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1 Aritmética de Máquina 1.2 Representação de Números em Máquina 1.4 Tipos e Medidas de Erros

1.3 Notação Científica e Arredondamento

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Enquanto que a manipulação computacional de números decimais é feita usando-se da aritmética em ponto flutuante, a interpretação dos parâmetros dos problemas de interesse e seus resultados é normalmente feita com poucos dígitos. Nesta seção, introduziremos algumas notações que serão utilizadas ao longo deste material.

A notação científica é a representação de um dado número na forma

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}d_{n}\ldots d_% {2}d_{1}d_{0},d_{-1}d_{-2}d_{-3}\ldots\times 10^{E},

(1.77)

onde $d_{i}$ , $i=n,\ldots,1,0,-1,\ldots$ , são algarismos da base 10. A parte à esquerda do sinal $\times$ é chamada de mantissa do número e $E$ é chamado de expoente (ou ordem de grandeza).

Exemplo 1.3.1.

O número $31.515$ pode ser representado em notação científica das seguintes formas

$\displaystyle 31.415\times 10^{0}$	$\displaystyle=3.1415\times 10^{1}$	(1.78)
	$\displaystyle=314.15\times 10^{-1}$	(1.79)
	$\displaystyle=0.031415\times 10^{3},$	(1.80)

entre outras tantas possibilidades.

Em Python, usa-se a letra e para separar a mantissa do expoente na notação científica. Por exemplo

⬇

1# 31.415 X 10^0

231.415e0

31.515

⬇

1# 3.1415 X 10^1

23.1415e1

31.515

⬇

1# 314.15 X 10^-1

2314.15e-1

31.515

⬇

1# 0.031415 X 10^3

20.031415e3

31.415

No exemplo anterior (Exemplo 1.3.1), podemos observar que a representação em notação científica de um dado número não é única. Para contornar isto, introduzimos a notação científica normalizada, a qual tem a forma

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}d_{0},d_{-1}d_% {-2}d_{-3}\ldots\times 10^{E},

(1.81)

com $d_{0}\neq 0$ ⁵⁵endnote: ⁵No caso do número zero, temos $d_{0}=0$ ..

Exemplo 1.3.2.

O número $31.415$ representado em notação científica normalizada é $3.1415\times 10^{1}$ .

Em Python, podemos usar de strings formatadas para imprimir um número em notação científica normalizada. Há várias especificações de formatação disponíveis⁶⁶endnote: ⁶Consulte na web por Python Docs:String: Format Specification Mini-Language para uma lista completa.. Por exemplo, temos

⬇

1x = 31.415

2print(f"{x:e}")

3.141500e+01

Como vimos na seção anterior, usamos da aritmética de ponto flutuante nas computações, com a qual os números são representados com muito mais dígitos dos quais costumeiramente estamos interessados na interpretação dos resultados. Isto nos leva de volta a questão do arredondamento.

Dizemos que um número está representado com $n$ dígitos significativos (na notação científica normalizada) quando está escrito na forma

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}d_{0},d_{1}d_{% 2}\ldots d_{n-1}\times 10^{E},

(1.82)

com $d_{0}\neq 0$ .

Exemplo 1.3.3.

Estudamos as seguintes representações do número $31.415$ :

a)

com 5 dígitos significativos

⬇

1x = 31.415

2print(f"{x:.4e}")
```
3.1415e+01
```
b)

com 6 dígitos significativos

⬇

1print(f"{x:.5e}")
```
3.14150e+01
```
c)

com 4 dígitos significativos

⬇

1print(f"{x:.3e}")
```
3.142e+01
```
Neste último caso, fez-se necessário arredondar o número.

1.3.1 Arredondamento

Observamos que pode ocorrer a necessidade de se arredondar um número para obter sua representação com um número finito de dígitos significativos. Por exemplo, para representarmos o número $x=3.1415\times 10^{1}$ com 3 dígitos significativos, precisamos determinar de que forma vamos considerar a contribuição de seus demais dígitos a direita. Isto, por sua vez, é determinado pelo tipo de arredondamento que iremos utilizar.

O tipo de arredondamento mais comumente utilizado é o chamado arredondamento por proximidade com desempate par. Neste, a representação escolhida é aquela mais próxima do número dado. Por exemplo, a representação de

x=3.1415\times 10^{1}

(1.83)

com três dígitos significativos é

x=3.14\times 10^{1}.

(1.84)

Agora, sua representação com apenas dois dígitos significativos é

x=3.1\times 10^{1}.

(1.85)

No caso de empate, usa-se a seguinte regra: 1) se o último dígito significativo ser par, este é mantido; 2) se o último dígito significativo ser ímpar, este é acrescido de uma unidade. Por exemplo, no caso do número $x=3.1415\times 10^{1}$ , sua representação com 4 dígitos significativos é

x=3.142\times 10^{1}.

(1.86)

Observação 1.3.1.

O arredondamento por proximidade com desempate par é o padrão do IEEE 754⁷⁷endnote: ⁷Para mais detalhes, consulte IEEE 754: Wikipedia.. No entanto, devemos lembrar que a maioria dos números decimais não tem representação exata no sistema de ponto flutuante. Por exemplo,

⬇

1x = 31.415

2print(f'{x:.3e}')

3.141e+01

Embora o arrendamento não seja o esperado, o que ocorre é que $x=31.415$ não tem representação exata em ponto flutuante, de fato

⬇

1print(f'{x:.25e}')

3.1414999999999999147348717e+01

No restante deste material estaremos assumindo a notação científica normalizada com arredondamento por proximidade com desempate par.

1.3.2 Exercícios Resolvidos

ER 1.3.1.

Faça o cálculo exato e a computação de

\frac{0.33411\times 10^{2}-271.28\times 10^{-1}}{2000\times 10^{-3}}

(1.87)

Forneça os resultados com 4 dígitos significados.

Solução.

•

Por cálculo exato.

$\displaystyle\frac{0.33411\times 10^{2}-271.28\times 10^{-1}}{2000\times 10^{-% 3}}$ (1.88)

$\displaystyle=\frac{334.11\times 10^{-1}-271.28\times 10^{-1}}{2\times 10^{0}}$ (1.89)

$\displaystyle=\frac{63.83\times 10^{-1}}{2}$ (1.90)

$\displaystyle=31.415\times 10^{-1}$ (1.91)

Arredondando o resultado para 4 dígitos significativos, obtemos $3.142$ .
•

Por computação.

⬇

1x = (0.33411e2 - 271.28e-1)/2000e-3

2x
```
3.1415000000000006
```
⬇

1print(f'{x:.3e}')
```
3.142e+00
```

ER 1.3.2.

Obtenha os arredondamentos dos seguintes números decimais para quantidade de dígitos significativos indicada em cada caso. Então, compare com a computada em ponto flutuante.

a)

$2.7128$ com 4 dígitos significativos.
b)

$2.7128$ com 2 dígitos significativos.
c)

$1.9910$ com 3 dígitos significativos.
d)

$1.9910$ com 2 dígitos significativos.
e)

$5.5555$ com 4 dígitos significativos.
f)

$5.6555$ com 4 dígitos significativos.

Solução.

a)

$2.7128$ com 4 dígitos significativos = $2.713$

⬇

1f'{2.7128:.3e}'
```
’2.713e+00’
```
b)

$2.7128$ com 2 dígitos significativos = $2.7$

⬇

1f'{2.7128:.1e}'
```
’2.7e+00’
```
c)

$1.9910$ com 3 dígitos significativos = $1.99$

⬇

1f'{1.9910:.2e}'
```
’1.99e+00’
```
d)

$1.9910$ com 2 dígitos significativos = $2.0$

⬇

1f'{1.9910:.1e}'
```
’2.0e+00’
```
e)

$5.5555$ com 4 dígitos significativos = $5.556$

⬇

1f'{5.5555:.3e}'
```
’5.556e+00’
```
f)

$5.6555$ com 4 dígitos significativos = $5.556$

⬇

1f'{5.6555:.3e}'
```
’5.655e+00’
```

1.3.3 Exercícios

E. 1.3.1.

Obtenha a representação dos seguintes números decimais em notação científica normalizada com a quantidade de dígitos indicada em cada caso. Então, compare com o arredondamento computado em ponto flutuante. Caso haja diferença, explique.

a)

$\pi$ com 6 dígitos significativos.
b)

$\pi/10$ com 6 dígitos significativos.
c)

$\sqrt{2}/\sqrt{3}$ com 7 dígitos significativos.

Resposta.

a) $3.14159\times 10^{0}$ , 3.14159e00+; b) $3.14159\times 10^{-1}$ , 3.14159e-01; c) $8.164922\times 10^{-1}$ , 8.164966e-01

E. 1.3.2.

Compute a seguinte expressão

\frac{\sqrt{\pi}-\ln(0.9)}{75\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}.

(1.92)

Forneça a resposta com 7 dígitos significativos.

Resposta.

$3.540841\times 10^{-1}$

E. 1.3.3.

Forneça o arredondamento dos seguintes números decimais para 2 dígitos significativos. Então, compare com o arrendamento computado em ponto flutuante. Caso haja diferença, explique.

a)

$0.625$
b)

$0.615$
c)

$0.635$

Resposta.

a) $6.2\times 10^{-1}$ , 6.2e-01; b) $6.2\times 10^{-1}$ , 6.1e-01; c) $6.4\times 10^{-1}$ ; 6.4e-01

E. 1.3.4.

Seja $f_{s}$ a função que recebe número decimal e retorna sua aproximação por arrendamento com 2 dígitos significativos. Calcule

a)

$f_{s}(2\pi-e)$
b)

$2f_{s}(\pi)-f_{s}(e)$
c)

Por que $f_{s}(2\pi-e)\neq 2f_{s}(\pi)-f_{s}(e)$ ?

Resposta.

a) $3.5$ ; b) $3.6$ ; c) Operar sobre números arredondados acarreta perda de exatidão.

E. 1.3.5.

Explique o porquê de

⬇

1np.sqrt(3)**2 == 3

False

Resposta.

Dica: $\sqrt{3}$ não tem representação exata em ponto flutuante.

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	$\displaystyle\frac{0.33411\times 10^{2}-271.28\times 10^{-1}}{2000\times 10^{-% 3}}$		(1.88)
	$\displaystyle=\frac{334.11\times 10^{-1}-271.28\times 10^{-1}}{2\times 10^{0}}$		(1.89)
	$\displaystyle=\frac{63.83\times 10^{-1}}{2}$		(1.90)
	$\displaystyle=31.415\times 10^{-1}$		(1.91)