Vetores

2 Bases e coordenadas 2.1 Combinação linear 2.3 Bases e coordenadas

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2.2 Dependência linear

Dois ou mais vetores dados são linearmente dependentes (l.d.) quando um deles for combinação linear dos demais. Mais precisamente, $\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\ldots,\vec{u}_{n}\}$ é um conjunto de vetores l.d. quando

\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}c_{1}\vec{u}_{1}+c_{2}\vec{u}_{2}+\cdots+c_% {n}\vec{u}_{n}=\vec{0},

(2.23)

para escalares $c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}$ não todos nulos. Caso contrário, dizemos tratar-se de um conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.).

Exemplo 2.2.1.

Estudamos cada caso:

a)

Sejam $\vec{u}_{1}$ e $\vec{u}_{2}=-2\vec{u}_{1}$ . Temos que $\vec{u}_{1}$ e $\vec{u}_{2}$ são linearmente dependentes, pois

$2\vec{u}_{1}+1\vec{u}_{2}=\vec{0}.$ (2.24)
b)

Sejam $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}$ . Temos que $\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ é um conjunto l.d., pois

$\vec{u}-\vec{v}-\vec{w}=\vec{0}.$ (2.25)

Observação 2.2.1.(Vetor nulo)

Todo conjunto de vetores que contenha o vetor nulo é um conjunto l.d.. De fato, para quaisquer $\vec{u}_{1}$ , $\vec{u}_{2}$ , …, $\vec{u}_{n}$ , tem-se que

\vec{0}+0\vec{u}_{1}+0\vec{u}_{2}+\cdots+0\vec{u}_{n}=\vec{0}.

(2.26)

2.2.1 Dois vetores no espaço

Dois vetores de mesma direção são linearmente dependentes (l.d.).

Proposição 2.2.1.

Dois vetores não nulos $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.d. se, e somente se, qualquer uma das seguintes condições é satisfeita:

a)

um deles é combinação linear do outro, i.e.

$\vec{u}=\alpha\vec{v}$ (2.27)

ou

$\vec{v}=\beta\vec{u}.$ (2.28)
b)

eles têm a mesma direção;
c)

eles são paralelos.

Demonstração.

De fato, a afirmação a) é a definição de dependência linear. A afirmação b) é consequência imediata da a), bem como a c) é equivalente a b). Por fim, se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são vetores paralelos, então um é múltiplo por escalar do outro. Ou seja, c) implica a). ∎

Esta proposição também mostra que dois vetores não nulos são linearmente independentes (l.i.) se, e somente se, eles têm direções diferentes.

Exemplo 2.2.2.

Considere dois vetores não nulos $\vec{u}$ e $\vec{v}$ de mesma direção. Então, no caso de terem sentidos opostos, segue que

\frac{1}{\|\vec{u}\|}\vec{u}+\frac{1}{\|\vec{v}\|}\vec{v}=\vec{0}.

(2.29)

no outro caso, temos que

\frac{1}{\|\vec{u}\|}\vec{u}+\frac{-1}{\|\vec{v}\|}\vec{v}=\vec{0}.

(2.30)

Consultemos a Figura 2.4.

Refer to caption — Figura 2.4: Dois vetores linearmente dependentes.

2.2.2 Três vetores no espaço

Três vetores quaisquer $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d. quando um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Sem perda de generalidade, isto significa que existem constantes $\alpha$ e $\beta$ tais que

\vec{u}=\alpha\vec{v}+\beta\vec{w}.

(2.31)

ou, equivalentemente,

\vec{u}+(-\alpha)\vec{v}+(-\beta)\vec{w}=\vec{0}.

(2.32)

Afirmamos que se $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d., então $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são coplanares. Do fato de que dois vetores quaisquer são sempre coplanares, temos que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são coplanares caso qualquer um deles seja o vetor nulo. Suponhamos, agora, que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são não nulos e seja $\pi$ o plano determinado pelos vetores $\vec{v}$ e $\vec{w}$ . Se $\alpha=0$ , então $\vec{u}=\beta\vec{w}$ e teríamos uma representação de $\vec{u}$ no plano $\pi$ . Analogamente, se $\beta=0$ , então $\vec{u}=\alpha\vec{v}$ e teríamos uma representação de $\vec{u}$ no plano $\pi$ . Por fim, observamos que, se $\alpha,\beta\neq 0$ , então $\alpha\vec{v}$ tem a mesma direção de $\vec{v}$ e $\beta\vec{w}$ tem a mesma direção de $\vec{w}$ . Isto é, $\alpha\vec{v}$ e $\beta\vec{w}$ admitem representações no plano $\pi$ . Sejam $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BC}$ representações dos vetores $\alpha\vec{v}$ e $\beta\vec{w}$ , respectivamente. Os pontos $A$ , $B$ e $C$ pertencem a $\pi$ , assim como o segmento $A C$ . Como $\overrightarrow{AC}=\vec{u}=\alpha\vec{v}+\beta\vec{w}$ , concluímos que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são coplanares.

Reciprocamente, se $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são coplanares, então $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d.. Consulte a Figura 2.5.

De fato, se um deles for nulo, por exemplo, $\vec{u}=\vec{0}$ , então $\vec{u}$ pode ser escrito como a seguinte combinação linear dos vetores $\vec{v}$ e $\vec{w}$

\vec{u}=0\vec{v}+0\vec{w}.

(2.33)

Neste caso, $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d.. Também, se dois dos vetores forem paralelos, por exemplo, $\vec{u}\parallel\vec{v}$ , então temos a combinação linear

\vec{u}=\alpha\vec{v}+0\vec{w}.

(2.34)

E, então, $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d.. Agora, suponhamos que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são não nulos e não paralelos dois a dois (i.e. todos com direções distintas). Sejam, então, $\overrightarrow{PA}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{PB}=\vec{v}$ e $\overrightarrow{PC}=\vec{w}$ representações sobre um plano $\pi$ . Sejam $r$ e $s$ as retas determinadas por $P A$ e $P C$ , respectivamente. Seja, então, $D$ o ponto de interseção da reta $s$ com a reta paralela a $r$ que passa pelo ponto $B$ . Seja, também, $E$ o ponto de interseção da reta $r$ com a reta paralela a $s$ que passa pelo ponto $B$ . Sejam, então, $\alpha$ e $\beta$ tais que $\alpha\vec{u}=\overrightarrow{PE}$ e $\beta\vec{w}=\overrightarrow{PD}$ . Como $\vec{v}=\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{PD}=\alpha\vec% {u}+\beta\vec{w}$ , temos que $\vec{v}$ é combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{w}$ , i.e. $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d..

2.2.3 Quatro ou mais vetores no espaço

Quatro ou mais vetores são sempre l.d.¹¹1No espaço euclidiano tridimensional.. De fato, sejam dados quatro vetores $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ e $\vec{d}$ . Se dois ou três destes forem l.d. entre si, então, por definição, os quatro são l.d.. Assim sendo, suponhamos que três dos vetores sejam l.i. e provaremos que, então, o outro vetor é combinação linear desses três.

Sem perda de generalidade, suponhamos que $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e $\vec{c}$ são l.i.. Logo, eles não são coplanares. Seja, ainda, $\pi$ o plano determinado pelos vetores $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e as representações $\vec{a}=\overrightarrow{PA}$ , $\vec{b}=\overrightarrow{PB}$ , $\vec{c}=\overrightarrow{PC}$ e $\vec{d}=\overrightarrow{PD}$ .

Tomamos a reta $r$ paralela a $\overrightarrow{PC}$ que passa pelo ponto $D$ . Então, seja $E$ o ponto de interseção de $r$ com o plano $\pi$ . Consultemos a Figura 2.6. Observamos que o vetor $\overrightarrow{PE}$ é coplanar aos vetores $\overrightarrow{PA}$ e $\overrightarrow{PB}$ e, portanto, existem números reais $\alpha$ e $\beta$ tais que

\overrightarrow{PE}=\alpha\overrightarrow{PA}+\beta\overrightarrow{PB}.

(2.35)

Além disso, como $\overrightarrow{ED}$ tem a mesma direção e sentido de $\overrightarrow{PC}=\vec{c}$ , temos que

\overrightarrow{ED}=\gamma\overrightarrow{PC}

(2.36)

para algum número real $\gamma$ . Por fim, observamos que

	$\displaystyle\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{ED}$		(2.37)
	$\displaystyle\text{}\quad=\alpha\overrightarrow{PA}+\beta\overrightarrow{PB}+% \gamma\overrightarrow{PC}$		(2.38)
	$\displaystyle\text{}\quad=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}.$		(2.39)

2.2.4 Exercícios resolvidos

ER 2.2.1.

Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.i. e

	$\displaystyle\vec{a}=2\vec{u}-3\vec{v},$		(2.40)
	$\displaystyle\vec{b}=\vec{u}+2\vec{v},$		(2.41)

então $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são l.d.?

Resolução.

Os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são l.i. se, e somente se,

\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}=\vec{0}\Rightarrow\alpha=\beta=0.

(2.42)

Observemos que

	$\displaystyle\vec{0}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}$		(2.43)
	$\displaystyle\text{}\quad=\alpha(2\vec{u}-3\vec{v})+\beta(\vec{u}+2\vec{v})$		(2.44)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2\alpha+\beta)\vec{u}+(-3\alpha+2\beta)\vec{v}$		(2.45)

implica

	$\displaystyle 2\alpha+\beta=0$		(2.46)
	$\displaystyle-3\alpha+2\beta=0$		(2.47)

Resolvendo este sistema, vemos que $\alpha=\beta=0$ . Logo, concluímos que $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são l.i..

ER 2.2.2.

Sejam $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ três vetores. Verifique a seguinte afirmação de que se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.d., então $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d.. Justifique sua resposta.

Resolução.

A afirmação é verdadeira. De fato, se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.d., então existe um escalar $\alpha$ tal que

\vec{u}=\alpha\vec{v}.

(2.48)

Segue que

\vec{u}=\alpha\vec{v}+0\vec{w}.

(2.49)

Isto é, $\vec{u}$ é combinação linear de $\vec{v}$ e $\vec{w}$ . Então, por definição, $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d..

ER 2.2.3.

Sejam $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ e $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ . Mostre que $A$ , $B$ e $C$ são colineares se, e somente se, $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.d..

Resolução.

Primeiramente, vamos verificar a implicação. Se $A$ , $B$ e $C$ são colineares, então os segmentos $A B$ e $A C$ têm a mesma direção. Logo, são l.d. os vetores $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ e $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ .

Agora, verificamos a recíproca. Se $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ e $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ são l.d., então os segmentos $A B$ e $A C$ têm a mesma direção. Como eles são concorrentes, segue que $A$ , $B$ e $C$ são colineares.

2.2.5 Exercícios

E. 2.2.1.

Sendo $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=\vec{0}$ , mostre que $\overrightarrow{PA}$ , $\overrightarrow{PB}$ e $\overrightarrow{PC}$ são l.d. para qualquer ponto $P$ .

Dica: os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BC}$ são l.d..

E. 2.2.2.

Sejam dados três vetores quaisquer $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e $\vec{c}$ . Mostre que os vetores $\vec{u}=2\vec{a}-\vec{b}$ , $\vec{v}=-\vec{a}-2\vec{c}$ e $\vec{w}=\vec{b}+4\vec{c}$ são l.d..

Dica: Escreva um dos vetores como combinação linear dos outros.

E. 2.2.3.

Sejam $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ , $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ e $\vec{w}=\overrightarrow{AD}$ . Mostre que $A$ , $B$ , $C$ e $D$ são coplanares se, e somente se, $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d..

Três vetores são l.d. se, e somente se, eles são coplanares.

E. 2.2.4.

Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.i. e

	$\displaystyle\vec{a}=2\vec{u}-\vec{v},$		(2.50)
	$\displaystyle\vec{b}=2\vec{v}-4\vec{u},$		(2.51)

então $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são l.i.? Justifique sua resposta.

Não.

E. 2.2.5.

Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações. Justifique sua resposta.

a)

$\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ l.d. $\Rightarrow$ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ l.d..
b)

$\vec{u}$ , $\vec{0}$ , $\vec{w}$ são l.d..
c)

$\vec{u}$ , $\vec{v}$ l.i. $\Rightarrow$ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ l.i..
d)

$\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ l.d. $\Rightarrow$ $-\vec{u}$ , $2\vec{v}$ , $-3\vec{w}$ l.d..

a) falsa; b) verdadeira; c) falsa; d) verdadeira.

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2.2 Dependência linear

Exemplo 2.2.1.

Observação 2.2.1.(Vetor nulo)

2.2.1 Dois vetores no espaço

Proposição 2.2.1.

Demonstração.

Exemplo 2.2.2.

2.2.2 Três vetores no espaço

2.2.3 Quatro ou mais vetores no espaço

2.2.4 Exercícios resolvidos

ER 2.2.1.

Resolução.

ER 2.2.2.

Resolução.

ER 2.2.3.

Resolução.

2.2.5 Exercícios

E. 2.2.1.

E. 2.2.2.

E. 2.2.3.

E. 2.2.4.

E. 2.2.5.

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