4.2 Métodos Quasi-Newton

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Em revisão

4.2.1 Método do Acorde

Em revisão

O método do acorde consiste na seguinte iteração

	$\displaystyle\boldsymbol{x}^{(1)}$	$\displaystyle=\text{aprox. inicial},$		(4.44)
	$\displaystyle\boldsymbol{x}^{(k+1)}$	$\displaystyle=\boldsymbol{x}^{(k)}-J_{F}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(1)})F(% \boldsymbol{x}^{(k)}).$		(4.45)

Ou seja, é a iteração de Newton com jacobina constante.

Exemplo 4.2.1.

Consideremos o seguinte sistema de equações não lineares

	$\displaystyle x_{1}x_{2}^{2}-x_{1}^{2}x_{2}+6$	$\displaystyle=0,$		(4.46)
	$\displaystyle x_{1}+x_{1}^{2}x_{2}^{3}-7$	$\displaystyle=0.$		(4.47)

Definidas $F$ e $J_{F}$ e tomando $\boldsymbol{x}^{(1)}=(1.5,1.5)$ como aproximação inicial, computamos as iterações do método do acorde de forma a obtermos os resultados apresentados na Tabela 4.3.

k	$\boldsymbol{x}^{(k)}$	$\\|\boldsymbol{x}^{(k)}-\boldsymbol{x}^{*}\\|$
1	$(-1.50,1.50)$	-x-
2	$(-1.07,1.82)$	$5.3\mathrm{e}\!-\!1$
3	$(-1.02,1.93)$	$1.2\mathrm{e}\!-\!1$
4	$(-1.00,1.98)$	$5.2\mathrm{e}\!-\!2$
5	$(-9.98\mathrm{e}\!-\!1,2.00)$	$1.8\mathrm{e}\!-\!2$
6	$(-9.98\mathrm{e}\!-\!1,2.00)$	$4.7\mathrm{e}\!-\!3$
7	$(-9.99\mathrm{e}\!-\!1,2.00)$	$9.0\mathrm{e}\!-\!4$
8	$(-1.00,2.00)$	$7.4\mathrm{e}\!-\!4$
9	$(-1.00,2.00)$	$4.3\mathrm{e}\!-\!4$

Tabela 4.3: Resultados referentes ao Exemplo 4.2.1.

4.2.2 Jacobiana Aproximada

Em revisão

A jacobiana $J_{F}(\boldsymbol{x})$ de uma dada função $F(\boldsymbol{x})=(f_{1}(\boldsymbol{x}),f_{2}(\boldsymbol{x}),\dotsc,f_{n}(% \boldsymbol{x}))$ é a matriz cujo elemento da $i$ -ésima linha e $j$ -ésima coluna é

\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}=\lim_{h\to 0}\frac{f_{i}(\boldsymbol{x}+% \boldsymbol{e}_{j}h)-f_{i}(\boldsymbol{x})}{h},

(4.48)

onde $\boldsymbol{e}_{j}$ é o $j$ -ésimo vetor da base canônica de $\mathbb{R}^{n}$ , i.e. $\boldsymbol{e}_{j}=(0,\dotsc,0,1,0,\dotsc,0)$ com $1$ na $j$ -ésima posição.

Com isso, podemos computar uma jacobiana aproximada tomando

\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\approx\frac{f_{i}(\boldsymbol{x}+% \boldsymbol{e}_{j}h)-f_{i}(\boldsymbol{x})}{h},

(4.49)

com $h$ suficientemente pequeno.

Exemplo 4.2.2.

Consideremos o seguinte sistema de equações não lineares

	$\displaystyle x_{1}x_{2}^{2}-x_{1}^{2}x_{2}+6$	$\displaystyle=0,$		(4.50)
	$\displaystyle x_{1}+x_{1}^{2}x_{2}^{3}-7$	$\displaystyle=0.$		(4.51)

Definida $F$ , sua jacobina aproximada $\tilde{J}_{F}$ com $h=10^{-7}$ e tomando $\boldsymbol{x}^{(1)}=(1.5,1.5)$ como aproximação inicial, computamos as iterações do quasi-método de forma a obtermos os resultados apresentados na Tabela 4.4.

k	$\boldsymbol{x}^{(k)}$	$\\|\boldsymbol{x}^{(k)}-\boldsymbol{x}^{*}\\|$
1	$(-1.50,1.50)$	-x-
2	$(-1.07,1.82)$	$5.3\mathrm{e}\!-\!1$
3	$(-9.95\mathrm{e}\!-\!1,2.00)$	$2.0\mathrm{e}\!-\!1$
4	$(-1.00,2.00)$	$5.1\mathrm{e}\!-\!3$
5	$(-1.00,2.00)$	$2.6\mathrm{e}\!-\!5$

Tabela 4.4: Resultados referentes ao Exemplo 4.2.2.

4.2.3 Exercícios

Em construção

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