Cálculo I

3 Derivadas 3.4 Derivada de função exponencial e logarítmica 3.6 Derivadas de funções trigonométricas

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3.5 Regras básicas de derivação

3.5.1 Regras da multiplicação por constante e da soma

Sejam $k$ um número real, $u=u(x)$ e $v=v(x)$ funções deriváveis. Temos as seguintes regras básicas de derivação:

•

$\bm{(k\cdot u)^{\prime}=k\cdot u^{\prime}}$ .

De fato, pela definição da derivada temos

$\displaystyle(k\cdot u)^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{k\cdot u(x+h)-k\cdot u(% x)}{h}$ (3.244)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}k\cdot\left(\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\right)$ (3.245)

$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot\lim_{h\to 0}\cancelto{u^{\prime}}{\frac{u(x+h% )-u(x)}{h}}$ (3.246)

$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot u^{\prime}.$ (3.247)

Código 48: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Function, diff

2k = Symbol('k', real=True)

3u = Function('u', real=True)

4diff(k*u(x),x)

⬇

k*Derivative(u(x), x)

•

$\bm{(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}}$ .

De fato, temos

	$\displaystyle(u+v)^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(u+v)(x+h)-(u+v)(x)}{h}$		(3.248)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)+v(x+h)-[u(x)+v(x)]}{h}$		(3.249)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\left[\cancelto{u^{\prime}}{\frac{u(x+h% )-u(x)}{h}}\right.$		(3.250)
	$\displaystyle\text{}\qquad+\left.\cancelto{v^{\prime}}{\frac{v(x+h)-v(x)}{h}}\right]$		(3.251)
	$\displaystyle\text{}\quad=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x).$		(3.252)

Também, como $(-v)^{\prime}=(-1\cdot v)^{\prime}=-1\cdot v^{\prime}=-v^{\prime}$ , temos

	$\displaystyle(u-v)^{\prime}=[u+(-v)]^{\prime}$		(3.253)
	$\displaystyle\text{}\quad=u^{\prime}+(-v)^{\prime}$		(3.254)
	$\displaystyle\text{}\quad=u^{\prime}-v^{\prime}.$		(3.255)

Código 49: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Function, diff

2x = Symbol('x', real=True)

3u = Function('u', real=True)

4v = Function('v', real=True)

5diff(u(x)+v(x),x)

Derivative(u(x), x) + Derivative(v(x), x)

Exemplo 3.5.1.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$f(x)=2x$ .

Para calcularmos $f^{\prime}$ , podemos identificar $f=k\cdot u$ , com $k=2$ e $u(x)=x$ . Então, usando a regra da multiplicação por constante $(ku)^{\prime}=ku^{\prime}$ , temos

$f^{\prime}(x)=(2x)^{\prime}=2(x^{\prime})=2\cdot 1=2.$ (3.256)

Código 50: Python

⬇

1from sympy import diff

2from sympy.abc import x

3diff(2*x)

⬇

2
b)

$f(x)=2x+3$ .

Observamos que $f=u+v$ , com $u(x)=2x$ e $v(x)\equiv 3$ . Então, da regra da soma $(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}$ , temos

$f^{\prime}(x)=(2x+3)^{\prime}=(2x)^{\prime}+(3)^{\prime}=2+0=2.$ (3.257)
c)

$f(x)=e^{x}-x^{2}$ .

Observamos que $f=u-v$ , com $u(x)=e^{x}$ e $v(x)=x^{2}$ . Usando a regra da subtração $(u-v)^{\prime}=u^{\prime}-v^{\prime}$ temos

$f^{\prime}(x)=(e^{x}-x^{2})^{\prime}=(e^{x})^{\prime}-(x^{2})^{\prime}=e^{x}-2x.$ (3.258)

Código 51: Python

⬇

1from sympy import diff, exp

2from sympy.abc import x

3diff(exp(x)-x**2)

⬇

- 2*x + exp(x)

3.5.2 Regras do produto e do quociente

Sejam $y=u(x)$ e $y=v(x)$ funções deriváveis. Então:

•

$\bm{(u\cdot v)^{\prime}=u^{\prime}\cdot v+u\cdot v^{\prime}}$ .

De fato, da definição da derivada temos

	$\displaystyle(uv)^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(uv)(x+h)-(uv)(x)}{h}$		(3.259)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}$		(3.260)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\left[\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x+h)}{h}\right.$		(3.261)
	$\displaystyle\text{}\qquad+\left.\frac{u(x)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}\right]$		(3.262)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}v(v+h)$		(3.263)
	$\displaystyle\text{}\qquad+\lim_{h\to 0}u(x)\frac{v(x+h)-v(x)}{h}$		(3.264)
	$\displaystyle\text{}\quad=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x).$		(3.265)

Código 52: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Function, diff

2x = Symbol('x', real=True)

3u = Function('u', real=True)

4v = Function('v', real=True)

5diff(u(x)*v(x), x)

Derivative(u(x), x)*v(x) + u(x)*Derivative(v(x), x)

•

$\displaystyle\bm{\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{% \prime}}{v^{2}}}$ , no caso de $v(x)\neq 0$ .

De fato, da definição de derivada temos

	$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\left(% \frac{u}{v}\right)(x+h)-\left(\frac{u}{v}\right)(x)}{h}$		(3.266)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{v(x+% h)v(x)}}{h}$		(3.267)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\left[\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}\right.$		(3.268)
	$\displaystyle\text{}\qquad-\left.\frac{u(x)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}\right]\frac{1}{% v(x)v(x+h)}$		(3.269)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\lim_{h\to 0}\cancelto{u^{\prime}(x)v(x)}{% \frac{u(x+h)-u(x)}{h}v(x)}\right.$		(3.270)
	$\displaystyle\text{}\qquad\left.-\lim_{h\to 0}\cancelto{u(x)v^{\prime}(x)}{u(x% )\frac{v(x+h)-v(x)}{h}}\right]\lim_{h\to 0}\cancelto{\frac{1}{v^{2}(x)}}{\frac% {1}{v(x)v(x+h)}}$		(3.271)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}.$		(3.272)

Código 53: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Function, diff, simplify

2x = Symbol('x', real=True)

3u = Function('u', real=True)

4v = Function('v', real=True)

5simplify(diff(u(x)/v(x), x))

(-u(x)*Derivative(v(x), x) + v(x)*Derivative(u(x), x))/v(x)**2

Exemplo 3.5.2.

Vamos calcular a derivada em relação a $x$ da função $f(x)=x^{2}(x-1)$ de duas formas.

a)

Por expansão da expressão e utilização da regra da subtração.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=[x^{2}(x-1)]^{\prime}$ (3.273)

$\displaystyle\text{}\quad=(x^{3}-x^{2})^{\prime}$ (3.274)

$\displaystyle\text{}\quad=\overbrace{(x^{3})^{\prime}-(x^{2})^{\prime}}^{(u-v)% ^{\prime}=u^{\prime}-v^{\prime}}$ (3.275)

$\displaystyle\text{}\quad=3x^{2}-2x$ (3.276)
b)

Pela regra do produto.

Observamos que $f=u\cdot v$ , com $u(x)=x^{2}$ e $v(x)=x-1$ . Então, da regra do produto $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ , com $u^{\prime}(x)=2x$ e $v^{\prime}(x)=1$ , temos

$\displaystyle f^{\prime}(x)=[\overbrace{x^{2}}^{u}\overbrace{(x-1)}^{v}]^{\prime}$ (3.277)

$\displaystyle\text{}\quad=\overbrace{2x\cdot(x-1)}^{u^{\prime}\cdot v}+% \overbrace{x^{2}\cdot 1}^{u\cdot v^{\prime}}$ (3.278)

$\displaystyle\text{}\quad=2x^{2}-2x+x^{2}$ (3.279)

$\displaystyle\text{}\quad=3x^{2}-2x.$ (3.280)

Código 54: Python

⬇

1from sympy import diff, expand

2from sympy.abc import x

3expand(diff(x**2*(x-1)))

⬇

3*x**2 - 2*x

Exemplo 3.5.3.

Vamos calcular a derivada em relação a $x$ de $f(x)=xe^{x}$ . Usando a regra do produto $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ com $u(x)=x$ e $v(x)=e^{x}$ , temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\overbrace{(xe^{x})^{\prime}}^{(uv)^{\prime}}$		(3.281)
	$\displaystyle\text{}\quad=\overbrace{1\cdot e^{x}}^{u^{\prime}\cdot v}+% \overbrace{x\cdot e^{x}}^{u\cdot v^{\prime}}$		(3.282)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x+1)e^{x}.$		(3.283)

Exemplo 3.5.4.

Vamos calcular a derivada em relação a $x$ de $f(x)=1/x^{2}$ para $x\neq 0$ . Observamos que $f=(u/v)$ com $u(x)\equiv 1$ e $v(x)=x^{2}$ . Tendo em vista que $u^{\prime}(x)\equiv 0$ e $v^{\prime}(x)=2x$ , temos da regra do quociente

\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}},

(3.284)

que

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{\prime}$		(3.285)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{0\cdot x^{2}-1\cdot 2x}{(x^{2})^{2}}$		(3.286)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{2x}{x^{4}}=-\frac{2}{x^{3}}$		(3.287)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2x^{-3}.$		(3.288)

Observação 3.5.1.(Derivada de potência inteira)

Com abuso de linguagem, temos

\bm{(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}},

(3.289)

com $n$ inteiro. No caso de $n=1$ , temos $(x)^{\prime}\equiv 1$ . No caso de $n<=0$ , devemos ter $x\neq 0$ ⁵⁵5Devido a indeterminação de $0^{0}$ e a inexistência de $0^{n}$ com $n$ negativo. Mais ainda, a regra também vale para $n=1/2$ (consulte o Exemplo 3.2.2).

Exemplo 3.5.5.

Voltando ao exemplo anterior (Exemplo 3.5.4), temos

\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{\prime}=\overbrace{(x^{-2})^{\prime}}^{(x^{n})^{% \prime}}=\overbrace{-2x^{-2-1}}^{nx^{n-1}}=-2x^{-3}.

(3.290)

Exemplo 3.5.6.

Vamos calcular a derivada em relação a $x$ de

f(x)=\frac{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}2-% x^{2}}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}x^{3}+% 1}.

(3.291)

Pela regra do quociente, com ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u(x)=2-x^{2}}$ e ${\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}v(x)=x^{3}+1}$ , temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(\frac{2-x^{2}}{x^{3}+1}\right)^{\prime}$		(3.292)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\overbrace{(-2x)(x^{3}+1)}^{u^{\prime}v}-% \overbrace{(2-x^{2})(3x^{2})}^{uv^{\prime}}}{\underbrace{(x^{3}+1)^{2}}_{v^{2}}}$		(3.293)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-2x^{4}-2x-6x^{2}+3x^{4}}{(x^{3}+1)^{2}}$		(3.294)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{4}-6x^{2}-2x}{(x^{3}+1)^{2}}.$		(3.295)

Código 55: Python

⬇

1from sympy import diff

2from sympy.abc import x

3diff((2 - x**2)/(x**3 + 1), x)

-3*x**2*(2 - x**2)/(x**3 + 1)**2 - 2*x/(x**3 + 1)

3.5.3 Lista de derivadas

	$\displaystyle(k\cdot u)^{\prime}=k\cdot u^{\prime}$		(3.296)
	$\displaystyle(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}$		(3.297)
	$\displaystyle(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$		(3.298)
	$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{% v^{2}}$		(3.299)
	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(3.300)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(3.301)
	$\displaystyle(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}$		(3.302)
	$\displaystyle(a^{x})^{\prime}=a^{x}\ln a$		(3.303)
	$\displaystyle(e^{x})^{\prime}=e^{x}$		(3.304)
	$\displaystyle(\log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}$		(3.305)
	$\displaystyle(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$		(3.306)

3.5.4 Exercícios resolvidos

ER 3.5.1.

Calcule a derivada em relação a $x$ da função

f(x)=(x^{2}+x)(1+x^{3})-2x^{2}.

(3.307)

Resolução.

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\underbrace{\left[(x^{2}+x)(1+x^{3})-2x^{2}\right]% ^{\prime}}_{(u-v)^{\prime}}$		(3.308)
	$\displaystyle\text{}\quad=\underbrace{\left[(x^{2}+x)(1+x^{3})\right]^{\prime}% }_{(uv)^{\prime}}-\underbrace{(2x^{2})^{\prime}}_{(ku)^{\prime}}$		(3.309)
	$\displaystyle\text{}\quad=\underbrace{(x^{2}+x)^{\prime}(1+x^{3})+(x^{2}+x)(1+% x^{3})^{\prime}}_{u^{\prime}v+uv^{\prime}}-\underbrace{2(x^{2})^{\prime}}_{ku^% {\prime}}$		(3.310)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2x+1)(1+x^{3})+(x^{2}+x)3x^{2}-4x$		(3.311)
	$\displaystyle\text{}\quad=2x+2x^{4}+1+x^{3}+3x^{4}+3x^{3}-4x$		(3.312)
	$\displaystyle\text{}\quad=5x^{4}+4x^{3}-2x+1.$		(3.313)

Código 56: Python

⬇

1from sympy import diff, simplify

2from sympy.abc import x

3d = diff((x**2+x)*(1+x**3)-2*x**2,x)

4simplify(d)

5*x**4 + 4*x**3 - 2*x + 1

ER 3.5.2.

Calcule

\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}+x}{1-x^{3}}\right).

(3.314)

Resolução.

Da regra de derivação do quociente, temos

	$\displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}+x}{1-x^{3}}\right)=\frac{(x^{2}+x)^% {\prime}(1-x^{3})-(x^{2}+x)(1-x^{3})^{\prime}}{(1-x^{3})^{2}}$		(3.315)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(2x+1)(1-x^{3})+(x^{2}+x)3x^{2}}{1-2x^{3}+x^{6}}$		(3.316)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2x-2x^{4}+1-x^{3}+3x^{4}+3x^{3}}{1-2x^{3}+x^{6}}$		(3.317)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{4}+2x^{3}+2x+1}{x^{6}-2x^{3}+1}$		(3.318)

Código 57: Python

⬇

1from sympy import diff, simplify

2from sympy.abc import x

3d = diff((x**2+x)/(1 - x**3), x)

4simplify(d)

(x**4 + 2*x**3 + 2*x + 1)/(x**6 - 2*x**3 + 1)

ER 3.5.3.

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=xe^{-x}$ no ponto $x=1$ .

Resolução.

A equação da reta tangente ao gráfico de uma função $f$ no ponto $x=x_{0}$ é

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).

(3.319)

No caso, temos $f(x)=xe^{-x}$ e $x_{0}=1$ . Calculamos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=[xe^{-x}]^{\prime}=\left[\frac{x}{e^{x}}\right]$		(3.320)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(x)^{\prime}e^{x}-x(e^{x})^{\prime}}{(e^{x})^{% 2}}$		(3.321)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e^{x}-xe^{x}}{e^{2x}}$		(3.322)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(1-x)e^{x}}{e^{2x}}$		(3.323)
	$\displaystyle\text{}\quad=(1-x)e^{x}e^{-2x}=(1-x)e^{-x}.$		(3.324)

Logo, a equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)$		(3.325)
	$\displaystyle y=0\cdot(x-1)+e^{-1}$		(3.326)
	$\displaystyle y=\frac{1}{e}.$		(3.327)

Na Figura 3.8, temos os gráficos da função $f$ e sua reta tangente no ponto $x=1$ .

Refer to caption — Figura 3.8: Reta tangente ao gráfico de $f(x)=xe^{-x}$ no ponto $x=1$ .

Código 58: Python

⬇

1from sympy import diff, exp

2from sympy.abc import x

3f = x*exp(-x)

4fl = diff(f,x)

5x0 = 1

6r_tg = lambda x: fl.subs(x,x0)*(x - x0) + f.subs(x,x0)

7print('y =', r_tg(x))

y = exp(-1)

3.5.5 Exercícios

E. 3.5.1.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções:

a)

$\displaystyle f(x)=5x^{3}$
b)

$\displaystyle g(x)=2e^{x}$
c)

$\displaystyle h(x)=\log 2x$
d)

$\displaystyle i(x)=\ln x^{2}$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=15x^{2}$ ; b) $\displaystyle g^{\prime}(x)=2e^{x}$ ; c) $\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{\log 2}{x\log 10}$ ; d) $\displaystyle i^{\prime}(x)=\frac{2}{x}$

E. 3.5.2.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções:

a)

$\displaystyle f(x)=2-5x^{3}$
b)

$\displaystyle g(x)=x^{4}-x^{2}+3x-1$
c)

$\displaystyle h(x)=3\cdot 2^{x}-\log_{2}x$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=-15x^{2}$ ; b) $\displaystyle g^{\prime}(x)=4x^{3}-2x+3$ ; c) $\displaystyle h^{\prime}(x)=3\cdot 2^{x}\ln 2-\frac{1}{x\cdot\ln 2}$

E. 3.5.3.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções:

a)

$\displaystyle f(x)=(2x-1)(x^{2}-3x+1)$
b)

$\displaystyle g(x)=x\sqrt{x}$
c)

$\displaystyle h(x)=xe^{x}$
d)

$\displaystyle i(x)=e^{x}\ln x$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=6x^{2}-14x+5$ ; b) $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}$ ; c) $\displaystyle h^{\prime}(x)=(x+1)e^{x}$ ; d) $\displaystyle i^{\prime}(x)=e^{x}\ln x+\frac{e^{x}}{x}$

E. 3.5.4.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções:

a)

$\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}$
b)

$\displaystyle g(x)=\frac{x+1}{x-3}$
c)

$\displaystyle h(x)=\frac{x^{2}-1}{e^{x}}$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=1$ ; b) $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{-4}{(x-3)^{2}}$ ; c) $\displaystyle h^{\prime}(x)=(1+2x-x^{2})e^{-x}$

E. 3.5.5.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções:

a)

$\displaystyle f(x)=x^{2}e^{x}-\sqrt{x}$
b)

$\displaystyle g(x)=x\ln x-\frac{x-2}{x^{2}-x}$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=(x^{2}+2x)e^{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ; b) $\displaystyle g^{\prime}(x)=\ln x+1-\frac{x^{2}-x-(x-2)(2x-1)}{(x^{2}-x)^{2}}$

E. 3.5.6.

Calucle a derivada em relação a $x$ das seguintes funções:

a)

$f(x)=2xe^{x}$
b)

$g(x)=\sqrt{x}e^{x}\ln x$

a) $f^{\prime}(x)=(2x+2)e^{x}$ ; b) $g^{\prime}(x)=\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)e^{x}\ln x+\sqrt{x}e^{x% }\frac{1}{x}$

E. 3.5.7.

Mostre que $(uvw)^{\prime}=u^{\prime}vw+uv^{\prime}w+uvw^{\prime}$ .

$(uvw)^{\prime}=[u(vw)]^{\prime}=u^{\prime}(vw)+u(vw^{\prime})=u^{\prime}vw+uv^% {\prime}w+uvw^{\prime}$ .

E. 3.5.8.

Calcule a derivada em relação a $x$ da função

f(x)=\frac{\displaystyle\frac{x^{2}+1}{1+x^{3}}}{2x^{2}}.

(3.328)

$f^{\prime}(x)=\frac{-3x^{5}-5x^{3}-2}{2x^{3}(x^{6}+2x^{3}+1)}$ .

E. 3.5.9.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções:

a)

$f(x)=xe^{2x}$
b)

$g(x)=xe^{-2x}$

a) $f^{\prime}(x)=(1+2x)e^{2x}$ ; b) $g^{\prime}(x)=(1-2x)e^{-2x}$

E. 3.5.10.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções:

a)

$f(x)=x\ln x^{2}$
b)

$g(x)=x\ln(x^{2}e^{x})$

a) $f^{\prime}(x)=\ln x^{2}+2$ ; b) $g^{\prime}(x)=2+2x+\ln x^{2}$

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Cálculo I

3.5 Regras básicas de derivação

3.5.1 Regras da multiplicação por constante e da soma

Exemplo 3.5.1.

3.5.2 Regras do produto e do quociente

Exemplo 3.5.2.

Exemplo 3.5.3.

Exemplo 3.5.4.

Observação 3.5.1.(Derivada de potência inteira)

Exemplo 3.5.5.

Exemplo 3.5.6.

3.5.3 Lista de derivadas

3.5.4 Exercícios resolvidos

ER 3.5.1.

Resolução.

ER 3.5.2.

Resolução.

ER 3.5.3.

Resolução.

3.5.5 Exercícios

E. 3.5.1.

E. 3.5.2.

E. 3.5.3.

E. 3.5.4.

E. 3.5.5.

E. 3.5.6.

E. 3.5.7.

E. 3.5.8.

E. 3.5.9.

E. 3.5.10.

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	$\displaystyle(k\cdot u)^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{k\cdot u(x+h)-k\cdot u(% x)}{h}$		(3.244)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}k\cdot\left(\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\right)$		(3.245)
	$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot\lim_{h\to 0}\cancelto{u^{\prime}}{\frac{u(x+h% )-u(x)}{h}}$		(3.246)
	$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot u^{\prime}.$		(3.247)

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=[x^{2}(x-1)]^{\prime}$		(3.273)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x^{3}-x^{2})^{\prime}$		(3.274)
	$\displaystyle\text{}\quad=\overbrace{(x^{3})^{\prime}-(x^{2})^{\prime}}^{(u-v)% ^{\prime}=u^{\prime}-v^{\prime}}$		(3.275)
	$\displaystyle\text{}\quad=3x^{2}-2x$		(3.276)

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=[\overbrace{x^{2}}^{u}\overbrace{(x-1)}^{v}]^{\prime}$		(3.277)
	$\displaystyle\text{}\quad=\overbrace{2x\cdot(x-1)}^{u^{\prime}\cdot v}+% \overbrace{x^{2}\cdot 1}^{u\cdot v^{\prime}}$		(3.278)
	$\displaystyle\text{}\quad=2x^{2}-2x+x^{2}$		(3.279)
	$\displaystyle\text{}\quad=3x^{2}-2x.$		(3.280)