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Minicurso de C/C++ para Matemática 2 Elementos da Linguagem 4 Elementos da Computação Matricial

3 Elementos da Programação Estruturada

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C/C++ são linguagens procedurais¹⁰¹⁰endnote: ¹⁰C++ também é orientada-a-objetos. e contém instruções para a programação estruturada. Neste paradigma de programação, as computações são organizadas em sequências de blocos computacionais e, um bloco inicia sua computação somente após o bloco anterior tiver terminado. Contam com estruturas de ramificação (seleção de blocos), repetição de blocos e definição de funções/métodos (sub-blocos computacionais).

3.1 Métodos/Funções

Um método (ou função) é um subprograma (ou subbloco computacional) que pode ser chamado/executado em qualquer parte do programa principal. Todo código C/C++ inicia-se no método main(), consulte o Código 1. A sintaxe de definição de um método é

⬇

1typeOut foo(typeIn0 x0, typeIn1 x1, ..., typeInN x2)

3 typeOut out;

4 statment0;

5 statment1;

6 ...;

7 statmentN;

8 return out;

Aqui, typeOut denota o tipo da saída, foo denota o identificador/nome do método, typeIn0 x1, typeIn1 x2, …, typeInN x3 são os tipos e identificadores dos parâmetros de entrada¹¹¹¹endnote: ¹¹Parâmetros de entrada são opcionais. O escopo do método é delimitado entre chaves e pode conter qualquer instrução (statment) C/C++. O método é encerrado¹²¹²endnote: ¹²No encerramento do método o código retorna ao programa principal. quando terminado seu escopo ou ao encontrar a instrução return. Esta instrução,também, permite o retorno de um dado do mesmo tipo da saída do método.

Exemplo 3.1.1.

Vamos considerar a função

f(x)=2x-3.

(8)

a)

No código abaixo, o método $f$ computa a função e imprime seu valor¹³¹³endnote: ¹³void é a instrução para “no type”..

Código 6: method.cc

⬇

1#include <stdio.h>

2

3void f(double x)

4{

5  double y = 2.*x - 3.;

6  printf("f(%lf) = %lf\n", x, y);

7}

8

9int main()

10{

11  f(0.);

12  double x = -1.;

13  f(x);

14  double y = 2.;

15  f(y);

16  return 0;

17}
b)

Nesta versão do código, o método f retorna o valor computado da função $f$ e é o método principal main que imprime o resultado.

⬇

1#include <stdio.h>

2

3double f(double x)

4{

5  return 2.*x - 3.;

6}

7

8int main()

9{

10  double y = f(0.);

11  printf("f(%lf) = %lf\n", 0., y);

12  printf("f(%lf) = %lf\n", -1., f(-1.));

13  double z = 2.;

14  printf("f(%lf) = %lf\n", z, f(z));

15  return 0;

16}

Exercício 3.1.1.

Implemente uma função para computar as raízes de um polinômio de grau 1 $p(x)=ax+b$ . Assuma que $a\neq 0$ .

Exercício 3.1.2.

Implemente uma função para computar as raízes reais de um polinômio de grau 2 $p(x)=ax^{2}+bx+c$ . Assuma que $p$ tenha raízes reais.

Exercício 3.1.3.

Considerando vetores em $\mathbb{R}^{3}$

	$\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3}),$		(9)
	$\displaystyle y=(y_{1},y_{2},y_{3}),$		(10)

implemente um código que contenha:

a)

função para computação do vetor soma $\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}$ .
b)

função para computação do produto escalar $\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}$ .

Exercício 3.1.4.

Implemente uma função que computa o determinante de matrizes reais $2\times 2$ .

Exercício 3.1.5.

Implemente uma função que computa a multiplicação matrix-vetor $A x$ , com $A$ $2\times 2$ e $x$ um vetor coluna de dois elementos.

Exercício 3.1.6.

(Recursividade) Implemente uma função recursiva para computar o fatorial de um número natural $n$ , i.e. $n!$ .

3.2 Ramificação

Uma estrutura de ramificação é uma instrução para a tomada de decisões durante a execução de um programa. Nas linguagens C/C++ usa-se a sintaxe

⬇

1if (condition0) {

2 block0;

3} else if (condition1) {

4 block1;

5} else {

6 block2;

A instrução if permite a execução do bloco computacional block0 somente no caso de a condition0 seja true (verdadeira). A instrução else if somente é verificada quando condition0 == false. Neste caso, o block1 é executado somente se condition1 == true. Senão, block2 é executado.

Exemplo 3.2.1.

Os seguintes códigos computam os zeros da função

f(x)=ax+b,

(11)

para parâmetros informados por usuária(o).

a)

Caso restrito a raiz real única.

⬇

1#include <stdio.h>

2

3int main()

4{

5  double a,b;

6  printf("a = ");

7  scanf("%lf", &a);

8  printf("b = ");

9  scanf("%lf", &b);

10

11  if (a != 0.) {

12    double x = -b/a;

13    printf("x = %lf\n", x);

14  }

15

16  return 0;

17}
b)

Caso de raiz real única ou múltiplas.

⬇

1#include <stdio.h>

2

3int main()

4{

5  double a,b;

6  printf("a = ");

7  scanf("%lf", &a);

8  printf("b = ");

9  scanf("%lf", &b);

10

11  if (a != 0.) {

12    double x = -b/a;

13    printf("x = %lf\n", x);

14  } else if ((a == 0.) && (b == 0.)) {

15    printf("Todo x real é zero da função.\n");

16  }

17

18  return 0;

19}
c)

Caso de raiz real única, ou múltiplas ou nenhuma.

⬇

1#include <stdio.h>

2

3int main()

4{

5  double a,b;

6  printf("a = ");

7  scanf("%lf", &a);

8  printf("b = ");

9  scanf("%lf", &b);

10

11  if (a != 0.) {

12    double x = -b/a;

13    printf("x = %lf\n", x);

14  }

15

16  return 0;

17}

Exercício 3.2.1.

Implemente um código que contenha uma função que recebe dois números $n$ e $m$ e imprime o maior deles.

Exercício 3.2.2.

Implemente um código que contenha uma função que recebe os coeficientes de um polinômio

p(x)=ax^{2}+bx+c

(12)

e classifique-o como um polinômio de grau 0, 1 ou 2.

Exercício 3.2.3.

Implemente um código que contenha uma função para a computação das raízes de um polinômio de segundo grau.

3.3 Repetição

Estruturas de repetição são instruções que permitem a execução repetida de um bloco computacional. São três instruções disponíveis while, do ... while e for.

3.3.1 while

A sintaxe da instrução while é

⬇

1while (condition) {

2 block

Isto é, enquanto (while) a expressão condition == true, o bloco computacional block é repetidamente executado. Ao final de cada execução, a condição é novamente verificada. Quando condition == false, block não é executado e o código segue para a primeira instrução após o escopo do while.

Exemplo 3.3.1.

O seguinte código computa a soma dos $10$ primeiros termos da progressão geométrica

a_{i}=2^{-i},

(13)

para $i=0,1,2,\ldots$ .

Código 7: while.cc

⬇

1#include <stdio.h>

2#include <math.h>

4int main()

6 int i = 0;

7 double s = 0.;

8 while (i < 10) {

9 s = s + pow(0.5, double(i));

10 i += 1;

11 }

12 printf("s = %lf\n", s);

13 return 0;

14}

Observação 3.3.1.

As instruções de controle break, continue são bastante úteis em várias situações. A primeira, encerra as repetições e, a segunda, pula para uma nova repetição.

Exercício 3.3.1.

Use while para imprimir os dez primeiros números ímpares.

Exercício 3.3.2.

Crie uma função para a computação da soma de dois vetores $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^{n}$ , com dado $n\geq 0$ .

Exercício 3.3.3.

Use a instrução while para escreva uma função que retorne o $n$ -ésimo termo da função de Fibonacci¹⁴¹⁴endnote: ¹⁴Leonardo Fibonacci, 1170 - 1250, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Leonardo Fibonacci., $n\geq 1$ .

3.4 do ... while

Diferentemente da instrução while, a do ... while verifica a condição de repetição ao final do escopo do seu bloco computacional.

Exemplo 3.4.1.

O seguinte código computa a soma dos $10$ primeiros termos da progressão geométrica

a_{i}=2^{-i},

(14)

para $i=0,1,2,\ldots$ .

Código 8: doWhile.cc

⬇

1#include <stdio.h>

2#include <math.h>

4int main()

6 int i = 0;

7 double s;

8 do {

9 s += pow(0.5, double(i));

10 i += 1;

11 } while (i < 10);

12 printf("s = %lf\n", s);

13 return 0;

14}

Exercício 3.4.1.

Uma aplicação do Método Babilônico¹⁵¹⁵endnote: ¹⁵Matemática Babilônica, matemática desenvolvida na Mesopotâmia, desde os Sumérios até a queda da Babilônia em 539 a.C.. Fonte: Wikipédia. para a aproximação da solução da equação $x^{2}-2=0$ , consiste na iteração

	$\displaystyle x_{0}=1,$		(15)
	$\displaystyle x_{i+1}=\frac{x_{i}}{2}+\frac{1}{x_{i}},\quad i=0,1,2,\ldots$		(16)

Faça um código com while para computar aproximação $x_{i}$ , tal que $|x_{i}-x_{i-1}|<10^{-5}$ .

3.4.1 for

A estrutura for tem a sintaxe

⬇

1for (init; condition; iter) {

2 block;

onde, init é a instrução de inicialização, condition é o critério de parada, iter é a instrução do iterador.

Exemplo 3.4.2.

O seguinte código computa a soma dos $10$ primeiros termos da progressão geométrica

a_{i}=2^{-i},

(17)

para $i=0,1,2,\ldots$ .

⬇

1#include <stdio.h>

2#include <math.h>

4int main()

6 double s = 0;

7 for (int i=0; i<10; ++i) {

8 s += pow(2., double(-i));

9 }

10 printf("s = %lf\n", s);

11 return 0;

12}

Exercício 3.4.2.

Use a instrução for para escreva uma função que retorne o $n$ -ésimo termo da função de Fibonacci¹⁶¹⁶endnote: ¹⁶Leonardo Fibonacci, 1170 - 1250, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Leonardo Fibonacci., $n\geq 1$ .

Exercício 3.4.3.

Implemente uma função para computar o produto escalar de dois vetores de $n$ elementos. Use a instrução de repetição for e assuma que os vetores estão alocados como um arranjo double.

Exercício 3.4.4.

Implemente uma função para computar a multiplicação de uma matriz $A$ $n\times n$ por um vetor coluna $x$ de $n$ elementos. Use a instrução for e assuma que o vetor e a matriz estejam alocadas como arranjos double.

Exercício 3.4.5.

Implemente uma função para computar a multiplicação de uma matriz $A$ $n\times m$ por uma matriz $B$ de $m\times n$ . Use a instrução for e assuma que as matrizes estão alocadas como arranjos double.

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