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3 Produtos 3 Produtos 3.2 Ângulo entre vetores

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3.1 Produto escalar

Em revisão

Ao longo desta seção, assumiremos $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ uma base ortonormal no espaço¹¹1 $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ é l.i., $|\vec{i}|=1$ , $|\vec{j}|=1$ , $|\vec{k}|=1$ e dois a dois ortogonais. Veja Subseção LABEL:subsec:cbsbc_bortonormal.. Por simplicidade de notação, vamos denotar as coordenas de um vetor $\vec{u}$ na base $B$ por

\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}),

(3.1)

i.e. $\vec{u}=u_{1}\vec{i}+u_{2}\vec{j}+u_{3}\vec{k}$ .

O produto escalar dos vetores $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ e $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ é o número real

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot% \vec{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}.

(3.2)

Exemplo 3.1.1.

Se $\vec{u}=(2,-1,3)$ e $\vec{v}=(-3,-4,2)$ , então

\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot(-3)+(-1)\cdot(-4)+3\cdot 2=4.

(3.3)

3.1.1 Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ e qualquer número real $\alpha$ , temos:

•

Comutatividade:

${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot% \vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}}$ (3.4)

Dem.:

$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle=(u_{1},u_{2},u_{3})\cdot(v_{1},v_{2},v_{3})$ (3.5)

$\displaystyle=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}$ (3.6)

$\displaystyle=v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}+v_{3}u_{3}$ (3.7)

$\displaystyle=\vec{v}\cdot\vec{u}.$ (3.8)

•

Associatividade com a multiplicação por escalar:

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}(\alpha\vec{u}% )\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot(\alpha\vec{v})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})}

(3.9)

Dem.:

$\displaystyle(\alpha\vec{u})\cdot\vec{v}$	$\displaystyle=(\alpha u_{1},\alpha u_{2},\alpha u_{3})\cdot(v_{1},v_{2},v_{3})$	(3.10)
	$\displaystyle=(\alpha u_{1})v_{1}+(\alpha u_{2})v_{2}+(\alpha u_{3})v_{3}$	(3.11)
	$\displaystyle=\alpha(u_{1}v_{1})+\alpha(u_{2}v_{2})+\alpha(u_{3}v_{3})$	(3.12)
	$\displaystyle=\alpha(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec% {v})$	(3.13)
	$\displaystyle=u_{1}(\alpha v_{1})+u_{2}(\alpha v_{2})+u_{3}(\alpha v_{3})$	(3.14)
	$\displaystyle=(u_{1},u_{2},u_{3})\cdot(\alpha v_{1},\alpha v_{2},\alpha v_{3})$	(3.15)
	$\displaystyle=\vec{u}\cdot(\alpha\vec{v}).$	(3.16)

•

Distributividade com a adição:

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot(% \vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}}

(3.17)

Dem.:

$\displaystyle\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})$	$\displaystyle=(u_{1},u_{2},u_{3})\cdot\left((v_{1},v_{2},v_{3})+(w_{1},w_{2},w% _{3})\right)$	(3.18)
	$\displaystyle=(u_{1},u_{2},u_{3})\cdot[(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2},v_{3}+w_{3})]$	(3.19)
	$\displaystyle=u_{1}(v_{1}+w_{1})+u_{2}(v_{2}+w_{2})+u_{2}(v_{2}+w_{2})$	(3.20)
	$\displaystyle=u_{1}v_{1}+u_{1}w_{1}+u_{2}v_{2}+u_{2}w_{2}+u_{3}v_{3}+u_{3}w_{3}$	(3.21)
	$\displaystyle=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}+u_{1}w_{1}+u_{2}w_{2}+u_{3}w_{3}$	(3.22)
	$\displaystyle=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}.$	(3.23)

•

Sinal:

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot% \vec{u}\geq 0},\quad\text{e}$ (3.24)

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot% \vec{u}=0\Leftrightarrow\vec{u}=\vec{0}}$ (3.25)

Dem.:

$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{u}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}\geq 0.$ (3.26)

Além disso, observamos que a soma de números não negativos é nula se, e somente se, os números forem zeros.
•

Norma:

${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}|u|^{2}=\vec{u% }\cdot\vec{u}}$ (3.27)

Dem.: Como fixamos uma base ortonormal $B$ , a Proposição LABEL:prop:bo_norma nos garante que

$|u|^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u}.$ (3.28)

Exemplo 3.1.2.

Sejam $\vec{u}=(-1,2,1)$ , $\vec{v}=(2,-1,3)$ e $\vec{w}=(1,0,-1)$ . Vejamos se as propriedades se verificam para estes vetores.

•

Comutatividade:

$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}=-1\cdot 2+2\cdot(-1)+1\cdot 3=-1$ (3.29)

$\displaystyle\vec{v}\cdot\vec{u}=2\cdot(-1)+(-1)\cdot 2+3\cdot 1=-1\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$ (3.30)
•

Associatividade com a multiplicação por escalar:

$\displaystyle(2\vec{u})\cdot\vec{v}=(-2,4,2)\cdot(2,-1,3)=-4-4+6=-2$ (3.31)

$\displaystyle 2(\vec{u}\cdot\vec{v})=2(-2-2+3)=-2\leavevmode\nobreak\ \checkmark$ (3.32)

$\displaystyle\vec{u}\cdot(2\vec{v})=(-1,2,1)\cdot(4,-2,6)=-2\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$ (3.33)
•

Distributividade com a adição:

$\displaystyle\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=(-1,2,1)\cdot(3,-1,2)=-3-2+2=-3$ (3.34)

$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}=(-2-2+3)+(-1+0-1)=-3% \leavevmode\nobreak\ \checkmark$ (3.35)
•

Sinal:

$\vec{w}\cdot\vec{w}=1+0+1=2\geq 0\leavevmode\nobreak\ \checkmark$ (3.36)
•

Norma:

$\displaystyle|u|^{2}=(-1)^{2}+2^{2}+1^{2}=6$ (3.37)

$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{u}=(-1)\cdot(-1)+2\cdot 2+1\cdot 1=6\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$ (3.38)

3.1.2 Exercícios resolvidos

ER 3.1.1.

Sejam

	$\displaystyle\vec{u}=(-1,0,1)$		(3.39)
	$\displaystyle\vec{v}=(0,2,1)$		(3.40)
	$\displaystyle\vec{w}=(2,-1,-1)$		(3.41)

calcule $\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-2\vec{u}\cdot\vec{w}$ .

Resolução.

Vamos começar calculando o último termo.

	$\displaystyle\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-2\vec{u}\cdot\vec{w}$		(3.42)
	$\displaystyle=\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-2(-1,0,1)\cdot(2,-1,-1)$		(3.43)

Calculamos $2(-1,0,1)=(-2,0,2)$ , logo, temos

	$\displaystyle\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-(-2,0,2)\cdot(2,-1,-1)$		(3.44)
	$\displaystyle=\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-(-2\cdot 2+0\cdot(-1)+% 2\cdot(-1))$		(3.45)
	$\displaystyle=\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-(-4-2)$		(3.46)

Agora, para o primeiro termo, podemos usar a propriedade distributiva, como segue

	$\displaystyle 2\vec{w}\cdot\vec{u}-\vec{w}\cdot\vec{w}+6$		(3.47)
	$\displaystyle=2(2,-1,-1)\cdot(-1,0,1)-\|\vec{w}\|^{2}+6$		(3.48)
	$\displaystyle=2(-2+0-1)-(2^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2})+6$		(3.49)
	$\displaystyle=-6-6+6$		(3.50)
	$\displaystyle=-6$		(3.51)

Com isso, concluímos que $\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-2\vec{u}\cdot\vec{w}=-6$ .

ER 3.1.2.

Sendo $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ uma base ortonormal, mostre que o produto interno entre vetores distintos de $B$ é igual a zero. Ainda, o produto interno de um vetor de $B$ por ele mesmo é igual a 1.

Resolução.

Calculamos o produto interno entre vetores diferentes:

$\displaystyle\vec{i}\cdot\vec{j}$	$\displaystyle=(1,0,0)\cdot(0,1,0)$	(3.52)
	$\displaystyle=1\cdot 0+0\cdot 1+0\cdot 0$	(3.53)
	$\displaystyle=0\leavevmode\nobreak\ \checkmark$	(3.54)
	$\displaystyle=\vec{j}\cdot\vec{i}$	(3.55)

$\displaystyle\vec{i}\cdot\vec{k}$	$\displaystyle=(1,0,0)\cdot(0,0,1)$	(3.56)
	$\displaystyle=1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 1$	(3.57)
	$\displaystyle=0\leavevmode\nobreak\ \checkmark$	(3.58)
	$\displaystyle=\vec{k}\cdot\vec{i}$	(3.59)

$\displaystyle\vec{j}\cdot\vec{k}$	$\displaystyle=(1,0,0)\cdot(0,0,1)$	(3.60)
	$\displaystyle=1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 1$	(3.61)
	$\displaystyle=0\leavevmode\nobreak\ \checkmark$	(3.62)
	$\displaystyle=\vec{k}\cdot\vec{j}$	(3.63)

Por fim, verificamos os casos do produto interno de um vetor por ele mesmo:

	$\displaystyle\vec{i}\cdot\vec{i}=1^{2}+0^{2}+0^{2}=1\leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.64)
	$\displaystyle\vec{j}\cdot\vec{j}=0^{2}+1^{2}+0^{2}=1\leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.65)
	$\displaystyle\vec{k}\cdot\vec{k}=0^{2}+0^{2}+1^{2}=1\leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.66)

3.1.3 Exercícios

E. 3.1.1.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ e $\vec{v}=(1,-3,2)$ , calcule:

a)

$\vec{u}\cdot\vec{v}$
b)

$\vec{v}\cdot\vec{u}$
c)

$2\vec{u}\cdot\vec{v}$
d)

$\vec{u}\cdot(2\vec{v})$

a) $7$ ; b) $7$ ; c) $14$ ; d) $14$

E. 3.1.2.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ , calcule:

a)

$\vec{u}\cdot\vec{i}$
b)

$\vec{u}\cdot\vec{j}$
c)

$2\vec{u}\cdot\vec{k}$

a) $2$ ; b) $-1$ ; c) $2$

E. 3.1.3.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ , $\vec{v}=(1,-3,2)$ e $\vec{w}=(-2,-1,-3)$ , calcule:

a)

$\vec{u}\cdot(\vec{w}+\vec{v})$
b)

$\vec{v}\cdot(\vec{v}-2\vec{u})$

a) $1$ ; b) $0$ ;

E. 3.1.4.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ , $\vec{v}=(1,-3,2)$ e $\vec{w}=(-2,-1,-3)$ , calcule:

a)

$|\vec{u}|$
b)

$|\vec{u}+\vec{v}|$
c)

$|\vec{u}\cdot\vec{w}|$

a) $\sqrt{6}$ ; b) $\sqrt{34}$ ; c) $6$ ;

E. 3.1.5.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ , $\vec{v}=(1,-3,2)$ e $\vec{w}=(-2,-1,-3)$ , encontre o vetor $\vec{x}$ que satisfaz as seguintes condições:

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{x}=-1$		(3.67)
	$\displaystyle\vec{v}\cdot\vec{x}=2$		(3.68)
	$\displaystyle\vec{w}\cdot\vec{x}=-4$		(3.69)

$x=(-23/16,5/16,35/16)$

E. 3.1.6.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ e $\vec{v}=(1,-3,2)$ , encontre o vetor $\vec{x}$ que satisfaz as seguintes condições:

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{x}=0$		(3.71)
	$\displaystyle\vec{v}\cdot\vec{x}=0$		(3.72)

$\displaystyle x=\left(-\frac{1}{5}x_{3},\frac{3}{5}x_{3},x_{3}\right),x_{3}\in% \mathbb{R}$

E. 3.1.7.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ , $\vec{v}=(1,-3,2)$ e $\vec{w}=(-2,-1,-3)$ , encontre o vetor $\vec{x}$ que satisfaz as seguintes condições:

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{x}=0$		(3.73)
	$\displaystyle\vec{v}\cdot\vec{x}=0$		(3.74)
	$\displaystyle\vec{w}\cdot\vec{x}=0$		(3.75)

$x=\vec{0}$

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3.1 Produto escalar

Exemplo 3.1.1.

3.1.1 Propriedades do produto escalar

Exemplo 3.1.2.

3.1.2 Exercícios resolvidos

ER 3.1.1.

Resolução.

ER 3.1.2.

Resolução.

3.1.3 Exercícios

E. 3.1.1.

E. 3.1.2.

E. 3.1.3.

E. 3.1.4.

E. 3.1.5.

E. 3.1.6.

E. 3.1.7.

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$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}$	$\displaystyle=(u_{1},u_{2},u_{3})\cdot(v_{1},v_{2},v_{3})$	(3.5)
	$\displaystyle=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}$	(3.6)
	$\displaystyle=v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}+v_{3}u_{3}$	(3.7)
	$\displaystyle=\vec{v}\cdot\vec{u}.$	(3.8)

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot% \vec{u}\geq 0},\quad\text{e}$		(3.24)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot% \vec{u}=0\Leftrightarrow\vec{u}=\vec{0}}$		(3.25)

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}=-1\cdot 2+2\cdot(-1)+1\cdot 3=-1$		(3.29)
	$\displaystyle\vec{v}\cdot\vec{u}=2\cdot(-1)+(-1)\cdot 2+3\cdot 1=-1\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$		(3.30)

	$\displaystyle(2\vec{u})\cdot\vec{v}=(-2,4,2)\cdot(2,-1,3)=-4-4+6=-2$		(3.31)
	$\displaystyle 2(\vec{u}\cdot\vec{v})=2(-2-2+3)=-2\leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.32)
	$\displaystyle\vec{u}\cdot(2\vec{v})=(-1,2,1)\cdot(4,-2,6)=-2\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$		(3.33)

	$\displaystyle\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=(-1,2,1)\cdot(3,-1,2)=-3-2+2=-3$		(3.34)
	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}=(-2-2+3)+(-1+0-1)=-3% \leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.35)

	$\displaystyle\|u\|^{2}=(-1)^{2}+2^{2}+1^{2}=6$		(3.37)
	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{u}=(-1)\cdot(-1)+2\cdot 2+1\cdot 1=6\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$		(3.38)