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3 Integração 3.4 Grau de Exatidão 3.6 Quadraturas gaussianas com pesos

3.5 Quadratura Gauss-Legendre

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Quadraturas gaussianas são quadraturas numéricas de máximo grau de exatidão. Especificamente, quadraturas de Gauss-Legendre são quadraturas gaussianas para integrais da forma

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}I=\int_{-1}^{1% }f(x)\,dx.

(3.89)

Vamos começar considerando o problema de determinar a quadratura de Gauss-Legendre de apenas um ponto, i.e.

S=f(x_{1})\omega_{1}.

(3.90)

Começamos por exigir a integração exata de polinômios de o grau $0$ , o que nos leva a

	$\displaystyle\omega_{1}x_{1}^{0}=\int_{-1}^{1}x^{0}\,dx$		(3.91a)
	$\displaystyle\omega_{1}=\left.x\right\|_{-1}^{1}=2.$		(3.91b)

Agora, exigindo a integração exata de polinômios de grau $1$ , obtemos

	$\displaystyle\omega_{1}x_{1}^{1}=\int_{-1}^{1}x^{1}\,dx$		(3.92a)
	$\displaystyle 2x_{1}=\left.\frac{x^{2}}{2}\right\|_{-1}^{1}=0$		(3.92b)
	$\displaystyle x_{1}=0.$		(3.92c)

Com isso, concluímos que a quadratura de um nodo de maior grau de exatidão para tais integrais é a de nodo $x_{1}=0$ e peso $\omega_{1}=2$ . Observamos que esta é a regra do ponto médio para o intervalo de integração $[-1,1]$ .

Seguindo esse raciocínio, ao buscarmos por uma quadratura de $n$ pontos com maior grau de exatidão possível para integrais no intervalo $[-1,1]$ , acabamos tendo que resolver um sistema de equações

\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{k}\omega_{i}=\int_{-1}^{1}x^{k}\,dx,

(3.93)

para $k=0,1,2,\dotsc,2n-1$ . I.e., no que temos $2n$ incógnitas ( $n$ nodos e $n$ pesos) a determinar, podemos exigir o grau de exatidão máximo de $2n-1$ .

O sistema (3.93) é um sistema não linear para os nodos e a determinação de soluções para $n$ grande não é uma tarefa trivial. Alternativamente, veremos que os nodos da quadratura de Gauss-Legendre de $n$ nodos são as raízes do polinômio de Legendre de grau $n$ . Por definição, o polinômio de Legendre de grau $n$ , denotado por $P_{n}(x)$ , satisfaz a seguinte propriedade de ortogonalidade

\int_{-1}^{1}p(x)P_{n}(x)\,dx=0,

(3.94)

para todo polinômio $p(x)$ de grau menor que $n$ . Com isso, estabelecemos o seguinte resultado.

Teorema 3.5.1.

A quadratura de Gauss-Legendre de $n$ nodos tem as raízes do polinômio de Legendre de grau $n$ como seus nodos e seus pesos são dados por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\omega_{i}=% \int_{-1}^{1}\prod_{\overset{j=1}{j\neq i}}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}\,dx.

(3.95)

Demonstração.

Sejam $x_{1},x_{2},\dotsc,x_{n}$ as raízes do polinômio de Legendre de grau $n$ . Queremos mostrar que

\int_{-1}^{1}p(x)\,dx=\sum_{i=1}^{n}p(x_{i})\omega_{i},

(3.96)

para todo polinômio $p(x)$ de grau menor ou igual $2n-1$ . Primeiramente, suponhamos que $p(x)$ seja um polinômio de grau menor que $n$ . Então, tomando sua representação por polinômio de Lagrange nos nodos $x_{i}$ , $i=1,2,\ldots,n$ , temos

$\displaystyle\int_{-1}^{1}p(x)\,dx$	$\displaystyle=\int_{-1}^{1}\sum_{i=1}^{n}p(x_{i})\prod_{\overset{j=1}{j\neq i}% }^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}\,dx$	(3.97)
	$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n}p(x_{i})\int_{-1}^{1}\prod_{\overset{j=1}{j\neq i}% }^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}\,dx$	(3.98)
	$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n}p(x_{i})\omega_{i}.$	(3.99)

Isto mostra o resultado para polinômios $p(x)$ de grau menor que $n$ . Agora, suponhamos que $p(x)$ é um polinômio de grau maior ou igual que $n$ e menor ou igual a $2n-1$ . Dividindo $p(x)$ pelo polinômio de Legendre de grau $n$ , $P_{n}(x)$ , obtemos

p(x)=q(x)P_{n}(x)+r(x),

(3.100)

onde $q(x)$ e $r(x)$ são polinômio de grau menor que $n$ . Ainda, nas raízes $x_{1},x_{2},\dotsc,x_{n}$ temos $p(x_{i})=r(x_{i})$ e da ortogonalidade dos polinômios de Legendre (veja, equação (3.94)), temos

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}p(x)\,dx$	$\displaystyle=\int_{-1}^{1}q(x)P_{n}(x)+r(x)\,dx$		(3.101)
		$\displaystyle=\int_{-1}^{1}r(x)\,dx.$		(3.102)

Agora, do resultado anterior aplicado a $r(x)$ , temos

\int_{-1}^{1}p(x)\,dx=\sum_{i=1}^{n}r(x_{i})\omega_{i}=\sum_{i=1}^{n}p(x_{i})% \omega_{i}.

(3.103)

Isto complete o resultado para polinômios de grau menor ou igual a $2n-1$ . ∎

Exemplo 3.5.1.

(Gauss-Legendre de 2 pontos.) Considaremos a quadratura de Gauss-Legendre de $2$ nodos. Do Teorema 3.5.1, seus nodos são as raízes do polinômio de Legendre de grau 2

P_{2}(x)=\frac{3}{2}x^{2}-\frac{1}{2},

(3.104)

as quais são

	$\displaystyle x_{1}=-\frac{\sqrt{3}}{3},$		(3.105a)
	$\displaystyle x_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$		(3.105b)

Os pesos são, então

$\displaystyle\omega_{1}$	$\displaystyle=\int_{-1}^{1}\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\,dx$	(3.106a)
	$\displaystyle=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}x% \right]_{-1}^{1}$	(3.106b)
	$\displaystyle=1$	(3.106c)

$\displaystyle\omega_{2}$	$\displaystyle=\int_{-1}^{1}\frac{x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}\,dx$	(3.107a)
	$\displaystyle=-\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}x% \right]_{-1}^{1}$	(3.107b)
	$\displaystyle=1$	(3.107c)

Ou seja, a quadratura de Gauss-Legendre de $2$ pontos tem o seguinte conjunto de nodos e pesos $\{(x_{1}=-\sqrt{3}/3,\omega_{1}=1),(x_{2}=\sqrt{3}/3,\omega_{2}=1)\}$ . Esta, por sua vez, é exata para polinômios de grau menor ou igual a $3$ . De fato, verificando para potência de $x^{k}$ temos:

•

$k=0$ :

$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{0}\,dx=2$ (3.108a)

$\displaystyle x_{1}^{0}\omega_{1}+x_{2}^{0}\omega_{2}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3% }\right)^{0}+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{0}=2.$ (3.108b)
•

$k=1$ :

$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{1}\,dx=0$ (3.109a)

$\displaystyle x_{1}^{1}\omega_{1}+x_{2}^{1}\omega_{2}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3% }\right)^{1}+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{1}=0.$ (3.109b)
•

$k=2$ :

$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=\frac{2}{3}$ (3.110a)

$\displaystyle x_{1}^{2}\omega_{1}+x_{2}^{2}\omega_{2}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3% }\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\frac{2}{3}.$ (3.110b)
•

$k=3$ :

$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx=0$ (3.111a)

$\displaystyle x_{1}^{3}\omega_{1}+x_{2}^{3}\omega_{2}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3% }\right)^{3}+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{3}=0.$ (3.111b)
•

$k=4$ :

$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{4}\,dx=\frac{2}{5}$ (3.112a)

$\displaystyle x_{1}^{4}\omega_{1}+x_{2}^{4}\omega_{2}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3% }\right)^{4}+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{4}=\frac{2}{9}.$ (3.112b)

Tabela 3.5: Conjunto de nodos e pesos da quadratura de Gauss-Legendre. Fonte: Wikipedia:Gauss-Legendre Quadrature.

$n$	$x_{i}$	$\omega_{i}$
$1$	0	2
$2$	$\displaystyle\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$	1
$3$	$0$	$\displaystyle\frac{8}{9}$
$3$	$\displaystyle\pm\sqrt{\frac{3}{5}}$	$\displaystyle\frac{5}{9}$
$4$	$\displaystyle\pm\sqrt{\frac{3}{7}-\frac{2}{7}\sqrt{\frac{6}{5}}}$	$\displaystyle\frac{18+\sqrt{30}}{36}$
$4$	$\displaystyle\pm\sqrt{\frac{3}{7}+\frac{2}{7}\sqrt{\frac{6}{5}}}$	$\displaystyle\frac{18-\sqrt{30}}{36}$
$5$	$0$	$\displaystyle\frac{128}{225}$
	$\displaystyle\pm\frac{1}{3}\sqrt{5-2\sqrt{\frac{10}{7}}}$	$\displaystyle\frac{322+13\sqrt{70}}{900}$
	$\displaystyle\pm\frac{1}{3}\sqrt{5+2\sqrt{\frac{10}{7}}}$	$\displaystyle\frac{322-13\sqrt{70}}{900}$

Exemplo 3.5.2.

Considere o problema de obter uma aproximação para $I=\int_{-1}^{1}\cos(x)\,dx$ usando a quadratura de Gauss-Legendre. Calculemos algumas aproximações com $n=1$ , $2$ e $3$ pontos:

•

$n=1$ :

$\displaystyle\int_{-1}^{1}\cos(x)\,dx$ $\displaystyle\approx 2\cos 0$ (3.113a)

$\displaystyle=2.$ (3.113b)
•

$n=2$ :

$\displaystyle\int_{-1}^{1}xe^{-x^{2}}\,dx$ $\displaystyle\approx\cos(-\sqrt{3}/3)+\cos(-\sqrt{3}/3)$ (3.114a)

$\displaystyle=1,67582.$ (3.114b)
•

$n=3$ :

$\displaystyle\int_{-1}^{1}xe^{-x^{2}}\,dx$ $\displaystyle\approx\frac{8}{9}\cos 0+\frac{5}{9}\cos(-\sqrt{3/5})$

$\displaystyle+\frac{5}{9}\cos(\sqrt{3/5})=1,68300.$ (3.115a)

Na Tabela 3.6, temos as aproximações de $I$ com a quadratura de Gauss-Legendre de $n=1$ , $2$ , $3$ , $4$ e $5$ pontos (detonado por $\tilde{I}$ , bem como, o erro absoluto com respeito ao valor analítico da integral.

Tabela 3.6: Resultados referentes ao Exemplo 3.5.2.

$n$	$\tilde{I}$	$\|I-\tilde{I}\|$
$1$	$2.00000$	$3.2\mathrm{e}\!-\!01$
$2$	$1.67582$	$7.1\mathrm{e}\!-\!03$
$3$	$1.68300$	$6.2\mathrm{e}\!-\!05$
$4$	$1.68294$	$2.8\mathrm{e}\!-\!07$
$5$	$1.68294$	$7.9\mathrm{e}\!-\!10$

⬇

1import numpy as np

2from numpy.polynomial.legendre import leggauss

4# integrando

5f = lambda x: np.cos(x)

6# quadratura

7n = 4

8x,w = leggauss(n)

9# aproximação

10S = np.sum(f(x)*w)

11print(f'{n}: S = {S:.5e}')

3.5.1 Intervalos de integração arbitrários

A quadratura de Gauss-Legendre é desenvolvida para aproximar integrais definidas no intervalo $[-1,1]$ . Por sorte, uma integral definida em um intervalo arbitrário $[a,b]$ pode ser reescrita como uma integral no intervalo $[-1,1]$ através de uma mudança de variável apropriada.

Assumindo a mudança de variável

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}x=\frac{b-a}{2% }(u+1)+a

(3.116)

temos

dx=\frac{b-a}{2}du

(3.117)

e, portanto,

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{a}^{b}f(% x)\,dx=\int_{-1}^{1}f\left(\frac{b-a}{2}(u+1)+a\right)\cdot\frac{b-a}{2}du.

(3.118)

Portanto, para computarmos $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ podemos aplicar a quadratura de Gauss-Legendre na integral definida no $[-1,1]$ dada conforme acima.

Exemplo 3.5.3.

Usemos a quadratura de Gauss-Legendre com $2$ pontos para aproximar a integral

\int_{0}^{1}xe^{-x^{2}}\,dx.

(3.119)

Fazendo a mudança de variável $x=u/2+1/2$ , temos

\int_{0}^{1}xe^{-x^{2}}\,dx=\int_{-1}^{1}\left(\frac{u}{2}+\frac{1}{2}\right)e% ^{-\left(\frac{u}{2}+\frac{1}{2}\right)^{2}}\,du.

(3.120)

Então, aplicando a quadratura temos

$\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{-x^{2}}\,dx$	$\displaystyle=\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2}\right)e^{-\left(-\frac{% \sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2}\right)^{2}}$
	$\displaystyle+\left(\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2}\right)e^{-\left(\frac{\sqrt% {3}}{6}+\frac{1}{2}\right)^{2}}$	(3.121a)
	$\displaystyle=3,12754\mathrm{e}\!-\!1.$	(3.121b)

⬇

1import numpy as np

2from numpy.polynomial.legendre import leggauss

4# integral

5a = 0

6b = 1

7f = lambda x: x*np.exp(-x**2)

8# quadratura

9n = 2

10x,w = leggauss(n)

11# mud de var

12x = (b-a)/2*(x+1)+a

13w = (b-a)/2*w

14# aproximação

15S = np.sum(f(x)*w)

16print(f'{n}: S = {S:.5e}')

3.5.2 Exercícios

E. 3.5.1.

Aproxime

\int_{-1}^{1}\frac{\operatorname{sen}(x+2)-e^{-x^{2}}}{x^{2}+\ln(x+2)}\,dx

(3.122)

usando a quadratura de Gauss-Legendre com:

a)

$n=1$ ponto.
b)

$n=2$ pontos.
c)

$n=3$ pontos.
d)

$n=4$ pontos.
e)

$n=5$ pontos.

Resposta.

a) $-2.61712\mathrm{e}\!-\!1$ ; b) $2.55351\mathrm{e}\!-\!1$ ; c) $8.97510\mathrm{e}\!-\!2$ ; d) $1.27411\mathrm{e}\!-\!1$ ; e) $1.21016\mathrm{e}\!-\!1$ .

E. 3.5.2.

Aproxime

\int_{0}^{1}\frac{\operatorname{sen}(x+2)-e^{-x^{2}}}{x^{2}+\ln(x+2)}\,dx

(3.123)

usando a quadratura de Gauss-Legendre com:

a)

$n=1$ ponto.
b)

$n=2$ pontos.
c)

$n=3$ pontos.
d)

$n=4$ pontos.
e)

$n=5$ pontos.

Resposta.

a) $-1.54617\mathrm{e}\!-\!1$ ; b) $-1.50216\mathrm{e}\!-\!1$ ; c) $-1.47026\mathrm{e}\!-\!1$ ; d) $-1.47190\mathrm{e}\!-\!1$ ; e) $-1.47193\mathrm{e}\!-\!1$ .

E. 3.5.3.

Aproxime

\int_{-1}^{1}\frac{\operatorname{sen}(x+2)-e^{-x^{2}}}{x^{2}+\ln(x+2)}\,dx

(3.124)

usando a quadratura de Gauss-Legendre com:

a)

$n=5$ ponto.
b)

$n=10$ pontos.
c)

$n=20$ pontos.

Resposta.

a) $1.21016\mathrm{e}\!-\!1$ ; b) $1.21744\mathrm{e}\!-\!1$ ; c) $1.21744\mathrm{e}\!-\!1$

E. 3.5.4.

Use uma quadratura de Gauss-Legendre para computar a integral

I=\int_{-1}^{2}x\operatorname{sen}(x^{3})\,dx

(3.125)

com $6$ dígitos significativos corretos.

Resposta.

$5.93738\mathrm{e}\!-\!1$

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	$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{0}\,dx=2$		(3.108a)
	$\displaystyle x_{1}^{0}\omega_{1}+x_{2}^{0}\omega_{2}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3% }\right)^{0}+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{0}=2.$		(3.108b)

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{1}\,dx=0$		(3.109a)
	$\displaystyle x_{1}^{1}\omega_{1}+x_{2}^{1}\omega_{2}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3% }\right)^{1}+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{1}=0.$		(3.109b)

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=\frac{2}{3}$		(3.110a)
	$\displaystyle x_{1}^{2}\omega_{1}+x_{2}^{2}\omega_{2}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3% }\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\frac{2}{3}.$		(3.110b)

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx=0$		(3.111a)
	$\displaystyle x_{1}^{3}\omega_{1}+x_{2}^{3}\omega_{2}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3% }\right)^{3}+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{3}=0.$		(3.111b)

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{4}\,dx=\frac{2}{5}$		(3.112a)
	$\displaystyle x_{1}^{4}\omega_{1}+x_{2}^{4}\omega_{2}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3% }\right)^{4}+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{4}=\frac{2}{9}.$		(3.112b)

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}\cos(x)\,dx$	$\displaystyle\approx 2\cos 0$		(3.113a)
		$\displaystyle=2.$		(3.113b)

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}xe^{-x^{2}}\,dx$	$\displaystyle\approx\cos(-\sqrt{3}/3)+\cos(-\sqrt{3}/3)$		(3.114a)
		$\displaystyle=1,67582.$		(3.114b)

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}xe^{-x^{2}}\,dx$	$\displaystyle\approx\frac{8}{9}\cos 0+\frac{5}{9}\cos(-\sqrt{3/5})$
		$\displaystyle+\frac{5}{9}\cos(\sqrt{3/5})=1,68300.$		(3.115a)