Vetores

2 Bases e coordenadas 2 Bases e coordenadas 2.2 Dependência linear

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2.1 Combinação linear

Dados vetores $\vec{u}_{1}$ , $\vec{u}_{2}$ , $\dotsc$ , $\vec{u}_{n}$ e números reais $c_{1}$ , $c_{2}$ , $\dotsc$ , $c_{n}$ , com $n$ inteiro positivo, chamamos de

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{u}=c_{1% }\vec{u}_{1}+c_{2}\vec{u}_{2}+\cdots+c_{n}\vec{u}_{n}}

(2.1)

uma combinação linear de $\vec{u}_{1}$ , $\vec{u}_{2}$ , $\dotsc$ , $\vec{u}_{n}$ . Neste caso, também dizemos que $\vec{u}$ é gerado pelos vetores $\vec{u}_{1}$ , $\vec{u}_{2}$ , $\dotsc$ , $\vec{u}_{n}$ ou, equivalentemente, que estes vetores geram o vetor $\vec{u}$ .

Exemplo 2.1.1.

Sejam dados os vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ e $\vec{z}$ . Então, temos:

a)

$\vec{u}_{1}=\frac{1}{2}\vec{v}+\sqrt{2}\vec{z}$ é uma combinação linear dos vetores $\vec{v}$ e $\vec{z}$ .
b)

$\vec{u_{2}}=\vec{u}-2\vec{z}$ é uma outra combinação linear dos vetores $\vec{u}$ e $\vec{z}$ .
c)

$\vec{u_{3}}=2\vec{u}-\vec{w}+\pi\vec{z}$ é uma combinação linear dos vetores $\vec{u}$ , $\vec{w}$ e $\vec{z}$ .
d)

$\vec{u_{4}}=\frac{3}{2}\vec{z}$ é uma combinação linear do vetor $\vec{z}$ .

2.1.1 Interpretação geométrica

Combinação linear e vetores paralelos

Se $\vec{u}$ é combinação linear não nula de $\vec{v}$ apenas, então $\vec{u}$ é paralelo a $\vec{v}$ . De fato, se

\vec{u}=\alpha\vec{v},

(2.2)

com $\alpha\neq 0$ , então, por definição da multiplicação por escalar, $\vec{u}$ tem a mesma direção de $\vec{v}$ . Em outras palavras, temos a seguinte proposição. Consulte a Figura 2.1.

Refer to caption — Figura 2.1: Combinação linear de vetores paralelos.

Proposição 2.1.1.

(Combinação Linear entre Vetores Paralelos.) Se $\vec{u},\vec{v}$ são vetores não nulos tais que

\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{0},

(2.3)

com escalares $\alpha,\beta$ não simultaneamente nulos, então $\vec{u}\parallel\vec{v}$ .

Demonstração.

Sem perda de generalidade, vamos assumir que $\alpha\neq 0$ . Logo, temos que

\vec{u}=-\frac{\beta}{\alpha}\vec{v},

(2.4)

o que mostra que $\vec{u}$ têm a mesma direção de $\vec{v}$ . ∎

Observação 2.1.1.

(Vetores Paralelos Têm Combinação Não Trivial.) A recíproca da Proposição 2.1.1 é válida, i.e., se $\vec{u}\parallel\vec{v}$ e não nulos, então existem escalares $\alpha,\beta$ não simultaneamente nulos tais que

\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{0}.

(2.5)

Consulte o exercício E.2.1.8.

Combinação linear e vetores coplanares

Se $\vec{w}$ é combinação linear não nula de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , então $\vec{w}$ é coplanar a estes vetores. De fato, temos

\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},

(2.6)

com escalares $\alpha,\beta$ . Se pelo menos um dos $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\alpha$ ou $\beta$ é nulo, então, é certo, que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são coplanares. Caso sejam todos não nulos, $\alpha\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ e $\beta\vec{v}=\overrightarrow{OC}$ determinam um plano $\gamma$ e um paralelogramo $OABC\in\gamma$ . Segue que

$\displaystyle\vec{w}$	$\displaystyle=\alpha\vec{u}+\beta\vec{w}$	(2.7)
	$\displaystyle=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$	(2.8)
	$\displaystyle=\overrightarrow{OB}\in\gamma.$	(2.9)

Concluímos que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são coplanares.

Proposição 2.1.2.

(Combinação Linear entre Vetores Coplanares.) Vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ não nulos têm combinação linear não trivial se, e somente se, são coplanares.

Demonstração.

Consulte o E.2.1.9. ∎

2.1.2 Exercícios resolvidos

ER 2.1.1.

Com base na Figura 2.3, escreva o vetor $\vec{u}$ como combinação linear dos vetores $\vec{i}$ e $\vec{j}$ .

Resolução.

Para escrevermos o vetor $\vec{u}$ como combinação linear dos vetores $\vec{i}$ e $\vec{j}$ , devemos determinar números $c_{1}$ e $c_{2}$ tais que

\vec{u}=c_{1}\vec{i}+c_{2}\vec{j}.

(2.10)

Com base na Figura 2.3, podemos tomar $c_{1}=3$ e $c_{2}=2$ , i.e. temos

\vec{u}=3\vec{i}+2\vec{j}.

(2.11)

ER 2.1.2.

Sabendo que $\vec{u}=2\vec{v}$ , forneça três maneiras de escrever o vetor nulo $\vec{0}$ como combinação linear dos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ .

Resolução.

Dado que

\vec{u}=2\vec{v}

(2.12)

podemos escrever $\vec{0}$ como combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ das seguintes formas:

a)

subtraindo $\vec{u}$ .

$\displaystyle\vec{u}-\vec{u}$ $\displaystyle=2\vec{v}-\vec{u}$ (2.13)

$\displaystyle\vec{0}$ $\displaystyle=2\vec{v}-\vec{u}$ (2.14)
b)

subtraindo $2\vec{v}$ .

$\displaystyle\vec{u}-2\vec{v}$ $\displaystyle=2\vec{v}-2\vec{v}$ (2.15)

$\displaystyle\vec{u}-2\vec{v}$ $\displaystyle=\vec{0}$ (2.16)

$\displaystyle\vec{0}$ $\displaystyle=\vec{u}-2\vec{v}$ (2.17)
c)

multiplicando por $1/2$ e subtraindo $-(1/2)\vec{u}$ .

$\displaystyle\frac{1}{2}\vec{u}$ $\displaystyle=\frac{1}{2}\cdot 2\vec{v}$ (2.18)

$\displaystyle\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{u}$ $\displaystyle=\vec{v}-\frac{1}{2}\vec{u}$ (2.19)

$\displaystyle\vec{0}$ $\displaystyle=\vec{v}-\frac{1}{2}\vec{u}$ (2.20)

2.1.3 Exercícios

E. 2.1.1.

Com base na figura abaixo, escreva cada um dos seguintes vetores como combinação linear de $\vec{i}$ e $\vec{j}$ .

a)

$\vec{u}$ .
b)

$\vec{v}$ .
c)

$\vec{w}$ .
d)

$\vec{x}$ .

a) $\vec{u}=2\vec{i}+3\vec{j}$ . b) $\vec{v}=-2\vec{i}+2\vec{j}$ . c) $\vec{w}=-2\vec{i}-\vec{j}$ . d) $\vec{x}=3\vec{i}-\vec{j}$ .

E. 2.1.2.

Com base na figura abaixo, escreva os seguintes vetores como combinação linear de $\vec{x}$ e $\vec{y}$ .

a)

$\vec{u}$ .
b)

$\vec{v}$ .
c)

$\vec{w}$ .
d)

$\vec{z}$ .

a) $\vec{u}=-2\vec{x}+\frac{3}{2}\vec{y}$ . b) $\vec{v}=2\vec{x}+\vec{y}$ . c) $\vec{w}=2\vec{x}-\frac{1}{2}\vec{y}$ . d) $\vec{z}=-3\vec{x}-\frac{1}{2}\vec{y}$ .

E. 2.1.3.

Sabendo que $\vec{u}=3\vec{w}+\vec{v}$ , escreva $\vec{w}$ como combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ .

$\vec{w}=\frac{1}{3}\vec{u}-\frac{1}{3}\vec{v}$

E. 2.1.4.

Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ vetores de mesma direção e $\vec{w}$ um vetor não paralelo a $\vec{u}$ , todos não nulos. Pode-se escrever $\vec{w}$ como combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ ? Justifique sua resposta.

Não.

E. 2.1.5.

Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ ambos não nulos e de mesma direção. Pode-se afirmar que $\vec{u}$ gera $\vec{v}$ ? Justifique sua resposta.

Sim.

E. 2.1.6.

Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ vetores não paralelos entre si e $\vec{w}$ um vetor não coplanar a $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , todos não nulos. É possível gerar $\vec{w}$ com $\vec{u}$ e $\vec{v}$ ?

Não.

E. 2.1.7.

Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ não nulos, coplanares e com direções distintas. Se $\vec{w}$ é um vetor também coplanar a $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , então $\vec{u}$ e $\vec{v}$ geram $\vec{w}$ ? Justifique sua resposta.

Sim.

E. 2.1.8.

Mostre que se $\vec{u},\vec{v}$ são vetores não nulos e paralelos entre si, então existem escalares $\alpha,\beta$ não simultaneamente nulos tais que

\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{0}.

(2.21)

Sem perda de generalidade, existe $\gamma\neq 0$ tal que $\vec{u}=\gamma\vec{v}$ . Logo, escolhendo $\alpha=1$ e $\beta=-\gamma$ , temos que $\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{0}$ .

E. 2.1.9.

Faça a demonstração da Proposição 2.1.2.

Implicação. Sem perda de generalidade, assumimos que $\gamma\neq 0$ , logo

\vec{w}=-\frac{\alpha}{\gamma}\vec{u}-\frac{\beta}{\gamma}\vec{v},

(2.22)

o que mostra que $\vec{w}$ é coplanar aos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ .

Recíproca. Se dois dos vetores forem paralelos entre si, o resultado segue da Proposição 2.1.1. Caso contrário, sejam $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ e $r$ a reta paralela a $\vec{v}$ que passa por $A$ . Seja, então, $P$ a interseção entre $r$ e a reta suporte de $\vec{w}$ que passa por $O$ . Logo, existem $\gamma,\beta$ tal que $\gamma\vec{w}=\overrightarrow{OP}$ e $\beta\vec{v}=\overrightarrow{AP}$ . Segue que $\vec{u}+\beta\vec{v}=\gamma\vec{w}$ .

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2.1 Combinação linear

Exemplo 2.1.1.

2.1.1 Interpretação geométrica

Combinação linear e vetores paralelos

Proposição 2.1.1.

Demonstração.

Observação 2.1.1.

Combinação linear e vetores coplanares

Proposição 2.1.2.

Demonstração.

2.1.2 Exercícios resolvidos

ER 2.1.1.

Resolução.

ER 2.1.2.

Resolução.

2.1.3 Exercícios

E. 2.1.1.

E. 2.1.2.

E. 2.1.3.

E. 2.1.4.

E. 2.1.5.

E. 2.1.6.

E. 2.1.7.

E. 2.1.8.

E. 2.1.9.

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	$\displaystyle\vec{u}-\vec{u}$	$\displaystyle=2\vec{v}-\vec{u}$		(2.13)
	$\displaystyle\vec{0}$	$\displaystyle=2\vec{v}-\vec{u}$		(2.14)

$\displaystyle\vec{u}-2\vec{v}$	$\displaystyle=2\vec{v}-2\vec{v}$	(2.15)
$\displaystyle\vec{u}-2\vec{v}$	$\displaystyle=\vec{0}$	(2.16)
$\displaystyle\vec{0}$	$\displaystyle=\vec{u}-2\vec{v}$	(2.17)

$\displaystyle\frac{1}{2}\vec{u}$	$\displaystyle=\frac{1}{2}\cdot 2\vec{v}$	(2.18)
$\displaystyle\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{u}$	$\displaystyle=\vec{v}-\frac{1}{2}\vec{u}$	(2.19)
$\displaystyle\vec{0}$	$\displaystyle=\vec{v}-\frac{1}{2}\vec{u}$	(2.20)