Vetores

3 Produtos 3.5 Propriedades do produto vetorial Referências

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3.6 Produto misto

O produto misto de três vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ , nesta ordem, é definido por

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}[\vec{u},% \vec{v},\vec{w}]:=\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}}.

(3.271)

Em coordenadas, temos

	$\displaystyle[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]:=(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}$		(3.272)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}\cdot\vec{w}$		(3.273)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\ v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}\vec{i}\right.$
	$\displaystyle\text{}\qquad-\begin{vmatrix}u_{1}&u_{3}\\ v_{1}&v_{3}\end{vmatrix}\vec{j}$
	$\displaystyle\text{}\qquad\left.+\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\ v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}\vec{k}\right)\cdot(w_{1},w_{2},w_{3})$		(3.274)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\ v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}w_{1}$
	$\displaystyle\text{}\qquad-\begin{vmatrix}u_{1}&u_{3}\\ v_{1}&v_{3}\end{vmatrix}w_{2}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\ v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}w_{3}$		(3.275)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{vmatrix}w_{1}&w_{2}&w_{3}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}$		(3.276)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\ w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}$		(3.277)

Ou seja, temos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}[\vec{u},% \vec{v},\vec{w}]=\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\ w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}}

(3.278)

Exemplo 3.6.1.

Dados os vetores $\vec{u}=(1,-1,0)$ , $\vec{v}=(1,0,2)$ e $\vec{w}=(1,-1,1)$ , temos

	$\displaystyle[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\ w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}$		(3.279)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{vmatrix}1&-1&0\\ 1&0&2\\ 1&-1&1\end{vmatrix}$		(3.280)
	$\displaystyle\text{}\quad=1$		(3.281)

3.6.1 Interpretação geométrica

Seja $({\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\vec{u}},{\color[rgb]{1,0.4921875,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0.4921875,0}\vec{v}},{\color[rgb]{% 0,0.640625,0.10546875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0.640625,0.10546875}\vec{w}})$ uma sequência de vetores l.i. e com orientação positiva. Assumindo as representações ${\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\vec{u}=\overrightarrow{AB}}$ , ${\color[rgb]{1,0.4921875,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0.4921875,0}\vec{v}=\overrightarrow{AD}}$ e ${\color[rgb]{0,0.640625,0.10546875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0.640625,0.10546875}\vec{w}=\overrightarrow{AH}}$ temos a determinação de um paralelepípedo (consultemos a Figura 3.6).

Refer to caption — Figura 3.6: Interpretação geométrica do produto misto como o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ${\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\vec{u}}$ , ${\color[rgb]{1,0.4921875,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0.4921875,0}\vec{v}}$ e ${\color[rgb]{0,0.640625,0.10546875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0.640625,0.10546875}\vec{w}}$ .

A base do paralelepípedo é o paralelogramo $A B C D$ de área $\|\vec{u}\times\vec{v}\|$ . Assim sendo, o volume do paralelepípedo é

V=\|\vec{u}\times\vec{v}\|\cdot h,

(3.282)

onde $h$ é a altura do prisma. Por sua vez,

	$\displaystyle h=\left\\|\operatorname{proj}_{\vec{u}\times\vec{v}}\vec{w}\right\\|$		(3.283)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left\\|\frac{\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})}{\\|% \vec{u}\times\vec{v}\\|^{2}}\vec{u}\times\vec{v}\right\\|$		(3.284)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\left\|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\right% \|}{\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|^{2}}\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|$		(3.285)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\left\|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\right% \|}{\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|}$		(3.286)

Logo, retornando a (3.282), obtemos

	$\displaystyle V=\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|\cdot h$		(3.287)
	$\displaystyle\text{}\quad=\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|\cdot\frac{\left\|\vec{w}% \cdot(\vec{u}\times\vec{v})\right\|}{\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|}$		(3.288)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left\|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\right\|$		(3.289)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left\|\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}\right\|.$		(3.290)

Ou seja, o volume do paralelepípedo formado pelos vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ é igual a norma do produto misto destes vetores, i.e.

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% V=\left|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\right|.

(3.291)

Exemplo 3.6.2.

Vamos calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores $\vec{u}=(1,1,0)$ , $\vec{v}=(-1,2,0)$ e $\vec{w}=(0,1,1)$ . De (3.291), temos

	$\displaystyle V=\left\|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\right\|$		(3.292)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left\|\begin{vmatrix}1&1&0\\ -1&2&0\\ 0&1&1\end{vmatrix}\right\|$		(3.293)
	$\displaystyle\text{}\quad=\|3\|=3.$		(3.294)

3.6.2 Propriedades

Valem as seguintes propriedades:

a)

Comutando os dois primeiros fatores

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-[\vec{v},\vec{u},\vec{w}]$ (3.295)

Dem. De fato, quando permutamos duas linhas em uma matriz, seu determinante troca de sinal.
b)

Comutando os dois últimos fatores

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-[\vec{u},\vec{w},\vec{v}]$ (3.296)

Dem. Mesmo argumento da letra a).
c)

Permutação cíclica

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{w},\vec{u},\vec{v}]$ (3.297)

$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}=[\vec{v},\vec{w},\vec{u}]$ (3.298)

Dem. De fato, cada caso acima corresponde a duas consecutivas permutações de linha na matriz associada ao produto misto.
d)

Comutação dos produtos

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}$ (3.299)

$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}=\vec{u}\cdot\vec{v}\times\vec{w}$ (3.300)

Dem. Isto segue de c), i.e.

$\displaystyle[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{v},\vec{w},\vec{u}]$ (3.301)

$\displaystyle\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{v}\times\vec{w}\cdot\vec{u}$ (3.302)

$\displaystyle\text{}\quad=\vec{u}\cdot\vec{v}\times\vec{w}.$ (3.303)
e)

Associatividade da multiplicação por escalar

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% [\alpha\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\alpha\vec{v},\vec{w}]$ (3.304)

$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}=[\vec{u},\vec{v},\alpha\vec{w}]$ (3.305)

$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}=\alpha[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ (3.306)

Dem. De fato, ao multiplicarmos uma linha de uma matriz por um escalar $\alpha$ , seu determinante fica multiplicado por $\alpha$ .
f)

Distributividade

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% [\vec{u}+\vec{z},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{z},\vec{v},% \vec{w}]$ (3.307)

Dem. Também segue da propriedade análoga do determinante de matrizes.

Exemplo 3.6.3.

Sabendo que $[\vec{u},2\vec{w},\vec{v}]=2$ , vamos calcular $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ . Do item e) acima, temos

	$\displaystyle 2=[\vec{u},2\vec{w},\vec{v}]$		(3.308)
	$\displaystyle\text{}\quad=2[\vec{u},\vec{w},\vec{v}],$		(3.309)

donde

[\vec{u},\vec{w},\vec{v}]=1.

(3.310)

Agora, do item b), temos

[\vec{u},\vec{w},\vec{v}]=-[\vec{u},\vec{v},\vec{w}].

(3.311)

Ou seja, concluímos que $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-1$ .

Também, temos as seguintes propriedades envolvendo o produto misto:

a)

Se ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}[\vec{u},% \vec{v},\vec{w}]=0}$ , então ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\vec{u},% \vec{v},\vec{w})}$ não é base.

Dem. Seja $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0$ , i.e. $\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}=0$ . No caso de um dos vetores ser nulo, então $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ não é base. Suponhamos, então, que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são vetores não nulos. Isso implica que $\vec{u}\times\vec{v}=0$ ou $(\vec{u}\times\vec{v})\perp\vec{w}$ . No primeiro caso, $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.d. e, portanto, $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ não é base. No segundo caso, $(\vec{u}\times\vec{v})\perp\vec{w}$ , temos que $\vec{w}$ é coplanar aos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , logo $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ não é base.
b)

Se ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}[\vec{u},% \vec{v},\vec{w}]>0}$ , então ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\vec{u},% \vec{v},\vec{w})}$ é uma base positiva.

Dem. Se $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]>0$ , implica que o ângulo entre $\vec{u}\times\vec{v}$ e $\vec{w}$ é agudo, o que garante que $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ seja uma base positiva.
c)

Se ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}[\vec{u},% \vec{v},\vec{w}]<0}$ , então ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\vec{u},% \vec{v},\vec{w})}$ é uma base negativa.

Dem. Se $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]<0$ , implica que o ângulo entre $\vec{u}\times\vec{v}$ e $\vec{w}$ é obtuso, o que garante que $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ seja uma base negativa.

3.6.3 Exercícios resolvidos

ER 3.6.1.

Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores $\vec{v}=(1,0,-2)$ , $\vec{w}=(1,-2,1)$ e $\vec{u}=(0,2,1)$ .

Resolução.

Da Subseção 3.6.1, temos que o volume do paralelepípedo é

V=|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|,

(3.312)

não importando a ordem dos vetores⁸⁸8A ordem dos vetores não altera o módulo do valor do produto misto.. Assim sendo, temos

	$\displaystyle V=\|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\|$		(3.313)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left\|\begin{vmatrix}0&2&1\\ 1&0&-2\\ 1&-2&1\end{vmatrix}\right\|$		(3.314)
	$\displaystyle\text{}\quad=\|-8\|=8.$		(3.315)

ER 3.6.2.

Sejam $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ vetores dados. Verifique a seguinte afirmação:

[\vec{u},\vec{v}+\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}],

(3.316)

onde $\alpha$ e $\beta$ são quaisquer escalares.

Resolução.

Das propriedades do produto misto⁹⁹9 $[\vec{u},\vec{v}+\vec{z},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{u},\vec{z},% \vec{w}]$ ., temos

	$\displaystyle[\vec{u},\vec{v}+\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},\vec{w}]$
	$\displaystyle\text{}\quad=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{u},\alpha\vec{u}+% \beta\vec{w},\vec{w}].$		(3.317)

Agora, observamos que $\alpha\vec{u}+\beta\vec{w}$ é combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{w}$ , logo $(\vec{u},\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},\vec{w})$ é l.d. e, portanto,

[\vec{u},\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},\vec{w}]=0.

(3.318)

Concluímos que

[\vec{u},\vec{v}+\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}].

(3.319)

3.6.4 Exercícios

E. 3.6.1.

Calcule $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ sendo $\vec{u}=(-1,0,1)$ , $\vec{v}=(1,3,0)$ e $\vec{w}=(1,-2,-1)$ .

-2

E. 3.6.2.

Sejam $\vec{a}=(0,0,2)$ , $\vec{d}=(-1,1,1)$ e $\vec{e}=(1,1,1)$ . Calcule $[\vec{d},\vec{a},\vec{e}]$ .

$4$

E. 3.6.3.

Sendo $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=2$ , calcule $[2\vec{u},-3\vec{v},\vec{w}]$ .

$-12$

E. 3.6.4.

Sendo $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=2$ , calcule $[2\vec{u}-5\vec{w},-3\vec{v},\vec{w}]$ .

$-12$

E. 3.6.5.

Sejam $\vec{u}=(0,x,2)$ , $\vec{v}=(-1,1,1)$ e $\vec{w}=(1,1,1)$ . Calcule $x$ de forma que $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=2$ .

$3$

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Vetores

3.6 Produto misto

Exemplo 3.6.1.

3.6.1 Interpretação geométrica

Exemplo 3.6.2.

3.6.2 Propriedades

Exemplo 3.6.3.

3.6.3 Exercícios resolvidos

ER 3.6.1.

Resolução.

ER 3.6.2.

Resolução.

3.6.4 Exercícios

E. 3.6.1.

E. 3.6.2.

E. 3.6.3.

E. 3.6.4.

E. 3.6.5.

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	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{w},\vec{u},\vec{v}]$		(3.297)
	$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}=[\vec{v},\vec{w},\vec{u}]$		(3.298)

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}$		(3.299)
	$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}=\vec{u}\cdot\vec{v}\times\vec{w}$		(3.300)

	$\displaystyle[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{v},\vec{w},\vec{u}]$		(3.301)
	$\displaystyle\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{v}\times\vec{w}\cdot\vec{u}$		(3.302)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{u}\cdot\vec{v}\times\vec{w}.$		(3.303)

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% [\alpha\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\alpha\vec{v},\vec{w}]$		(3.304)
	$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}=[\vec{u},\vec{v},\alpha\vec{w}]$		(3.305)
	$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}=\alpha[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$		(3.306)