Vetores

3 Produtos 3 Produtos 3.2 Ângulo entre vetores

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3.1 Produto escalar

Ao longo desta seção, assumiremos que $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ é uma base ortonormal no espaço¹¹1 $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ é l.i., $\|\vec{i}\|=1$ , $\|\vec{j}\|=1$ , $\|\vec{k}\|=1$ e dois a dois ortogonais.. Por simplicidade de notação, vamos denotar as coordenadas de um vetor $\vec{u}$ na base $B$ por

\displaystyle\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}),

(3.1)

i.e. $\vec{u}=u_{1}\vec{i}+u_{2}\vec{j}+u_{3}\vec{k}$ .

O produto escalar dos vetores $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ e $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ é o número real

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \vec{u}\cdot\vec{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.

(3.2)

Exemplo 3.1.1.

Se $\vec{u}=(2,-1,3)$ e $\vec{v}=(-3,-4,2)$ , então

\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot(-3)+(-1)\cdot(-4)+3\cdot 2=4.

(3.3)

3.1.1 Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ e qualquer número real $\alpha$ , temos:

•

Comutatividade

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$ (3.4)

Demonstração:

$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_{1},u_{2},u_{3})\cdot(v_{1},v_{2},v_{3})$ (3.5)

$\displaystyle\text{}\quad=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}$ (3.6)

$\displaystyle\text{}\quad=v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}+v_{3}u_{3}$ (3.7)

$\displaystyle\text{}\quad=\vec{v}\cdot\vec{u}.$ (3.8)

•

Associatividade com a multiplicação por escalar

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% (\alpha\vec{u})\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot(\alpha\vec{v})=\alpha(\vec{u}\cdot% \vec{v})

(3.9)

Demonstração:

	$\displaystyle(\alpha\vec{u})\cdot\vec{v}=(\alpha u_{1},\alpha u_{2},\alpha u_{% 3})\cdot(v_{1},v_{2},v_{3})$		(3.10)
	$\displaystyle\text{}\quad=(\alpha u_{1})v_{1}+(\alpha u_{2})v_{2}+(\alpha u_{3% })v_{3}$		(3.11)
	$\displaystyle\text{}\quad=\alpha(u_{1}v_{1})+\alpha(u_{2}v_{2})+\alpha(u_{3}v_% {3})$		(3.12)
	$\displaystyle\text{}\quad=\alpha(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})=\alpha(\vec% {u}\cdot\vec{v})$		(3.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=u_{1}(\alpha v_{1})+u_{2}(\alpha v_{2})+u_{3}(\alpha v% _{3})$		(3.14)
	$\displaystyle\text{}\quad=(u_{1},u_{2},u_{3})\cdot(\alpha v_{1},\alpha v_{2},% \alpha v_{3})$		(3.15)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{u}\cdot(\alpha\vec{v}).$		(3.16)

•

Distributividade com a adição

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}

(3.17)

Demonstração:

	$\displaystyle\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=(u_{1},u_{2},u_{3})\cdot\left((v_{1% },v_{2},v_{3})+(w_{1},w_{2},w_{3})\right)$		(3.18)
	$\displaystyle\text{}\quad=(u_{1},u_{2},u_{3})\cdot[(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2},v_% {3}+w_{3})]$		(3.19)
	$\displaystyle\text{}\quad=u_{1}(v_{1}+w_{1})+u_{2}(v_{2}+w_{2})+u_{3}(v_{3}+w_% {3})$		(3.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=u_{1}v_{1}+u_{1}w_{1}+u_{2}v_{2}+u_{2}w_{2}+u_{3}v_{% 3}+u_{3}w_{3}$		(3.21)
	$\displaystyle\text{}\quad=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}+u_{1}w_{1}+u_{2}w_{% 2}+u_{3}w_{3}$		(3.22)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}.$		(3.23)

•

Sinal

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \vec{u}\cdot\vec{u}\geq 0$ (3.24)

e

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \vec{u}\cdot\vec{u}=0\Leftrightarrow\vec{u}=\vec{0}$ (3.25)

Demonstração:

$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{u}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}\geq 0.$ (3.26)

Além disso, observamos que a soma de números não negativos é nula se, e somente se, os números forem zeros.
•

Norma

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \|\vec{u}\|^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u}$ (3.27)

Demonstração: Como fixamos uma base ortonormal $B$ , o Lema 2.3.1 nos garante que

$\displaystyle\|\vec{u}\|^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u}.$ (3.28)

Exemplo 3.1.2.

Sejam $\vec{u}=(-1,2,1)$ , $\vec{v}=(2,-1,3)$ e $\vec{w}=(1,0,-1)$ . Verifiquemos se as propriedades se verificam para estes vetores.

•

Comutatividade

$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}=-1\cdot 2+2\cdot(-1)+1\cdot 3=-1$ (3.29)

$\displaystyle\vec{v}\cdot\vec{u}=2\cdot(-1)+(-1)\cdot 2+3\cdot 1=-1\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$ (3.30)
•

Associatividade com a multiplicação por escalar

$\displaystyle(2\vec{u})\cdot\vec{v}=(-2,4,2)\cdot(2,-1,3)=-4-4+6=-2$ (3.31)

$\displaystyle 2(\vec{u}\cdot\vec{v})=2(-2-2+3)=-2\leavevmode\nobreak\ \checkmark$ (3.32)

$\displaystyle\vec{u}\cdot(2\vec{v})=(-1,2,1)\cdot(4,-2,6)=-2\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$ (3.33)
•

Distributividade com a adição

$\displaystyle\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=(-1,2,1)\cdot(3,-1,2)=-3-2+2=-3$ (3.34)

$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}=(-2-2+3)+(-1+0-1)=-3% \leavevmode\nobreak\ \checkmark$ (3.35)
•

Sinal

$\vec{w}\cdot\vec{w}=1+0+1=2\geq 0\leavevmode\nobreak\ \checkmark$ (3.36)
•

Norma

$\displaystyle\|\vec{u}\|^{2}=(-1)^{2}+2^{2}+1^{2}=6$ (3.37)

$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{u}=(-1)\cdot(-1)+2\cdot 2+1\cdot 1=6\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$ (3.38)

3.1.2 Exercícios resolvidos

ER 3.1.1.

Sejam

	$\displaystyle\vec{u}=(-1,0,1)$		(3.39)
	$\displaystyle\vec{v}=(0,2,1)$		(3.40)
	$\displaystyle\vec{w}=(2,-1,-1)$		(3.41)

calcule $\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-2\left(\vec{u}\cdot\vec{w}\right)$ .

Resolução.

Vamos começar calculando o último termo.

	$\displaystyle\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-2\vec{u}\cdot\vec{w}$		(3.42)
	$\displaystyle=\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-2(-1,0,1)\cdot(2,-1,-1)$		(3.43)

Calculamos $2(-1,0,1)=(-2,0,2)$ ; logo, temos

	$\displaystyle\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-(-2,0,2)\cdot(2,-1,-1)$
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-(-2\cdot 2% +0\cdot(-1)+2\cdot(-1))$		(3.44)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-(-4-2)$		(3.45)

Agora, para o primeiro termo, podemos usar a propriedade distributiva:

	$\displaystyle 2\vec{w}\cdot\vec{u}-\vec{w}\cdot\vec{w}+6$
	$\displaystyle\text{}\quad=2(2,-1,-1)\cdot(-1,0,1)-\|\vec{w}\|^{2}+6$		(3.46)
	$\displaystyle\text{}\quad=2(-2+0-1)-(2^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2})+6$		(3.47)
	$\displaystyle\text{}\quad=-6-6+6=-6$		(3.48)

Com isso, concluímos que $\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-2\vec{u}\cdot\vec{w}=-6$ .

ER 3.1.2.

Sendo $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ uma base ortonormal, mostre que o produto escalar entre vetores distintos de $B$ é igual a zero. Além disso, o produto escalar de um vetor de $B$ por ele mesmo é igual a $1$ .

Resolução.

Calculamos o produto interno entre vetores diferentes:

	$\displaystyle\vec{i}\cdot\vec{j}=(1,0,0)\cdot(0,1,0)$		(3.49)
	$\displaystyle\text{}\quad=1\cdot 0+0\cdot 1+0\cdot 0$		(3.50)
	$\displaystyle\text{}\quad=0\leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.51)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{j}\cdot\vec{i}$		(3.52)

	$\displaystyle\vec{i}\cdot\vec{k}=(1,0,0)\cdot(0,0,1)$		(3.53)
	$\displaystyle\text{}\quad=1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 1$		(3.54)
	$\displaystyle\text{}\quad=0\leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.55)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{k}\cdot\vec{i}$		(3.56)

	$\displaystyle\vec{j}\cdot\vec{k}=(0,1,0)\cdot(0,0,1)$		(3.57)
	$\displaystyle\text{}\quad=0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 1$		(3.58)
	$\displaystyle\text{}\quad=0\leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.59)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{k}\cdot\vec{j}$		(3.60)

Por fim, verificamos os casos do produto interno de um vetor por ele mesmo:

	$\displaystyle\vec{i}\cdot\vec{i}=1^{2}+0^{2}+0^{2}=1\leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.61)
	$\displaystyle\vec{j}\cdot\vec{j}=0^{2}+1^{2}+0^{2}=1\leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.62)
	$\displaystyle\vec{k}\cdot\vec{k}=0^{2}+0^{2}+1^{2}=1\leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.63)

3.1.3 Exercícios

E. 3.1.1.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ e $\vec{v}=(1,-3,2)$ , calcule:

a)

$\vec{u}\cdot\vec{v}$
b)

$\vec{v}\cdot\vec{u}$
c)

$2\vec{u}\cdot\vec{v}$
d)

$\vec{u}\cdot(2\vec{v})$

a) $7$ ; b) $7$ ; c) $14$ ; d) $14$

E. 3.1.2.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ , calcule:

a)

$\vec{u}\cdot\vec{i}$
b)

$\vec{u}\cdot\vec{j}$
c)

$2\vec{u}\cdot\vec{k}$

a) $2$ ; b) $-1$ ; c) $2$

E. 3.1.3.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ , $\vec{v}=(1,-3,2)$ e $\vec{w}=(-2,-1,-3)$ , calcule:

a)

$\vec{u}\cdot(\vec{w}+\vec{v})$
b)

$\vec{v}\cdot(\vec{v}-2\vec{u})$

a) $1$ ; b) $0$ ;

E. 3.1.4.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ , $\vec{v}=(1,-3,2)$ e $\vec{w}=(-2,-1,-3)$ , calcule:

a)

$\|\vec{u}\|$
b)

$\|\vec{u}+\vec{v}\|$
c)

$|\vec{u}\cdot\vec{w}|$

a) $\sqrt{6}$ ; b) $\sqrt{34}$ ; c) $6$ ;

E. 3.1.5.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ , $\vec{v}=(1,-3,2)$ e $\vec{w}=(-2,-1,-3)$ , encontre o vetor $\vec{x}$ que satisfaz as seguintes condições:

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{x}=-1$		(3.64)
	$\displaystyle\vec{v}\cdot\vec{x}=2$		(3.65)
	$\displaystyle\vec{w}\cdot\vec{x}=-4$		(3.66)

$x=(-23/16,5/16,35/16)$

E. 3.1.6.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ e $\vec{v}=(1,-3,2)$ , encontre o vetor $\vec{x}$ que satisfaz as seguintes condições:

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{x}=0$		(3.68)
	$\displaystyle\vec{v}\cdot\vec{x}=0$		(3.69)

$\displaystyle x=\left(-\frac{1}{5}x_{3},\frac{3}{5}x_{3},x_{3}\right),x_{3}\in% \mathbb{R}$

E. 3.1.7.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ , $\vec{v}=(1,-3,2)$ e $\vec{w}=(-2,-1,-3)$ , encontre o vetor $\vec{x}$ que satisfaz as seguintes condições:

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{x}=0$		(3.70)
	$\displaystyle\vec{v}\cdot\vec{x}=0$		(3.71)
	$\displaystyle\vec{w}\cdot\vec{x}=0$		(3.72)

$x=\vec{0}$

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3.1 Produto escalar

Exemplo 3.1.1.

3.1.1 Propriedades do produto escalar

Exemplo 3.1.2.

3.1.2 Exercícios resolvidos

ER 3.1.1.

Resolução.

ER 3.1.2.

Resolução.

3.1.3 Exercícios

E. 3.1.1.

E. 3.1.2.

E. 3.1.3.

E. 3.1.4.

E. 3.1.5.

E. 3.1.6.

E. 3.1.7.

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	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_{1},u_{2},u_{3})\cdot(v_{1},v_{2},v_{3})$		(3.5)
	$\displaystyle\text{}\quad=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}$		(3.6)
	$\displaystyle\text{}\quad=v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}+v_{3}u_{3}$		(3.7)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{v}\cdot\vec{u}.$		(3.8)

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}=-1\cdot 2+2\cdot(-1)+1\cdot 3=-1$		(3.29)
	$\displaystyle\vec{v}\cdot\vec{u}=2\cdot(-1)+(-1)\cdot 2+3\cdot 1=-1\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$		(3.30)

	$\displaystyle(2\vec{u})\cdot\vec{v}=(-2,4,2)\cdot(2,-1,3)=-4-4+6=-2$		(3.31)
	$\displaystyle 2(\vec{u}\cdot\vec{v})=2(-2-2+3)=-2\leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.32)
	$\displaystyle\vec{u}\cdot(2\vec{v})=(-1,2,1)\cdot(4,-2,6)=-2\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$		(3.33)

	$\displaystyle\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=(-1,2,1)\cdot(3,-1,2)=-3-2+2=-3$		(3.34)
	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}=(-2-2+3)+(-1+0-1)=-3% \leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.35)

	$\displaystyle\\|\vec{u}\\|^{2}=(-1)^{2}+2^{2}+1^{2}=6$		(3.37)
	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{u}=(-1)\cdot(-1)+2\cdot 2+1\cdot 1=6\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$		(3.38)