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2 Problemas Bidimensionais 2.4 Problema Modelo Referências

2.5 Fundamentos da análise de elementos finitos

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Em revisão

2.5.1 Existência e unicidade

Em revisão

Teorema 2.5.1.

(Matriz positiva definida) A matriz de rigidez é positiva definida.

Demonstração.

A matriz de rigidez $A=[a(\varphi_{j},\varphi_{i})]_{ij=0}^{n_{i}-1}$ é obviamente simétrica. Além disso, para todo $\boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^{n_{i}}$ , $\boldsymbol{\xi}\neq 0$ , temos

$\displaystyle\boldsymbol{\xi}^{T}A\boldsymbol{\xi}$	$\displaystyle=\sum_{i,j=0}^{n_{i}-1}\xi_{j}a(\varphi_{j},\varphi_{i})\xi_{i}$	(2.56)
	$\displaystyle=\sum_{i,j=0}^{n_{i}-1}\xi_{j}\int_{\Omega}\nabla\varphi_{j}\cdot% \nabla\varphi_{i}\,dx\,\xi_{i}$	(2.57)
	$\displaystyle=\int_{\Omega}\nabla\left(\sum_{j=0}^{n_{i}-1}\xi_{j}\varphi_{j}% \right)\cdot\nabla\left(\sum_{i=0}^{n_{i}-1}\xi_{i}\varphi_{i}\right)\,dx$	(2.58)
	$\displaystyle=\left\\|\nabla\left(\sum_{j=0}^{n_{i}-1}\xi_{j}\varphi_{j}\right)% \right\\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}.$	(2.59)

Portanto, $\boldsymbol{\xi}^{T}A\boldsymbol{\xi}\geq 0$ e é nulo se, e somente se, $v=\sum_{j=0}^{n_{i}-1}\xi_{j}\varphi_{j}$ for constante. Como $v\in V_{h,0}$ , temos que $v$ constante implica $v\equiv 0$ , mas então $\boldsymbol{\xi}=0$ , o que é uma contradição. Logo, $\boldsymbol{\xi}^{T}A\boldsymbol{\xi}>0$ para todo $\boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^{n_{i}}$ , $\boldsymbol{\xi}\neq 0$ . ∎

Teorema 2.5.2.

(Existência e unicidade) O problema de elementos finitos (2.40) tem solução única.

Demonstração.

O problema de elementos finitos (2.40) se resume a resolver o sistema linear $A\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{b}$ . Do Teorema 2.5.1, temos que $A$ é uma matriz definida positiva e, portanto, invertível. Daí segue, imediatamente, que o problema (2.40) tem solução única. ∎

2.5.2 Estimativa a priori do erro

Em revisão

Teorema 2.5.3.

(Ortogonalidade de Galerkin) A solução $u_{h}$ do problema de elementos finitos (2.40) satisfaz

a(u-u_{h},v_{h})=0,\leavevmode\nobreak\ \forall v_{h}\in V_{h,0},

(2.60)

onde $u$ é a solução do problema fraco (2.35).

Demonstração.

Segue, imediatamente, do fato de que $V_{h,0}\subset V_{0}$ e, portanto,

a(u,v_{h})=L(v_{h}),\leavevmode\nobreak\ \forall v_{h}\in V_{h,0},

(2.61)

bem como

a(u_{h},v_{h})=L(v_{h}),\leavevmode\nobreak\ \forall v_{h}\in V_{h,0}.

(2.62)

∎

Definição 2.5.1.

(Norma da energia.) Definimos a norma da energia por

\||v|\|:=\left(\int_{\Omega}\nabla v\cdot\nabla v\,dx\right)^{1/2}=\|\nabla v% \|_{L^{2}(\Omega)},

(2.63)

para todo $v\in V_{0}$ .

Teorema 2.5.4.

(Melhor aproximação.) A solução $u_{h}$ do problema de elementos finitos satisfaz

\||u-u_{h}|\|\leq\||u-v_{h}|\|,\leavevmode\nobreak\ \forall v_{h}\in V_{h,0}.

(2.64)

Demonstração.

Observando que $u-u_{h}=u-v_{h}+v_{h}-u_{h}$ e usando a ortogonalidade de Galerkin (Teorema 2.5.3), temos:

$\displaystyle\\|\|u-u_{h}\|\\|^{2}$	$\displaystyle=\int_{\Omega}\nabla(u-u_{h})\cdot\nabla(u-u_{h})\,dx$	(2.65)
	$\displaystyle=\int_{\Omega}\nabla(u-u_{h})\cdot\nabla(u-v_{h})\,dx+\int_{% \Omega}\nabla(u-u_{h})\cdot\nabla(v_{h}-u_{h})\,dx$	(2.66)
	$\displaystyle=\int_{\Omega}\nabla(u-u_{h})\cdot\nabla(u-v_{h})\,dx$	(2.67)
	$\displaystyle=\\|\nabla(u-u_{h})\\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}\\|\nabla(u-v_{h})\\|_{L^{2% }(\Omega)}^{2}$	(2.68)
	$\displaystyle=\\|\|u-u_{h}\|\\|^{2}\\|\|u-v_{h}\|\\|.$	(2.69)

∎

Teorema 2.5.5.

(Estimativa a priori do erro.) A solução $u_{h}$ do problema de elementos finitos (2.40) satisfaz

\||u-u_{h}|\|^{2}\leq C\sum_{K\in\mathcal{K}}h_{K}^{2}\|D^{2}u\|_{L^{2}(K)}^{2}.

(2.70)

Demonstração.

O resultado segue do Teorema da melhor aproximação (Teorema 2.5.4) e da estimativa do erro de interpolação (Proposição 2.2.2), pois

$\displaystyle\\|\|u-u_{h}\|\\|^{2}$	$\displaystyle\leq\\|\|u-\pi u\|\\|^{2}$	(2.71)
	$\displaystyle=\\|D(u-\pi u)\\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}$	(2.72)
	$\displaystyle\leq C\sum_{K\in\mathcal{K}}h_{K}^{2}\\|D^{2}u\\|_{L^{2}(\Omega)}^{% 2}.$	(2.73)

∎

Para obtermos uma estimativa na norma $L^{2}(\Omega)$ , podemos usar a desigualdade de Poincaré.

Teorema 2.5.6.

(Desigualdade de Poincaré.) Seja $\Omega\subset\mathbb{R}^{2}$ um domínio limitado. Então, existe uma constante $C=C(\Omega)$ , tal que

\|v\|_{L^{2}(\Omega)}\leq C\|\nabla v\|_{L^{2}(\Omega)},\leavevmode\nobreak\ % \forall v\in V_{0}.

(2.74)

Demonstração.

Se $\Omega$ tem contorno suficientemente suave, então existe $\phi$ tal que $-\Delta\phi=1$ em $\Omega$ com $\sup_{x\in\Omega}|\nabla\phi|<C$ . Com isso, temos

	$\displaystyle\\|v\\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}$	$\displaystyle=\int_{\Omega}v^{2}\,dx$		(2.75)
		$\displaystyle=-\int_{\Omega}v^{2}\Delta\phi\,dx.$		(2.76)

Agora, usando o Teorema de Green e a desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos

$\displaystyle\\|v\\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}$	$\displaystyle=-\int_{\partial\Omega}v^{2}n\cdot\nabla\phi\,ds+\int_{\Omega}% \nabla v^{2}\cdot\nabla\phi\,dx$	(2.77)
	$\displaystyle=\int_{\Omega}2v\nabla v\cdot\nabla\phi\,dx$	(2.78)
	$\displaystyle\leq\sup_{x\in\Omega}\|\nabla\phi\|\\|v\\|_{L^{2}(\Omega)}\\|\nabla v% \\|_{L^{2}(\Omega)}.$	(2.79)

∎

Com a desigualdade de Poincaré e da estimativa a priori do erro (Teorema 2.5.5), temos

\|u-u_{h}\|_{L^{2}(\Omega)}\leq C\||u-u_{h}|\|\leq Ch\|D^{2}u\|_{L^{2}(\Omega)},

(2.80)

onde $h=\max_{K\in\mathcal{K}}h_{K}$ . Entretanto, esta estimativa pode ser melhorada.

Teorema 2.5.7.

(Estimativa ótima a priori do erro.) A solução $u_{h}$ do problema de elementos finitos (2.40) satisfaz

\|u-u_{h}\|_{L^{2}(\Omega)}\leq Ch^{2}\|D^{2}u\|_{L^{2}(\Omega)}.

(2.81)

Demonstração.

Seja $e=u-u_{h}$ o erro e $\phi$ a solução do problema dual (ou problema adjunto)

	$\displaystyle-\Delta\phi$	$\displaystyle=e,\leavevmode\nobreak\ \forall x\in\Omega$		(2.82)
	$\displaystyle\phi$	$\displaystyle=0,\leavevmode\nobreak\ \forall x\in\partial\Omega.$		(2.83)

Então, usando a fórmula de Green, a ortogonalidade de Galerkin e, então, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos

$\displaystyle\\|e^{2}\\|_{L^{2}(\Omega)}$	$\displaystyle=-\int_{\Omega}e\Delta\phi\,dx$	(2.84)
	$\displaystyle=\int_{\Omega}\nabla e\cdot\nabla\phi\,dx-\int_{\partial\Omega}e% \,n\cdot\nabla\phi\,ds$	(2.85)
	$\displaystyle=\int_{\Omega}\nabla e\cdot\nabla(\phi-\pi\phi)\,dx$	(2.86)
	$\displaystyle\leq\\|\nabla e\\|_{L^{2}(\Omega)}\\|\nabla(\phi-\pi\phi)\\|_{L^{2}(% \Omega)}.$	(2.87)

Da estimativa a priori (2.80) (que segue do Teorema 2.5.5) temos

\|\nabla e\|_{L^{2}(\Omega)}\leq Ch\|D^{2}u\|_{L^{2}(\Omega)}.

(2.88)

Agora, da regularidade elíptica $\|D^{2}\phi\|_{L^{2}(\Omega)}\leq C\|\Delta\phi\|_{L^{2}(\Omega)}$ [Evans1998a] e da estimativa do erro de interpolação (Proposição 2.2.2), temos

\|\nabla(\phi-\pi\phi)\|_{L^{2}(\Omega)}\leq Ch\|D^{2}\phi\|_{L^{2}(\Omega)}% \leq Ch\|\Delta\phi\|_{L^{2}(\Omega)}\leq Ch\|e\|_{L^{2}(\Omega)}.

(2.89)

Então, temos

\|e\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}\leq Ch\|D^{2}u\|_{L^{2}(\Omega)}Ch\|e\|_{L^{2}(% \Omega)}.

(2.90)

∎

Exemplo 2.5.1.

Consideremos o seguinte problema de Poisson

	$\displaystyle-\Delta u$	$\displaystyle=-2(x_{0}^{2}-x_{0})-2(x_{1}^{2}-x_{1}),\leavevmode\nobreak\ x\in% \Omega:=(0,1)\times(0,1),$		(2.91)
	$\displaystyle u$	$\displaystyle=0,\leavevmode\nobreak\ x\in\partial\Omega.$		(2.92)

A solução analítica deste problema é $u(x)=(x_{0}^{2}-x_{0})(x_{1}^{2}-x_{1})$ . Aqui, obtemos aproximações por elementos finitos $u_{h}$ usando uma malha triangular uniforme $n\times n$ nodos, i.e. $h=1/n$ . A Tabela 2.2 mostra os valores dos erros $\|u-u_{h}\|_{L^{2}(\Omega)}$ para diferentes valores de $h$ .

Tabela 2.2: Erros de aproximações por elementos finitos referente ao problema dado no Exemplo 2.5.1.

#nodos	$h$	$\\|u-u_{h}\\|_{L^{2}(\Omega)}$
$10\times 10$	$1\mathrm{e}\!-\!1$	$9.29\mathrm{e}\!-\!4$
$20\times 20$	$5\mathrm{e}\!-\!2$	$2.34\mathrm{e}\!-\!4$
$100\times 100$	$1\mathrm{e}\!-\!3$	$9.40\mathrm{e}\!-\!6$

Com o FEniCS, podemos computar a solução deste problema e o erro na norma $L^{2}$ com o seguinte código:

from __future__ import print_function, division
from fenics import *
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# malha
Nx = 100
Ny = 100
mesh = UnitSquareMesh(Nx,Ny)

# espaco
V = FunctionSpace(mesh, ’P’, 1)

# cond. contorno
def boundary(x,on_boundary):
    return on_boundary

bc = DirichletBC(V,Constant(0.0),boundary)

# f
f = Expression(’-2*(x[1]*x[1]-x[1])-2*(x[0]*x[0]-x[0])’,degree=2)

# MEF problem
u = TrialFunction(V)
v = TestFunction(V)
a = dot(grad(u), grad(v))*dx
L = f*v*dx

#computa a sol
u = Function(V)
solve(a == L, u, bc)

# sol. analitica
ua = Expression(’x[0]*(x[0]-1)*x[1]*(x[1]-1)’,degree=4)

# erro norma L2
erro_L2 = errornorm(ua, u, ’L2’)
print("||u-u_h||_L2 = %1.2E\n" % erro_L2)

# exportanto em vtk
vtkfile = File(’u.pvd’)
vtkfile << u

2.5.3 Estimativa a posteriori

Em revisão

Para obtermos uma estimativa a posteriori vamos precisar da chamada desigualdade do traço.

Teorema 2.5.8.

(Desigualdade do traço) Seja $\Omega\subset\mathbb{R}^{2}$ um domínio limitado com fronteira $\partial\Omega$ convexa e suave. Então, existe uma constante $C=C(\Omega)$ , tal que para qualquer $v\in V$ temos

\|v\|_{L^{2}(\partial\Omega)}\leq C\left(\|v\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\|\nabla v% \|_{L^{2}(\Omega)}^{2}\right)^{1/2}.

(2.93)

Demonstração.

Veja [Larson2013a]. ∎

Teorema 2.5.9.

(Estimativa a posteriori) A solução $u_{h}$ do problema de elementos finitos (2.40) satisfaz

|||u-u_{h}|||^{2}\leq C\sum_{K\in\mathcal{K}}\eta_{K}^{2}(u_{h}),

(2.94)

onde o elemento residual $\eta_{K}(u_{h})$ é definido por

\eta_{K}(u_{h})=h_{K}\|f+\Delta u_{h}\|_{L^{2}(K)}+\frac{1}{2}h_{K}^{1/2}\|[n% \cdot\nabla u_{h}]\|_{L^{2}(\partial K\setminus\partial\Omega)}.

(2.95)

Aqui, $[n\cdot\nabla u_{h}]|_{K}$ denota o salto na derivada normal de $u_{h}$ nos lados interiores dos elementos de $\mathcal{K}$ . Além disso, lembremos que $\Delta u_{h}=0$ .

Demonstração.

Denotando $e:=u-u_{h}$ o erro entre a solução do problema forte e a solução de elementos finitos, temos

$\displaystyle\|\|\|e\|\|\|\|^{2}$	$\displaystyle=\\|\nabla e\\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}$	(2.96)
	$\displaystyle=\int_{\Omega}\nabla e\cdot\nabla e\,dx$	(2.97)
	$\displaystyle=\int_{\Omega}\nabla e\cdot\nabla(e-\pi e)\,dx.$	(2.98)

Nesta última equação, temos usado a ortogonalidade de Galerkin (Teorema 2.5.3). Daí, temos

$\displaystyle\int_{\Omega}\nabla e\cdot\nabla(e-\pi e)\,dx$	$\displaystyle=\sum_{K\in\mathcal{K}}\int_{K}\nabla e\cdot\nabla(e-\pi e)\,dx$	(2.99)
	$\displaystyle=\sum_{K\in\mathcal{K}}-\int_{K}\Delta e(e-\pi e)\,dx$
	$\displaystyle+\int_{\partial K}n\cdot\nabla e(e-\pi e)\,ds,$	(2.100)
	$\displaystyle=\sum_{K\in\mathcal{K}}\int_{K}(f+\Delta u_{h})(e-\pi e)\,dx$
	$\displaystyle+\int_{\partial K\setminus\partial\Omega}n\cdot\nabla e(e-\pi e)% \,ds,$	(2.101)

uma vez que $-\Delta e|_{K}=f+\Delta u_{h}|_{K}$ e, ambos, $e$ e $\pi e$ se anulam em $\partial\Omega$ .

Para computarmos o segundo termo do lado direito da ultima equação, observamos que o erro em lado $E$ recebe contribuições dos dois elementos $K^{\pm}$ que compartilham $E$ . Com isso, temos

	$\displaystyle\int_{\partial K^{+}\cap\partial K^{-}}n\cdot\nabla e(e-\pi e)\,% ds=\int_{E}$	$\displaystyle(n^{+}\cdot\nabla e^{+}(e^{+}-\pi e^{+})$
		$\displaystyle+n^{-}\cdot\nabla e^{-}(e^{-}-\pi e^{-}))\,ds,$		(2.102)

onde utilizamos a notação $v^{\pm}=v|_{K^{\pm}}$ . Lembremos que o erro $e$ é contínuo e, portanto, $(e^{+}-\pi e^{+})|_{E}=(e^{-}-\pi e^{-})|_{E}$ . Ainda, $\nabla u$ é contínuo, logo $(n^{+}\cdot\nabla u^{+}+n^{-}\cdot\nabla u^{-})|_{E}=0$ . Entretanto, $\nabla u_{h}|_{E}$ não é geralmente contínuo, sendo apenas constante por partes. Assim sendo e denotando o salto $[n\cdot\nabla u_{h}]:=(n^{+}\cdot\nabla u_{h}^{+}+n^{-}\cdot\nabla u_{h}^{-})$ , temos

	$\displaystyle\int_{E}(n^{+}\cdot\nabla e^{+}(e-\pi e)$	$\displaystyle+n^{-}\cdot\nabla e^{-}(e-\pi e))\,ds$
		$\displaystyle=-\int_{E}[n\cdot\nabla u_{h}](e-\pi e)\,ds.$		(2.103)

Com isso, temos

\displaystyle\sum_{K\in\mathcal{K}}\int_{\partial K\setminus\partial\Omega}n% \cdot\nabla e(e-\pi e)\,ds=-\sum_{E\in\mathcal{E}_{I}}\int_{E}[n\cdot\nabla u_% {h}](e-\pi e)\,ds,

(2.104)

onde $\mathcal{E}_{I}$ é o conjunto dos lados interiores na triangularização $\mathcal{K}$ . Logo, retornando a (2.101), obtemos

	$\displaystyle\|\|\|e\|\|\|^{2}$	$\displaystyle=\sum_{K\in\mathcal{K}}\int_{K}(f+\nabla u_{h})(e-\pi e)\,dx$
		$\displaystyle-\frac{1}{2}\int_{\partial K\setminus\partial\omega}[n\cdot\nabla u% _{h}](e-\pi e)\,ds.$		(2.105)

Nos resta, agora, estimarmos estes dois termos do lado direito.

A estimativa do primeiro, segue da desigualdade de Cauchy-Schwarz seguida da estimativa padrão do erro de interpolação, i.e.

	$\displaystyle\int_{K}(f+\Delta u_{h})(e-\pi e)\,dx$	$\displaystyle\leq\\|f+\delta u_{h}\\|_{L^{2}(\Omega)}\\|e-\pi e\\|_{L^{2}(\Omega)}$		(2.106)
		$\displaystyle\leq\\|f+\Delta u_{h}\\|_{L^{2}(\Omega)}Ch_{K}\\|De\\|_{L^{2}(\Omega)}$		(2.107)

Para estimarmos as contribuições dos lados, usamos a desigualdade do Traço[Larson2013a]

\|v\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}\leq C\left(h_{K}^{-1}\|v\|_{L^{2}(K)}^{2}+h_{K}\|% \nabla v\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}\right).

(2.108)

Com esta, a desigualdade de Cauchy-Schwarz e a estimativa padrão do erro de interpolação, temos

$\displaystyle\int_{\partial K\setminus\partial\Omega}[n\cdot\nabla u_{h}](e-% \pi e)\,ds$	$\displaystyle\leq\\|[n\cdot\nabla u_{h}]\\|_{L^{2}(\partial K)}\\|e-\pi e\\|_{L^{2% }(\partial K)}$	(2.109)
	$\displaystyle\leq\\|[n\cdot\nabla u_{h}]\\|_{L^{2}(\partial K)}C\left(h_{K}^{-1}% \\|e-\pi e\\|_{L^{2}(K)}^{2}\right.$
	$\displaystyle\left.+h_{K}\\|D(e-\pi e)\\|_{L^{2}(K)}^{2}\right)^{1/2}$	(2.110)
	$\displaystyle\leq\\|[n\cdot\nabla u_{h}]\\|_{L^{2}(\partial K)}Ch_{K}^{1/2}\\|De% \\|_{L^{2}(K)}.$	(2.111)

Daí, a estimativa segue das (2.107) e (2.111). ∎

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$\displaystyle\\|\|u-u_{h}\|\\|^{2}$	$\displaystyle\leq\\|\|u-\pi u\|\\|^{2}$	(2.71)
	$\displaystyle=\\|D(u-\pi u)\\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}$	(2.72)
	$\displaystyle\leq C\sum_{K\in\mathcal{K}}h_{K}^{2}\\|D^{2}u\\|_{L^{2}(\Omega)}^{% 2}.$	(2.73)