim_{h\to 0}\cancelto{\frac{1}{v^{2}(x)}}{\frac% {1}{v(x)v(x+h)}}$		(3.270)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}.$		(3.271)

Código 53: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Function, diff, simplify

2x = Symbol('x', real=True)

3u = Function('u', real=True)

4v = Function('v', real=True)

5simplify(diff(u(x)/v(x), x))

(-u(x)*Derivative(v(x), x) + v(x)*Derivative(u(x), x))/v(x)**2

Exemplo 3.5.2.

Vamos calcular a derivada em relação a $x$ da função $f(x)=x^{2}(x-1)$ de duas formas.

a)

Por expansão da expressão e utilização da regra da subtração.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=[x^{2}(x-1)]^{\prime}$ (3.272)

$\displaystyle\text{}\quad=(x^{3}-x^{2})^{\prime}$ (3.273)

$\displaystyle\text{}\quad=\overbrace{(x^{3})^{\prime}-(x^{2})^{\prime}}^{(u-v)% ^{\prime}=u^{\prime}-v^{\prime}}$ (3.274)

$\displaystyle\text{}\quad=3x^{2}-2x$ (3.275)
b)

Pela regra do produto.

Observamos que $f=u\cdot v$ , com $u(x)=x^{2}$ e $v(x)=x-1$ . Então, da regra do produto $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ , com $u^{\prime}(x)=2x$ e $v^{\prime}(x)=1$ , temos

$\displaystyle f^{\prime}(x)=[\overbrace{x^{2}}^{u}\overbrace{(x-1)}^{v}]^{\prime}$ (3.276)

$\displaystyle\text{}\quad=\overbrace{2x\cdot(x-1)}^{u^{\prime}\cdot v}+% \overbrace{x^{2}\cdot 1}^{u\cdot v^{\prime}}$ (3.277)

$\displaystyle\text{}\quad=2x^{2}-2x+x^{2}$ (3.278)

$\displaystyle\text{}\quad=3x^{2}-2x.$ (3.279)

Código 54: Python

⬇

1from sympy import diff, expand

2from sympy.abc import x

3expand(diff(x**2*(x-1)))

⬇

3*x**2 - 2*x

Exemplo 3.5.3.

Vamos calcular a derivada em relação a $x$ de $f(x)=xe^{x}$ . Usando a regra do produto $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ com $u(x)=x$ e $v(x)=e^{x}$ , temos

$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\overbrace{(xe^{x})^{\prime}}^{(uv)^{\prime}}$	(3.280)
	$\displaystyle=\overbrace{1\cdot e^{x}}^{u^{\prime}\cdot v}+\overbrace{x\cdot e% ^{x}}^{u\cdot v^{\prime}}$	(3.281)
	$\displaystyle=(x+1)e^{x}.$	(3.282)

Exemplo 3.5.4.

Vamos calcular a derivada em relação a $x$ de $f(x)=1/x^{2}$ para $x\neq 0$ . Observamos que $f=(u/v)$ com $u(x)\equiv 1$ e $v(x)=x^{2}$ . Tendo em vista que $u^{\prime}(x)\equiv 0$ e $v^{\prime}(x)=2x$ , temos da regra do quociente

\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}},

(3.283)

que

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{\prime}$		(3.284)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{0\cdot x^{2}-1\cdot 2x}{(x^{2})^{2}}$		(3.285)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{2x}{x^{4}}=-\frac{2}{x^{3}}$		(3.286)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2x^{-3}.$		(3.287)

Observação 3.5.1.(Derivada de potência inteira)

Com abuso de linguagem, temos

\boldsymbol{(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}},

(3.288)

com $n$ inteiro. No caso de $n=1$ , temos $(x)^{\prime}\equiv 1$ . No caso de $n<=0$ , devemos ter $x\neq 0$ ⁵⁵5Devido a indeterminação de $0^{0}$ e a inexistência de $0^{n}$ com $n$ negativo. Mais ainda, a regra também vale para $n=1/2$ (consulte o Exemplo 3.2.2).

Exemplo 3.5.5.

Voltando ao exemplo anterior (Exemplo 3.5.4), temos

\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{\prime}=\overbrace{(x^{-2})^{\prime}}^{(x^{n})^{% \prime}}=\overbrace{-2x^{-2-1}}^{nx^{n-1}}=-2x^{-3}.

(3.289)

Exemplo 3.5.6.

Vamos calcular a derivada em relação a $x$ de

f(x)=\frac{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}2-% x^{2}}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}x^{3}+% 1}.

(3.290)

Pela regra do quociente, com ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u(x)=2-x^{2}}$ e ${\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}v(x)=x^{3}+1}$ , temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(\frac{2-x^{2}}{x^{3}+1}\right)^{\prime}$		(3.291)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\overbrace{(-2x)(x^{3}+1)}^{u^{\prime}v}-% \overbrace{(2-x^{2})(3x^{2})}^{uv^{\prime}}}{\underbrace{(x^{3}+1)^{2}}_{v^{2}}}$		(3.292)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-2x^{4}-2x-6x^{2}+3x^{4}}{(x^{3}+1)^{2}}$		(3.293)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{4}-6x^{2}-2x}{(x^{3}+1)^{2}}.$		(3.294)

Código 55: Python

⬇

1from sympy import diff

2from sympy.abc import x

3diff((2 - x**2)/(x**3 + 1), x)

-3*x**2*(2 - x**2)/(x**3 + 1)**2 - 2*x/(x**3 + 1)

3.5.3 Lista de derivadas

	$\displaystyle(k\cdot u)^{\prime}=k\cdot u^{\prime}$		(3.295)
	$\displaystyle(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}$		(3.296)
	$\displaystyle(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$		(3.297)
	$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{% v^{2}}$		(3.298)
	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(3.299)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(3.300)
	$\displaystyle(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}$		(3.301)
	$\displaystyle(a^{x})^{\prime}=a^{x}\ln a$		(3.302)
	$\displaystyle(e^{x})^{\prime}=e^{x}$		(3.303)
	$\displaystyle(\log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}$		(3.304)
	$\displaystyle(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$		(3.305)

3.5.4 Exercícios resolvidos

ER 3.5.1.

Calcule a derivada em relação a $x$ da função

f(x)=(x^{2}+x)(1+x^{3})-2x^{2}.

(3.306)

Resolução.

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\underbrace{\left[(x^{2}+x)(1+x^{3})-2x^{2}\right]% ^{\prime}}_{(u-v)^{\prime}}$		(3.307)
	$\displaystyle\text{}\quad=\underbrace{\left[(x^{2}+x)(1+x^{3})\right]^{\prime}% }_{(uv)^{\prime}}-\underbrace{(2x^{2})^{\prime}}_{(ku)^{\prime}}$		(3.308)
	$\displaystyle\text{}\quad=\underbrace{(x^{2}+x)^{\prime}(1+x^{3})+(x^{2}+x)(1+% x^{3})^{\prime}}_{u^{\prime}v+uv^{\prime}}-\underbrace{2(x^{2})^{\prime}}_{ku^% {\prime}}$		(3.309)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2x+1)(1+x^{3})+(x^{2}+x)3x^{2}-4x$		(3.310)
	$\displaystyle\text{}\quad=2x+2x^{4}+1+x^{3}+3x^{4}+3x^{3}-4x$		(3.311)
	$\displaystyle\text{}\quad=5x^{4}+4x^{3}-2x+1.$		(3.312)

Código 56: Python

⬇

1from sympy import diff, simplify

2from sympy.abc import x

3d = diff((x**2+x)*(1+x**3)-2*x**2,x)

4simplify(d)

5*x**4 + 4*x**3 - 2*x + 1

ER 3.5.2.

Calcule

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{x^{2}+x}{1-x^{3}}\right).

(3.313)

Resolução.

Da regra de derivação do quociente, temos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{x^{2}+x}{1-x^{3}}\right% )=\frac{(x^{2}+x)^{\prime}(1-x^{3})-(x^{2}+x)(1-x^{3})^{\prime}}{(1-x^{3})^{2}}$		(3.314)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(2x+1)(1-x^{3})+(x^{2}+x)3x^{2}}{1-2x^{3}+x^{6}}$		(3.315)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2x-2x^{4}+1-x^{3}+3x^{4}+3x^{3}}{1-2x^{3}+x^{6}}$		(3.316)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{4}+2x^{3}+2x+1}{x^{6}-2x^{3}+1}$		(3.317)

Código 57: Python

⬇

1from sympy import diff, simplify

2from sympy.abc import x

3d = diff((x**2+x)/(1 - x**3), x)

4simplify(d)

(x**4 + 2*x**3 + 2*x + 1)/(x**6 - 2*x**3 + 1)

ER 3.5.3.

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=xe^{-x}$ no ponto $x=1$ .

Resolução.

A equação da reta tangente ao gráfico de uma função $f$ no ponto $x=x_{0}$ é

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).

(3.318)

No caso, temos $f(x)=xe^{-x}$ e $x_{0}=1$ . Calculamos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=[xe^{-x}]^{\prime}=\left[\frac{x}{e^{x}}\right]$		(3.319)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(x)^{\prime}e^{x}-x(e^{x})^{\prime}}{(e^{x})^{% 2}}$		(3.320)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e^{x}-xe^{x}}{e^{2x}}$		(3.321)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(1-x)e^{x}}{e^{2x}}$		(3.322)
	$\displaystyle\text{}\quad=(1-x)e^{x}e^{-2x}=(1-x)e^{-x}.$		(3.323)

Logo, a equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)$		(3.324)
	$\displaystyle y=0\cdot(x-1)+e^{-1}$		(3.325)
	$\displaystyle y=\frac{1}{e}.$		(3.326)

Na Figura 3.8, temos os gráficos da função $f$ e sua reta tangente no ponto $x=1$ .

Refer to caption — Figura 3.8: Reta tangente ao gráfico de $f(x)=xe^{-x}$ no ponto $x=1$ .

Código 58: Python

⬇

1from sympy import diff, exp

2from sympy.abc import x

3f = x*exp(-x)

4fl = diff(f,x)

5x0 = 1

6r_tg = lambda x: fl.subs(x,x0)*(x - x0) + f.subs(x,x0)

7print('y =', r_tg(x))

y = exp(-1)