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3 Produtos 3.1 Produto Escalar 3.3 Projeção Ortogonal

3.2 Ângulo entre Vetores

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Em revisão

O ângulo formado entre dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ não nulos, é definido como o menor ângulo determinado entre quaisquer representações $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ e $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ .

Refer to caption — Figura 3.1: Ângulo entre dois vetores.

Proposição 3.2.1.

Dados $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , temos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot% \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha},

(3.77)

onde $\alpha$ é o ângulo entre os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ .

Demonstração.

Tomamos as representações $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ e $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ . Observamos que $\vec{u}-\vec{v}=\overrightarrow{BA}$ . Então, aplicando a lei dos cossenos no triângulo $\triangle OAB$ , obtemos

|\overrightarrow{BA}|^{2}=|\overrightarrow{OA}|^{2}+|\overrightarrow{OB}|^{2}-% 2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\alpha,

(3.78)

ou, equivalentemente,

$\displaystyle\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}$	$\displaystyle=\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}-2\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\alpha$	(3.79)
$\displaystyle(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$	$\displaystyle=\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}-2\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\alpha$	(3.80)
$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{u}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v}$	$\displaystyle=\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}-2\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\alpha$	(3.81)
$\displaystyle\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}$	$\displaystyle=\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}-2\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\alpha$	(3.82)

donde

\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha.

(3.83)

∎

Exemplo 3.2.1.

Vamos determinar ângulo entre os vetores $\displaystyle\vec{u}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right)$ e $\displaystyle\vec{u}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$ . Da Proposição 3.2.1, temos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\cos\alpha=% \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|u\|\cdot\|v\|}}$		(3.84)
	$\displaystyle\cos\alpha=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{% \sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}% \right)^{2}+0^{2}}\cdot\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}% }{2}\right)^{2}+0^{2}}}$		(3.85)
	$\displaystyle\cos\alpha=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1\cdot 1}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$		(3.86)

Portanto, temos $\alpha=\pi/6$ .

Observação 3.2.1.

O ângulo entre dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ é:

•

agudo se, e somente se, $\vec{u}\cdot\vec{v}>0$ ;
•

obtuso se, e somente se, $\vec{u}\cdot\vec{v}<0$ .

De fato, de (3.77), temos que o sinal de $\vec{u}\cdot\vec{v}$ é igual ao sinal de $\cos\alpha$ (o cosseno do ângulo entre os vetores). Também, por definição, $0\leq\alpha\leq\pi$ . Logo, se $\cos\alpha>0$ , então $0<\alpha<\pi/2$ (ângulo agudo) e, se $\cos\alpha<0$ , então $\pi/2<\alpha<\pi$ (ângulo obtuso).

Observação 3.2.2.

(Vetores ortogonais) Se $\vec{u},\vec{v}\neq\vec{0}$ , então:

•

$\vec{u}\perp\vec{v}$ se, e somente se, $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ .

De fato, seja $\alpha$ o ângulo entre $\vec{u}$ e $\vec{v}$ . Se $\vec{u}\perp\vec{v}$ , então $\alpha=\pi/2$ e

$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}$	$\displaystyle=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\alpha$	(3.87)
	$\displaystyle=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$	(3.88)
	$\displaystyle=\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot 0$	(3.89)
	$\displaystyle=0.$	(3.90)

Reciprocamente, se $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ , então

$\displaystyle\cos\alpha$	$\displaystyle=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$	(3.91)
	$\displaystyle=\frac{0}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$	(3.92)
	$\displaystyle=0.$	(3.93)

Lembrando que $0\leq\alpha\leq\pi$ , segue que $\alpha=\pi/2$ , i.e. $\vec{u}\perp\vec{v}$ .

Exemplo 3.2.2.

Os vetores $\vec{i}=(1,0,0)$ e $\vec{u}=(0,1,1)$ são ortogonais. De fato, temos

	$\displaystyle\vec{i}\cdot\vec{j}$	$\displaystyle=1\cdot 0+0\cdot 1+0\cdot 1$		(3.94)
		$\displaystyle=0.$		(3.95)

3.2.1 Desigualdade Triangular

Dados dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ temos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}|\vec{u}+\vec{% v}|\leq|\vec{u}|+|\vec{v}|},

(3.96)

esta é conhecida como a desigualdade triangular. Para demonstrá-la, começamos observando que

$\displaystyle\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}$	$\displaystyle=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})$	(3.97)
	$\displaystyle=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec% {v}\cdot\vec{u}$	(3.98)
	$\displaystyle=\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}.$	(3.99)

Agora, vamos estimar $\vec{u}\cdot\vec{v}$ . Pela Proposição 3.2.1, temos

\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha,

(3.100)

onde $\alpha$ é o ângulo entre $\vec{u}$ e $\vec{v}$ . Mas, então:

\vec{u}\cdot\vec{v}\leq|\vec{u}||\vec{v}||\cos\alpha|.

(3.101)

Daí, como $|\cos\alpha|\leq 1$ , temos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot% \vec{v}\leq|\vec{u}||\vec{v}|},

(3.102)

a qual é chamada de desigualdade de Cauchy-Schwarz¹⁴¹⁴endnote: ¹⁴Augustin-Louis Cauchy, 1798-1857, matemático francês. Fonte: Wikipeida. Hermann Schwarz, 1843-1921, matemático alemão. Fonte: Wikipedia..

3.2.2 Exercícios Resolvidos

ER 3.2.1.

Sejam $\vec{u}=(x,-1,2)$ e $\vec{v}=(2,x,-3)$ . Determine $x$ tal que

\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}.

(3.103)

Solução.

Da definição do produto escalar, temos

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}$		(3.104)
	$\displaystyle\frac{1}{2}=2x-x-6$		(3.105)
	$\displaystyle x-6=\frac{1}{2}$		(3.106)
	$\displaystyle x=\frac{1}{2}+6$		(3.107)
	$\displaystyle x=\frac{13}{2}.$		(3.108)

ER 3.2.2.

Determine $x$ tal que $\vec{u}=(-1,0,x)$ seja ortogonal a $\vec{v}=(1,2,-1)$ .

Solução.

Para que $\vec{u}\perp\vec{v}$ devemos ter

	$\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}=0$		(3.109)
	$\displaystyle-1+0-x=0$		(3.110)
	$\displaystyle x=-1.$		(3.111)

3.2.3 Exercícios

E. 3.2.1.

Determine o ângulo entre os vetores $\vec{u}=(1,0,1)$ e $\vec{v}=(0,0,2)$ .

Resposta.

$\pi/4$

E. 3.2.2.

Seja $\vec{v}=(1,2,-1)$ . Determine a norma do vetor $\vec{u}$ de mesma direção de $\vec{v}$ e tal que $\vec{u}\cdot\vec{v}=2$ .

Resposta.

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

E. 3.2.3.

Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são vetores unitários e $\vec{u}\cdot\vec{v}=1$ , então $\vec{u}$ e $\vec{v}$ têm a mesma direção e o mesmo sentido? Justifique sua resposta.

Resposta.

Sim.

E. 3.2.4.

Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são vetores tais que $\vec{u}\cdot\vec{v}=-1$ , então $\vec{u}$ e $\vec{v}$ têm a mesma direção e sentidos opostos? Justifique sua resposta.

Resposta.

Não necessariamente.

E. 3.2.5.

Encontre o vetor $x$ ortogonal a $\vec{u}=(1,-2,0)$ e $\vec{v}=(2,-1,1)$ tal que $\vec{x}\cdot(0,-1,2)=1$ .

Resposta.

$\vec{x}=(-2/7,-1/7,3/7)$

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