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3 Produtos 3 Produtos 3.2 Ângulo entre Vetores

3.1 Produto Escalar

Em revisão

Ao longo desta seção, assumiremos $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ uma base ortonormal no espaço¹³¹³endnote: ¹³ $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ é l.i., $|\vec{i}|=1$ , $|\vec{j}|=1$ , $|\vec{k}|=1$ e dois a dois ortogonais. Veja Subseção LABEL:subsec:cbsbc_bortonormal.. Por simplicidade de notação, vamos denotar as coordenas de um vetor $\vec{u}$ na base $B$ por

\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}),

(3.1)

i.e. $\vec{u}=u_{1}\vec{i}+u_{2}\vec{j}+u_{3}\vec{k}$ .

O produto escalar dos vetores $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ e $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ é o número real

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot% \vec{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}.

(3.2)

Exemplo 3.1.1.

Se $\vec{u}=(2,-1,3)$ e $\vec{v}=(-3,-4,2)$ , então

\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot(-3)+(-1)\cdot(-4)+3\cdot 2=4.

(3.3)

3.1.1 Propriedades do Produto Escalar

Quaisquer que sejam $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ e qualquer número real $\alpha$ , temos:

•

Comutatividade:

${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot% \vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}}$ (3.4)

Dem.:

$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle=(u_{1},u_{2},u_{3})\cdot(v_{1},v_{2},v_{3})$ (3.5)

$\displaystyle=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}$ (3.6)

$\displaystyle=v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}+v_{3}u_{3}$ (3.7)

$\displaystyle=\vec{v}\cdot\vec{u}.$ (3.8)

•

Associatividade com a multiplicação por escalar:

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}(\alpha\vec{u}% )\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot(\alpha\vec{v})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})}

(3.9)

Dem.:

$\displaystyle(\alpha\vec{u})\cdot\vec{v}$	$\displaystyle=(\alpha u_{1},\alpha u_{2},\alpha u_{3})\cdot(v_{1},v_{2},v_{3})$	(3.10)
	$\displaystyle=(\alpha u_{1})v_{1}+(\alpha u_{2})v_{2}+(\alpha u_{3})v_{3}$	(3.11)
	$\displaystyle=\alpha(u_{1}v_{1})+\alpha(u_{2}v_{2})+\alpha(u_{3}v_{3})$	(3.12)
	$\displaystyle=\alpha(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec% {v})$	(3.13)
	$\displaystyle=u_{1}(\alpha v_{1})+u_{2}(\alpha v_{2})+u_{3}(\alpha v_{3})$	(3.14)
	$\displaystyle=(u_{1},u_{2},u_{3})\cdot(\alpha v_{1},\alpha v_{2},\alpha v_{3})$	(3.15)
	$\displaystyle=\vec{u}\cdot(\alpha\vec{v}).$	(3.16)

•

Distributividade com a adição:

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot(% \vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}}

(3.17)

Dem.:

$\displaystyle\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})$	$\displaystyle=(u_{1},u_{2},u_{3})\cdot\left((v_{1},v_{2},v_{3})+(w_{1},w_{2},w% _{3})\right)$	(3.18)
	$\displaystyle=(u_{1},u_{2},u_{3})\cdot[(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2},v_{3}+w_{3})]$	(3.19)
	$\displaystyle=u_{1}(v_{1}+w_{1})+u_{2}(v_{2}+w_{2})+u_{2}(v_{2}+w_{2})$	(3.20)
	$\displaystyle=u_{1}v_{1}+u_{1}w_{1}+u_{2}v_{2}+u_{2}w_{2}+u_{3}v_{3}+u_{3}w_{3}$	(3.21)
	$\displaystyle=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}+u_{1}w_{1}+u_{2}w_{2}+u_{3}w_{3}$	(3.22)
	$\displaystyle=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}.$	(3.23)

•

Sinal:

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot% \vec{u}\geq 0},\quad\text{e}$ (3.24)

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot% \vec{u}=0\Leftrightarrow\vec{u}=\vec{0}}$ (3.25)

Dem.:

$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{u}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}\geq 0.$ (3.26)

Além disso, observamos que a soma de números não negativos é nula se, e somente se, os números forem zeros.
•

Norma:

${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}|u|^{2}=\vec{u% }\cdot\vec{u}}$ (3.27)

Dem.: Como fixamos uma base ortonormal $B$ , a Proposição LABEL:prop:bo_norma nos garante que

$|u|^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u}.$ (3.28)

Exemplo 3.1.2.

Sejam $\vec{u}=(-1,2,1)$ , $\vec{v}=(2,-1,3)$ e $\vec{w}=(1,0,-1)$ . Vejamos se as propriedades se verificam para estes vetores.

•

Comutatividade:

$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}=-1\cdot 2+2\cdot(-1)+1\cdot 3=-1$ (3.29)

$\displaystyle\vec{v}\cdot\vec{u}=2\cdot(-1)+(-1)\cdot 2+3\cdot 1=-1\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$ (3.30)
•

Associatividade com a multiplicação por escalar:

$\displaystyle(2\vec{u})\cdot\vec{v}=(-2,4,2)\cdot(2,-1,3)=-4-4+6=-2$ (3.31)

$\displaystyle 2(\vec{u}\cdot\vec{v})=2(-2-2+3)=-2\leavevmode\nobreak\ \checkmark$ (3.32)

$\displaystyle\vec{u}\cdot(2\vec{v})=(-1,2,1)\cdot(4,-2,6)=-2\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$ (3.33)
•

Distributividade com a adição:

$\displaystyle\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=(-1,2,1)\cdot(3,-1,2)=-3-2+2=-3$ (3.34)

$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}=(-2-2+3)+(-1+0-1)=-3% \leavevmode\nobreak\ \checkmark$ (3.35)
•

Sinal:

$\vec{w}\cdot\vec{w}=1+0+1=2\geq 0\leavevmode\nobreak\ \checkmark$ (3.36)
•

Norma:

$\displaystyle|u|^{2}=(-1)^{2}+2^{2}+1^{2}=6$ (3.37)

$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{u}=(-1)\cdot(-1)+2\cdot 2+1\cdot 1=6\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$ (3.38)

3.1.2 Exercícios Resolvidos

ER 3.1.1.

Sejam

	$\displaystyle\vec{u}=(-1,0,1)$		(3.39)
	$\displaystyle\vec{v}=(0,2,1)$		(3.40)
	$\displaystyle\vec{w}=(2,-1,-1)$		(3.41)

calcule $\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-2\vec{u}\cdot\vec{w}$ .

Solução.

Vamos começar calculando o último termo.

	$\displaystyle\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-2\vec{u}\cdot\vec{w}$		(3.42)
	$\displaystyle=\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-2(-1,0,1)\cdot(2,-1,-1)$		(3.43)

Calculamos $2(-1,0,1)=(-2,0,2)$ , logo, temos

	$\displaystyle\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-(-2,0,2)\cdot(2,-1,-1)$		(3.44)
	$\displaystyle=\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-(-2\cdot 2+0\cdot(-1)+% 2\cdot(-1))$		(3.45)
	$\displaystyle=\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-(-4-2)$		(3.46)

Agora, para o primeiro termo, podemos usar a propriedade distributiva, como segue

	$\displaystyle 2\vec{w}\cdot\vec{u}-\vec{w}\cdot\vec{w}+6$		(3.47)
	$\displaystyle=2(2,-1,-1)\cdot(-1,0,1)-\|\vec{w}\|^{2}+6$		(3.48)
	$\displaystyle=2(-2+0-1)-(2^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2})+6$		(3.49)
	$\displaystyle=-6-6+6$		(3.50)
	$\displaystyle=-6$		(3.51)

Com isso, concluímos que $\vec{w}\cdot\left(2\vec{u}-\vec{w}\right)-2\vec{u}\cdot\vec{w}=-6$ .

ER 3.1.2.

Sendo $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ uma base ortonormal, mostre que o produto interno entre vetores distintos de $B$ é igual a zero. Ainda, o produto interno de um vetor de $B$ por ele mesmo é igual a 1.

Solução.

Calculamos o produto interno entre vetores diferentes:

$\displaystyle\vec{i}\cdot\vec{j}$	$\displaystyle=(1,0,0)\cdot(0,1,0)$	(3.52)
	$\displaystyle=1\cdot 0+0\cdot 1+0\cdot 0$	(3.53)
	$\displaystyle=0\leavevmode\nobreak\ \checkmark$	(3.54)
	$\displaystyle=\vec{j}\cdot\vec{i}$	(3.55)

$\displaystyle\vec{i}\cdot\vec{k}$	$\displaystyle=(1,0,0)\cdot(0,0,1)$	(3.56)
	$\displaystyle=1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 1$	(3.57)
	$\displaystyle=0\leavevmode\nobreak\ \checkmark$	(3.58)
	$\displaystyle=\vec{k}\cdot\vec{i}$	(3.59)

$\displaystyle\vec{j}\cdot\vec{k}$	$\displaystyle=(1,0,0)\cdot(0,0,1)$	(3.60)
	$\displaystyle=1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 1$	(3.61)
	$\displaystyle=0\leavevmode\nobreak\ \checkmark$	(3.62)
	$\displaystyle=\vec{k}\cdot\vec{j}$	(3.63)

Por fim, verificamos os casos do produto interno de um vetor por ele mesmo:

	$\displaystyle\vec{i}\cdot\vec{i}=1^{2}+0^{2}+0^{2}=1\leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.64)
	$\displaystyle\vec{j}\cdot\vec{j}=0^{2}+1^{2}+0^{2}=1\leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.65)
	$\displaystyle\vec{k}\cdot\vec{k}=0^{2}+0^{2}+1^{2}=1\leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.66)

3.1.3 Exercícios

E. 3.1.1.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ e $\vec{v}=(1,-3,2)$ , calcule:

a)

$\vec{u}\cdot\vec{v}$
b)

$\vec{v}\cdot\vec{u}$
c)

$2\vec{u}\cdot\vec{v}$
d)

$\vec{u}\cdot(2\vec{v})$

Resposta.

a) $7$ ; b) $7$ ; c) $14$ ; d) $14$

E. 3.1.2.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ , calcule:

a)

$\vec{u}\cdot\vec{i}$
b)

$\vec{u}\cdot\vec{j}$
c)

$2\vec{u}\cdot\vec{k}$

Resposta.

a) $2$ ; b) $-1$ ; c) $2$

E. 3.1.3.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ , $\vec{v}=(1,-3,2)$ e $\vec{w}=(-2,-1,-3)$ , calcule:

a)

$\vec{u}\cdot(\vec{w}+\vec{v})$
b)

$\vec{v}\cdot(\vec{v}-2\vec{u})$

Resposta.

a) $1$ ; b) $0$ ;

E. 3.1.4.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ , $\vec{v}=(1,-3,2)$ e $\vec{w}=(-2,-1,-3)$ , calcule:

a)

$|\vec{u}|$
b)

$|\vec{u}+\vec{v}|$
c)

$|\vec{u}\cdot\vec{w}|$

Resposta.

a) $\sqrt{6}$ ; b) $\sqrt{34}$ ; c) $6$ ;

E. 3.1.5.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ , $\vec{v}=(1,-3,2)$ e $\vec{w}=(-2,-1,-3)$ , encontre o vetor $\vec{x}$ que satisfaz as seguintes condições:

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{x}=-1$		(3.67)
	$\displaystyle\vec{v}\cdot\vec{x}=2$		(3.68)
	$\displaystyle\vec{w}\cdot\vec{x}=-4$		(3.69)

Resposta.

$x=(-23/16,5/16,35/16)$

E. 3.1.6.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ e $\vec{v}=(1,-3,2)$ , encontre o vetor $\vec{x}$ que satisfaz as seguintes condições:

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{x}=0$		(3.71)
	$\displaystyle\vec{v}\cdot\vec{x}=0$		(3.72)

Resposta.

$\displaystyle x=\left(-\frac{1}{5}x_{3},\frac{3}{5}x_{3},x_{3}\right),x_{3}\in% \mathbb{R}$

E. 3.1.7.

Sendo $\vec{u}=(2,-1,1)$ , $\vec{v}=(1,-3,2)$ e $\vec{w}=(-2,-1,-3)$ , encontre o vetor $\vec{x}$ que satisfaz as seguintes condições:

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{x}=0$		(3.73)
	$\displaystyle\vec{v}\cdot\vec{x}=0$		(3.74)
	$\displaystyle\vec{w}\cdot\vec{x}=0$		(3.75)

Resposta.

$x=\vec{0}$

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$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}$	$\displaystyle=(u_{1},u_{2},u_{3})\cdot(v_{1},v_{2},v_{3})$	(3.5)
	$\displaystyle=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}$	(3.6)
	$\displaystyle=v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}+v_{3}u_{3}$	(3.7)
	$\displaystyle=\vec{v}\cdot\vec{u}.$	(3.8)

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot% \vec{u}\geq 0},\quad\text{e}$		(3.24)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot% \vec{u}=0\Leftrightarrow\vec{u}=\vec{0}}$		(3.25)

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}=-1\cdot 2+2\cdot(-1)+1\cdot 3=-1$		(3.29)
	$\displaystyle\vec{v}\cdot\vec{u}=2\cdot(-1)+(-1)\cdot 2+3\cdot 1=-1\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$		(3.30)

	$\displaystyle(2\vec{u})\cdot\vec{v}=(-2,4,2)\cdot(2,-1,3)=-4-4+6=-2$		(3.31)
	$\displaystyle 2(\vec{u}\cdot\vec{v})=2(-2-2+3)=-2\leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.32)
	$\displaystyle\vec{u}\cdot(2\vec{v})=(-1,2,1)\cdot(4,-2,6)=-2\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$		(3.33)

	$\displaystyle\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=(-1,2,1)\cdot(3,-1,2)=-3-2+2=-3$		(3.34)
	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}=(-2-2+3)+(-1+0-1)=-3% \leavevmode\nobreak\ \checkmark$		(3.35)

	$\displaystyle\|u\|^{2}=(-1)^{2}+2^{2}+1^{2}=6$		(3.37)
	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{u}=(-1)\cdot(-1)+2\cdot 2+1\cdot 1=6\leavevmode% \nobreak\ \checkmark$		(3.38)