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2 Técnicas de extrapolação 2 Técnicas de extrapolação 3 Integração

2.1 Extrapolação de Richardson

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Em revisão

Seja $F_{1}(h)$ uma aproximação de $I$ tal que

I=F_{1}(h)+\underbrace{k_{1}h+k_{2}h^{2}+k_{3}h^{3}+O(h^{4})}_{\text{erro de % truncamento}}.

(2.1)

Então, dividindo $h$ por $2$ , obtemos

I=F_{1}\left(\frac{h}{2}\right)+k_{1}\frac{h}{2}+k_{2}\frac{h^{2}}{4}+k_{3}% \frac{h^{3}}{8}+O(h^{4}).

(2.2)

Agora, de forma a eliminarmos o termo de ordem $h$ das expressões acima, subtraímos (2.1) de $2$ vezes (2.2), o que nos leva a

I=\underbrace{\left[F_{1}\left(\frac{h}{2}\right)+\left(F_{1}\left(\frac{h}{2}% \right)-F_{1}(h)\right)\right]}_{F_{2}(h)}-k_{2}\frac{h^{2}}{2}-k_{3}\frac{3h^% {3}}{4}+O(h^{4}).

(2.3)

Ou seja, denotando

F_{2}(h):=F_{1}\left(\frac{h}{2}\right)+\left(F_{1}\left(\frac{h}{2}\right)-F_% {1}(h)\right)

(2.4)

temos que $N_{2}(h)$ é uma aproximação de $I$ com erro de truncamento da ordem de $h^{2}$ , uma ordem a mais de $N_{1}(h)$ . Ou seja, esta combinação de aproximações de ordem de truncamento $h$ nos fornece uma aproximação de ordem de truncamento $h^{2}$ .

Analogamente, consideremos a aproximação de $I$ por $N_{2}(h/2),i.e.$

I=F_{2}\left(\frac{h}{2}\right)-k_{2}\frac{h^{2}}{8}-k_{2}\frac{3h^{3}}{32}+O(% h^{4})

(2.5)

Então, subtraindo (2.3) de $4$ vezes (2.5) de, obtemos

I=\underbrace{\left[3F_{2}\left(\frac{h}{2}\right)+\left(F_{2}\left(\frac{h}{2% }\right)-F_{2}(h)\right)\right]}_{F_{3}(h)}+k_{3}\frac{3h^{3}}{8}+O(h^{4}).

(2.6)

Observemos, ainda, que $N_{3}(h)$ pode ser reescrita na forma

F_{3}(h)=F_{2}\left(\frac{h}{2}\right)+\frac{F_{2}\left(\frac{h}{2}\right)-F_{% 2}(h)}{3},

(2.7)

a qual é uma aproximação de ordem $h^{3}$ para $I$ .

Para fazermos mais um passo, consideramos a aproximação de $I$ por $F_{3}(h/2)$ , i.e.

I=F_{3}\left(\frac{h}{2}\right)+k_{3}\frac{3h^{3}}{64}+O(h^{4}).

(2.8)

E, então, subtraindo (2.6) de $8$ vezes (2.8), temos

I=\underbrace{\left[F_{3}\left(\frac{h}{2}\right)+\left(\frac{F_{3}\left(\frac% {h}{2}\right)-F_{3}(h)}{7}\right)\right]}_{F_{4}(h)}+O(h^{4}).

(2.9)

Ou seja,

F_{4}(h)=\left[F_{3}\left(\frac{h}{2}\right)+\frac{F_{3}\left(\frac{h}{2}% \right)-F_{3}(h)}{7}\right]

(2.10)

é uma aproximação de $I$ com erro de truncamento da ordem $h^{4}$ . Estes cálculos nos motivam o seguinte teorema.

Teorema 2.1.1.

Seja $F_{1}(h)$ uma aproximação de $I$ com erro de truncamento da forma

I-F_{1}(h)=\sum_{i=1}^{n}k_{1}h^{i}+O(h^{n+1}).

(2.11)

Então, para $j\geq 2$ ,

F_{j}(h):=F_{j-1}\left(\frac{h}{2}\right)+\frac{F_{j-1}\left(\frac{h}{2}\right% )-F_{j-1}(h)}{2^{j-1}-1}

(2.12)

é uma aproximação de $I$ com erro de truncamento da forma

	$\displaystyle I-F_{j}(h)$	$\displaystyle=\sum_{i=j}^{n}(-1)^{j-1}\frac{\left(2^{i-1}-1\right)\prod_{l=1}^% {j-2}\left(2^{i-l-1}-1\right)}{2^{(j-1)(i-j+1)}d_{j}}k_{i}h^{i}$
		$\displaystyle+O(h^{n+1}),$		(2.13)

onde $d_{j}$ é dado recursivamente por $d_{j+1}=2^{j-1}d_{j}$ , com $d_{2}=1$ .

Demonstração.

Fazemos a demonstração por indução. O resultado para $j=2$ segue de (2.3). Assumimos, agora, que vale

$\displaystyle I-F_{j}(h)$	$\displaystyle=(-1)^{j-1}\frac{\left(2^{j-1}-1\right)\prod_{l=1}^{j-2}\left(2^{% j-l-1}-1\right)}{2^{(j-1)}d_{j}}k_{j}h^{j}$
	$\displaystyle+\sum_{i=j+1}^{n}(-1)^{j-1}\frac{\left(2^{i-1}-1\right)\prod_{l=1% }^{j-2}\left(2^{i-l-1}-1\right)}{2^{(j-1)(i-j+1)}d_{j}}k_{i}h^{i}$
	$\displaystyle+O(h^{n+1}).$	(2.14)

para $j\geq 2$ . Então, tomamos

$\displaystyle I-F_{j}\left(\frac{h}{2}\right)$	$\displaystyle=(-1)^{j-1}\frac{\left(2^{j-1}-1\right)\prod_{l=1}^{j-2}\left(2^{% j-l-1}-1\right)}{2^{(j-1)}d_{j}}k_{j}\frac{h^{j}}{2^{j}}$
	$\displaystyle+\sum_{i=j+1}^{n}(-1)^{j-1}\frac{\left(2^{i-1}-1\right)\prod_{l=1% }^{j-2}\left(2^{i-l-1}-1\right)}{2^{(j-1)(i-j+1)}d_{j}}k_{i}\frac{h^{i}}{2^{i}}$
	$\displaystyle+O(h^{n+1}).$	(2.15)

Agora, subtraímos (2.14) de $2^{j}$ vezes (2.15), o que nos fornece

$\displaystyle I$	$\displaystyle=\left[F_{j}\left(\frac{h}{2}\right)+\frac{F_{j}\left(\frac{h}{2}% \right)-F_{j}(h)}{2^{j}-1}\right]$
	$\displaystyle+\sum_{i=j+1}^{n}(-1)^{(j+1)-1}\frac{\left(2^{i-1}-1\right)\prod_% {l=1}^{(j+1)-2}\left(2^{i-l-1}-1\right)}{2^{((j+1)-1)(i-(j+1)+1)}2^{j-1}d_{j}}% k_{i}h^{i}$
	$\displaystyle+O(h^{n+1}).$	(2.16)

∎

Corolário 2.1.1.

Seja $F_{1}(h)$ uma aproximação de $I$ com erro de truncamento da forma

I-F_{1}(h)=\sum_{i=1}^{n}k_{1}h^{2i}+O(h^{2n+2}).

(2.17)

Então, para $j\geq 2$ ,

F_{j}(h):=F_{j-1}\left(\frac{h}{2}\right)+\frac{F_{j-1}\left(\frac{h}{2}\right% )-F_{j-1}(h)}{4^{j-1}-1}

(2.18)

é uma aproximação de $I$ com erro de truncamento da forma

	$\displaystyle I-F_{j}(h)$	$\displaystyle=\sum_{i=j}^{n}(-1)^{j-1}\frac{\left(4^{i-1}-1\right)\prod_{l=1}^% {j-2}\left(4^{i-l-1}-1\right)}{4^{(j-1)(i-j+1)}d_{j}}k_{i}h^{2i}$
		$\displaystyle+O(h^{n+1}),$		(2.19)

onde $d_{j}$ é dado recursivamente por $d_{j+1}=4^{j-1}d_{j}$ , com $d_{2}=1$ .

Demonstração.

A demonstração é análoga ao do Teorema 2.1.1. ∎

Exemplo 2.1.1.

Dada uma função $f(x)$ , consideremos sua aproximação por diferenças finitas progressiva de ordem $h$ , i.e.

	$\displaystyle\underbrace{f^{\prime}(x)}{I}$	$\displaystyle=\underbrace{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}_{F_{1}(h)}$
		$\displaystyle+\frac{f^{\prime\prime}(x)}{2}h+\frac{f^{\prime\prime\prime}(x)}{% 6}h^{2}+O(h^{3}).$		(2.20)

Estão, considerando a primeira extrapolação de Richardson, temos

$\displaystyle F_{2}(h)$	$\displaystyle=F_{1}\left(\frac{h}{2}\right)+\left(F_{1}\left(\frac{h}{2}\right% )-F_{1}(h)\right)$	(2.21)
	$\displaystyle=4\frac{f(x+h/2)-f(x)}{h}-\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$	(2.22)
	$\displaystyle=\frac{-f(x+h)+4f(x+h/2)-3f(x)}{h},$	(2.23)

a qual é a fórmula de diferenças finitas progressiva de três pontos com passo $h/2$ , i.e. $D_{+,(h/2)^{2}}f(x)$ (veja, Fórmula (1.48)).

Exemplo 2.1.2.

Dada uma função $f(x)$ , consideremos sua aproximação por diferenças finitas central de ordem $h^{2}$ , i.e.

	$\displaystyle\underbrace{f^{\prime}(x)}{I}$	$\displaystyle=\underbrace{\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}}_{F_{1}(h)}$
		$\displaystyle-\frac{f^{\prime\prime\prime}}{6}h^{2}-\frac{f^{(5)}(x)}{120}h^{4% }+O(h^{6}).$		(2.24)

Estão, considerando a primeira extrapolação de Richardson, temos

	$\displaystyle F_{2}(h)$	$\displaystyle=F_{1}\left(\frac{h}{2}\right)+\frac{\left(F_{1}\left(\frac{h}{2}% \right)-F_{1}(h)\right)}{3}$		(2.25)
		$\displaystyle=\frac{1}{6h}\left[f(x-h)-8f(x-h/2)+8f(x+h/2)-f(x+h)\right]$		(2.26)

a qual é a fórmula de diferenças finitas central de cinco pontos com passo $h/2$ , i.e. $D_{+,(h/2)^{4}}f(x)$ (veja, Fórmula (1.53)).

2.1.1 Sucessivas extrapolações

Em revisão

Sucessivas extrapolações de Richardson podem ser computadas de forma robusta com o auxílio de uma tabela. Seja $F_{1}(h)$ uma dada aproximação de uma quantidade de interesse $I$ com erro de truncamento da forma

I-F_{1}(h)=k_{1}h+k_{2}h^{2}+k_{3}h^{3}+\cdots+k_{n}h^{n}+O(h^{n+1}).

(2.27)

Então, as sucessivas extrapolações $F_{2}(h)$ , $F_{3}(h)$ , $\dotsc$ , $F_{n}(h)$ podem ser organizadas na seguinte forma tabular

T=\left[\begin{array}[]{lllll}F_{1}(h)\\ F_{1}(h/2)&F_{2}(h)\\ F_{1}(h/2^{2})&F_{2}(h/2)&F_{3}(h)\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ F_{1}(h/2^{n})&F_{2}(h/2^{n-1})&F_{3}(h/2^{n-2})&\cdots&F_{n}(h)\end{array}\right]

(2.28)

Desta forma, temos que

F_{j}\left(\frac{h}{2^{i-1}}\right)=t_{i,j-1}+\frac{t_{i,j-1}-t_{i-1,j-1}}{2^{% j-1}-1}

(2.29)

com $j=2,3,\dotsc,n$ e $j\geq i$ , onde $t_{i,j}$ é o elemento da $i$ -ésima linha e $j$ -ésima coluna da matriz $T$ .

Exemplo 2.1.3.

Consideremos o problema de aproximar a derivada da função $f(x)=\operatorname{sen}(x)$ no ponto $\pi/3$ . Usando a fórmula de diferenças finitas progressiva de ordem $h$ obtemos

	$\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)$	$\displaystyle=\underbrace{\frac{f\left(\frac{\pi}{3}+h\right)-f\left(\frac{\pi% }{3}\right)}{h}}_{F_{1}(h):=D_{+,h}f(\pi/3)}$
		$\displaystyle+\frac{f^{\prime\prime}(x)}{2}h+\frac{f^{\prime\prime\prime}(x)}{% 6}h^{2}+\cdots$		(2.30)

Na Tabela 2.1 temos os valores das aproximações de $f^{\prime}(\pi/3)$ computadas via sucessivas extrapolações de Richardson a partir de (2.30) com $h=0.1$ .

Tabela 2.1: Resultados referente ao Exemplo 2.1.3.

$O(h)$	$O(h^{2})$	$O(h^{3})$	$O(h^{4})$
$4,55902\mathrm{e}\!-\!1$
$4,78146\mathrm{e}\!-\!1$	$5,00389\mathrm{e}\!-\!1$
$4,89123\mathrm{e}\!-\!1$	$5,00101\mathrm{e}\!-\!1$	$5,00005\mathrm{e}\!-\!1$
$4,94574\mathrm{e}\!-\!1$	$5,00026\mathrm{e}\!-\!1$	$5,00001\mathrm{e}\!-\!1$	$5,00000\mathrm{e}\!-\!1$

Exemplo 2.1.4.

Novamente, consideremos o problema de aproximar a derivada da função $f(x)=\operatorname{sen}(x)$ no ponto $\pi/3$ . A fórmula de diferenças finitas central de ordem $h^{2}$ tem a forma

	$\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)$	$\displaystyle=\underbrace{\frac{f\left(\frac{\pi}{3}+h\right)-f\left(\frac{\pi% }{3}-h\right)}{2h}}_{F_{1}(h):=D_{0,h^{2}}f(\pi/3)}$
		$\displaystyle-\frac{f^{\prime\prime\prime}(x)}{6}h^{2}+\frac{f^{(5)}(x)}{120}h% ^{4}-\cdots$		(2.31)

Na Tabela 2.2 temos os valores das aproximações de $f^{\prime}(\pi/3)$ computadas via sucessivas extrapolações de Richardson a partir de (2.31) com $h=1$ .

Tabela 2.2: Resultados referente ao Exemplo 2.1.4.

$O(h^{2})$	$O(h^{4})$	$O(h^{6})$	$O(h^{8})$
$4,20735\mathrm{e}\!-\!1$
$4,79426\mathrm{e}\!-\!1$	$4,98989\mathrm{e}\!-\!1$
$4,94808\mathrm{e}\!-\!1$	$4,99935\mathrm{e}\!-\!1$	$4,99998\mathrm{e}\!-\!1$
$4,98699\mathrm{e}\!-\!1$	$4,99996\mathrm{e}\!-\!1$	$5,00000\mathrm{e}\!-\!1$	$5,00000\mathrm{e}\!-\!1$

2.1.2 Exercícios

Em revisão

E. 2.1.1.

Mostre que a primeira extrapolação de Richardson de

D_{-,h}f(x)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}

(2.32)

é igual a

D_{-,(h/2)^{2}}f(x)=\frac{3f(x)-4f(x-h)+f(x-2h)}{h}.

(2.33)

E. 2.1.2.

Considere o problema de aproximar a derivada de

f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x+2)-e^{-x^{2}}}{x^{2}+\ln(x+2)}+x

(2.34)

no ponto $x=2,5$ . Para tanto, use de sucessivas extrapolações de Richardson a partir da aproximação por diferenças finitas:

a)

progressiva de ordem $h$ , com $h=0,5$ .
b)

regressiva de ordem $h$ , com $h=0,5$ .
c)

central de ordem $h^{2}$ , com $h=0,5$ .

Nas letras a) e b), obtenha as aproximações de ordem $h^{3}$ e, na letra $c)$ obtenha a aproximação de ordem $h^{6}$ .

Resposta.

a) $1,05919$ ; b) $1,05916$ ; c) $1,05913$

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