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3 Integração 3.3 Quadratura de Romberg 3.5 Quadratura Gauss-Legendre

3.4 Grau de Exatidão

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O grau de exatidão é uma medida de exatidão de uma quadratura numérica. Mais precisamente, dizemos que uma dada quadratura numérica de nodos e pesos $\{(x_{i},\omega_{i})\}_{i=1}^{n}$ tem grau de exatidão $m$ , quando

\int_{a}^{b}p(x)\,dx=\sum_{i=1}^{n}p(x_{i})\omega_{i}

(3.55)

para todo polinômio $p(x)$ de grau menor $m$ . Ou ainda, conforme descrito na definição a seguir.

Definição 3.4.1.

(Grau de Exatidão.) Dizemos que uma dada quadratura numérica de pontos e nodos $\{x_{i},\omega_{i}\}_{i=1}^{n}$ tem grau de exatidão $m$ , quando

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{a}^{b}x^% {k}\,dx=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{k}\omega_{i},\leavevmode\nobreak\ \forall k\leq m.

(3.56)

3.4.1 Regra do Ponto Médio

Vamos determinar o grau de exatidão da regra do ponto médio. Para tanto, verificamos para quais $k$ vale

\int_{a}^{b}x^{k}\,dx=(b-a)\left(\frac{a+b}{2}\right)^{k}.

(3.57)

Temos

•

$k=0$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{0}\,dx=\left.x\right|_{a}^{b}=b-a,$ (3.58)

$\displaystyle(b-a)\left(\frac{a+b}{2}\right)^{0}=b-a.$ (3.59)
•

$k=1$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{1}\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{a}^{b}=\frac{% b^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2},$ (3.60)

$\displaystyle(b-a)\left(\frac{a+b}{2}\right)^{1}=(b-a)\frac{(a+b)}{2}=\frac{b^% {2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}.$ (3.61)
•

$k=2$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{a}^{b}=\frac{% b^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{3},$ (3.62)

$\displaystyle(b-a)\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}\neq\frac{b^{3}}{3}-\frac{a^{3% }}{3}.$ (3.63)

Ou seja, a regra do ponto médio tem grau de exatidão $1$ . Isto quer dizer, que a regra do ponto médio fornece o valor exato para a integral de qualquer polinômio de grau menor ou igual a 1.

Exemplo 3.4.1.

A integral

$\displaystyle I$	$\displaystyle=\int_{1}^{5}1-2x\,dx$	(3.64a)
	$\displaystyle=\left.x-x^{2}\right\|_{1}^{5}$	(3.64b)
	$\displaystyle=(5-25)-(1-1)=-20.$	(3.64c)

Pela regra do ponto médio, temos

$\displaystyle S$	$\displaystyle=hf\left(\frac{a+b}{2}\right)$	(3.65a)
	$\displaystyle=(5-1)\left[1-2\cdot\frac{(1+5)}{2}\right]$	(3.65b)
	$\displaystyle=4(1-6)=-20.$	(3.65c)

3.4.2 Regra de Simpson

Vamos determinar o grau de exatidão da regra de Simpson. Para tanto, verificamos para quais $k$ vale

\int_{a}^{b}x^{k}\,dx=\frac{(b-a)}{6}\left(a^{k}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{% k}+b^{k}\right).

(3.66)

Temos

•

$k=0$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{0}\,dx=\left.x\right|_{a}^{b}=b-a,$ (3.67)

$\displaystyle\frac{(b-a)}{6}\left(a^{0}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{0}+b^{0}% \right)=b-a.$ (3.68)
•

$k=1$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{1}\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{a}^{b}=\frac{% b^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2},$ (3.69)

$\displaystyle\frac{(b-a)}{6}\left(a^{1}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{1}+b^{1}% \right)=\frac{(b-a)}{2}(a+b)$ (3.70)

$\displaystyle\qquad=\frac{b^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}.$ (3.71)
•

$k=2$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{a}^{b}=\frac{% b^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{3},$ (3.72)

$\displaystyle\frac{(b-a)}{6}\left(a^{2}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}+b^{2}% \right)=\frac{(b-a)}{3}(a^{2}+ab+b^{2})$ (3.73)

$\displaystyle\qquad=\frac{b^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{3}.$ (3.74)
•

$k=3$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{3}\,dx=\left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{a}^{b}=\frac{% b^{4}}{4}-\frac{a^{4}}{4},$ (3.75)

$\displaystyle\frac{(b-a)}{6}\left(a^{3}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{3}+b^{3}\right)$ (3.76)

$\displaystyle\qquad=\frac{(b-a)}{6}\left[\frac{3a^{3}}{2}+\frac{3b}{2}a^{2}+% \frac{3a}{2}b^{2}+\frac{3b^{3}}{2}\right]$ (3.77)

$\displaystyle\qquad=\frac{b^{4}}{4}-\frac{a^{4}}{4}.$ (3.78)
•

$k=4$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{4}\,dx=\left.\frac{x^{5}}{5}\right|_{a}^{b}=\frac{% b^{5}}{5}-\frac{a^{5}}{5},$ (3.79)

$\displaystyle\frac{(b-a)}{6}\left(a^{4}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{4}+b^{4}% \right)\neq\frac{b^{5}}{5}-\frac{a^{5}}{5}.$ (3.80)

Ou seja, a regra de Simpson tem grau de exatidão $3$ . Isto significa que ela fornece o valor exato da integral de qualquer polinômio de grau menor ou igual a 3.

Exemplo 3.4.2.

A integral

$\displaystyle I$	$\displaystyle=\int_{-1}^{1}1-x^{2}\,dx$	(3.81a)
	$\displaystyle=\left.x-\frac{x^{3}}{3}\right\|$	(3.81b)
	$\displaystyle=\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)$	(3.81c)
	$\displaystyle=\frac{4}{3}.$	(3.81d)

Pela regra de Simpson, temos

$\displaystyle S$	$\displaystyle=\frac{h}{3}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]$	(3.82a)
	$\displaystyle=\frac{1}{3}\left[(1-(-1)^{2})+4(1-0^{2})+(1-(1)^{2})\right]$	(3.82b)
	$\displaystyle=\frac{4}{3}.$	(3.82c)

3.4.3 Exercícios

E. 3.4.1.

Determine o grau de exatidão da regra do trapézio.

Resposta.

$1$

E. 3.4.2.

Calcule

\int_{-7\sqrt{3}}^{7\sqrt{3}}\pi x-e\,dx.

(3.83)

Resposta.

Dica: use a regra do ponto médio.

E. 3.4.3.

Determine o nodo e o peso da quadratura numérica de um único nodo e de grau de exatidão $1$ para o intervalo de integração $[-1,1]$ .

Resposta.

$x_{1}=0$ , $\omega_{1}=2$

E. 3.4.4.

Considere uma quadratura numérica de dois nodos e pesos

S=f(x_{1})\omega_{1}+f(x_{2})\omega_{2}.

(3.84)

Determine as possíveis escolhas de pesos e nodos para que ela tenha grau de exatidão $2$ no intervalo de integração $[0,1]$ .

Resposta.

	$\displaystyle\omega_{1}+\omega_{2}=1$		(3.85)
	$\displaystyle x_{1}\omega_{1}+x_{2}\omega_{2}=\frac{1}{2}$		(3.86)
	$\displaystyle x_{1}^{2}\omega_{1}+x_{2}^{2}\omega_{2}=\frac{1}{3}$		(3.87)

E. 3.4.5.

Mostre que a seguinte quadratura numérica

S=f(-1)\frac{1}{3}+f(0)\frac{4}{3}+f(1)\frac{1}{3}

(3.88)

tem grau de exatidão $3$ no intervalo de integração $[-1,1]$ .

Resposta.

Dica: consulte o grau de exatidão da regra de Simpson.

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	$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{0}\,dx=\left.x\right\|_{a}^{b}=b-a,$		(3.58)
	$\displaystyle(b-a)\left(\frac{a+b}{2}\right)^{0}=b-a.$		(3.59)

	$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{1}\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right\|_{a}^{b}=\frac{% b^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2},$		(3.60)
	$\displaystyle(b-a)\left(\frac{a+b}{2}\right)^{1}=(b-a)\frac{(a+b)}{2}=\frac{b^% {2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}.$		(3.61)

	$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right\|_{a}^{b}=\frac{% b^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{3},$		(3.62)
	$\displaystyle(b-a)\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}\neq\frac{b^{3}}{3}-\frac{a^{3% }}{3}.$		(3.63)

	$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{0}\,dx=\left.x\right\|_{a}^{b}=b-a,$		(3.67)
	$\displaystyle\frac{(b-a)}{6}\left(a^{0}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{0}+b^{0}% \right)=b-a.$		(3.68)

	$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{1}\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right\|_{a}^{b}=\frac{% b^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2},$		(3.69)
	$\displaystyle\frac{(b-a)}{6}\left(a^{1}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{1}+b^{1}% \right)=\frac{(b-a)}{2}(a+b)$		(3.70)
	$\displaystyle\qquad=\frac{b^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}.$		(3.71)

	$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right\|_{a}^{b}=\frac{% b^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{3},$		(3.72)
	$\displaystyle\frac{(b-a)}{6}\left(a^{2}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}+b^{2}% \right)=\frac{(b-a)}{3}(a^{2}+ab+b^{2})$		(3.73)
	$\displaystyle\qquad=\frac{b^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{3}.$		(3.74)

	$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{3}\,dx=\left.\frac{x^{4}}{4}\right\|_{a}^{b}=\frac{% b^{4}}{4}-\frac{a^{4}}{4},$		(3.75)
	$\displaystyle\frac{(b-a)}{6}\left(a^{3}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{3}+b^{3}\right)$		(3.76)
	$\displaystyle\qquad=\frac{(b-a)}{6}\left[\frac{3a^{3}}{2}+\frac{3b}{2}a^{2}+% \frac{3a}{2}b^{2}+\frac{3b^{3}}{2}\right]$		(3.77)
	$\displaystyle\qquad=\frac{b^{4}}{4}-\frac{a^{4}}{4}.$		(3.78)

	$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{4}\,dx=\left.\frac{x^{5}}{5}\right\|_{a}^{b}=\frac{% b^{5}}{5}-\frac{a^{5}}{5},$		(3.79)
	$\displaystyle\frac{(b-a)}{6}\left(a^{4}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{4}+b^{4}% \right)\neq\frac{b^{5}}{5}-\frac{a^{5}}{5}.$		(3.80)