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1 Aritmética de Máquina 1.3 Notação Científica e Arredondamento 2 Equação com Uma Incógnita

1.4 Tipos e Medidas de Erros

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Ao utilizarmos computadores na resolução de problemas matemáticos, acabamos obtendo soluções aproximadas. A diferença entre a solução exata e a solução aproximada computada é chamada de erro. O erro é comumente classificado nas seguintes duas categorias:

•

Erro de arredondamento

Este é o erro que ocorre na representação aproximada de números na máquina.
•

Erro de truncamento

Este é o erro que ocorre na interrupção (truncamento) de um procedimento com infinitos passos.

Exemplo 1.4.1.

(Erro de Arredondamento.) O erro de arredondamento em aproximar $\pi$ por $3.1415\times 10^{0}$ é de aproximadamente $9.3\times 10^{-5}$ .

⬇

1import numpy as np

2np.pi - 3.1415e0

9.265358979293481e-05

Exemplo 1.4.2.

(Erro de Truncamento.) Consideramos a seguinte série numérica $\sum_{n=0}^{\infty}1/n!=e\approx 2.7183\times 10^{0}$ . Ao computarmos esta série no computador, precisamos truncá-la em algum $n$ suficientemente grande. Por exemplo, truncando a série em seu nono termo, temos

	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$	$\displaystyle\approx\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots% +\frac{1}{8!}$		(1.93)
		$\displaystyle\approx 2.71827876984127=:\tilde{e}.$		(1.94)

⬇

1import math

2x = 0

3for n in range(9):

4 x += 1./math.factorial(n)

5print(math.fabs(math.e - x))

A diferença $|e-\tilde{e}|\approx 3\times 10^{-6}$ é o erro de truncamento associado.

Suponhamos, agora, que $x$ seja o valor exato (valor esperado) de uma quantidade de interesse e $\tilde{x}$ o valor computado (aproximação de $x$ ). Em matemática numérica, utilizamos frequentemente as seguintes medidas de erro:

•

Erro absoluto:

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\varepsilon_{% \text{abs}}:=|x-\tilde{x}|.$ (1.95)
•

Erro relativo:

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\varepsilon_{% \text{rel}}:=\frac{|x-\tilde{x}|}{|x|}\left(\times 100\%\right).$ (1.96)

A vantagem do erro relativo é em levar em conta a ordem de grandeza da quantidade $x$ .

Exemplo 1.4.3.

Estudamos os seguintes casos:

$x=1.0$ e $\tilde{x}=1.1$ :

$\displaystyle\varepsilon_{\text{abs}}$	$\displaystyle=\|x-\tilde{x}\|$	(1.97)
	$\displaystyle=\|1.0-1.1\|$	(1.98)
	$\displaystyle=\|-0.1\|$	(1.99)
	$\displaystyle=1\times 10^{-1}.$	(1.100)
$\displaystyle\varepsilon_{\text{rel}}$	$\displaystyle=\frac{\|x-\tilde{x}\|}{\|x\|}$	(1.101)
	$\displaystyle=\frac{\|1.0-1.1\|}{\|1.0\|}$	(1.102)
	$\displaystyle=\frac{\|-0.1\|}{\|1.0\|}$	(1.103)
	$\displaystyle=1\times 10^{-1}=10\%.$	(1.104)

⬇

1x = 1.0

2xa = 1.1

3eabs = abs(x - xa); eabs

0.10000000000000009

⬇

1erel = eabs/abs(x)

2erel

0.10000000000000009

$x=1000.0$ e $\tilde{x}=1100.0$ :

$\displaystyle\varepsilon_{\text{abs}}$	$\displaystyle=\|x-\tilde{x}\|$	(1.105)
	$\displaystyle=\|1000.0-1100.0\|$	(1.106)
	$\displaystyle=1\times 10^{2}.$	(1.107)
$\displaystyle\varepsilon_{\text{rel}}$	$\displaystyle=\frac{\|x-\tilde{x}\|}{\|x\|}$	(1.108)
	$\displaystyle=\frac{\|1000.0-1100.0\|}{\|1000.0\|}$	(1.109)
	$\displaystyle=\frac{\|-100.0\|}{\|1000.0\|}$	(1.110)
	$\displaystyle=1\times 10^{-1}=10\%.$	(1.111)

⬇

1x = 1000.0; xa = 1100.0

2eabs = abs(x - xa); eabs

100.0

⬇

1erel = eabs/abs(x); erel

0.1

Outra medida de erro comumente empregada é o número de dígitos significativos corretos. Dizemos que $\tilde{x}$ aproxima $x$ com $n$ dígitos significativos corretos, quando

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\underbrace{% \frac{|x-\tilde{x}|}{|x|}}_{\varepsilon_{\text{rel}}}<5\times 10^{-n}.

(1.112)

Isso significa que ao arredondarmos $x$ e $\tilde{x}$ ambos com $n$ dígitos, obtemos o mesmo resultado.

Exemplo 1.4.4.

Estudamos os seguintes casos:

•

$x=2$ e $\tilde{x}=2.4$

$\varepsilon_{\text{rel}}=0.2<5\times 10^{-1}$ (1.113)

Temos que $\tilde{x}=2.4$ aproxima $x=2$ com um dígito significativo correto. Note que ambos são iguais quando os arredondamos para um dígito.
•

$x=2$ e $\tilde{x}=2.5$

$\frac{|x-\tilde{x}|}{|x|}=0.25<5\times 10^{-1}$ (1.114)

Temos que $\tilde{x}=2.5$ é uma aproximação com $1$ dígito significativo correto de $x=2$ . Note que ambos são iguais quando os arredondamos para um dígito.
•

$x=1$ e $\tilde{x}=1.5$ :

$\frac{|x-\tilde{x}|}{|x|}=0.5<5\times 10^{0},$ (1.115)

Temos que $\tilde{x}=1.5$ é uma aproximação com zero dígito significativo correto de $x=1$ . Note que ao arredondarmos⁸⁸endnote: ⁸Assumindo o arredondamento por proximidade com desempate par. $\tilde{x}$ para um dígito, obtemos $\tilde{x}\approx 2$ , enquanto que $x=1$ .

1.4.1 Propagação de Erros

Nesta seção, vamos introduzir uma estimativa para a propagação de erros (de arredondamento) na computação de um problema. Para tando, vamos considerar o caso de se calcular o valor de uma dada função $f$ em um dado ponto $x$ , i.e. queremos calcular $y$ com

y=f(x).

(1.116)

Agora, assumindo que $x$ seja conhecido com um erro $\varepsilon(x)$ , este se propaga no cálculo da $f$ , levando a um erro $\varepsilon(y)$ no valor calculado de $y$ . Ou seja, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y+\varepsilon(% y)=f(x+\varepsilon(x)).

(1.117)

Denotamos $\varepsilon_{\text{abs}}(x)=|\varepsilon(x)|$ o erro absoluto associado a $x$ e $\varepsilon_{\text{abs}}(y)=|\varepsilon(y)|$ o erro absoluto associado a $y$ .

Nosso objetivo é estimar $\varepsilon_{\text{abs}}(y)$ com base em $\varepsilon_{\text{abs}}(x)$ . Para tanto, tomamos a aproximação de $f(x+\varepsilon(x))$ dada pelo polinômio de Taylor de grau $1$ de $f$ em torno de $x$ , i.e.

f(x+\varepsilon(x))=f(x)+f^{\prime}(x)\varepsilon(x)+O\left(\varepsilon^{2}(x)% \right).

(1.118)

Então, de (1.116) e (1.117), temos

\varepsilon(y)=f^{\prime}(x)\varepsilon(x)+O(\varepsilon^{2}(x)).

(1.119)

Daí, passando ao valor absoluto e usando a desigualdade triangular, obtemos

	$\displaystyle\varepsilon_{\text{abs}}(y)$	$\displaystyle=\left\|f^{\prime}(x)\varepsilon(x)+O(\varepsilon^{2}(x))\right\|$		(1.120)
		$\displaystyle\leq\|f^{\prime}(x)\|\varepsilon_{\text{abs}}(x)+O\left(\varepsilon% _{\text{abs}}^{2}(x)\right).$		(1.121)

Deste resultado, obtemos a seguinte estimativa de propagação de erro

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\varepsilon_{% \text{abs}}(y)\approx|f^{\prime}(x)|\varepsilon_{\text{abs}}(x).

(1.122)

Exemplo 1.4.5.

Consideramos o problema em se calcular

y=f(x)=x^{2}\operatorname{sen}(x)

(1.123)

com $x=\pi/3\pm 0.1$ . Usando (1.122) para estimarmos o erro absoluto $\varepsilon_{\text{abs}}(y)$ no cálculo de $y$ com base no erro absoluto $\varepsilon_{\text{abs}}(x)=0.1$ , calculamos

$\displaystyle\varepsilon_{\text{abs}}(y)$	$\displaystyle=\|f^{\prime}(x)\|\varepsilon_{\text{abs}}(x)$	(1.124)
	$\displaystyle=\|2x\operatorname{sen}(x)+x^{2}\cos(x)\|\varepsilon_{\text{abs}}(x)$	(1.125)
	$\displaystyle=2.3621\times 10^{-1}.$	(1.126)

⬇

1import math

2x = math.pi/3; eabsx = 0.1

3eabsy = math.fabs(2*x*math.sin(x) \

4 + x**2 * math.cos(x)) * eabsx

5print(f"{eabsy:.4e}")

2.3621e-01

Com isso, concluímos que um erro em $x$ de tamanho $0.1$ é propagado no cálculo de $f(x)$ , causando um erro pelo menos duas vezes maior em $y$ . Também, podemos interpretar este resultado do ponto de vista do erro relativo. O erro relativo associado a $x$ é

$\displaystyle\varepsilon_{\text{rel}}(x)$	$\displaystyle=\frac{\varepsilon_{\text{abs}}(x)}{\|x\|}$	(1.127)
	$\displaystyle=\frac{0.1}{\pi/3}$	(1.128)
	$\displaystyle=9.5493\times 10^{-2}\approx 10\%,$	(1.129)

acarretando um erro relativo em $y$ de

$\displaystyle\varepsilon_{\text{rel}}(y)$	$\displaystyle=\frac{\varepsilon_{\text{abs}}(y)}{\|y\|}$	(1.130)
	$\displaystyle=\frac{\varepsilon_{\text{abs}}(y)}{\|f(x)\|}$	(1.131)
	$\displaystyle=2.4872\times 10^{-2}\approx 25\%.$	(1.132)

⬇

1import math

2x = math.pi/3; eabsx = 0.1

3erelx = eabsx/math.fabs(x)

4print(f"{erelx*100: .0f} %")

10 %

⬇

1f = lambda x: x**2 * math.sin(x)

2df = lambda x: 2*x*math.sin(x) \

3 + x**2 * math.cos(x)

4eabsy = math.fabs(df(x)) * eabsx

5erely = eabsy/math.fabs(f(x))

6print(f"{erely*100: .0f} %")

25 %

Associada à estimativa (1.4.5), temos

	$\displaystyle\varepsilon_{\text{rel}}(y)$	$\displaystyle=\frac{\varepsilon_{\text{abs}}(y)}{\|y\|}$
		$\displaystyle=\frac{\|f^{\prime}(x)\|}{\|y\|}\varepsilon_{\text{abs}}(x)$
		$\displaystyle=\frac{\|x\|\cdot\|f^{\prime}(x)\|}{\|f(x)\|}\frac{\varepsilon_{\text{% abs}}(x)}{\|x\|}$
		$\displaystyle=\left\|\frac{xf^{\prime}(x)}{f(x)}\right\|\varepsilon_{\text{rel}}% (x).$

Desta última equação, definimos o número de condicionamento de $f$ , denotado por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\kappa_{f}(x):% =\left|\frac{xf^{\prime}(x)}{f(x)}\right|.

(1.133)

Observamos que $\kappa_{f}(x)$ é a escala com que erros em $x$ são propagados no cálculo de $y=f(x)$ .

Exemplo 1.4.6.

O número de condicionamento da função $f(x)=x^{2}\operatorname{sen}(x)$ no ponto $x=\pi/3$ é calculado por

	$\displaystyle\kappa_{f}(x)$	$\displaystyle=\left\|\frac{xf^{\prime}(x)}{f(x)}\right\|$		(1.134)
		$\displaystyle=\left\|\frac{x\left[2x\operatorname{sen}(x)+x^{2}\cos(x)\right]}{% x^{2}\operatorname{sen}(x)}\right\|.$		(1.135)

Substituindo $x$ por $\pi/3$ , obtemos

\kappa_{f}(\pi/3)=2.6046.

(1.136)

Observamos que o resultado é compatível com os obtidos no Exemplo 1.4.5.

⬇

1import math

2f = lambda x: x**2 * math.sin(x)

3df = lambda x: 2*x*math.sin(x) \

4 + x**2 * math.cos(x)

5x = math.pi/3

6kf = math.fabs(x*df(x)/f(x))

7print(f"{kf:.4f}")

2.6046

A estimativa (1.122) pode ser generalizada para uma função de várias variáveis. No caso de uma função $y=f(x_{1},x_{2},\dotsc,x_{n})$ , temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\varepsilon_{% \text{abs}}(y)=\sum_{k=1}^{n}\left|\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\right|% \varepsilon_{\text{abs}}(x_{k}).

(1.137)

Exemplo 1.4.7.

Consideremos o problema em se calcular

z=f(x,y)=x^{2}\operatorname{sen}(x)\cos(y)

(1.138)

com

	$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}\pm 0.1,$		(1.139)
	$\displaystyle y=\frac{\pi}{4}\pm 0.02.$		(1.140)

Usando (1.137) para estimarmos o erro absoluto $e_{\text{abs}}(z)$ no cálculo de $z$ com base nos erros absolutos $e_{\text{abs}}(x)=0.1$ e $e_{\text{abs}}(y)=0.02$ , calculamos

$\displaystyle e_{\text{abs}}(z)$	$\displaystyle=\left\|\frac{\partial f}{\partial x}\right\|e_{\text{abs}}(x)+% \left\|\frac{\partial f}{\partial y}\right\|e_{\text{abs}}(y)$	(1.141)
	$\displaystyle=\|(2x\operatorname{sen}(x)+x^{2}\cos(x))\cos(y)\|e_{\text{abs}}(x)$	(1.142)
	$\displaystyle+\left\|-x^{2}\operatorname{sen}(x)\operatorname{sen}(y)\right\|e_{% \text{abs}}(y)$	(1.143)
	$\displaystyle=1.8046\times 10^{-1}.$	(1.144)

⬇

1import math

2x = math.pi/3

3eabsx = 0.1

4y = math.pi/4

5eabsy = 0.02

6eabsz = math.fabs((2*x*math.sin(x) \

7 + x**2*math.cos(x))*math.cos(y))*eabsx \

8 + math.fabs(-x**2*math.sin(x)*math.sin(y))*eabsy

9print(f"{eabsz:1.4e}")

1.8046e-01

1.4.2 Cancelamento Catastrófico

No computador (com aritmética de ponto flutuante de 64-bits), as operações e funções elementares são computadas, usualmente, com um erro próximo do épsilon de máquina ( $\mathrm{eps}\approx 10^{-16}$ ). Entretanto, em algumas situações estas operações fundamentais acarretam erros maiores, causando uma perda de precisão.

O chamado cancelamento catastrófico ocorre quando computamos a diferença entre dois números próximos. Para ilustrá-lo, considaremos os seguintes números

	$\displaystyle x$	$\displaystyle=314150000001549,$		(1.145)
	$\displaystyle y$	$\displaystyle=314150000002356.$		(1.146)

Assumindo os arredondamentos de $x$ e $y$ com $12$ dígitos significativos, temos

	$\displaystyle\tilde{x}$	$\displaystyle=314150000002000,$		(1.147)
	$\displaystyle\tilde{y}$	$\displaystyle=314150000002000.$		(1.148)

Os erros relativos associados às aproximações de $x$ e $y$ por $\tilde{x}$ e $\tilde{y}$ são

	$\displaystyle e_{rel}(x)=\frac{\|x-\tilde{x}\|}{\|x\|}\approx 10^{-10}\%,$		(1.149)
	$\displaystyle e_{rel}(y)=\frac{\|y-\tilde{y}\|}{\|y\|}\approx 10^{-10}\%,$		(1.150)

respectivamente. Agora, temos

	$\displaystyle y-x=807,$		(1.151)
	$\displaystyle\tilde{y}-\tilde{x}=0.$		(1.152)

Ou seja, o erro relativo na aproximação de $y-x$ por $\tilde{y}-\tilde{x}$ é

	$\displaystyle e_{rel}(y-x)$	$\displaystyle=\frac{\|(y-x)-(\tilde{y}-\tilde{x})\|}{(y-x)}$		(1.153)
		$\displaystyle=\frac{807}{807}=100\%!$		(1.154)

Exemplo 1.4.8.

Na tabela abaixo temos os erros em se computar

\frac{(1+x^{4})-1}{x^{4}}

(1.155)

para diferentes valores de $x$ .

$x$	erro
$1$	$0$
$10^{-1}$	$1.1\times 10^{-13}$
$10^{-2}$	$6.1\times 10^{-9}$
$10^{-3}$	$8.9\times 10^{-5}$
$10^{-4}$	$1.0\times 10^{0}$
$10^{-5}$	$1.0\times 10^{0}$

Observamos que, para o valor de $x=0.001$ o erro na computação já é da ordem de $10^{-5}$ e para valores de $x$ menores ou iguais a $0.0001$ o erro é catastrófico. Isto ocorre, pois se $x\leq 10^{-4}$ , então $x^{4}\leq 10^{-16}<\mathrm{eps}$ e, portanto, $(1+x^{4})-1=0$ .

Exemplo 1.4.9.

Uma equação de segundo grau $ax^{2}+bx+c=0$ tem raízes

	$\displaystyle x_{1}$	$\displaystyle=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},$		(1.156)
	$\displaystyle x_{2}$	$\displaystyle=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.$		(1.157)

Entretanto, no caso de $b$ ser positivo, a fórmula (1.156) não é adequada para a computação da raiz $x_{1}$ , pois pode ocorrer cancelamento catastrófico. Podemos contornar este problema reescrevendo (1.156) da seguinte forma

$\displaystyle x_{1}$	$\displaystyle=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{-b% -\sqrt{b^{2}-4ac}}$	(1.158)
	$\displaystyle=\frac{b^{2}-b^{2}+4ac}{2a(-b-\sqrt{b^{2}-4ac})}$	(1.159)
	$\displaystyle=\frac{-2c}{b+\sqrt{b^{2}-4ac}},$	(1.160)

a qual não sofre mais de cancelamento catastrófico. Observamos que também pode ocorrer cancelamento catastrófico no cálculo de $x_{2}$ pela fórmula (1.157), no caso de $b$ ser negativo.

1.4.3 Exercícios Resolvidos

ER 1.4.1.

O número de Euler é definido por

e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}

(1.161)

Determine o erro relativo da aproximação de $e$ pelo truncamento da série com 4 termos.

Solução.

Denotamos $x=e$ e

$\displaystyle\tilde{x}$	$\displaystyle=\sum_{n=0}^{3}\frac{1}{n!}$	(1.162)
	$\displaystyle=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}$	(1.163)
	$\displaystyle=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$	(1.164)
	$\displaystyle=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$	(1.165)
	$\displaystyle=\frac{16}{6}$	(1.166)

O erro relativo é

⬇

1import math as m

2x = m.e

3xa = 16./6

4eabs = m.fabs(x-xa)

5erel = eabs/m.fabs(x)

6print(f"{erel*100:1.1f} %")

1.9 %

Concluímos que o erro relativo é de $1.9\%$ .

ER 1.4.2.

Calcule o número de condicionamento $\kappa_{f}(x)$ para $f(x)=x^{n}$ .

Solução.

Calculamos o número de condicionamento como segue

$\displaystyle\kappa_{f}(x)$	$\displaystyle=\left\|\frac{xf^{\prime}(x)}{f(x)}\right\|$	(1.167)
	$\displaystyle=\left\|\frac{x\cdot nx^{n-1}}{x^{n}}\right\|$	(1.168)
	$\displaystyle=\left\|\frac{nx^{n}}{x^{n}}\right\|$	(1.169)
	$\displaystyle=n,\quad x\neq 0.$	(1.170)

ER 1.4.3.

Calcule as raízes do seguinte polinômio quadrático

p(x)=10^{-6}x^{2}+10^{2}x+3\times 10^{-3}

(1.171)

com $10$ dígitos significativos corretos.

Solução.

As raízes do polinômio quadrático podem ser calculados pela fórmula de Bhaskara

	$\displaystyle x_{1}$	$\displaystyle=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$		(1.172)
	$\displaystyle x_{2}$	$\displaystyle=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$		(1.173)

No entanto, a computação da raiz $x_{1}$ sofre de cancelamento catastrófico. Para contornar este problema, usamos (1.160), i.e.

x_{1}=\frac{-2c}{b+\sqrt{b^{2}-4ac}}

(1.174)

Com o código

⬇

1import math as m

3a = 1e-6

4b = 1e2

5c = 3e-3

7delta = b**2 - 4*a*c

9x1 = -2*c/(b + m.sqrt(delta))

10x2 = (-b - m.sqrt(delta))/(2*a)

12print(f"{x1:1.9e}, {x2:1.9e}")

obtemos as saídas

  x_1 = -3.000000000e-05
  x_2 = -1.000000000e+08

1.4.4 Exercícios

E. 1.4.1.

Calcule o erro absoluto na aproximação de

a)

$\pi$ por $3.14$ .
b)

$10e$ por $27.18$ .

Forneça as respostas com $4$ dígitos significativos.

Resposta.

a) $1.593\times 10^{-3}$ ; b) $2.818\times 10^{-1}$ ;

E. 1.4.2.

Calcule o erro relativo na aproximação de

a)

$\pi$ por $3.14$ .
b)

$10e$ por $27.18$ .

Forneça as respostas em porcentagem.

Resposta.

a) $0.051\%$ ; b) $0.01\%$ ;

E. 1.4.3.

Com quantos dígitos significativos corretos

a)

$3.13$ aproxima $\pi$ ?
b)

$27.21$ aproxima $10e$ ?

Resposta.

a) $3$ ; b) $3$

E. 1.4.4.

Obtenha uma estimativa do erro de truncamento em se aproximar o valor de $\operatorname{sen}(1)$ usando-se $p_{5}(1)$ , onde $p_{5}(x)$ é o polinômio de Taylor de grau 5 da função $\operatorname{sen}(x)$ em torno de $x=0$ .

Resposta.

$1/6!\approx 1.4\times 10^{-3}$ .

E. 1.4.5.

Considerando que $x=2\pm 0.1$ , estime o erro absoluto em se calcular $y=e^{-x^{2}}\cos(\pi x/3)$ . Forneça a estimativa com $7$ dígitos significativos por arredondamento.

Resposta.

$2.002083\times 10^{-3}$

E. 1.4.6.

Considerando que $x=2\pm 2\%$ e $y=1.5\pm 0.3$ , estime o erro absoluto em se calcular $y=e^{-x^{2}}\cos(\pi y/3)$ . Forneça a estimativa com $6$ dígitos significativos por arredondamento.

Resposta.

$5.75403\times 10^{-3}$

E. 1.4.7.

Considere a computação de

y=\frac{1-\cos(h)}{h}

(1.175)

para $h=10^{-9}$ . Compute o valor de $y$ reescrevendo esta expressão de forma a mitigar o cancelamento catastrófico. Forneça o valor computado de $y$ com $2$ dígitos significativos por arredondamento.

Resposta.

$5.0\times 10^{-10}$

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	$\displaystyle\varepsilon_{\text{rel}}(y)$	$\displaystyle=\frac{\varepsilon_{\text{abs}}(y)}{\|y\|}$
		$\displaystyle=\frac{\|f^{\prime}(x)\|}{\|y\|}\varepsilon_{\text{abs}}(x)$
		$\displaystyle=\frac{\|x\|\cdot\|f^{\prime}(x)\|}{\|f(x)\|}\frac{\varepsilon_{\text{% abs}}(x)}{\|x\|}$
		$\displaystyle=\left\|\frac{xf^{\prime}(x)}{f(x)}\right\|\varepsilon_{\text{rel}}% (x).$