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Python para Matemática Mini-Notas de Aula 2 Elementos da Linguagem 4 Elementos da Computação Matricial

3 Elementos da Programação Estruturada

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Na programação estruturada, os comandos de programação são executados em sequência, um novo comando só iniciado após o término do processamento do comando anterior. Em Python, cada linha consiste em um comando, o programa tem início na primeira linha e término na última linha do código. Instruções de ramificação permitem a seleção on-the-fly de blocos de comandos, enquanto que instruções de repetição permitem a execução repetida de um bloco. A definição de função permite a criação de um sub-código (sub-programa) do código.

3.1 Ramificação

Uma estrutura de ramificação é uma instrução if-[elif-...-elif-else] para a tomada de decisões durante a execução de um programa.

3.1.1 if

Por exemplo, o código abaixo computa as raízes reais do polinômio

p(x)=ax^{2}+bx+c,

(19)

com $a$ , $b$ e $c$ alocados no início do código.

⬇

1import math as m

2a = 1.

3b = -1.

4c = -2.

5dlta = b**2 - 4.*a*c

6if (dlta >= 0.):

7 x1 = (-b - m.sqrt(dlta))/(2.*a)

8 x2 = (-b + m.sqrt(dlta))/(2.*a)

9 print('x1 =', x1)

10 print('x2 =', x2)

x1 = -1.0
x2 = 2.0

Neste código, o bloco de comandos (linhas 7-10) só é executado, se o discriminante do polinômio seja não-negativo. Verifique! Troque os valores de $a$ , $b$ e $c$ de forma que $p$ tenha raízes complexas.

Observação 3.1.1.

(Indentação.) Nas linhas 7-10 do código anterior, a indentação dos comandos é obrigatória. O bloco de comandos indentados indicam o escopo da instrução if.

3.1.2 if-else

Vamos modificar o código anterior, de forma que as raízes complexas sejam computadas e impressas, quando for o caso.

⬇

1import math as m

2a = 1.

3b = -4.

4c = 8.

5dlta = b**2 - 4.*a*c

6if (dlta >= 0.):

7 # raízes reais

8 x1 = (-b - m.sqrt(dlta))/(2.*a)

9 x2 = (-b + m.sqrt(dlta))/(2.*a)

10else:

11 # raízes complexas

12 rea = -b/(2.*a)

13 img = m.sqrt(-dlta)/(2.*a)

14 x1 = rea - img*1j

15 x2 = rea + img*1j

16print('x1 =', x1)

17print('x2 =', x2)

x1 = (2-2j)
x2 = (2+2j)

Observação 3.1.2.

(Número Complexo.) Em Python, números complexos podem ser alocados como objetos da classe complex. O número imaginário $i=\sqrt{-1}$ é denotado por 1j e um número completo $a+bi$ por a + b*1j.

3.1.3 if-elif-else

A instrução elif é uma conjunção de uma sequência de instruções textttelse-if. Vamos modificar o código anterior, de forma a computar o caso de raízes reais duplas de forma própria.

⬇

1import math as m

2a = 1.

3b = 2.

4c = 1.

5dlta = b**2 - 4.*a*c

6if (dlta > 0.):

7 # raízes reais

8 x1 = (-b - m.sqrt(dlta))/(2.*a)

9 x2 = (-b + m.sqrt(dlta))/(2.*a)

10elif (dlta == 0.):

11 x1 = x2 = -b/(2.*a)

12else:

13 # raízes complexas

14 rea = -b/(2.*a)

15 img = m.sqrt(-dlta)/(2.*a)

16 x1 = rea - img*1j

17 x2 = rea + img*1j

18print('x1 =', x1)

19print('x2 =', x2)

x1 = -1.0
x2 = -1.0

Exercício 3.1.1.

Desenvolva um código para computar a raiz do polinômio

f(x)=ax+b

(20)

com dados $a$ e $b$ . O código deve lidar com todos os casos possíveis, a saber:

a)

única raiz ( $a\neq 0$ ).
b)

infinitas raízes ( $a=b=0$ ).
c)

não existe raiz ( $a=0$ e $b\neq 0$ ).

Resposta.

⬇

1# params

2a = 2.

3b = 1.

4# raiz

5if (a != 0.):

6 x = -b/a

7 print('raiz única x = ', x)

8elif (b == 0.):

9 print('infinitas raízes x')

10else:

11 print('não existe raiz')

Exercício 3.1.2.

Desenvolva um código em que dados três pontos $A$ , $B$ e $C$ no plano, verifique se $A B C$ determina um triângulo. Caso afirmativo, classifique-o como um triângulo equilátero, isósceles ou escaleno.

Resposta.

⬇

1import math

2# pts

3A = (0., 0.)

4B = (3., 0.)

5C = (3., 4.)

6# compr. lados

7lado_1 = math.sqrt((B[0]-A[0])**2 + (B[1]-A[1])**2)

8lado_2 = math.sqrt((C[0]-B[0])**2 + (C[1]-B[1])**2)

9lado_3 = math.sqrt((C[0]-A[0])**2 + (C[1]-A[1])**2)

10# triangulo?

11if (lado_1 + lado_2 > lado_3) and \

12 (lado_1 + lado_3 > lado_2) and \

13 (lado_2 + lado_3 > lado_1):

14 print('ABC é triângulo:')

15 # equilátero?

16 if lado_1 == lado_2 == lado_3:

17 print('\tequilátero')

18 elif (lado_1 != lado_2 != lado_3):

19 print('\tescaleno')

20 else:

21 print('\tisósceles')

22else:

23 print('ABC não é triângulo')

3.2 Repetição

Estruturas de repetição são instruções que permitem que a execução repetida de um bloco de comandos. São duas instruções disponíveis while e for.

3.2.1 while

A instrução while permite a repetição de um bloco de comandos, enquanto uma dada condição for verdadeira.

Por exemplo, o seguinte código computa e imprimi os elementos da sequência de Fibonacci⁵⁵endnote: ⁵Leonardo Fibonacci, 1170 - 1250, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Leonardo Fibonacci., enquanto forem menores que $10$ .

⬇

1n = 1

2print(n)

3m = 1

4print(m)

5while (n+m < 10):

6 s = m

7 m += n

8 n = s

9 print(m)

Verifique!

Observação 3.2.1.

(Instruções de Controle.) As instruções de controle break, continue são bastante úteis em várias situações. A primeira, encerra as repetições e, a segunda, pula para uma nova repetição.

Exercício 3.2.1.

Use while para imprimir os dez primeiros números ímpares.

Resposta.

⬇

1i = 1

2c = 0

3while (c < 10):

4 print(i)

5 i += 2

6 c += 1

Exercício 3.2.2.

Uma aplicação do Método Babilônico⁶⁶endnote: ⁶Matemática Babilônica, matemática desenvolvida na Mesopotâmia, desde os Sumérios até a queda da Babilônia em 539 a.C.. Fonte: Wikipédia. para a aproximação da solução da equação $x^{2}-2=0$ , consiste na iteração

	$\displaystyle x_{0}=1,$		(21)
	$\displaystyle x_{i+1}=\frac{x_{i}}{2}+\frac{1}{x_{i}},\quad i=0,1,2,\ldots$		(22)

Faça um código com while para computar aproximação $x_{i}$ , tal que $|x_{i+1}-x_{i}|<10^{-7}$ .

Resposta.

⬇

1import math

2x0 = 1.

3x = x0/2 + 1/x0

4while (math.fabs(x - x0) >= 1e-7):

5 x0 = x

6 x = x0/2 + 1/x0

7print(x)

3.2.2 for

A instrução for permite a execução iterada de um bloco de comandos. Dado um objeto iterável, a cada laço um novo item do objeto é tomado. Por exemplo, o seguinte código computa e imprime os primeiros $6$ elementos da sequência de Fibonacci.

⬇

1n = 1

2print(f'1: {n}')

3m = 1

4print(f'2: {m}')

5for i in [3,4,5,6]:

6 s = m

7 m += n

8 n = s

9 print(f'{i}: {m}')

Verifique!

3.2.3 range

A função range([start,]stop[,sep]) é particularmente útil na construção de instruções for. Ela cria um objeto de classe iterável de start (incluído) a stop (excluído), de elementos igualmente separados por sep. Por padrão, start=0, sep=1 caso omitidos. Por exemplo, o código anterior por ser reescrito como segue.

⬇

1n = 1

2print(f'1: {n}')

3m = 1

4print(f'2: {m}')

5for i in range(3,7):

6 s = m

7 m += n

8 n = s

9 print(f'{i}: {m}')

Verifique!

Exercício 3.2.3.

Com $n$ dado, desenvolva um código para computar o valor da soma harmônica

\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}.

(23)

Resposta.

⬇

1n = 10

2s = 0.

3for i in range(1,n+1):

4 s += 1./i

5print(s)

Exercício 3.2.4.

Desenvolva um código para computar o fatorial de um dado número natural $n$ . Dica: use math.factorial para verificar seu código.

Resposta.

⬇

1n = 5

2fact = 1

3for i in range(1, n+1):

4 fact *= i

5print(fact)

3.3 Funções

Em Python, uma função é definida pela instrução def. Por exemplo, o seguinte código implementa a função

f(x)=2x-3

(24)

e imprime o valor de $f(2)$ .

⬇

1 def f(x):

2 y = 2*x - 3

3 return x

5z = f(2)

6print(f'f(2) = {z}')

f(2) = 2

Observação 3.3.1.

Para funções pequenas, pode-se utilizar a instrução lambda de funções anônimas. Por exemplo,

⬇

1f = lambda x: 2*x - 3

2print(f'f(3) = {f(3)}')

f(3) = 3

Exemplo 3.3.1.

(Função com Parâmetros.) O seguinte código, implementa o polinômio de primeiro grau

p(x)=ax+b,

(25)

com parâmetros predeterminados $a=1$ e $b=0$ (função identidade).

⬇

1def p(x, a=1., b=0.):

2 y = a*x + b

3 return y

5print('p(2) =', p(2.))

6print('p(2, 3, -5) =', p(2., 3., -5.))

Exercício 3.3.1.

Implemente uma função para computar as raízes de um polinômio de grau 2 $p(x)=ax^{2}+bx+c$ .

Resposta.

⬇

1import math

2def raiz_poli2(a, b, c):

3 dlta = b**2 - 4.*a*c

4 if (dlta > 0.):

5 x1 = (-b + math.sqrt(dlta))/(2.*a)

6 x2 = (-b - math.sqrt(dlta))/(2.*a)

7 elif (dlta == 0.):

8 x1 = -b/(2.*a)

9 x2 = x1

10 else:

11 x1 = None

12 x2 = None

13 return x1, x2

Exercício 3.3.2.

Implemente uma função que computa o produto escalar de dois vetores

	$\displaystyle x=(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n-1}),$		(26)
	$\displaystyle y=(y_{0},y_{1},\ldots,y_{n-1}).$		(27)

Dica: considere que os vetores são alocados com lists.

Resposta.

⬇

1def dot(x, y):

2 s = 0.

3 for xi, yi in zip(x,y):

4 s += xi*yi

5 return s

Exercício 3.3.3.

Implemente uma função que computa o determinante de matrizes $2\times 2$ . Dica: considere que a matriz está alocada com um list encadeado.

Resposta.

⬇

1def det(A):

2 d = A[0][0]*A[1][1] \

3 - A[0][1]*A[1][0]

4 return d

Exercício 3.3.4.

Implemente uma função que computa a multiplicação matriz - vetor $A x$ , com $A$ matriz $2\times 2$ e $x$ um vetor de dois elementos. Assuma que a matriz e o vetor estão alocados usando list.

Resposta.

⬇

1def matVet(A, x):

2 n = len(A)

3 y = [0.]*n

4 for i in range(n):

5 for j in range(n):

6 y[i] += A[i][j]*x[j]

7 return y

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