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3.1 Definição e Gráfico de Funções

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3.1.1 Definição

Uma função de um conjunto $D$ em um conjunto $Y$ é uma regra que associa um único elemento $y\in Y$ a cada dado elemento $x\in D$ . Costumeiramente, identificamos uma função por uma letra, por exemplo, $f$ e escrevemos

f:D\mapsto Y,y=f(x)

(3.1)

para denotar que a função recebe valor de entrada em $D$ e fornece valor de saída em $Y$ , seguindo uma regra de associação preestabelecida $y=f(x)$ . Usualmente, $D$ é chamado é conjunto de entrada e $Y$ de conjunto de saída.

Observação 3.1.1.

No Python, podemos definir uma função abstrata $f$ com o seguinte código

⬇

1 from sympy import *

2 f = Function('f')

Para restringirmos o conjunto de saída aos números reais, usamos

⬇

1 f = Function('f', real=True)

Exemplo 3.1.1.

Consultemos os seguintes exemplos:

a)

$f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ , $y=2x-1$

A função $f$ toma valor de entrada $x$ no conjunto dos números reais $D=\mathbb{R}$ e fornece o valor de saída $y=2x-1$ , também no conjunto dos números reais $Y=\mathbb{R}$ . A regra de associação é $y=2x-1$ . Seguem alguns exemplos de aplicação:

$\displaystyle f(x)=2x-1$ (3.2)

$\displaystyle f(-1)=2(-1)-1=-3$ (3.3)

$\displaystyle f(\sqrt{2})=2\sqrt{2}-1$ (3.4)

$\displaystyle f(z)=2z-1,\quad\forall z\in\mathbb{R}$ (3.5)

No Python, podemos definir esta função com o seguinte código

⬇

1      from sympy import *

2      x = Symbol('x', real=True)

3      f = Lambda(x, 2*x-1)

Com isso, temos

⬇

1      In : f(x)

2      Out: 2*x - 1

3

4      In : f(-1)

5      Out: -3

6

7      In : f(sqrt(2))

8      Out: -1 + 2*sqrt(2)

9

10      In : z = Symbol('z', real=True)

11      In : f(z)

12      Out: 2*z - 1
b)

$g:\mathbb{Z}\mapsto\mathbb{Q}$ , $\displaystyle y=\frac{1}{x}$

A função $g$ toma um valor de entrada em $D=\mathbb{Z}$ e fornece o valor de saída $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ no conjunto dos números racionais $\mathbb{Q}$ . A regra de associação é $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ . Segue alguns exemplos de aplicação:

$\displaystyle g(2)=\frac{1}{2}$ (3.6)

$\displaystyle g(-5)=\frac{1}{-5}=-\frac{1}{5}$ (3.7)

$\displaystyle g(u)=\frac{1}{u},\quad\forall u\in\mathbb{Z}^{*}$ (3.8)

No Python, podemos definir esta função com o seguinte código

⬇

1      from sympy import *

2      x = Symbol('x', integer=True)

3      g = Lambda(x, 1/x)

Com isso, temos

⬇

1      In : g(x)

2      Out: 1/x

3

4      In : g(2)

5      Out: 1/2

6

7      In : g(-5)

8      Out: -1/5

9

10      In : u = Symbol('u', integer=True)

11      In : g(u)

12      Out: 1/u

Observação 3.1.2.

Ao longo do texto, vamos assumir que as funções são definidas de $\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ , salvo explicitamente escrito diferente. Assim sendo, vamos passar a usar a notação simplificada

f:x\mapsto f(x).

(3.9)

Mais ainda, as funções serão descritas diretamente de suas regras associação.

Observação 3.1.3.

No SymPy, as computações são realizadas no conjunto dos números complexos. Portanto, deve-se tomar alguns cuidados na interpretação dos resultados. Por exemplo, $\sqrt{-1}\not\in\mathbb{R}$ e com o SymPy, temos

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : sqrt(-1)

3 Out: I

onde, I denota o número imaginário $i=\sqrt{-1}$ .

3.1.2 Domínio e Imagem

O conjunto $D$ de todos os possíveis valores de entrada da função é chamado de domínio. Em notação de conjunto, escrevemos

D_{f}:=\{x\in D:\leavevmode\nobreak\ f(x)\in Y\},

(3.10)

i.e. o domínio de $f$ , denotado por $D_{f}$ , é o conjunto de todos os valores $x\in D$ , tal que $f(x)\in Y$ ²¹²¹endnote: ²¹O valor de saída $f(x)$ pertence ao conjunto $Y$ ..

Exemplo 3.1.2.

Estudemos os seguintes casos.

a)

$f:x\mapsto f(x),y=x^{2}$

Observamos que, dado qualquer valor de entrada $x\in\mathbb{R}$ , $x^{2}$ está definido e é, também, um número real. Desta forma, a função $f$ está definida para todo $x\in\mathbb{R}$ , i.e.

$D_{f}=\mathbb{R}.$ (3.11)

Neste caso, dizemos que $f$ está definida em toda parte.
b)

$\displaystyle g:x\mapsto g(x),y=\frac{1}{x}$ :

Lembramos que a divisão por zero não está definida. A expressão $1/x$ está definida para todo número real não nulo, i.e. $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . Logo, o domínio de $g$ é

$D_{g}=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$ (3.12)

Equivalentemente, escrevemos que $g$ está definida para todo $x\in(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ , ou ainda, simplesmente para todo $x\neq 0$ .
c)

$y=\sqrt{1-x^{2}}$

A partir da regra, entendemos que $y$ é função de $x$ , i.e. $y\mapsto y(x)$ . Aqui, observamos que a raiz quadrada está definida apenas para números reais não negativos. Logo, esta função está definida para $x$ tal que

$\displaystyle 1-x^{2}\geq 0$ (3.13)

$\displaystyle-x^{2}\geq-1$ (3.14)

$\displaystyle x^{2}\leq 1$ (3.15)

$\displaystyle-1\leq x\leq 1$ (3.16)

Concluímos que seu domínio é $x\in(-1,1)$ .

Dada uma função $f:D\mapsto Y$ , o conjunto de todos os valores $f(x)\in Y$ tal que $x\in D$ é chamado de imagem da função. Em notação de conjunto, temos

I_{f}=\{y\in Y:\leavevmode\nobreak\ y=f(x)\land x\in D\},

(3.17)

i.e. o conjunto de todos os valores $y\in Y$ tal que $y=f(x)$ e $x\in D$ .

Exemplo 3.1.3.

Estudemos os seguintes casos.

a)

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},y=x^{2}$ :

Observamos que para qualquer número real $x$ , temos $y=x^{2}\geq 0$ . Além disso, para cada número real não negativo $y$ , temos que

$\displaystyle x=\sqrt{y}$ (3.18)

$\displaystyle x^{2}=\left(\sqrt{y}\right)^{2}$ (3.19)

$\displaystyle y=x^{2}$ (3.20)

Logo, concluímos que a imagem de $f$ é

$I_{f}=\mathbb{R}_{+},$ (3.21)

i.e. o conjunto de todos os $y\geq 0$ .
b)

$y=1/x$ :

Primeiramente, observemos que se $y=0$ , então não existe número real tal que $0=1/x$ . Ou seja, $0$ não pertence a imagem desta função. Por outro lado, dado qualquer número $y\neq 0$ , temos que

$\displaystyle x=\frac{1}{y}$ (3.22)

$\displaystyle y=\frac{1}{x}.$ (3.23)

Logo, concluímos que a imagem desta função é o conjunto de todos os números reais não nulos, i.e. $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ .
c)

$y=\sqrt{1-x^{2}}$ :

No Exemplo 3.1.2, vimos que esta função está definida apenas para $-1\leq x\leq 1$ . Desta forma, temos que

$\displaystyle 0\leq 1-x^{2}\leq 1$ (3.24)

$\displaystyle 0\leq\sqrt{1-x^{2}}\leq 1$ (3.25)

Ou seja, a imagem desta função é o intervalo $[0,1]$ .

Observação 3.1.4.

Em aplicações, o domínio e imagem de funções também ficam restritos à modelagem do problema. Por exemplo, pela Lei geral dos gases, o produto da pressão $P$ pelo volume $V$ de uma gás é função da temperatura $T$ como segue

P=\frac{K}{V_{0}}\cdot T,

(3.26)

onde $V_{0}$ é o volume dado do gás e $K>0$ é uma constante que depende do gás. A temperatura é dada em Kelvin, logo $T\geq 0$ . Entendendo a pressão $P$ como função de $T$ , temos que o domínio é $T_{0}<T<T_{1}$ , onde $T_{0}$ é a menor temperatura que o gás admite e $T_{1}$ é a maior temperatura que o gás admite. A imagem é, então, $\frac{K}{V_{0}}T_{0}<P<\frac{K}{V_{0}}T_{1}$ .

3.1.3 Gráfico

O gráfico de uma função $f$ é o conjunto dos pontos ou pares ordenados $(x,f(x))$ tal que $x$ pertence ao domínio da função. Mais precisamente, para uma função $f:D\to\mathbb{R}$ , o gráfico é o conjunto

G_{f}=\{(x,f(x))\in\mathbb{D}\times\mathbb{Y}:\leavevmode\nobreak\ x\in D_{f}\}.

(3.27)

O esboço do gráfico de uma função é, costumeiramente, uma representação geométrica dos pontos de seu gráfico em um plano cartesiano.

Exemplo 3.1.4.

Na sequência, temos os esboços dos gráficos de funções selecionadas.

a)

$f(x)=x^{2}$

Figura 3.1: Esboço do gráfico de $f(x)=x^{2}$ .

Com o SymPy, podemos plotar este gráfico com o seguinte código.

⬇

1      from sympy import *

2      x = Symbol('x', real=True)

3      plot(x**2, (x,-2, 2))
b)

$\displaystyle y=\frac{1}{x}$

Figura 3.2: Esboço do gráfico de $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ .

Com o SymPy, podemos plotar este gráfico com o seguinte código

⬇

1      from sympy import *

2      x = Symbols('x', real=True)

3      plot(1/x, (x,-2, 2), ylim=[-6, 6])
c)

$y=\sqrt{1-x^{2}}$

Figura 3.3: Esboço do gráfico de $y=\sqrt{1-x^{2}}$ .

Com o SymPy, podemos plotar este gráfico com o seguinte código

⬇

1      from sympy import *

2      x = Symbols('x', real=True)

3      plot(sqrt(1 - x**2), (x, -1, 1))

3.1.4 Categorias de Funções

Funções Algébricas

Funções algébricas são funções definidas a partir de somas, subtrações, multiplicações, divisões ou extração de raízes de funções polinomiais. Funções polinomiais e as funções algébricas derivadas são estudas nas próximas seções.

Exemplo 3.1.5.

São exemplos de funções algébrigas:

a)

$\displaystyle f(x)=2$
b)

$\displaystyle g(x)=2x-1$
c)

$\displaystyle h(x)=2-x^{3}+x$
d)

$\displaystyle f_{1}(u)=\frac{u^{2}+2u+1}{u-1}$
e)

$\displaystyle y=2^{z}-\sqrt{z-1}$

Funções Transcendentes

Funções transcendentes são funções que não são algébricas. Como exemplos, temos as funções trigonométricas, exponencial e logarítmica, as quais são introduzidas nas próximas seções.

Exemplo 3.1.6.

São exemplos de funções transcendentes:

a)

$\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}$
b)

$\displaystyle y=\log_{2}(2x-1)$
c)

$\displaystyle g(v)=\operatorname{sen}(v)-\cos(v)$
d)

$\displaystyle h(u)=\operatorname{arctg}(u)$

Funções Definidas por Partes

Funções definidas por partes são funções definidas por diferentes expressões matemáticas em diferentes partes de seu domínio.

Um exemplo fundamental de função definida por partes é a função valor absoluto²²²²endnote: ²²Esta função também pode ser definida por $|x|=\sqrt{x^{2}}$ .

|x|=\left\{\begin{array}[]{ll}x&,x\geq 0\\ -x&,x<0\end{array}\right.

(3.28)

Vejamos o esboço do seu gráfico dado na Figura 3.4.

Refer to caption — Figura 3.4: Esboço do gráfico da função valor absoluto $y=|x|$ .

Com o SymPy, a função valor absoluto é definida por abs() ou Abs(). Por exemplo, temos

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : abs(-1)

3 Out: 1

Use o SymPy para plotar o gráfico da função valor absoluto! Verifique com a Figura 3.4.

Exercícios

E. 3.1.1.

Determine o domínio e a imagem da função identidade, i.e. $f(x)=x$ . Então, faça o esboço de seu gráfico.

Resposta.

Domínio: $\mathbb{R}$ ; Imagem: $\mathbb{R}$

E. 3.1.2.

Determine o domínio e a imagem da função $f(x)=x^{2}+1$ . Então, faça o esboço de seu gráfico.

Resposta.

Domínio: $\mathbb{R}$ ; Imagem: $[1,\infty)$ .

E. 3.1.3.

Determine o domínio e a imagem da função $f(x)=1-x^{2}$ . Então, faça o esboço de seu gráfico.

Resposta.

Domínio: $\mathbb{R}$ ; Imagem: $(-\infty,1]$ .

E. 3.1.4.

Determine o domínio e a imagem da função

h(x)=\frac{1}{x-1}-2.

(3.29)

Então, faça o esboço de seu gráfico.

Resposta.

Domínio: $(-\infty,1)\cup(1,\infty)$ ; Imagem: $(-\infty,-2)\cup(-2,\infty)$ .

E. 3.1.5.

Determine o domínio e a imagem da função valor absoluto.

Resposta.

Domínio: $\mathbb{R}$ ; Imagem: $[0,\infty)$ .

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	$\displaystyle f(x)=2x-1$		(3.2)
	$\displaystyle f(-1)=2(-1)-1=-3$		(3.3)
	$\displaystyle f(\sqrt{2})=2\sqrt{2}-1$		(3.4)
	$\displaystyle f(z)=2z-1,\quad\forall z\in\mathbb{R}$		(3.5)

	$\displaystyle g(2)=\frac{1}{2}$		(3.6)
	$\displaystyle g(-5)=\frac{1}{-5}=-\frac{1}{5}$		(3.7)
	$\displaystyle g(u)=\frac{1}{u},\quad\forall u\in\mathbb{Z}^{*}$		(3.8)

	$\displaystyle 1-x^{2}\geq 0$		(3.13)
	$\displaystyle-x^{2}\geq-1$		(3.14)
	$\displaystyle x^{2}\leq 1$		(3.15)
	$\displaystyle-1\leq x\leq 1$		(3.16)

	$\displaystyle x=\sqrt{y}$		(3.18)
	$\displaystyle x^{2}=\left(\sqrt{y}\right)^{2}$		(3.19)
	$\displaystyle y=x^{2}$		(3.20)

	$\displaystyle x=\frac{1}{y}$		(3.22)
	$\displaystyle y=\frac{1}{x}.$		(3.23)

	$\displaystyle 0\leq 1-x^{2}\leq 1$		(3.24)
	$\displaystyle 0\leq\sqrt{1-x^{2}}\leq 1$		(3.25)