Vetores

3 Produtos 3.1 Produto escalar 3.3 Projeção ortogonal

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3.2 Ângulo entre vetores

O ângulo formado entre dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ não nulos é definido como o menor ângulo determinado entre quaisquer representações $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ e $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ .

Refer to caption — Figura 3.1: Ângulo entre dois vetores.

3.2.1 Produto escalar e ângulo entre vetores

A seguinte Proposição 3.2.1 estabelece a relação entre o produto escalar e o ângulo formado entre dois vetores. Essa relação é fundamental para classificar e determinar o ângulo entre vetores.

Proposição 3.2.1.(Produto escalar e ângulo)

Dados $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , temos

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\alpha,

(3.74)

onde $\alpha$ é o ângulo entre os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ .

Demonstração.

Tomamos as representações $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ e $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ . Observamos que $\vec{u}-\vec{v}=\overrightarrow{BA}$ . Então, aplicando a lei dos cossenos no triângulo $\triangle OAB$ , obtemos

|\overrightarrow{BA}|^{2}=|\overrightarrow{OA}|^{2}+|\overrightarrow{OB}|^{2}-% 2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\alpha,

(3.75)

ou, equivalentemente,

	$\displaystyle\\|\vec{u}-\vec{v}\\|^{2}=\\|\vec{u}\\|^{2}+\\|\vec{v}\\|^{2}-2\\|\vec{u% }\\|\\|\vec{v}\\|\cos\alpha$		(3.76)
	$\displaystyle(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\\|\vec{u}\\|^{2}+\\|\vec{v}% \\|^{2}-2\\|\vec{u}\\|\\|\vec{v}\\|\cos\alpha$		(3.77)
	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{u}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v}=\\|% \vec{u}\\|^{2}+\\|\vec{v}\\|^{2}-2\\|\vec{u}\\|\\|\vec{v}\\|\cos\alpha$		(3.78)
	$\displaystyle\\|\vec{u}\\|^{2}+\\|\vec{v}\\|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}=\\|\vec{u}\\|^% {2}+\\|\vec{v}\\|^{2}-2\\|\vec{u}\\|\\|\vec{v}\\|\cos\alpha$		(3.79)

donde

\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\alpha.

(3.80)

∎

Exemplo 3.2.1.

Vamos determinar o ângulo entre os vetores $\vec{u}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right)$ e $\vec{v}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$ . Da Proposição 3.2.1, temos

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\\|\vec{u}\\|\cdot\\|\vec{v}\\|}$		(3.81)
	$\displaystyle\cos\alpha=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{% \sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}% \right)^{2}+0^{2}}\cdot\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}% }{2}\right)^{2}+0^{2}}}$		(3.82)
	$\displaystyle\cos\alpha=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1\cdot 1}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$		(3.83)

Portanto, temos $\alpha=\pi/6$ .

Classificação do ângulo entre vetores

O ângulo entre dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ é:

•

agudo se, e somente se, $\vec{u}\cdot\vec{v}>0$ ;
•

obtuso se, e somente se, $\vec{u}\cdot\vec{v}<0$ .

De fato, de (3.74), temos que o sinal de $\vec{u}\cdot\vec{v}$ é igual ao sinal de $\cos\alpha$ (o cosseno do ângulo entre os vetores). Também, por definição, $0\leq\alpha\leq\pi$ . Logo, se $\cos\alpha>0$ , então $0<\alpha<\pi/2$ (ângulo agudo) e, se $\cos\alpha<0$ , então $\pi/2<\alpha<\pi$ (ângulo obtuso).

Se $\vec{u},\vec{v}\neq\vec{0}$ , então $\vec{u}$ é ortogonal a $\vec{v}$ ( $\vec{u}\perp\vec{v}$ ) quando $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ . De fato, seja $\alpha$ o ângulo entre $\vec{u}$ e $\vec{v}$ . Se $\vec{u}\perp\vec{v}$ , então $\alpha=\pi/2$ e

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}=\\|\vec{u}\\|\\|\vec{v}\\|\cos\alpha$		(3.84)
	$\displaystyle\text{}\quad=\\|\vec{u}\\|\\|\vec{v}\\|\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$		(3.85)
	$\displaystyle\text{}\quad=\\|\vec{u}\\|\cdot\\|\vec{v}\\|\cdot 0=0.$		(3.86)

Reciprocamente, se $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ , então

	$\displaystyle\cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\\|\vec{u}\\|\\|\vec{v}\\|}$		(3.87)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{0}{\\|\vec{u}\\|\\|\vec{v}\\|}=0.$		(3.88)

Lembrando que $0\leq\alpha\leq\pi$ , segue que $\alpha=\pi/2$ , i.e. $\vec{u}\perp\vec{v}$ .

Exemplo 3.2.2.

Os vetores $\vec{i}=(1,0,0)$ e $\vec{u}=(0,1,1)$ são ortogonais. De fato, temos

	$\displaystyle\vec{i}\cdot\vec{u}=1\cdot 0+0\cdot 1+0\cdot 1$		(3.89)
	$\displaystyle\text{}\quad=0.$		(3.90)

Ângulos diretores

Dado um vetor $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ , os ângulos diretores de $\vec{u}$ são os ângulos $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ formados entre $\vec{u}$ e os vetores da base ortonormal $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ . Por definição, temos

	$\displaystyle\cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{i}}{\\|\vec{u}\\|\\|\vec{i}\\|}=% \frac{u_{1}}{\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}},$		(3.91)
	$\displaystyle\cos\beta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{j}}{\\|\vec{u}\\|\\|\vec{j}\\|}=% \frac{u_{2}}{\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}},$		(3.92)
	$\displaystyle\cos\gamma=\frac{\vec{u}\cdot\vec{k}}{\\|\vec{u}\\|\\|\vec{k}\\|}=% \frac{u_{3}}{\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}},$		(3.93)

que, por sua vez, são chamados de cossenos diretores de $\vec{u}$ . Consultemos a Figura 3.2 para uma representação geométrica dos ângulos diretores.

Exemplo 3.2.3.

Vamos determinar os ângulos diretores do vetor $\vec{u}=(1,1,0)$ . Temos

	$\displaystyle\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}},$		(3.94)
	$\displaystyle\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}},$		(3.95)
	$\displaystyle\cos\gamma=\frac{0}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}}=0.$		(3.96)

Portanto, temos $\alpha=\beta=\pi/4$ e $\gamma=\pi/2$ .

3.2.2 Desigualdade triangular

Dados dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ temos

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \|\vec{u}+\vec{v}\|\leq\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|,

(3.97)

esta é conhecida como a desigualdade triangular. Para demonstrá-la, começamos observando que

	$\displaystyle\\|\vec{u}+\vec{v}\\|^{2}=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})$		(3.98)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot% \vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}$		(3.99)
	$\displaystyle\text{}\quad=\\|\vec{u}\\|^{2}+\\|\vec{v}\\|^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}.$		(3.100)

Agora, vamos estimar $\vec{u}\cdot\vec{v}$ . Pela Proposição 3.2.1, temos

\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\alpha,

(3.101)

onde $\alpha$ é o ângulo entre $\vec{u}$ e $\vec{v}$ . Mas, então:

\vec{u}\cdot\vec{v}\leq\|\vec{u}\|\|\vec{v}\||\cos\alpha|.

(3.102)

Daí, como $|\cos\alpha|\leq 1$ , temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{u}\cdot% \vec{v}\leq\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|,

(3.103)

a qual é chamada de desigualdade de Cauchy²²2Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857, matemático francês. Fonte: Wikipédia: Augustin-Louis Cauchy.-Schwarz³³3Karl Hermann Amandus Schwarz, 1843-1921, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Hermann Amandus Schwarz.. Portanto, temos

	$\displaystyle\\|\vec{u}+\vec{v}\\|^{2}=\\|\vec{u}\\|^{2}+\\|\vec{v}\\|^{2}+2\vec{u}% \cdot\vec{v}$		(3.104)
	$\displaystyle\text{}\quad\leq\\|\vec{u}\\|^{2}+\\|\vec{v}\\|^{2}+2\\|\vec{u}\\|\\|% \vec{v}\\|$		(3.105)
	$\displaystyle\text{}\quad=(\\|\vec{u}\\|+\\|\vec{v}\\|)^{2}.$		(3.106)

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos o que queríamos demonstrar.

3.2.3 Exercícios resolvidos

ER 3.2.1.

Sejam $\vec{u}=(x,-1,2)$ e $\vec{v}=(2,x,-3)$ . Determine $x$ tal que

\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}.

(3.107)

Resolução.

Da definição do produto escalar, temos

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}$		(3.108)
	$\displaystyle\frac{1}{2}=2x-x-6$		(3.109)
	$\displaystyle x-6=\frac{1}{2}$		(3.110)
	$\displaystyle x=\frac{1}{2}+6=\frac{13}{2}.$		(3.111)

ER 3.2.2.

Determine $x$ tal que $\vec{u}=(-1,0,x)$ seja ortogonal a $\vec{v}=(1,2,-1)$ .

Resolução.

Para que $\vec{u}\perp\vec{v}$ devemos ter

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}=0$		(3.112)
	$\displaystyle-1+0-x=0$		(3.113)
	$\displaystyle x=-1.$		(3.114)

3.2.4 Exercícios

E. 3.2.1.

Determine o ângulo entre os vetores $\vec{u}=(1,0,1)$ e $\vec{v}=(0,0,2)$ .

$\pi/4$

E. 3.2.2.

Seja $\vec{v}=(1,2,-1)$ . Determine a norma do vetor $\vec{u}$ de mesma direção de $\vec{v}$ e tal que $\vec{u}\cdot\vec{v}=2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

E. 3.2.3.

Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são vetores unitários e $\vec{u}\cdot\vec{v}=1$ , então $\vec{u}$ e $\vec{v}$ têm a mesma direção e o mesmo sentido? Justifique sua resposta.

Sim.

E. 3.2.4.

Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são vetores tais que $\vec{u}\cdot\vec{v}=-1$ , então $\vec{u}$ e $\vec{v}$ têm a mesma direção e sentidos opostos? Justifique sua resposta.

Não necessariamente.

E. 3.2.5.

Encontre o vetor $\vec{x}$ ortogonal a $\vec{u}=(1,-2,0)$ e $\vec{v}=(2,-1,1)$ tal que $\vec{x}\cdot(0,-1,2)=1$ .

$\vec{x}=(-2/7,-1/7,3/7)$

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3.2 Ângulo entre vetores

3.2.1 Produto escalar e ângulo entre vetores

Proposição 3.2.1.(Produto escalar e ângulo)

Demonstração.

Exemplo 3.2.1.

Classificação do ângulo entre vetores

Exemplo 3.2.2.

Ângulos diretores

Exemplo 3.2.3.

3.2.2 Desigualdade triangular

3.2.3 Exercícios resolvidos

ER 3.2.1.

Resolução.

ER 3.2.2.

Resolução.

3.2.4 Exercícios

E. 3.2.1.

E. 3.2.2.

E. 3.2.3.

E. 3.2.4.

E. 3.2.5.

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