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2 Equações de ordem 1 2.1 Equações lineares 2.3 Alguns aspectos sobre equações não lineares

2.2 Estudo assintótico de equações lineares

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Nesta seção, vamos introduzir aspectos básicos sobre o comportamento assintótico de soluções de equações a diferenças de primeira ordem e lineares.

Seja

y(n+1)=f(y(n),n),\quad n\geq n_{0},

(2.89)

uma equação a diferenças com valor inicial $y(n_{0})$ . Dizemos que $y^{*}$ é ponto de equilíbrio da equação, quando $y^{*}$ é tal que

f(y^{*},n)=y^{*},

(2.90)

para todo $n\geq n_{0}$ . Neste caso, ao escolhermos $y(n_{0})=y^{*}$ , então a solução de equação a diferenças (2.89) é

y(n)=y^{*}.

(2.91)

Exemplo 2.2.1.

Vamos calcular o(s) ponto(s) de equilíbrio de

y(n+1)=\frac{4}{3}y(n)-1,\quad n\geq 0.

(2.92)

Neste caso, por comparação com (2.89), temos $\displaystyle f(y(n),n)=\frac{4}{3}y(n)-1$ . Para calcularmos o(s) ponto(s) de equilíbrio, resolvemos

	$\displaystyle f(y^{},n)=y^{}$		(2.93)
	$\displaystyle\frac{4}{3}y^{}-1=y^{}$		(2.94)
	$\displaystyle\left(\frac{4}{3}-1\right)y^{*}=1$		(2.95)
	$\displaystyle\frac{1}{3}y^{*}=1$		(2.96)
	$\displaystyle y^{*}=3.$		(2.97)

Com isso, concluímos que $y^{*}=3$ é o único ponto de equilíbrio de (2.92).

Notamos que, de fato, ao escolhermos $y(0)=3$ , temos

$\displaystyle y(1)$	$\displaystyle=\frac{4}{3}y(0)-1=3$	(2.98)
$\displaystyle y(2)$	$\displaystyle=\frac{4}{3}y(1)-1=3$	(2.99)
$\displaystyle y(3)$	$\displaystyle=\frac{4}{3}y(1)-1=3$	(2.100)
	$\displaystyle\vdots$	(2.101)
$\displaystyle y(n)$	$\displaystyle=3.$	(2.102)

Seja a equação a diferenças de primeira ordem, linear e com coeficientes constantes

y(n+1)=ay(n)+b,\quad n\geq n_{0},

(2.103)

Se $a=1$ e $b=0$ , então todo número real $y^{*}$ é ponto de equilíbrio de (2.103). Agora, se $a=1$ e $b\neq 0$ , então (2.103) não tem ponto de equilíbrio. Por fim, se $a\neq 1$ , então

y^{*}=\frac{b}{1-a}

(2.104)

é o único ponto de equilíbrio de (2.103). Este é o caso do Exemplo 2.2.1.

Um ponto de equilíbrio é um atrator global quando

\lim_{n\to\infty}y(n)=y^{*},

(2.105)

para qualquer valor inicial $y(n_{0})$ . Neste caso, também dizemos que $y^{*}$ é um ponto de equilíbrio assintoticamente globalmente estável.

Uma equação a diferenças da forma

y(n+1)=ay(n),\quad n\geq n_{0},

(2.106)

com $-1<a<1$ , tem $y^{*}=0$ como atrator global. De fato, a solução desta equação a diferenças é

	$\displaystyle y(n)$	$\displaystyle=\left[\prod_{i=n_{0}}^{n-1}a\right]y(n_{0})$		(2.107)
		$\displaystyle=a^{n-n_{0}}y(n_{0}).$		(2.108)

Logo, temos

	$\displaystyle\lim_{n\to\infty}y(n)$	$\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\cancelto{0}{a^{n-n_{0}}}y(n_{0})$		(2.109)
		$\displaystyle=0.$		(2.110)

Exemplo 2.2.2.

Para a equação a diferenças

y(n+1)=\frac{1}{2}y(n),\quad n\geq 0,

(2.111)

temos que $y^{*}=0$ é um ponto de equilíbrio assintoticamente globalmente estável.

Um equação a diferenças da forma

y(n+1)=ay(n)+b,\quad n\geq n_{0},

(2.112)

com $-1<a<1$ , tem

y^{*}=\frac{b}{1-a}

(2.113)

como ponto de equilíbrio assintoticamente globalmente estável. De fato, a solução desta equação é

	$\displaystyle y(n)=\left[\prod_{i=n_{0}}^{n-1}a\right]y(n_{0})$
	$\displaystyle+\sum_{i=n_{0}}^{n-1}\left[\prod_{j=i+1}^{n-1}a\right]b$		(2.114)
	$\displaystyle=a^{n-n_{0}}y(n_{0})+\sum_{i=n_{0}}^{n-1}a^{n-1-i}b$		(2.115)
	$\displaystyle=a^{n-n_{0}}y(n_{0})+a^{n-1}b\sum_{i=n_{0}}^{n-1}a^{-i}$		(2.116)
	$\displaystyle=a^{n-n_{0}}y(n_{0})+a^{n-1}b\sum_{j=0}^{n-n_{0}-1}a^{-j-n_{0}}$		(2.117)
	$\displaystyle=a^{n-n_{0}}y(n_{0})+a^{n-n_{0}-1}b\sum_{j=0}^{n-n_{0}-1}a^{-j}$		(2.118)
	$\displaystyle=a^{n-n_{0}}y(n_{0})+a^{n-n_{0}-1}b\frac{(1-a^{-(n-n_{0})})}{1-a^% {-1}}$		(2.119)
	$\displaystyle=a^{n-n_{0}}y(n_{0})+a^{n-n_{0}-1}b\frac{\frac{a^{n-n_{0}}-1}{a^{% n-n_{0}}}}{\frac{a-1}{a}}$		(2.120)
	$\displaystyle=a^{n-n_{0}}y(n_{0})+b\frac{1-a^{n-n_{0}}}{1-a}$		(2.121)
	$\displaystyle=\left(y(n_{0})-\frac{b}{1-a}\right)a^{n-n_{0}}+\frac{b}{1-a}.$		(2.122)

Observamos que esta última equação, confirma que

y^{*}=\frac{b}{1-a}

(2.123)

é ponto de equilíbrio de (2.112) e é assintoticamente globalmente estável, pois

	$\displaystyle\lim_{n\to\infty}y(n)$	$\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\left[\left(y(n_{0})-\frac{b}{1-a}\right)% \cancelto{0}{a^{n-n_{0}}}+\frac{b}{1-a}\right]$		(2.124)
		$\displaystyle=\frac{b}{1-a}.$		(2.125)

Exemplo 2.2.3.

A equação a diferenças

y(n+1)=4y(n)-1,\quad n\geq 0,

(2.126)

tem $y^{*}=1/3$ como ponto de equilíbrio, o qual não é um atrator global. De fato, para qualquer escolha de $y(0)\neq y^{*}$ , temos

y(n)=\underbrace{\left(y(0)-\frac{1}{3}\right)}_{\neq 0}4^{n}+\frac{1}{3}.

(2.127)

Logo, vemos que $y(n)\to\pm\infty$ quando $n\to\infty$ , onde o sinal é igual ao do termo $y(0)-1/3$ .

Observamos as seguintes computações no Python:

⬇

1 In : y=1/3

2 ...: for i in range(1,31):

3 ...: y=4*y-1

4 ...:

5 ...: y

6 Out: -21.0

Ou seja, $y(30)=-21.0$ computando por iterações recorrentes, enquanto que o valor esperado é $y(30)=1/3$ , sendo este um ponto de equilíbrio da equação a diferenças.

O que está ocorrendo nestas computações é um fenômeno conhecido como cancelamento catastrófico em máquina. No computador, o valor inicial $y(0)=1/3$ é computado com um pequeno erro de arredondamento. Do que vimos acima, se $y(0)\neq 1/3$ , então $y(n)\to\pm\infty$ quando $n\to\infty$ .

No Python, podemos fazer as computações exatas na aritmética dos números racionais. Para tanto, podemos usar o seguinte código:

⬇

1 In : from sympy import Rational

2 ...: y=Rational(1,3)

3 ...: for i in range(1,31):

4 ...: y=4*y-1

5 ...:

6 ...: y

7 Out: 1/3

Exercícios resolvidos

ER 2.2.1.

Calcule os pontos de equilíbrio de

y(n+1)=ny(n),\quad n\geq 0.

(2.128)

Solução.

Temos que $y^{*}$ é ponto de equilíbrio da equações a diferenças, quando

	$\displaystyle y^{}=ny^{}$		(2.129)
	$\displaystyle(1-n)y^{*}=0$		(2.130)

para todo $n\geq 0$ . Logo, $y^{*}=0$ é ponto de equilíbrio da equação a diferenças.

ER 2.2.2.

Verifique se $y^{*}=0$ é ponto de equilíbrio assintoticamente globalmente estável de

y(n+1)=\frac{1}{n+1}y(n),\quad n\geq 0.

(2.131)

Solução.

Primeiramente, confirmamos que $y^{*}=0$ é ponto de equilíbrio, pois

\frac{1}{n+1}y^{*}=0=y^{*},\quad n\geq 0.

(2.132)

Por fim, a solução da equação a diferenças é

	$\displaystyle y(n)$	$\displaystyle=\left[\prod_{i=0}^{n-1}\frac{1}{i+1}\right]y(0)$		(2.133)
		$\displaystyle=\frac{1}{n!}y(0).$		(2.134)

Daí, vemos que

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n!}y(0)=0=y^{*}.

(2.135)

Logo, concluímos que $y^{*}=0$ é ponto de equilíbrio assintoticamente globalmente estável da equação a diferenças dada.

Exercícios

E. 2.2.1.

Calcule o ponto de equilíbrio de

y(n+1)=-y(n)+1

(2.136)

Resposta.

$1/2$

E. 2.2.2.

O ponto de equilíbrio da equação a diferenças do Exercício 2.2.1 é um atrator global? Justifique sua resposta.

Resposta.

não

E. 2.2.3.

Encontre o ponto de equilíbrio de

y(n+1)=\frac{1}{2}y(n)+\frac{1}{2},\quad n\geq 2,

(2.137)

e diga se ele é um atrator global. Justifique sua resposta.

Resposta.

$y^{*}=1$ ; atrator global

E. 2.2.4.

Encontre o ponto de equilíbrio de

y(n+1)=2y(n)+1,\quad n\geq 2,

(2.138)

e diga se ele é assintoticamente globalmente estável. Justifique sua resposta.

Resposta.

$y^{*}=-1$ ; não é assintoticamente globalmente estável

E. 2.2.5.

Considere um financiamento de valor $\$100$ com taxa de juros $1\%$ a.m. e amortizações fixas mensais de valor $\$a$ . O valor devido $y(n+1)$ no $n+1$ -ésimo mês pode ser modelado pela seguinte equações a diferenças

y(n+1)=1,01y(n)-a,\quad n\geq 0,

(2.139)

com valor inicial $y(0)=100$ . Calcule o valor $a$ mínimo a ser amortizado mensalmente de forma que o valor devido permaneça sempre constante.

Resposta.

$a=1$

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