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2.1 Classes de Objetos Básicos

Python é uma linguagem de programação dinâmica em que as variáveis/objetos são declaradas/os automaticamente ao receberem um valor/dado. Por exemplo, consideramos as seguintes instruções

⬇

1x = 2

2y = x * 3.0

Na primeira instrução, a variável x recebe o valor inteiro 2 e, então, é armazenado na memória do computador como um objeto da classe int (número inteiro). Na segunda instrução, y recebe o valor decimal $6.0$ (resultado de $2\times 3.0$ ) e é armazenado como um objeto da classe float (ponto flutuante de 64-bits). Podemos verificar isso, com as seguintes instruções

⬇

1print(x)

⬇

1print(y)

6.0

⬇

1print(type(x), type(y))

  <class ’int’> <class ’float’>

Observação 2.1.1.

(Comentários e Continuação de Linha.) Códigos Python admitem comentários e continuação de linha como no seguinte exemplo

⬇

1# isto é um comentário

2s = "isto é uma \

3string"

4print(s)

  isto é uma string

⬇

1 type(s)

  <class ’str’>

Observação 2.1.2.

(Notação científica.) O Python aceita notação científica. Por exemplo $5.2\times 10^{-2}$ é digitado da seguinte forma

⬇

15.2e-2

0.052

Observação 2.1.3.

(Casting.) Quando não há ambiguidade, pode-se fazer a conversão entre objetos de classes diferentes (casting). Por exemplo,

⬇

1x = 1

2print(x, type(x))

  1 <class ’int’>

⬇

1y = float(x)

2print(y, type(y))

1.0 <class ’float’>

Além de objetos numéricos e string, Python também conta com objetos list (lista), tuple ( $n$ -upla) e dict (dicionário). Estudaremos essas classes de objetos mais adiante no minicurso.

Exercício 2.1.1.

Antes de implementar, diga qual o valor de x após as seguintes instruções.

⬇

1x = 1

2y = x

3y = 0

Justifique sua resposta e verifique-a.

Resposta.

1

Exercício 2.1.2.

Implemente um código em que a(o) usuária(o) entra com valores para as variáveis x e y. Então, os valores das variáveis são permutados entre si. Dica: use input para a entrada de dados.

Resposta.

⬇

1x = float(input('x = '))

2y = float(input('y = '))

3z = x

4x = y

5y = z

6print('x = ', x)

7print('y = ', y)

2.2 Operações Aritméticas Elementares

Os operadores aritméticos elementares são:

+ adição
- subtração
* multiplicação
/ divisão
** potenciação
% módulo
// divisão inteira

Exemplo 2.2.1.

Estudamos a seguinte computação

⬇

12+8*3/2**2-1

7.0

Observamos que as operações ** tem precedência sobre as operações *, /, %, //, as quais têm precedência sobre as operações +, -. Operações de mesma precedência seguem a ordem da esquerda para direita, conforme escritas na linha de comando. Usa-se parênteses para alterar a precedência entre as operações, por exemplo

⬇

1(2+8*3)/2**2-1

5.5

Observação 2.2.1.

(Precedência das Operações.) Consulte mais informações sobre a precedência de operadores em Python Docs: Operator Precedence.

Exercício 2.2.1.

Compute as raízes do seguinte polinômio quadrático

p(x)=2x^{2}-2x-4

(1)

usando a fórmula de Bhaskara¹¹endnote: ¹Bhaskara Akaria, 1114 - 1185, matemático e astrônomo indiano. Fonte: Wikipédia: Bhaskara II..

Resposta.

⬇

1a = 2.

2b = -2.

3c = -4.

4dlta = b**2 - 4*a*c

5x1 = (-b - dlta**(1./2))/(2*a)

6x2 = (-b + dlta**(1./2))/(2*a)

7print('x1 = ', x1)

8print('x2 = ', x2)

O operador % módulo computa o resto da divisão e o operador // a divisão inteira, por exemplo

⬇

15 % 2

⬇

15 // 2

Exercício 2.2.2.

Use o Python para computar os inteiros não negativos $q$ e $r$ tais que

25=q\cdot 3+r,

(2)

sendo $r$ o menor possível.

Resposta.

⬇

1q = 25//3

2print('q = ', q)

3r = 25%3

4print('r = ', r)

2.3 Funções e Constantes Elementares

O módulo Python math disponibiliza várias funções e constantes elementares. Para usá-las, precisamos importar o módulo em nosso código

⬇

1import math

Com isso, temos acesso a todas as definições e declarações contidas neste módulo. Por exemplo

⬇

1math.pi

3.141592653589793

⬇

1math.cos(math.pi)

-1.0

⬇

1math.sqrt(2)

1.4142135623730951

⬇

1math.log(math.e)

1.0

Observação 2.3.1.

(Função Logaritmo.) Notamos que math.log é a função logaritmo natural, i.e. $\ln(x)=\log_{e}(x)$ . A implementação Python para o logaritmo de base 10 é math.log(x, 10) ou, mais acurado, math.log10.

Exercício 2.3.1.

Compute

a)

$\displaystyle\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right)$
b)

$\displaystyle e^{\log_{3}(\pi)}$
c)

$\displaystyle\sqrt[3]{-27}$

Resposta.

⬇

1import math

2# a)

3a = math.sin(math.pi/4)

4print('a) ', a)

5# b)

6b = 3*math.pi

7print('b) ', b)

8# c)

9c = -(27)**(1/3)

10print('c) ', c)

Exercício 2.3.2.

Refaça o Exercício 2.2.1 usando a função math.sqrt para computar a raiz quadrada do discriminante.

Resposta.

⬇

1import math

2a = 2.

3b = -2.

4c = -4.

5dlta = b**2 - 4*a*c

6x1 = (-b - math.sqrt(dlta))/(2*a)

7x2 = (-b + math.sqrt(dlta))/(2*a)

8print('x1 = ', x1)

9print('x2 = ', x2)

2.4 Operadores de Comparação Elementares

Os operadores de comparação elementares são

== igual a
!= diferente de
> maior que
< menor que
>= maior ou igual que
<= menor ou igual que

Estes operadores retornam os valores lógicos True (verdadeiro) ou False (falso).

Por exemplo, temos

⬇

1x = 2

2x + x == 4

True

Exercício 2.4.1.

Considere a circunferência de equação

c:\leavevmode\nobreak\ (x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1.

(3)

Escreva um código em que a(o) usuária(o) entra com as coordenadas de um ponto $P=(x,y)$ e o código verifica se $P$ pertence ao disco determinado por $c$ .

Resposta.

⬇

1x = float(input('x = '))

2y = float(input('y = '))

3resp = (x-1.)**2 + (y+1.)**2 <= 1.

4print('P em c?', resp)

Exercício 2.4.2.

Antes de implementar, diga qual é o valor lógico da instrução

⬇

1math.sqrt(3)**2 == 3

Justifique sua resposta e verifique!

Resposta.

False

2.5 Operadores Lógicos Elementares

Os operadores lógicos elementares são:

and e lógico
or ou lógico
not não lógico

Exemplo 2.5.1.

(Tabela Booleana do and.) A tabela booleana²²endnote: ²George Boole, 1815 - 1864, matemático britânico. Fonte: Wikipédia: George Boole. do and é

A	B	A and B
True	True	True
True	False	False
False	True	False
False	False	False

Por exemplo, temos

⬇

1x = 2

2(x > 1) and (x < 2)

False

Exercício 2.5.1.

Construa as tabelas booleanas do operador or e do not.

Resposta.

⬇

1print('A B | A or B')

2print(True, True, '|', True or True)

3print(True, False, '|', True or False)

4print(False, True, '|', False or True)

5print(False, False, '|', False or False)

6

7print('A | not(A)')

8print(True, '|', not(True))

9print(False, '|', not(False))

Exercício 2.5.2.

Use Python para verificar se $1.4<=\sqrt{2}<1.5$ .

Resposta.

⬇

1import math

2resp = 1.4 <= math.sqrt(2) < 1.5

3print('1.4 <= math.sqrt(2) < 1.5 ?', resp)

Exercício 2.5.3.

Considere um retângulo $r:\leavevmode\nobreak\ ABDC$ de vértices $A=(1,1)$ e $D=(2,3)$ . Crie um código em que a(o) usuária(o) informa as coordenadas de um ponto $P=(x,y)$ e o código imprime True ou False para cada um dos seguintes itens:

a)

$P\in r$ .
b)

$P\in\partial r$ .
c)

$P\not\in\overline{r}$ .

Resposta.

⬇

1x = float(input('x = '))

2y = float(input('y = '))

3print('P em r', \

4 (1 < x < 2) and (1 < y < 3))

5print('P na fronteira', \

6 ((x == 1 or x == 2) and (1 <= y <= 3)) or \

7 (( 1 <= x <= 2) and (y == 1 or y == 3)))

8print('P fora do fecho', \

9 (x < 1 or x > 2) or (y < 1 or y > 3))

Exercício 2.5.4.

Implemente uma instrução para computar o operador xor (ou exclusivo). Dadas duas afirmações A e B, A xor B é True no caso de uma, e somente uma, das afirmações ser False, caso contrário é False.

Resposta.

(A or B) and not(A and B)

2.6 set

Um set em Python é uma coleção de objetos não ordenada, imutável e não admite itens duplicados. Por exemplo,

⬇

1a = {1, 2, 3}

2type(a)

  <class ’set’>

⬇

1b = set((2, 1, 3, 3))

2print(b)

  {1, 2, 3}

⬇

1a == b

True

⬇

1# conjunto vazio

2e = set()

Acima, alocamos o conjunto $a=\{1,2,3\}$ . Note que o conjunto $b$ é igual a $a$ . Observamos que o conjunto vazio deve ser construído com a instrução set() e não com {}³³endnote: ³Isso constrói um dicionário vazio, como estudaremos logo mais..

Observação 2.6.1.

(Tamanho de uma Coleção de Objetos.) A função len retorna o número de elementos de uma coleção de objetos. Por exemplo,

⬇

1len(a)

Operadores envolvendo conjuntos:

- diferença entre conjuntos
| união de conjuntos
& interseção de conjuntos
^ diferença simétrica

Exemplo 2.6.1.

Os conjuntos

	$\displaystyle A=\{2,\pi,-0.25,3,\text{'banana'}\},$		(4)
	$\displaystyle B=\{\text{'laranja'},3,\operatorname{arccos}(-1),-1\}$		(5)

podem ser alocados como sets

⬇

1import math

2A = {2, math.pi, -0.25, 3, 'banana'}

3B = {'laranja', 3, math.acos(-1), -1}

e, então, podemos computar:

a)

$A\setminus B$

⬇

1a = A - B

2print(a)
```
{-0.25, 2, ’banana’}
```

b)

$A\cup B$

⬇

1b = A | B

2print(b)

{-0.25, 2, 3, 3.141592653589793, ’laranja’, ’banana’, -1}

c)

$A\cap B$

⬇

1c = A & B

2print(c)
```
{3, 3.141592653589793}
```
d)

$A\Delta B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$

⬇

1d = A ^ B

2print(d)
```
{-0.25, 2, ’laranja’, ’banana’, -1}
```

Exercício 2.6.1.

Aloque como set cada um dos seguintes conjuntos:

a)

O conjunto $A$ dos números $-12\leq n\leq 6$ e que são divisíveis por 2.
b)

O conjunto $B$ dos números $-12<n\leq 6$ e que são divisíveis por 3.

Então, compute o subconjunto de $A$ e $B$ que contém apenas os números divisíveis por $2$ e $3$ .

Resposta.

⬇

1A = {-12, -10, -8, -6, \

2 -4, -2, 0, 2, 4, 6}

3B = {-12, -9, -6, -3, \

4 0, 3, 6}

5C = A & B

6print('C = ', C)

Observação 2.6.2.

(Compreensão de sets.) Python disponibiliza a sintaxe de compreensão de sets. Por exemplo,

⬇

1C = {x for x in A if type(x) == str}

2print(C)

{’banana’}

Exercício 2.6.2.

Considere o conjunto

Z=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}.

(6)

Faça um código Python para extrair o subconjunto $\mathcal{P}$ dos números pares do conjunto $Z$ . Depois, modifique-o para extrair o subconjunto $\mathcal{I}$ dos números ímpares. Dica: use de compreensão de sets.

Resposta.

⬇

1Z = {-4, -3, -2, -1, \

2 0, 1, 2, 3, 4}

3P = {p for p in Z if p % 2 == 0}

4print('P = ', P)

2.7 tuple

Em Python, tuple é uma coleção ordenada e imutável de objetos. Por exemplo, na sequência alocamos um par, uma tripla e uma quadrupla ordenada usando tuples.

⬇

1a = (1, 2)

2print(a, type(a))

(1, 2) <class ’tuple’>

⬇

1b = -1, 1, 0

2print(b, len(b))

(-1, 1, 0) 3

⬇

1c = (0.5, 'laranja', {2, -1}, 2)

2print(c)

(0.5, ’laranja’, {2, -1}, 2)

Os elementos de um tuple são indexados, o índice $0$ corresponde ao primeiro elemento, o índice $1$ ao segundo elemento e assim por diante. Desta forma é possível o acesso direto a um elemento de um tuple usando-se sua posição. Por exemplo,

⬇

1print(c[2])

{2, -1}

Pode-se também extrair uma fatia (um subconjunto) usando-se a notação :. Por exemplo,

⬇

1d = c[1:3]

2print(d)

(’laranja’, {2, -1})

Operadores básicos:

+ concatenação

⬇

1a = (1, 2) + (3, 4, 5)

2print(a)
```
(1, 2, 3, 4, 5)
```
* repetição

⬇

1b = (1, 2) * 2
```
(1, 2, 1, 2)
```
in pertencimento

⬇

1c = 1 in (-1, 0, 1, 2)
```
True
```

Exercício 2.7.1.

Use sets para alocar os conjuntos

	$\displaystyle A=\{-1,0,2\},$		(7)
	$\displaystyle B=\{2,3,5\}.$		(8)

Então, compute o produto cartesiano $A\times B=\{(a,b):\leavevmode\nobreak\ a\in A,b\in B\}$ . Qual o número de elementos da $A\times B$ ? Dica: use a sintaxe de compreensão de sets (consulte a Observação 2.6.2).

Resposta.

⬇

1A = {-1, 0, 2}

2B = {2, 3, 5}

3P = {(a,b) for a in A for b in B}

4print('P = ', P)

Exercício 2.7.2.

Aloque o gráfico discreto da função⁴⁴endnote: ⁴O gráfico de uma função restrita a um conjunto $A$ é o conjunto $\operatorname{G}(f)|_{A}=\{(x,y):\leavevmode\nobreak\ x\in A,y=f(x)\}$ . $f(x)=x^{2}$ para $x=0,\frac{1}{2},1,2$ . Dica: use a sintaxe de compreensão de conjuntos (consulte a Observação 2.6.2).

Resposta.

⬇

1X = {0., 0.5, 1., 2.}

2G = {(x, x**2) for x in X}

3print('G = ', G)

2.8 list

Um list é uma uma coleção de objetos indexada e mutável. Por exemplo,

⬇

1x = [-1, 2, -3, -5]

2print(x, type(x))

  [-1, 2, -3, -5] <class ’list’>

⬇

1y = [1, 1, 'oi', 2.5]

2print(y)

[1, 1, ’oi’, 2.5]

⬇

1vazia = []

2print(len(vazia))

3print(len(y))

0
4

Os elementos de um list são indexados de forma análoga a um tuple, o índice $0$ corresponde ao primeiro elemento, o índice $1$ ao segundo elemento e assim por diante. Bem como, o índice $-1$ corresponde ao último elemento, o $-2$ ao penúltimo e segue. Por exemplo,

⬇

1x[-1] = 3.14

2print('x[0] = ', x[0])

3print(x = ', x)'

x[0] = 1
x = [-1, 2, -3, 3.14]

⬇

1x[:3] = [10, -20]

2print(x)

[10, -20, -3, 3.14]

Os operadores básicos de concatenação e de repetição também estão disponíveis para um list. Por exemplo,

⬇

1x = [1,2] + [3, 4, 5]

2print(x)

3y = [1,2]*2

4print(y)

[1, 2, 3, 4, 5]
[1, 2, 1, 2]

Observação 2.8.1.

list conta com várias funções prontas para a execução de diversas tarefas práticas como, por exemplo, inserir/deletar itens, contar ocorrências, ordenar itens, etc. Consulte na web Python Docs: More on Lists.

Observação 2.8.2.

(Alocação versus Cópia.) Estudamos o seguinte exemplo

⬇

1x = [2, 3, 1]

2y = x

3y[1] = 0

4print('x =', x)

x = [2, 0, 1]

Em Python, dados têm identificação única. Logo, neste exemplo, $x$ e $y$ apontam para o mesmo endereço de memória. Modificar $y$ é também modificar $x$ e vice-e-versa. Para desassociar $y$ de $x$ , $y$ precisa receber uma cópia de $x$ , como segue

⬇

1x = [2, 3, 1]

2print('id(x) =', id(x))

3y = x.copy()

4print('id(y) =', id(y))

5y[1] = 0

6print('x =', x)

7print('y =', y)

id(x) = 140476759980864
id(y) = 140476760231360
x = [2, 3, 1]
y = [2, 0, 1]

Observação 2.8.3.

(Anexar ou Estender.) Um list tem tamanho dinâmico, permitindo a anexação de um novo item ou sua extensão. A anexação de um item pode ser feita com o método list.append, enquanto que a extensão é feita com list.extend. Por exemplo, com o list.append temos

⬇

1l = [1, 2]

2l.append((3,4)))

3print(l)

[1, 2, (3, 4)]

Enquanto, que com o list.extend obtemos

⬇

1l = [1, 2]

2l.extend((3,4)))

3print(l)

[1, 2, 3, 4]

Exercício 2.8.1.

A solução de

x^{2}-2=0

(9)

pode ser aproximada pela iteração do método babilônico

	$\displaystyle x_{0}=1,$		(10)
	$\displaystyle x_{i+1}=\frac{1}{2}\left(x_{i}+\frac{2}{x_{i}}\right)$		(11)

para $i=0,1,2,\ldots$ . Aloque uma lista com as quatro primeiras iteradas, i.e. $[x_{0},x_{1},x_{2},\allowbreak x_{3},x_{4}]$ . Dica: use list.append.

Resposta.

⬇

1x = [1] # x0

2x.append(0.5*(x[-1] + 2./x[-1])) # x1

3x.append(0.5*(x[-1] + 2./x[-1])) # x2

4x.append(0.5*(x[-1] + 2./x[-1])) # x3

5x.append(0.5*(x[-1] + 2./x[-1])) # x4

6print('x = ', x)

Exercício 2.8.2.

Aloque cada um dos seguintes vetores como um list:

	$\displaystyle x=(-1,3,-2),$		(12)
	$\displaystyle y=(4,-2,0).$		(13)

Então, compute

a)

$x+y$
b)

$x\cdot y$

Dica: use uma compreensão de lista e os métodos zip e sum.

Resposta.

⬇

1# a)

2x = [-1, 3, -2]

3y = [4, -2, 0]

4xpy = [xy[0]+xy[1] for xy in zip(x,y)]

5print('x + y = ', xpy)

6

7# b)

8dxy = sum([xy[0]*xy[1] for xy in zip(x,y)])

9print('x . y = ', dxy)

Exercício 2.8.3.

Uma matriz pode ser alocada como um encadeamento de lists. Por exemplo, a matriz

M=\begin{bmatrix}1&-2\\ 2&3\end{bmatrix}

(14)

pode ser alocada como a seguinte list

⬇

1M = [[1,-2],[2,3]]

2M

[[1, -2], [2, 3]]

Use list para alocar a matriz

A=\begin{bmatrix}1&-2&1\\ 8&0&-7\\ 3&-1&-2\end{bmatrix}

(15)

e o vetor

x=(2,-3,1),

(16)

então compute $A x$ .

Resposta.

⬇

1A = [[1,-2,1],

2 [8,0,-7],

3 [3,-1,-2]]

4x = [2,-3,1]

5Ax = [sum([aix[0]*aix[1] for aix in zip(ai, x)]) for ai in A]

6print('Ax = ', Ax)

2.9 dict

Um dict é um mapeamento de objetos (um dicionário), em que cada item é um par chave:valor. Por exemplo,

⬇

1a = {'nome': 'triangulo', 'perímetro': 3.2}

2print(a, type(a))

{’nome’: ’triangulo’, ’perímetro’: 3.2} <class ’dict’>

O acesso a um item do dicionário pode ser feito por sua chave, por exemplo,

⬇

1a['nome'] = 'triângulo'

2print(a['nome'])

’triângulo’

Pode-se adicionar um novo par, simplesmente, atribuindo valor a uma nova chave. Por exemplo,

⬇

1a['vértices'] = {'A': (0,0), 'B': (3,0), 'C': (0,4)}

2print('vértice B =', a['vértices']['B'])

vértice B = (3,0)

Exercício 2.9.1.

Considere a função afim

f(x)=3-x.

(17)

Implemente um dicionário para alocar a raiz da função, a interseção com o eixo $y$ e seu coeficiente angular.

Resposta.

⬇

1f_dict = {'raiz': 3.,

2 'y_intercep': 3.,

3 'coef_angular': -1.}

4print('raiz = ', f_dict['raiz'])

5print('y_intercep = ', f_dict['y_intercep'])

6print('coef_angular = ', f_dict['coef_angular'])

Exercício 2.9.2.

Considere a função quadrática

g(x)=x^{2}-x-2

(18)

Implemente um dicionário para alocar suas raízes, vértice e interseção com o eixo $y$ .

Resposta.

⬇

1g_dict = {'raízes': (-1., 2.),

2 'vértice': 0.5,

3 'y_intercep': 2.}

4print('raiz = ', g_dict['raízes'])

5print('y_intercep = ', g_dict['y_intercep'])

6print('vértice = ', g_dict['vértice'])

2 Elementos da Linguagem

2.1 Classes de Objetos Básicos

Observação 2.1.1.

Observação 2.1.2.

Observação 2.1.3.

Exercício 2.1.1.

Resposta.

Exercício 2.1.2.

Resposta.

2.2 Operações Aritméticas Elementares

Exemplo 2.2.1.

Observação 2.2.1.

Exercício 2.2.1.

Resposta.

Exercício 2.2.2.

Resposta.

2.3 Funções e Constantes Elementares

Observação 2.3.1.

Exercício 2.3.1.

Resposta.

Exercício 2.3.2.

Resposta.

2.4 Operadores de Comparação Elementares

Exercício 2.4.1.

Resposta.

Exercício 2.4.2.

Resposta.

2.5 Operadores Lógicos Elementares

Exemplo 2.5.1.

Exercício 2.5.1.

Resposta.

Exercício 2.5.2.

Resposta.

Exercício 2.5.3.

Resposta.

Exercício 2.5.4.

Resposta.

2.6 set

Observação 2.6.1.

Exemplo 2.6.1.

Exercício 2.6.1.

Resposta.

Observação 2.6.2.

Exercício 2.6.2.

Resposta.

2.7 tuple

Exercício 2.7.1.

Resposta.

Exercício 2.7.2.

Resposta.

2.8 list

Observação 2.8.1.

Observação 2.8.2.

Observação 2.8.3.

Exercício 2.8.1.

Resposta.

Exercício 2.8.2.

Resposta.

Exercício 2.8.3.

Resposta.

2.9 dict

Exercício 2.9.1.

Resposta.

Exercício 2.9.2.

Resposta.

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